第一篇：1.4極限的性質與四則運算法則

第四節 極限的性質與四則運算法則

教學目的：使學生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限； 教學重點：有理函數極限的計算； 教學過程：

一、復習無窮大和無窮小的概念及性質

二、講解新課：

一、函數極限的性質 定理1：（保號性）設limf(x)?A，x?x0（i）若A?0(A?0)，則???0，當x?U(x0,?)時，f(x)?0(f(x)?0)。（ii）若f(x)?0(f(x)?0)，必有A?0(A?0)。

?A證明：（i）先證A?0的情形。取??，由定義，對此?,???0，當x?U(x0,?)時，2AAAA3Af(x)?A???，即0??A??f(x)?A???f(x)?0。

22222A 當A?0時，取???，同理得證。

2?（ii）(反證法)若A?0，由(i)?f(x)?0 矛盾，所以A?0。

當f(x)?0時，類似可證。

注：(i)中的“?”，“?”不能改為“?”，“?”。

在(ii)中，若f(x)?0，未必有A?0。

二、極限四則運算法則

由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：若limf(x)?A,limg(x)?B，則lim[f(x)?g(x)]存在，且lim[f(x)?g(x)]?A?B?limf(x)?limg(x)。

證明： 只證lim[f(x)?g(x)]?A?B，過程為x?x0，對???0,??1?0，當

有f(x)?A?0?x?x0??1 時，時，有g(x)?B?

?2，對此?，??2?0，當0?x?x0??2?2，取??min{?1,?2}，當0?x?x0??時，有(f(x)?g(x))?(A?B)?(f(x)?A)?(g(x)?B)?f(x)?A?g(x)?B??2??2??

所以lim(f(x)?g(x))?A?B。

x?x0 其它情況類似可證。

注：本定理可推廣到有限個函數的情形。

定理2：若limf(x)?A,limg(x)?B，則limf(x)?g(x)存在，且

limf(x)g(x)?AB?limf(x)?limg(x)。

證明：因為limf(x)?A,limg(x)?B，?f(x)?A??,g(x)?B??,（?,?均為無窮?。?f(x)g(x)?(A??)(B??)?AB?(A??B????)，記

??A??B????，??為無窮小，?limf(x)g(x)?AB。推論1：lim[cf(x)]?climf(x)（c為常數）。推論2：lim[f(x)]n?[limf(x)]n（n為正整數）。

定理3：設limf(x)?A,limg(x)?B?0，則limf(x)Alimf(x)??。g(x)Blimg(x)證明：設f(x)?A??,g(x)?B??（?,?為無窮小），考慮差：

f(x)AA??AB??A????? g(x)BB??BB(B??)其分子B??A?為無窮小，分母B(B??)?B2?0，我們不難證明

1B(B??)有界（詳細過程見書上）?f(x)A?。g(x)BB??A?f(x)A???，為無窮小，記為?，所以

B(B??)g(x)B?lim注：以上定理對數列亦成立。

定理4：如果?(x)??(x)，且lim?(x)?a,lim?(x)?b，則a?b?！纠?】lim(ax?b)?limax?limb?alimx?b?ax0?b。

x?x0x?x0x?x0x?x0【例2】limxn?[limx]n?x0。

x?x0x?x0n推論1：設f(x)?a0xn?a1xn?1????an?1x?an為一多項式，當

x?x0limf(x)?a0x0?a1x0nn?1????an?1x0?an?f(x0)。

推論2：設P(x),Q(x)均為多項式，且Q(x0)?0，則lim

【例3】lim(x2?5x?10?12?5?1?1??3。

x?1P(x)P(x0)。?x?x0Q(x)Q(x0)x3?7x?903?7?0?95???30?0?3?0）【例4】lim5（因為。5x?0x?x?30?0?3

