第一篇：第二講 極限的定義與基本性質

第二講 極限的定義與基本性質

一、數列極限及其性質

1．數列極限的定義：

?xn?收斂于a????0，?N?N，s.t.xn?a??,?n?N。

值得注意的是：1）N依賴于?，但不唯一，而?事先給定；

2）不等式xn?a??中的?可以用K?來代替，其中K?0不依賴于N,?；

3）N可以通過xn?a??得到，需要解不等式或作適當的放大。

例1 證明：?a?0，an

n!

n?0。

分析：直接求解不等式

時 an!用放大法。記m?[a]，則當n?m?0??是不現實的。

n!?1?2???m(?

從而 1?)n?m(??1n)?m?(n?m，1)

?a?m????(m?1)，n!?m?1?

注意到a?[a]?1?m?1，因此0?

即可。

證明：???0，不妨設??1。記m?[a]，取N??ann??m?(m?1)??從而只要解??1，?m?1?m?1?aan?mln(m?1)?ln???，則當

?ln(m?1)?lna?

n?N時有

?a?m?0???(m?1)??，?n!?m?1?

因此由極限定義得annan

n!?0。

□

2．用定義證明極限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法與擬合法

例2 設xn?a，證明x1???xn

n?a。

分析：若把?xn?中每項看成a，則

x1???xn

n的值恰為a，因此

n

x1???xn

n

?a?

1n

n

?(x

i?

1i

?a)?

?n

i?1

xi?a。

其余要借助假設xn?a來證明。給定??0，?N，當n?N時xn?a??，因此不能控制的項為x1?a,x2?a,?,xN?a。但好在這種項只有N項，從而可以調整n來控制它們。

證明：???0，由xn?a，?N1，當n?N1時xn?a??/2，從而

x1???xn

nn?N1

n

?a?1

N1

1n

n

?(x

i?1

i

?a)?

n

?n

i?1N1i?1

xi?a

??/2?

?n

i?1

xi?a??/2?

?n

xi?a。

又收斂數列有界，不妨設xn?M,?n，則

N1

?n

i?1

xi?a?

N1n

?M?a?。

N1

1?2N1?

(M?|a|)，則當n?N2時令N2????n??

?

i?1

xi?a?

?。

最后，令N?max{N1,N2}，則當n?N時有

x1???xn

n

?a??。因此由極

限定義知

x1???xn

n

?a。

□ 我們看到，這里我們先利用了極限的定義，然后再利用極限的性質（有界性）來完成證

明。

例3 證明：若pk?0(k?1,2,?)且lim

pn

p1?p2???pn

n??

?0，limxn?a。

n??

證明lim

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

n??

?a。

分析：把?xn?中每項看成a，則極限號后面的式子的值恰為a，因此

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

pk

?a?

p1xn?a?p2xn?1?a???pnx1?a

p1?p2???pn。

然后我們在試圖用分步的方法來估計。記qk注意到qk

(k)

(n)

?

p1?p2???pn，k?1,2,?,n，?0，因此若n?k，則當k??時n??，從而

(n)k

0?q因而qk再由qk

(n)

?

pk

p1?p2???pn

n??

?qk

(k)

?0，?0，k??。???0，由limxn?a，?N1，當n?N1時xn?a??。

(n)

?0，k??，?N2，當n?k?N2時0?qk

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pnq

(n)

k

N

2(n)

??。于是

n

?a?

?q

k?1

(n)k

xn?k?1?a

n

n?N1

?

?

k?1

xn?k?1?a?

?

k?n?N1?1

q

(n)k

xn?k?1?a?

