第一篇：概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5章大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題及答案

第 5 章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、填空題：

1.設(shè)隨機(jī)變量{ EMBED Equation.3 |E(?)??，方差，則由切比雪夫不等式有.2.設(shè)是n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，對(duì)于，寫(xiě)出所滿足的切彼雪夫不等式，并估計(jì).3.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 而且有, , 令, 則對(duì)任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果隨機(jī)變量滿足：與都存在, 則對(duì)任意給定的, 有 , 或者

由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 而且有

所以

4.設(shè)隨機(jī)變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有

.解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機(jī)變量X滿足, 則對(duì)任意的, 有由此得

5、設(shè)隨機(jī)變量，則.6、設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且服從參數(shù)為的泊松分布，則.7、設(shè)表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則.8.設(shè)隨機(jī)變量, 服從二項(xiàng)分布, 其中, 那么, 對(duì)于任

一實(shí)數(shù)x, 有 0.9.設(shè)為隨機(jī)變量序列,為常數(shù), 則依概率收斂于是指 1 ,或 0。

10.設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈, 夜晚每盞燈開(kāi)燈的概率皆為0.8.假設(shè)每盞燈開(kāi)關(guān)是相

互獨(dú)立的, 若隨機(jī)變量X為100盞燈中開(kāi)著的燈數(shù), 則由切比雪夫不等式估計(jì), X落

在75至85之間的概率不小于

.解：, 于是

二．計(jì)算題：

1、在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450至550次之間的概率.解：設(shè)表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

2、一通信系統(tǒng)擁有50臺(tái)相互獨(dú)立起作用的交換機(jī).在系統(tǒng)運(yùn)行期間, 每臺(tái)交換機(jī)能清晰接受信號(hào)的概率為0.90.系統(tǒng)正常工作時(shí), 要求能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)至少45臺(tái).求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：

設(shè)X表示系統(tǒng)運(yùn)行期間能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)臺(tái)數(shù), 則

由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作)

3、某微機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端, 每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用, 若各終端使用與否是相互獨(dú)立的, 試求有不少于10個(gè)終端在使用的概率.解：某時(shí)刻所使用的終端數(shù)7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

4、某校共有4900個(gè)學(xué)生, 已知每天晚上每個(gè)學(xué)生到閱覽室去學(xué)習(xí)的概率為0.1, 問(wèn)閱覽室

要準(zhǔn)備多少個(gè)座位, 才能以99%的概率保證每個(gè)去閱覽室的學(xué)生都有座位.解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為, 要準(zhǔn)備k個(gè)座位.查分布表可得

要準(zhǔn)備539個(gè)座位,才能以99%的概率保證每個(gè)去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位.5．隨機(jī)地?cái)S六顆骰子，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)：六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于9且

不超過(guò)33點(diǎn)的概率。

解：設(shè) ?表 示 六 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) 總 和。

?i，表 示 第 i 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù)，i = 1，2，?，6 ?1，?2，?，?6 相 互 獨(dú) 立，顯 然

6.設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且均服從指數(shù)分布

為 使，問(wèn)： 的最小值應(yīng)如何 ？

解:

由 切 比 雪 夫 不 等 式 得

即 , 從 而 n ? 2000，故 n 的 最 小 值 是 2000

7．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%，問(wèn)至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9? 解： 設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，是其中的次品數(shù)，則，而 所以

由中心極限定理知，當(dāng)n充分大時(shí)，有，由

查表得

8．(1)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必需要有85個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運(yùn)行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假設(shè)有n個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問(wèn)n至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95? 解：(1)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則，由中心極限定理可知

(2)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則

9．一部件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一隨機(jī)變量，相互獨(dú)立且具有同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2 mm，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長(zhǎng)度為20 ? 0.1 mm 時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已 知 ：(0.6)= 0.7257；(0.63)= 0.7357。

解：設(shè) 每 個(gè) 部 分 的 長(zhǎng) 度 為 Xi(i = 1, 2, ?, 10)E(Xi)= 2 = ?, D(Xi)= ? =(0.05)

,依題意，得合格品的概率為

10．計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來(lái)計(jì)算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間[0.5，0.5 ]上服從均勻分布，求1200個(gè)數(shù)相加時(shí)誤 差總和的絕對(duì)值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。