注：若Q(x0)?0，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。

x2?x?2【例5】求lim2。

x?12x?x?3解：當x?1時，分子、分母均趨于0，因為x?1，約去公因子(x?1)，x2?x?2x?23?lim?。所以 lim2x?12x?x?3x?12x?3513?3)。

x??1x?1x?113,3解：當x??1,全沒有極限，故不能直接用定理3，但當x??1時，x?1x?1【例6】求lim(13(x?1)(x?2)x?2，所以 ?3??22x?1x?1(x?1)(x?x?1)x?x?1lim(13x?2?1?2?3)?lim2???1。x?1x?1x??1x?x?1(?1)2?(?1)?1x??1x2【例7】求lim。

x?2x?2解：當x?2時，x?2?0，故不能直接用定理5，又x2?4，考慮：limx?2x?22?2??0，24xx2??。

?limx?2x?2x2?ax?b【例8】若lim?3，求a,b的值。

x?1sin(x2?1)當x?1時，sin(x2?1)~x2?1，且lim(x?ax?b)?0

x?12a?b?1?0, b=?(a?1)

x2?ax?bx2?ax?(a?1)(x?1)(x?a?1)??x2?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)x2?ax?ba?2lim??32x??1 x?12a?4, b??5【例9】設a0?0,b0?0,m,n為自然數，則

?a0?b0a0xn?a1xn?1????an????0 limx??bxm?bxm?1????b01m?????當n?m時當n?m時。當n?m時證明：當x??時，分子、分母極限均不存在，故不能用§1.6定理5，先變形：

aaa0?1????nnn?1nax?a1x????ann?mxx lim0m ?limx?x??bx?bxm?1????bx??bb01mb0?1????mxxm?a0?0????0當n?m時?1?b?0????0?0??a?0????0當n?m時

??0?0?b0?0????0?a?0????0?0?當???bn?m時0?0????0【例10】求lim12nn??(n2?n2????n2)。

解：當n??時，這是無窮多項相加，故不能用定理1，先變形：

原式?lim11n(n?1)n??n2(1?2????n)?limn??n2??limn?1n???1。【例11】證明lim?22n2x?x???1,?x?為x的整數部分。

證明：先考慮1??xx?x?x??x?x，因為x??x?是有界函數，且當x??時，以由有界量與無窮小量的乘積是無窮小，得

limx??x?x??x?0?limx??(1??x??x?x)?0?limx??x?1。

三、課堂練習：

四、布置作業：

1x?0，所

第二篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2 函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?

x???x???x???f?x?；

6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證

設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)

當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界．

x?x0

證

設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有

x?x0

f?x????1?f?x????1 這就證明了f在U0?x0;??內有界．

§3.2 函數極限的性質

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或

x?x0r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證

設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注

在以后應用局部保號性時，常取r?A．

2x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內

x?x0??有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?

（３）

x?x0x?x0

證

設

limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有

x?x0x?x0????

f?x??則limh?x???．

x?x0h?x??g?x?

證

按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當 0?x?x0??1時有，§3.2 函數極限的性質

????f?x?

(7)

當0?x?x0??2時有

g?x?????

(8)

令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x????? 由此得h?x?????，所以limh?x???

x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數

x?x0x?x0f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?；

x?x0x?x0x?x02）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?；

x?x0 又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有

x?x03）limx?x0f?x??g?x?x?x0limf?x?limg?x?．

x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?解

當x?0時有

1?x?x???1，?x??1?

?1??1?x?1?故由迫斂性得：

xlim

而limx??=1

?0?x?0??x?另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：

lim x???1 ?

x?0

?x??x?綜上，我們求得lim x???1

x?0?x?

?1??1??1??1?§3.2 函數極限的性質

例 2求lim?xtanx?1?x??

4解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosxsixn?sin?

limx???442?limcoxs，?2x?4并按四則運算法則有

limsinx?xtanx?1?=limx?

limx?x?

?4?4x??4limcosx

x?

1=?lim?x?4???1 44例 3求lim?3??1?3?．

x??1x?1x?1??解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?

213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1??1????1??1lim例4

證明lima?1?a?1? xx?0

證

任給??0(不妨設??1)，為使

x

a?1??