?

k?N2?1

qk

(n)

xn?k?1?a

我們看到，只有中間的項得不到控制。為此我們設法使得中間項不存在，即要求

N2?n?N1?1。為此，只需要n?N1?N2?1即可。因此我們取N?N1?N2?1。

Ex1: 請完成上面的證明。

注意在上面的例題中，我們都利用?xn?的極限來擬合數列的項從而簡化問題。這種方法稱為“擬合法”，它經常與分步法同時應用。這個方法在很多類型的題目中都會用到，今后在出現相關例子時我們再作說明。

我們看到，如果在例3中取pk?1，則得到例2。一個更一般的題目如下： 例4 設xn?a,yn?b(n??)，則lim

n

k

n??

x?n

k?1

yn?k?1?ab?lim

n

k

n??

x?n

k?1

yk。

Ex2：證明例4。

n

例5 設x?0時f(x)?x。xn?

n

?

i?1

?2i?1?f?a?，a?0，證明xn?a。2?n?a?a。于是

證明：用x擬合f(x)，則xn?

n

?

i?1

2i?1n

xn?a?

?

i?1n

??2i?1?2i?1?a??a? 22?f?

n???n??2i?1?2i?1

f?a??a。22

n?n?

?

?

i?1

由假設，???0，???0，當0?x??時有f(x)?x??x。取N??則當n?N時，對1?i?n有0?從而

n

?2a?

?，???

2i?1n

a?

2n

a??，xn?a?

?

i?1

?2i?1?2i?1f?a??a 22

n?n?

n

??

?

i?1

(2i?1)an

?a??。

因此由極限的定義有xn?a。

□

例6 設an?a，證明lim

?a?aC?aC???an??a。1n2nn?0?2

n??

提示：利用1?

n

n

?C

k?0

k

n

以及lim

n??

Cn2

n

k

?0(k?1,2,?,n)。

二、極限的基本性質與應用

1．極限的性質

1）收斂數列（函數）的（局部）有界性

2）保號、保序性

2．極限的四則運算：條件—在極限存在且四則運算有意義。

例7若xn?a?0，證明存在自然數N，當n?N時證明：取??

a2

a2

?xn?

a。

?0，由xn?a，存在自然數N，當n?N時有

a2?

a2?xn?

32a。

xn?a???

□

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經常出現的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內，那么妙限制飛的假象出現了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發生在上路郭嘉妙關的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現非瞬發限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應時間小于0.1S，所以我們經常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質和水平的體現。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：第4講函數極限及性質2009

《數學分析I》第4講教案

第4講函數極限概念及其性質

講授內容

一、x趨于?時函數的極限

例如，對于函數f(x)?

1x，當x無限增大時，函數值無限地接近于0；而對于函數g(x)=arctanx，則

?

2當x趨于+?時函數值無限地接近于．

定義1設f為定義在[a,??)上的函數，A為定數．若對任給的?>0，存在正數M(?a)，使得當x>M時有 |f(x)?A|

則稱函數f當x趨于+?時以A為極限，記作limf(x)?A.x??

定義1的幾何意義如圖3—1所示，對任給的?>0，在坐標平面上平行

于x軸的兩條直線)y?A??與y?A??，圍成以直線y?A為中心線、寬為2?的帶形區域；定義中的“當x>M時有|f(x)?A|??”表示：在直線x?M的右方，曲線y=f(x)全部落在這個帶形區域之內．如果正

數?給得小一點，即當帶形區域更窄一點，那么直線x?M一般要往右平移；但無論帶形區域如何窄，總存在這樣的正數M，使得曲線y?f(x)在直線x?M的右邊部分全部落在這更窄的帶形區域內.limf(x)?A或 f(x)?A(x???)；

x???

limf(x)?A或f(x)?A(x??).x??

這兩種函數極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“x?M”分別改為“x??M或”x?M"．不難證明：若f為定義在U(?)上的函數，則limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A

x??

x???

x???

例1 證明lim

1x

x??

?0

證：任給??0，取??

?，則當：x??時有

?

1x

?0?

1x

?

1?

??，所以lim

1x

x??

?0。

例2證明：（1）limarctanx??

x???,(2)limarctanx?

x???

?