解：設(shè) ?1，?2，?n 表示取整誤差, 因它們?cè)?[0.5，0.5 ] 上服從均勻分布，故 有

根 據(jù) 同 分 布 的 中 心 要 極 限 定 理，得

=(1)(1)= 2(1)1 = 2 ? 0.84131 = 0.6826

11．將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛--拉普拉斯定理計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概 率。已知 ：(1)= 0.8413；(2)= 0.9772 ； 當(dāng) x > 4 ,(x)=1。

解：設(shè) ? 為 擲 100次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，它服從二項(xiàng)分布B(100，)

這 里

由 隸 莫 佛--拉 普 拉 斯 定 理，得

查 N(0，1)分 布 函 數(shù) 表，得 P{ 60 < ? ? 100 } = 10.977 = 0.023..有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯.如果從中挑4杯, 能將甲種酒全部

挑出來(lái), 算是成功一次.(1)某人隨機(jī)地去猜, 問(wèn)他成功一次的概率是多少？

(2)某人聲稱(chēng)他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒.他連續(xù)試驗(yàn)10次, 成功3次.試推斷他是猜對(duì)的, 還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的).解：(1)設(shè)A={試驗(yàn)成功一次}, 則有

(2)設(shè)X：試驗(yàn)10次成功的次數(shù), 則 由于

因此隨機(jī)事件是一個(gè)小概率事件, 根據(jù)“小概率事件在一次試驗(yàn)中是不大可能發(fā)生的”的原理, 隨機(jī)事件是不大可能發(fā)生的, 但它卻發(fā)生了, 因此我們要以斷定此人確有區(qū)分酒的能力.13.保險(xiǎn)公司新增一個(gè)保險(xiǎn)品種：每被保險(xiǎn)人年交納保費(fèi)為100元, 每被保險(xiǎn)人出事賠付金

額為2萬(wàn)元.根據(jù)統(tǒng)計(jì), 這類(lèi)被保險(xiǎn)人年出事概率為0.000 5.這個(gè)新保險(xiǎn)品種預(yù)計(jì)需

投入100萬(wàn)元的廣告宣傳費(fèi)用.在忽略其他費(fèi)用的情況下, 一年內(nèi)至少需要多少人參

保, 才能使保險(xiǎn)公司在該年度獲利超過(guò)100萬(wàn)元的概率大于95%？

解：設(shè)參保人數(shù)為N人, 則

由

14、證明題 :設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求證： 證：

由切比雪夫不等式得

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第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

4.1 設(shè)D(x)為退化分布：

?1x?0 D(x)???0x?0討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？

11(1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,?

nn解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 設(shè)分布函數(shù)Fn(x)如下定義：

?0?x?nFn(x)???2n?1x??n?n?x?n

x?n問(wèn)F(x)?limFn(x)是分布函數(shù)嗎？ n??解：不是。4.3設(shè)分布函數(shù)列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(x)，且

F(x)為連續(xù)函數(shù)，則{Fn(x)}在(??,?)上一致收斂于F(x)。

證：對(duì)任意的??0，取M充分大，使有

1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M對(duì)上述取定的M，因?yàn)镕(x)在[?M,M]上一致連續(xù)，故可取它的k分點(diǎn)：

x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有

F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，則有

?N時(shí)有 F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1（1）

這時(shí)存在N，使得當(dāng)n|Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1（2）

成立，對(duì)任意的x?(??,?)，必存在某個(gè)i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，時(shí)有 由（2）知當(dāng)n?NFn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)??（3）

Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)??由（1），（3），（4）可得

（4）

Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?，F(xiàn)n(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?即有Fn(x)?F(x)?2?成立，結(jié)論得證。

??n?同時(shí)依概率收斂于隨機(jī)變量?與?，證明這時(shí)必有P(???)?1。

?????0有???????????n?????，故

2????4.5 設(shè)隨機(jī)變量序列證：對(duì)任意的????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0

2?2???即對(duì)任意的??0有P????????0成立，于是有

???1????1?P??????P???????????P???????0

k??k?1?k??k?1?從而P(???)?1成立，結(jié)論得證。

4.6 設(shè)隨機(jī)變量序列??n?，??n?分別依概率收斂于隨機(jī)變量?與?，證明：

PP?????????。?????；（1）?n??n?（2）nn證：（1）因?yàn)??????n??????????n?????????n???????n???故

2??2??????????0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n??