（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1??? 于是，令

x（當a?1時）的嚴格增性，只要

??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2函數極限的性質

Ⅰ.教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理并會利用這些定理證明相關命題.2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.Ⅱ.教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.難點: 函數極限的性質的證明及其應用.Ⅲ.講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限為代表來敘述并證明這些性質．至于其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x?????，(1)當0?x?x0??2時有

f?x?????，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U0?x0?內有界． x?x0

證設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在U0?x0;??內有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數r??（或x?x0

r???)，存在U0?x0?，使得對一切x?U0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?U0?x0;??

f?x??????r，這就證得結論．對于??0的情形可類似地證明．

注在以后應用局部保號性時，常取r?A．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U0x0;?'內x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0

得當0?x?x0??1時有

????f?x?，當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，于是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=Ａ，且在某U0x0;?'內有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當0?x?x0??1時有，2????f?x?(7)當0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立，故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數 x?x0x?x0

f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似于數列極限中的相應定理，留給學生作為練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較復雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當x?0時有

1?x?x???1，?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x??1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的，cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs，?2x?4

并按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1

4例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0(不妨設??1)，為使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（當a?1時）的嚴格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????，則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

Ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，并利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.Ⅴ 課外作業: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：數列極限的運算性質

極限的運算

教學目標

1．熟練運用極限的四則運算法則，求數列的極限．

2．理解和掌握三個常用極限及其使用條件．培養學生運用化歸轉化和分類討論的思想解決數列極限問題的能力．

3．正確認識極限思想和方法是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種辯證唯物主義的思想． 教學重點與難點

使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件． 教學過程

（一）運用極限的四則運算法則求數列的極限

師：高中數學中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉化成三個常用極限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）來解決。

n??n??n??n例1：求下列極限：

7n3?3n2?n?(1)lim 3n??4n?1

師：（1）中的式子如何轉化才能求出極限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限．

師：（2）中含有冪型數，應該怎樣轉化？

師：分子、分母同時除以3n-1結果如何？ 生：結果應該一樣．

師：分子、分母同時除以2或2，能否求出極限？

n

n-

1（二）先求和再求極限 例2 求下列極限：

由學生自己先做，教師巡視．

判斷正誤．

生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數列加、減、乘、除的情況．此題當n→∞，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的．

師：解法2先用等差數列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限．第（2）題應該怎樣做？

生：用等比數列的求和公式先求出分母的和．

=12． 師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件．

例3求下列極限：

師：本例也應該先求出數列的解析式，然后再求極限，請同學觀察所給數列的特點，想出對策．

生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形．

生：（2）題是分數和的形式，可以用“裂項法”變形．

例4設首項為1，公比為q（q＞0）的等比數列的前n項和為Sn，師：等比數列的前n項和Sn怎樣表示？

師：看來此題要分情況討論了．

師：綜合兩位同學的討論結果，解法如下：

師：本例重點體現了分類討論思想的運用能夠使復雜問題條理化．同

（三）公比絕對值小于1的無窮等比數列前n項和的極限 師：利用無窮等比數列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數列各項和的公式：

例5計算：

題目不難，可由學生自己做． 師：（1）中的數列有什么特點？

師：（2）中求所有奇數項的和實質是求什么？

（1）所給數列是等比數列；（2）公比的絕對值小于1；

（四）利用極限的概念求數的取值范圍

師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了．

師：同學能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？ 生：先求極限．

師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？

|q|＜1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍．

解得0＜m＜4．

師：請同學歸納一下本課中求極限有哪些類型？ 生：主要有三種類型：

（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數列的極限；（2）先求數列的前n項和，再求數列的極限；（3）求公比絕對值小于1的無窮等比數列的極限． 師：求數列極限應注意的問題是什么？ 生甲：要注意公式使用的條件．