.注：當x??時arctanx不存在極限．

二、x趨于x0時函數的極限

定義2(函數極限的???定義)設函數f在點x0的某個空心鄰域U(x0;?)內有定義，?為定數．若

'

對任給的??0存在正數?(??)，使得當0?x?x0??時有 f(x)????，則稱函數f當x趨于x0。

'

時以?為極限，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)

x?x0

舉例說明如何應用???定義來驗證這種類型的函數極限．特別講清以下各例中?的值是怎樣確定的．

例3設f(x)?

x?4x?

2，證明limf(x)?4.x?2

證：由于當x?2時，f(x)?4?

x?4x?2

?4?x?2?4?x?2，故對給定的??0，只要取???，則當0?x?2??時有f(x)?4??，這就證明了limf(x)?

4x?2

例4證明：limsinx?sinx0;limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

證：先建立一個不等式：當0?x?

?

時有sinx?x?tanx(1)?

事實上，在如圖3?2的單位圓內，當0?x?

時，顯然有

S?OCD?S扇形OAD?S?OAB即又當x?

?

sinx?

x?

tanx，由此立得(1)式．

時有sinx?1?x，故對一切x?0都有sinx?x，當x?0時，由sin(?x)??x得?sinx??x綜上，我們得到不等式sinx?x,x?R，其中等號僅當x?0時

x?x0

x?x0

成立．而sinx?sinx0?2cos

sin

?x?x0．

對任給的??0,只要取???，則當0?x?x0??時，就有sinx?sinx0??．

所以limsinx?sinx0.可用類似方法證明limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

例證明lim

x?12x?x?

1x?1

?

3．x?132x?1

證：當x?1時有

x?12x?x?1

?

?

x?12x?1

?

?

若限制x于0?x?1?1（此時x?0）則2x?1?1，于是，對任給的??0只要取??min{3?,1}，則當

x?12x?x?1

0?x?1??時，便有?

?

x?13

??．

例6證明

x?x0

lim?x

?

?x0(x0?1)

證：由于x?1,x0?1 因此?x??x

?

x0?x1?x

??x

?

x?x0x?x0

?x

?

2x?x0?x

于是，對任給的??0（不妨設0???1）取 ??

?x02

?，則當0?x?x0??時，就有1?x??x0??．

關于函數極限的???定義的幾點說明：

（1）定義2中的正數?，相當于數列極限???定義中的?，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定．一

??

般來說，?愈小，?也相應地要小一些，而且把?取得更小些也無妨．如在例3中可取??或??等等．

（2）定義中只要求函數f在x0的某一空心鄰域內有定義，而一般不考慮f在點x0處的函數值是否有定義，或者取什么值．這是因為，對于函數極限我們所研究的是當x趨于x0過程中函數值的變化趨勢．如在例3中，函數f在點x?2是沒有定義的，但當x?2時f的函數值趨于一個定數．

（3）定義2中的不等式0?x?x0??等價于x?U

?x0;??,，而不等式

f?x?????等價于

f?x??U??;??．

下面我們討論單側極限．

?x2,x?0

例如，函數 f?x???(I)

?x,x?0

當x?0而趨于0時，應按f?x??x2來考察函數值的變化趨勢；當x?0而趨于0時，則應按f?x??x.定義3設函數f在U??x0;?

'

??或U?x

0?

;?

'

??內有定義，?為定數．若對任給的?

?0，存在正數

????

'

?，使得當x

?x?x0??,?

?

x0???x?x0?時有f?x?????

則稱數?為函數f當x趨于x0(或x0)時的右(左)極限，記作

?

limf?x????limf?x????或f?x????x?x0?f?x???x?x0

x?x0

?

???

?x?x0

?

??

?

??

右極限與左極限統稱為單側極限．f在點x0的右極限與左極限又分別記為f?x0?0??limf?x?與f?x0?0??limf?x?

x?x0

?