2?2???P?????????成立。即nn2?????（2）先證明這時(shí)必有。對(duì)任給的??0,?2nP?0取

M，當(dāng)

足夠大

M?1??????1?，使有P???????成立，對(duì)取定的2??M??時(shí)有PM，存在N

n?N??n??????1??P??n??????成立.這時(shí)有

M??P??n???M??P??n???2??M?

??n???2??M????n???1???P??P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)}

?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?從而有

P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P(|?n??|?由?,?的任意性知?2n?M)?P(|?n??|?M)?3?2n??P2，同理可證???2，由前述（1）有

2nPP2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2??

故?nP??n??????，結(jié)論成立。

22n4.7 設(shè)隨機(jī)變量序列?nP???a，a?0是一個(gè)常數(shù)，且?n?0，證明

1?nP???1a。

證：不妨設(shè)a?0對(duì)任意的0???a，當(dāng)?n?a??時(shí)有?na?a2?a(?n?a)?a2?a?，??n?a???n?a?????2?????因而?。于是有 ??a??a?a???n???11?? 0?P????????na? ????????n?a???n?a???????n?a????????P?????P?????a????? n?????????????na????na? ???n?a??P????a2?a???P??n?a????0,n??。

??結(jié)論成立。

4.9 證明隨機(jī)變量序列??n?依概率收斂于隨機(jī)變量?的充要條件為：

E?n???0,n??

1??n??證：充分性，令f(x)?x1'，x?0，則f(x)??0,x?0，故f(x)是x(x?0)的21?x(1?x)單調(diào)上升函數(shù)，因而??n??n??????????????1?|???|1???，于是有

n????n????P??n??????P???1??n??1????? ??n???E?0,n??

?1??n??1??對(duì)任意的??0成立，充分性得證。

P?0，令A(yù)????:?n?????，因?yàn)?n????，故存在充分大的N必要性，對(duì)任給的?得當(dāng)n使?N時(shí)有P(A?)??，于是有

??n????n???n????)IA? E?E?IA???E(1????1??n??1????nn?? ?P(A?)???2?，由?的任意性知E?n???0,n??，結(jié)論為真。

1??n???a，bn?b，證明an?n?bn也按4.10 設(shè)隨機(jī)變量?n按分布收斂于隨機(jī)變量?，又?jǐn)?shù)列an分布收斂于a??b。

?0時(shí)為顯然，不妨設(shè)a?0（a?0時(shí)的修改為顯然），證：先證明a?n按分布收斂于a?。a若a?，?，a?n，?n的分布函數(shù)分別記作Fa??x????，F(xiàn)????，F(xiàn)a?n???與Fn???，則Fa??x?=F???，?a?當(dāng)x是Fa?x???的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，是F????的連續(xù)點(diǎn)，于是有

a?x??x?limFa?n(x)?limFn???limF????Fa?(x)n??n???a?n???a?成立，結(jié)論為真。由4.12知?n(an及4.11知?nan?a)?0，再由4.6(1)知?n(an?a)?bn?b，于是由前述結(jié)論

PP?bn?a?n?(an?a)?n?bn按分布收斂于a??b，結(jié)論得證。

4.11設(shè)隨機(jī)變量序列{?n}按分布收斂于隨機(jī)變量?，隨機(jī)變量序列{?n}依概率收斂于常數(shù)a，證明?n??n按分布收斂于??a。

證：記?,?n的分布函數(shù)分別為F(x),Fn(x)，則?連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)任給的??a的分布函數(shù)為F(x?a)，設(shè)x是F(x?a)的時(shí)有

?0，存在??0，使當(dāng)0?????（1）|F(x?a???)?F(x?a)|??由于F(x)在(x?a??,x?a??)只能有有限個(gè)間斷點(diǎn)，可取

0??1??2??，使得x?a??1,x?a??2都是F(?)的連續(xù)點(diǎn)，這時(shí)存在N1，當(dāng)n?N1時(shí)有

|F(x?a??1)?Fn(x?a??1)|??（2）|F(x?a??2)?Fn(x?a??2)|??（3）

對(duì)取定的?1，存在N2，當(dāng)n?N2時(shí)有

P(|?n?a|??1)??于是當(dāng)n?，（2），（4）式有 max(N1,N2)時(shí)，由（1）

（4）

P(?n??n?a)?x?a)?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P(?n?x?a??1)?P(|?n?a|??1)?F(x?a)?3?又因?yàn)?/p>

