第一篇：大數定律及中心極限定理基本性質（寫寫幫推薦）

大數定律及中心極限定理基本性質

大數定律及中心極限定理基本性質

大數定律及中心極限定理基本性質

大數定律及中心極限定理基本性質

大數定律及中心極限定理基本性質

第二篇：第五章 大數定律及中心極限定理

第五章

大數定律及中心極限定理

概率統計是研究隨機變量統計規律性的數學學科，而隨機現象的規律只有在對大量隨機現象的考察中才能顯現出來。研究大量隨機現象的統計規律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理進行研究。極限定理的內容非常廣泛，本章中主要介紹大數定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機變量離差平方的數學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數ε>0，有:

或：

［例5-1］設X是拋擲一枚骰子所出現的點數，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當ε=2時，當ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設電站供電網有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6 800～7 200的概率。

解：設X表示在夜晚同時開著的電燈的數目，它服從參數n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應7 000盞燈的電力就能夠以相當大的概率保證夠用。

[例5-3補充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數定律

在第一章中曾經提到過，事件發生的頻率具有穩定性，即隨著試驗次數增多，事件發生的頻率將逐漸穩定于一個確定的常數值附近。另外，人們在實踐中還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩定性，即平均結果的穩定性。大數定律以嚴格的數學形式表示證明了在一定的條件下，大量重復出現的隨機現象呈現的統計規律性，即頻率的穩定性與平均結果的穩定性。

5.2.1 貝努利大數定律

定理5-2 設m是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A的概率，則對任意正數ε，有

貝努利大數定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩定值。

5.2.2 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律

先介紹獨立同分布隨機變量序列的概念。

稱隨機變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。

定理5-3 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經過算術平均后得到的隨機變量在統計上具有一種穩定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數定律的含義。在概率論中，大數定律是隨機現象的統計穩定性的深刻描述；同時，也是數理統計的重要理論基礎。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量 的分布函數為Fn（x），則對于任意實數x，有

（不證）

其中φ（x）為標準正態分布函數。

由這一定理知道下列結論：

（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態隨機變量之和服從正態分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當n充分大時，其和Zn近似服從正態分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標準化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值 的分布近似于正態分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標的炮彈數是一個隨機變量，其數學期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率。解 設Xi為第i次射擊時命中目標的炮彈數（i=1,2,…,100），則中命中目標的炮彈總數，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數分布。現隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Zn是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A發生的概率，則對于任意實數x

其中q=1-p,φ（x）為標準正態分布函數。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發生的概率為p。又設Zn為n次獨立重復試驗中事件A發生的頻數，則當n充分大時，Zn近似服從正態分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發生的概率為p，發生的頻率，則當n充分大時，近似服從正態分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設同時開著的燈數為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復試驗中事件A

【例5-6】設某單位內部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設X為1000臺分機中同時使用外線的分機數，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據題意，設N為滿足條件的最小正整數

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標準正態分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

小結 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數定律

其中n是試驗次數，m是A發生次數，p是A的概率，它說明試驗次數很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數定律

取值穩定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復事件發生次數，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應用問題。

第三篇：CH5 大數定律及中心極限定理--練習題

CH5 大數定律及中心極限定理

1.設Ф(x)為標準正態分布函數，Xi=?

100?1,事件A發生；?0,事件A不發生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發芽率為0.9的種子中隨機抽取100粒,則這100粒種子的發芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設隨機變量X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標準正態分布函數，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設

5.設X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計

6.設

7.報童沿街向行人兜售報紙，設每位行人買報紙的概率為0.2，且他們買報紙與否是相互獨立的。試求報童在想100為行人兜售之后，賣掉報紙15到30份的概率

8.一個復雜系統由n個相互獨立的工作部件組成，每個部件的可靠性（即部件在一定時間內無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個系統工作。問n至少為多少才能使系統的可靠性為0.95