?

x?x0

按定義3容易驗證函數(I)在x?0處的左、右極限分別為f?0?0??limf?x??limx?0，f?0?0??lim

x?0

?

x?0

?

f?x??lim?x

?

?0

x?0

x?0

同樣還可驗證符號函數sgnx在x?0處的左、右極限分別為limsgnx?lim??1???1,limsgnx?lim1?

1x?0

?

x?0

?

x?0

?

x?0

?

定理3.1limf?x????limf?x??limf?x???

x?x0

x?x0

?

x?x0

?

三、函數極限的性質

定理3.2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證：設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得： 當0?x?x0??1時有f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有f?x?????，(2)取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U

x?x0

?x0?內有界．

證：設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U

x?x0

?x0;??有

?x0;??內有界．

f?x????1?f?x????1，這就證明了f在U

定理3.4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或r???)，存在x?x0

U

?x0?，使得對一切x?U0?x0?有 f?x??

r?0（或f?x???r?0）

證：設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切x?Uf?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

?x0;??

注：在以后應用局部保號性時，常取r?

A2

．

定理3.5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U

x?x0

x?x0

?x

;?

'

?內有f?x??g?x?則

x?x0

limf?x??limg?x?

x?x0

證：設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使得當0?x?x0??1

x?x0

x?x0

時有????f?x?，當0?x?x0??2 時有g?x?????，令??min??,?1,?2?，則當0?x?x0??時，有????f?x??g?x?????，'

從而????2?．由?的任意性推出???，即limf?x??limg?x?成立．

x?x0

x?x0

第四篇：第2講數列極限及其性質2009

《數學分析I》第2講教案

第2講數列極限概念及其性質

講授內容

一、數列極限概念

數列 a1,a2,?,an,?,或簡單地記為{an}，其中an，稱為該數列的通項．

關于數列極限，先舉二個我國古代有關數列的例子．（1）割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽.n

22園內接正n邊形的面積An?

Rsin

2?n

sin

(n?3,4,?），當n??時，An??R

2?nn

??R

2?

（2）古代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，??，第n天截下

n，??這樣就得到一個數列

22,2,?,?1?,?．或?n?.n2?2?

不難看出，數列{}的通項

n

隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對于數列{an}，若當n無

限增大時an能無限地接近某一個常數a，則稱此數列為收斂數列，常數a稱為它的極限．不具有這種特性的數列就不是收斂數列．下面我們給出收斂數列及其極限的精確定義．

定義1設{an}為數列，a為定數．若對任給的正數?，總存在正整數N，使得當，n>N時有|an?a|??則稱數列{an收斂于a，定數a稱為數列{an}的極限，并記作liman?a，或an?a(n??).讀作“當n

n??

趨于無窮大時，an的極限等于a或an趨于a”．

若數列{an}沒有極限，則稱{an}為發散數列．下面舉例說明如何根據??N定義來驗證數列極限．

二、根據??N定義來驗證數列極限

例2證明lim

1n

?

n??

?0，這里?為正數

?,故對任給的?>0，只要取N=?

1????

?

??1，則當n?N時，便有 ??

證：由于 |

1n

?

?0|?

1n

?

1n

?

?

1N

?

??即|

1n

?

?0|??.這就證明了lim

1n

?

n??

?0.例3證明lim

3n

n??

n?33n

?3.分析由于|

n?

3?3|?

9n?3

?

9n

(n?3).因此，對任給的?>o，只要

9n

??，便有

|

3n

n?3

?3|??,即當n?

時，(2)式成立．故應取N?max{3, ??

999

證任給??0,取N?max{3,據分析，當n?N時有|2?3|??,式成立.于是本題得證.?n?3

n

例4證明limq=0，這里|q|<1．

n??

3n

證若q=0，則結果是顯然的．現設0<|q|<1．記h?

1|q|

?1，則h>0．我們有

|q?0|?|q|?