(5)P(?n?x?a??2)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P{(?n?x?a??2)?(|?n?a|??2)}于是由（1），（3），（4）式有

P(?n??n?a?x?a)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P(?n?x?a??2)?P(|?n?a|??2?F(x?a)?3?|P(?n??n?a?x?a)?F(x?a)|?3?（6）

由（5），（6）兩式可得

由?的任意性即知?n??n按分布收斂于??a，結(jié)論得證。

?0。

P4.12設(shè)隨機(jī)變量序列{?n}按分布收斂于?，隨機(jī)變量序列{?n}依概率收斂于0，證明?n?n證：記?,?n的分布函數(shù)分別為F(x),Fn(x)，對(duì)任給的??0，取a?0,b?0足夠大，使?a,b是F(x)的連續(xù)點(diǎn)且

1?F(b)??,F(?a)??因?yàn)镕n(x)?F(x)，故存在N1，當(dāng)nW

?N1時(shí)有

1?Fn(b)?2?,Fn(?a)?2?令MP?max(a,b)，因?yàn)?n?0，故存在N2，當(dāng)n?N2時(shí)有

P(|?n|??M)??

而

P(|?n?n|??)?P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|?其中I1?M)]}

?M)]}?I1?I2?0，當(dāng)n?max(N1,N2)時(shí)有

P{(|?n?n|??)?(?a??n?b)}?P{(?a??n?b)}?P{(?n??a)?(?n?b)}?Fn(?a)?[1?Fn(b)]?4?因而P(|?n?nP

|??)?I2?5?，由?的任意性知?n?n?0，結(jié)論為真。

4.13 設(shè)隨機(jī)變量?n服從柯西分布，其密度函數(shù)為

pn(x)?證明?nn 22?(1?nx)?0,n??。P證：對(duì)任意的??0，有

n?n1P(|?n|??)??dx???n??(1?t2)dt?1,n?? ???(1?n2x2)?故?n?0,n??。P4.14 設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

??1?p(x)????0其中?0?x??其它P

?0為常數(shù)，令?n?max(?1,?2,?,?n)，證明?n??。

證：對(duì)任意的n，0??n??為顯然，這時(shí)有

nnxP(?n?x)??P(?i?x)???i?1i?110?xdx?()n,0?x??

?P(?n?x)?0,x?0;P(?n?x)?1,x??

對(duì)任意的??0(???)，有

P(|?n??|??)?P(?n????)?(故?n???n)?0,n?? ???P成立，結(jié)論得證。

4.15 設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

?e?(x?a)p(x)???0令?nx?a x?a?min(?1,?2,?,?n)，證明?n?a。

P證：設(shè)?i的分布函數(shù)為F(x)，有

?1?e?(x?a)F(x)???0這時(shí)有

nx?a x?aP(?n?x)??P(?i?)?[1?F(x)]n?e?n(x?a),x?a

i?1對(duì)任意的??0，有 P(|?n?a|??)?P(?n?a??)?e?n??0,n??

故?n?a成立，結(jié)論得證。P4.17設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，都服從(0,1)上的均勻分布，若?nP?(??k)k?1n1n，證明?n?c(c為常數(shù)），并求出c。

證：這時(shí){ln?n}也是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且

E?n??lnxdx??1

0P1nx由辛欽大數(shù)定律知{ln?n}服從大數(shù)定理，即有?ln?i??1，令f(x)?e，則f(x)是直線上

ni?11的連續(xù)函數(shù)，由4.8題知

(??i)?ei?1n1n1nln?ini?1??e?1?c

P結(jié)論成立。

4.18設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量的期望為nP2?k?k?a。

n(n?1)k?1n2證：已知E?n?a，記D?n??，令?n??k?kn(n?1)k?1a，且方差存在，證明

2，則

n2E?n??ka?an(n?1)k?1D?n?對(duì)任給的?4n2(n?1)2?k2?2?k?1n4?n?12

?0，由契貝曉夫不等式有

14?2P(|?n?a|??)?2D?n?2?0,n??