9.某人有100個燈泡，每個燈泡的壽命為指數分布，其平均壽命為5小時。他每次用一個燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個新的燈泡。求525小時之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨立的隨機變量，且都服從參數為10的指數分布，求 的下界 是獨立同分布的隨機變量，設, 求

第四篇：ch5大數定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發生

1.設Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨立,令

1,事件A發生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設隨機變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設隨機變量X服從參數為0.5的指數分布，用切比雪夫不等式估計P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現的次數大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對任意實數x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設隨機變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設隨機變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計P（|X－_____1/4___________．

5．設隨機變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設Xi=??1,事件A不發生事件A發生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態分布，其方差為___16________。

7．設隨機變量X ~ B（100，0.2），應用中心極限定理計算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設?n為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設隨機變量X～B(100，0.5)，應用中心極限定理可算得P{40

10.設X1,X2,?,Xn是獨立同分布隨機變量序列，具有相同的數學期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當n充分大的時候，隨機變量Zn?

_N(0,1)_______(標明參數).1X?i?1ni的概率分布近似服從

第五篇：第五章、大數定律與中心極限定理

第五章、大數定律與中心極限定理

一、選擇題：

1．若隨機變量X的數學期望與方差分別為EX =1，DX = 0.1，根據切比雪夫不等式，一定有（）

A．P{?1?X?1}?0.9B．P{0?x?2}?0.9

C．P{?1?X?1}?0.9D．P{0?x?2}?0.9

2．設X1,X2,?X9相互獨立，EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9)，根據切比雪夫不等式，???1有（）

A．P{?xi?1??}?1??B．P{?xi?1??}?1???2 9i?1i?1?29

C．P{?2D． x?9??}?1??P{x?9??}?1?9??i?i?

2i?1i?199

3．若X1、X2、2?1000即都?X1000為獨立同分布的隨機變量，且Xi~B(1,p)i?

1、服從參數為p的0-1分布，則（）不正確

100011000

A．Xi?PB．?Xi~B(1000、P)?1000i?1i?

11000

C．P{a??X

i?1i?b}??(b)??(a)

1000

D

．P{a??Xi?b}??i?1?? 1，根據切比雪夫不等式，164．設隨機變量X的數學期望EX = 1，且滿足P{X?1?2}?

X的方差必滿足（）

11B．DX? 16

41C．DX?D．DX?1 2A．DX?

5．設隨機變量X的數學期望EX = 1，方差DX = 1，且滿足P{X?1??}?1，根據切16

比雪夫不等式，則?應滿足（）

A．??4B．??4

C．??

11D．?? 44

二、填空題：

1.若隨機變量X的數學期望與方差分別為EX = 1，DX = 1，且 P{X?1??}?

切比雪夫不等式，?應滿足。

2.若隨機變量X的數學期望與方差均存在，且EX = 1，P{X?1?1}?

夫不等式，DX應滿足。

3.設X1,X2,?,X9相互獨立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據切比雪夫不等式，則???0有P{1，根據41，根據切比雪4?X

i?19i?9??}?。

4.設X1,X2,?,X9相互獨立，且EXi?1,DXi?1,i?1、2、?9，根據切比雪夫不等式，19

則???0有P?Xi?1??}? 9i?

1三、計算題：

1．計算機進行加法計算時，把每個加數取為最接近它的整數來計算。設所有的取整誤差是

相互獨立的隨機變量，并且都在[-0.5,0.5]上服從均勻分布，求：300個數相加時誤差總和的絕對值小于10的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

2． 一顆螺絲釘的重量是一個隨機變量,期望值是1兩,標準差是0.1兩.求一盒

(100個)同型號螺絲釘的重量超過10.2斤的概率.（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

3．已知一本1000頁的書中每頁印刷錯誤的個數服從泊松分布P（0.1），求這本書的印刷錯

誤總數大于120的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）

4．據以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數分布，現隨機地取25只，設他們的壽命是互相獨立的，求這25只元件的壽命總和大于3000小時的概率。

（附：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.99865,?(4)?0.99968）