生乙：要注意有限項和與無限項和的區別與聯系．

上述問答，教師應根據學生回答的情況，及時進行引導和必要的補充．

（五）布置作業 1．填空題：

2．選擇題：

則x的取值范圍是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作業答案或提示

（7）a． 2．選擇題：

（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程

以上習題教師可以根據學生的狀況，酌情選用． 課堂教學設計說明

1．掌握常用方法，深化學生思維． 數學中對解題的要求，首先是學生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當問題解決以后，教師要引導學生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應該對常用方法所體現的思維方式進行深入探討，內化為自身的認知結構，然后把這種思維方式加以運用．例1的設計就是以此為目的的．

2．展示典型錯誤，培養嚴謹思維． 第二課時

數列極限的運算性質

教學目標：

1、掌握數列極限的運算性質；會利用這些性質計算數列的極限

2、掌握重要的極限計算公式：lim(1+1/n)n=e 教學過程：

一、數列極限的運算性質

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(an?bn)= liman? limbn =A?B（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B?0，bn?0）注意：運用這些性質時，每個數列必須要有極限，在數列商的極限中，作為分母的數列的項及其極限都不為零。

數列的和的極限的運算性質可推廣為：如果有限個數列都有極限，那么這有限個數列對應各項的和所組成的數列也有極限，且極限值等于這有限個數列的極限的和。類似地，對數列的積的極限的運算性質也可作這樣的推廣。注意：上述性質只能推廣為有限個數列的和與積的運算，不能推廣為無限個數列的和與積。

二、求數列極限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應用商的極限運算性質進行計算。為了能應用極限的運算性質，可利用分式的性質先進行變形。在變形時分子、分母同時除以分子、分母中含n的最高次數項。

4、一個重要的數列極限

我們曾經學過自然對數的底e?2.718，它是一個無理數，它是數列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e（證明將在高等數學中研究）求下列數列的極限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n ?(1+1/n)n ?(1+1/n)=e?e?1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底數的兩項中，一項為1，另一項為3/n，其中分子不是1，與關于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標是將分子中的3變為1，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時除以3，但這樣又出現了新的矛盾，即分母中的n/3與指數上的n以及取極限時n??不相一致，為此再將指數上的n改成n/3?3，又因為n??與n/3??是等價的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

練習：計算下列數列的極限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=1?8=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3?(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第五篇：第二講 極限的定義與基本性質

第二講 極限的定義與基本性質

一、數列極限及其性質

1．數列極限的定義：

?xn?收斂于a????0，?N?N，s.t.xn?a??,?n?N。

值得注意的是：1）N依賴于?，但不唯一，而?事先給定；

2）不等式xn?a??中的?可以用K?來代替，其中K?0不依賴于N,?；

3）N可以通過xn?a??得到，需要解不等式或作適當的放大。

例1 證明：?a?0，an

n!

n?0。

分析：直接求解不等式

時 an!用放大法。記m?[a]，則當n?m?0??是不現實的。

n!?1?2???m(?

從而 1?)n?m(??1n)?m?(n?m，1)

?a?m????(m?1)，n!?m?1?

注意到a?[a]?1?m?1，因此0?

即可。

證明：???0，不妨設??1。記m?[a]，取N??ann??m?(m?1)??從而只要解??1，?m?1?m?1?aan?mln(m?1)?ln???，則當

?ln(m?1)?lna?

n?N時有

?a?m?0???(m?1)??，?n!?m?1?

因此由極限定義得annan

n!?0。

□

2．用定義證明極限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法與擬合法

例2 設xn?a，證明x1???xn

n?a。

分析：若把?xn?中每項看成a，則

x1???xn

n的值恰為a，因此

n

x1???xn

n

?a?

1n

n

?(x

i?

1i

?a)?

?n

i?1

xi?a。

其余要借助假設xn?a來證明。給定??0，?N，當n?N時xn?a??，因此不能控制的項為x1?a,x2?a,?,xN?a。但好在這種項只有N項，從而可以調整n來控制它們。

證明：???0，由xn?a，?N1，當n?N1時xn?a??/2，從而

x1???xn

nn?N1

n

?a?1

N1

1n

n

?(x

i?1

i

?a)?

n

?n

i?1N1i?1

xi?a

??/2?