??n?11故?n?a，結(jié)論得證。

2P1n2P24.19設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且D?n??存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明??k??。

nk?1證：這時(shí){?n}仍獨(dú)立同分布，且E?n22?D?n??2??，由辛欽大數(shù)定律知結(jié)論成立。4.21 設(shè)隨機(jī)變量序列{?n}按分布收斂于隨機(jī)變量?，又隨機(jī)變量序列{?n}依概率收斂于常數(shù)?a(a?0),?n?0，則{n?}按分布收斂于?na。

證：由4.7題知1?n??n111PP于是由4.12題有?n(而???0，?)???0，a?naa?11??n?n??n???????n??na?a按分布收斂于（見(jiàn)?a4.10題的證明），因而由4.11題知

按分布收斂于?，結(jié)論成立。a4.22設(shè){?分布。2n}為獨(dú)立同N(0,1)分布的隨機(jī)變量序列，證明n?n?1??k?1n2k的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)1n2P證：這時(shí){?}也為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且E??1，由辛欽大數(shù)定律知??i?又?n?1??1，ni?12n2n服從N(0,1)分布，當(dāng)然弱收斂于N(0,1)分布，由4.21題即知?n按分布收斂于N(0,1)分布，結(jié)論得證。

1?n?4.23 如果隨機(jī)變量序列{?n}，當(dāng)n??時(shí)有2D???k??0，證明{?n}服從大數(shù)定律（馬爾

n?k?1?柯夫大數(shù)定律）

證：由契貝曉夫不等式即得。4.26 在貝努里試驗(yàn)中，事件

A出現(xiàn)的概率為p，令

?n??證明{?n}服從大數(shù)定律。

?1,若在第n次及第n?1次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)

?0，其它證：{?n}為同分布隨機(jī)變量序列，且E?n?E?n2?p2，因而D?n?p2(1?p2)?1，又當(dāng)|i?j|?2時(shí)，?i與?j獨(dú)立，由4.24知{?n}服從大數(shù)定律，結(jié)論得證。

4.28設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，方差存在，又

?an?1?n為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，令?n?n??ii?1，則{an?n}服從大數(shù)定律。證：不妨設(shè)E?n否則令???n?E?n，并討論{?}即可。記E????0。'n'n2n2，又c??|an|??。

n?1?因?yàn)?a???a(??iiii?1i?1k?1nnik)???k(?ai)，故有

k?1i?knnnnn11?22D(?ai?i)?2E{??k(?ai)]?2n2nni?1k?1i?kc2?2(?ai)??0,n?? ?nk?1i?knn2由4.23知{an?n}服從大數(shù)定律，結(jié)論得證。4.30設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，共同分布為

2k1P(?n?2)?k,k?1,2,?

k2試問(wèn){?n}是否服從大數(shù)定律？

答：因?yàn)镋?n存在，由辛欽大數(shù)定律知{?n}服從大數(shù)定律。4.31設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，共同分布為

P(?n?k)??c,k?2,3,?

k2log2k其中c?(?1?1，問(wèn){?n}是否服從大數(shù)定律？)22k?2klogk答：因?yàn)镋?n存在，由辛欽大數(shù)定律知{?n}服從大數(shù)定律。

4.32 如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時(shí)尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率差小于

p的p10，問(wèn)至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？

解：令

?n??上?1第n次試驗(yàn)時(shí)圖釘?shù)募忸^朝 其它?0據(jù)題意選取試驗(yàn)次數(shù)n應(yīng)滿足P(|??i?1nin?p|?p)?0.95，因?yàn)閚比較大，由中心極限定理有 10P(|????i?1nin?p|?12?e?p)?P(|10x22?(?i?1n?p)|?npq1np)10q

1np10q1np?10qdx?0.95故應(yīng)取

1q1np?2，即n?400，但圖釘?shù)撞恐兀忸^輕，由直觀判斷有p?，因而

2p10qq?1，故可取n?400。p4.33 一本書(shū)共有一百萬(wàn)個(gè)印刷符號(hào)，排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為0.0001，校對(duì)時(shí)每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.9，求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。解：令

?i??對(duì)后仍錯(cuò)誤?1第i個(gè)印刷符號(hào)被排錯(cuò)且校 其它?0因?yàn)榕虐媾c校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序，因而

p?P(?i?1)?0.0001?0.1?10?5,P(?i?0)?q?1?p

{?i}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，E?i?p，令?n???ii?1n，其中n?106，由中心極限定理有

b?x22P(?n?15)?P(?n?npnpq?15?npnpq?b)?12????edx

其中b?510?1.58，查N(0,1)分布表即可得P(?n?15)?0.94，即在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于