11?nh

nn

1(1?h)

n,并由(1?h)?1+nh得到|q|?

|q?0|??，這就證明了limq

n??

n

nn

?

1nh

.對任給的??0,只要取N?

?h,則當n?N時，得

n

?0.注：本例還可利用對數函數y?lgx的嚴格增性來證明，簡述如下：對任給的?>0(不妨設?<1)，為使

n

n

只要nlg|q|?lg?即n?|q?0|?|q|??，lg?lg|q|

（這里0?|q|?1).于是，只要取N?

lg?lg|q|

即可。

例5證明lim

n

n??

a?1，其中a>0．

證：(ⅰ)當a?1時，結論顯然成立.(ⅱ)當a?1時，記??an?1，則??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得

an?1?

a?1n.（1）

任給??0，由(1)式可見，當n?

a?1

?

?N時，就有an?1??，即|an?1|??.所以lim

n??

a?1.(ⅲ)當0?a?1時，,１

n

－１??，則??0.由

a

?1

?1?n

?(1??)?1?n??1?n??1???得 a?a?1

1?a

n

?

a

?1n.a?

a

?1

?1

n.?1

（2）

任給??0，由（2式可見，當n?１?

a?1

?

?N時，就有1?an??，即|an?1|??.所以lim

n

n??

a?1.關于數列極限的?—N定義，應著重注意下面幾點：

1．?的任意性：盡管?有其任意性，但一經給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既

?

2時任意小的正數，那么,3?或?等等同樣也是任意小的正數，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用

?,3?或?等來代替．

2．N的相應性：一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強調N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的.3．從幾何意義上看，“當n>N時有|a?a|??”意味著：所有下標大于N的項aｎ都落在鄰域U(a;?)內；而在U(a;?)之外，數列{an}中的項至多只有N個(有限個)．

定義2若liman?0，則稱{an}為無窮小數列．由無窮小數列的定義，不難證明如下命題：

n??

n

定理2.1數列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數列．

三、收斂數列的性質

定理2.2(唯一性)若數列{an}收斂，則它只有一個極限．

定理2.3(有界性)若數列{an}收斂，則{an}為有界數列，即存在正數M，使得對一切正整數有|an|?M.證：設liman?a取??1，存在正數N，對一切n>N有

n??

|an?a|?1即a?1?an?a?1.記M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|},則對一切正整數n都有an?M．注：有界性只是數列收斂的必要條件，而非充分條件．例如數列??1?定理2.4(保號性)若liman?a?0

n??

?

n

?有界，但它并不收斂．

?(a,0

(或<0)，則對任何a??(0,a)(或a?，存在正數N，使

得當n?N時有an?a?(或an?a?)．

證：設a?0．取??a?a?(>0)，則存在正數N，使得當n?N時有a???an?a??，即

an?a???a?，這就證得結果．對于a?0的情形，也可類似地證明．

注：在應用保號性時，經常取a??

a2

.即有an?

a2，或an?

a2

定理2.5(保不等式性)設?an?與?bn?均為收斂數列．若存在正數N0，使得當n?N0時，有an?bn，則liman?limbn.n??

n??

請學生思考：如果把定理2.5中的條件an?bn換成嚴格不等式an?bn，那么能否把結論換成liman?limbn?，并給出理由.n??

n??

例1設an?0?n?1,2,??．證明：若liman?a,則lim

n??

n??

an?

a.證：由定理2.5可得a?0.若a?0，則由liman?0，任給??0，存在正數N，使得當n?N時有an??，從而an??即

n??

an?0??,故有lim

n??

an?0.an?aan?

a

an?a

a

若a?0，則有

an?

a??

.任給??0，由liman?a，存在正數N，使得當

n??

n?N時有an?a?

a?,從而

an?

a??．故得證．

第五篇：數列極限的定義

Xupeisen110高中數學

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

?

1n

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任

意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數學

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時

n??

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設?是任意給定的小正數

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當n?N時，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??