?n

i?1

xi?a??/2?

?n

xi?a。

又收斂數列有界，不妨設xn?M,?n，則

N1

?n

i?1

xi?a?

N1n

?M?a?。

N1

1?2N1?

(M?|a|)，則當n?N2時令N2????n??

?

i?1

xi?a?

?。

最后，令N?max{N1,N2}，則當n?N時有

x1???xn

n

?a??。因此由極

限定義知

x1???xn

n

?a。

□ 我們看到，這里我們先利用了極限的定義，然后再利用極限的性質（有界性）來完成證

明。

例3 證明：若pk?0(k?1,2,?)且lim

pn

p1?p2???pn

n??

?0，limxn?a。

n??

證明lim

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

n??

?a。

分析：把?xn?中每項看成a，則極限號后面的式子的值恰為a，因此

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

pk

?a?

p1xn?a?p2xn?1?a???pnx1?a

p1?p2???pn。

然后我們在試圖用分步的方法來估計。記qk注意到qk

(k)

(n)

?

p1?p2???pn，k?1,2,?,n，?0，因此若n?k，則當k??時n??，從而

(n)k

0?q因而qk再由qk

(n)

?

pk

p1?p2???pn

n??

?qk

(k)

?0，?0，k??。???0，由limxn?a，?N1，當n?N1時xn?a??。

(n)

?0，k??，?N2，當n?k?N2時0?qk

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pnq

(n)

k

N

2(n)

??。于是

n

?a?

?q

k?1

(n)k

xn?k?1?a

n

n?N1

?

?

k?1

xn?k?1?a?

?

k?n?N1?1

q

(n)k

xn?k?1?a?

?

k?N2?1

qk

(n)

xn?k?1?a

我們看到，只有中間的項得不到控制。為此我們設法使得中間項不存在，即要求

N2?n?N1?1。為此，只需要n?N1?N2?1即可。因此我們取N?N1?N2?1。

Ex1: 請完成上面的證明。

注意在上面的例題中，我們都利用?xn?的極限來擬合數列的項從而簡化問題。這種方法稱為“擬合法”，它經常與分步法同時應用。這個方法在很多類型的題目中都會用到，今后在出現相關例子時我們再作說明。

我們看到，如果在例3中取pk?1，則得到例2。一個更一般的題目如下： 例4 設xn?a,yn?b(n??)，則lim

n

k

n??

x?n

k?1

yn?k?1?ab?lim

n

k

n??

x?n

k?1

yk。

Ex2：證明例4。

n

例5 設x?0時f(x)?x。xn?

n

?

i?1

?2i?1?f?a?，a?0，證明xn?a。2?n?a?a。于是

證明：用x擬合f(x)，則xn?

n

?

i?1

2i?1n

xn?a?

?

i?1n

??2i?1?2i?1?a??a? 22?f?

n???n??2i?1?2i?1

f?a??a。22

n?n?

?

?

i?1

由假設，???0，???0，當0?x??時有f(x)?x??x。取N??則當n?N時，對1?i?n有0?從而

n

?2a?

?，???

2i?1n

a?

2n

a??，xn?a?

?

i?1

?2i?1?2i?1f?a??a 22

n?n?

n

??

?

i?1

(2i?1)an

?a??。

因此由極限的定義有xn?a。

□

例6 設an?a，證明lim

?a?aC?aC???an??a。1n2nn?0?2

n??

提示：利用1?

n

n

?C

k?0

k

n

以及lim

n??

Cn2

n

k

?0(k?1,2,?,n)。

二、極限的基本性質與應用

1．極限的性質

1）收斂數列（函數）的（局部）有界性

2）保號、保序性

2．極限的四則運算：條件—在極限存在且四則運算有意義。

例7若xn?a?0，證明存在自然數N，當n?N時證明：取??

a2

a2

?xn?

a。

?0，由xn?a，存在自然數N，當n?N時有

a2?

a2?xn?

32a。

xn?a???

□