15個(gè)的概率。

4.34 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年里一個(gè)人死亡的概率為0。006，死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？

（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多大？ 解：保險(xiǎn)公司一年的總收入為120000元，這時(shí)（1）若一年中死亡人數(shù)?120，則公司虧本；（2）若一年中死亡人數(shù)?80，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)?40000元；

若一年中死亡人數(shù)?60，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)?60000元； 若一年中死亡人數(shù)?40，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)?80000元；

令

?i???1第i個(gè)人在一年內(nèi)死亡

?0第i個(gè)人在一年內(nèi)活著則P(?i?1)?0.006?p，記?n???i,n?10000i?1n已足夠大，于是由中心極限定理可得欲求事件的概率為（1）

P(?n?120)?1?P(同理可求得（2）?n?npnpq?120?npnpq?b)?1?12??b??e?x22dx?（其中0b?60)

7.723P(?n?80)?0.995(對(duì)應(yīng)的b?2.59)

P(?n?60)?0.5(對(duì)應(yīng)的b?0)P(?n?40)?0.005(對(duì)應(yīng)的b??2.59)

4.35 有一批種子，其中良種占多少？ 解：令

16，從中任取6000粒，問(wèn)能以0.99的概率保證其中良種的比例與

16相差

第i粒為良種?1 ?i???0第i粒不是良種n11則P(?i?1)?，記p?,?n???i66i?1，其中n?6000，據(jù)題意即要求?使?jié)M足

P(|?nn?1n?|??)?0.99。令q?1?p,b?，因?yàn)閚很大，由中心極限定理有 6npq??np1P(|?|??)?P(?b?n?b)?n6npq由N(0,1)分布表知當(dāng)b?n12??b?be?x22dx?0.99

?2.60時(shí)即能滿足上述不等式，于是知??bnpq?1.25?10?4，即能以n0.99的概率保證其中良種的比例與

16相差不超過(guò)1.25?10。

?44.36 若某產(chǎn)品的不合格率為0.005，任取10000件，問(wèn)不合格品不多于70件的概率等于多少？ 解：令

?1第i件為不合格品?i??第i件為合格品?0則

p?P(?i?1)?0.005，記q?1?p,?n???ii?1n，其中n?10000，記b?70?npnpq，由中心極限定理有

P(?n?70)?P(?n?npnpq?b)?12??b??e?x22dx?0.998

即不合格品不多于70件的概率約等于0.998。

4.37 某螺絲釘廠的不合格品率為0.01，問(wèn)一盒中應(yīng)裝多少只螺絲釘才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解：令

?i??第i只是合格品?1?0第i只是不合格品

則p?P(?i?1)?0.99，記q?1?p,b?100?npnpq,?n???ii?1n，其中n尚待確定，它應(yīng)滿足P(?n?100)?0.05，由中心極限定理有

P(?n?100)?P(查N(0,1)分布表可取b?n?npnpq?b)?12??b??e?x22dx?0.05

103只螺絲釘才能使其中含有??1.65，由此求得n?103，即在一盒中應(yīng)裝100只合格品的概率不小于0.95。

4.39 用特征函數(shù)的方法證明“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。證：設(shè){?in}1?i?n獨(dú)立同二項(xiàng)分布，即

P(?in?1)?pn,P(?in?0)?qn?1?pn,1?i?n

?ni的特征函數(shù)為(qn?pne)，記?n???in,?n的特征函數(shù)記作?n(t)，因?yàn)閚pn??iti?1n，故pn??1?1?o(),qn?1??o()，于是有 nnnn?n(t)?(qn?pneit)n?(1??nn??niteit?o(1))n

11?(eit?1)?(eit?[1??(e?1)?o()]nn?e?(e而e?(eit?1)it?1)?1),n??是參數(shù)為?的普哇松分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的逆極限定理即知定理成立，證畢。

4.40 設(shè)隨機(jī)變量??服從?---分布，其分布密度為

?????1??x?xep?(x)???(?)??0證：當(dāng)?x?0x?0(??0,??0)

??時(shí)，??????的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)分布。

證：??的特征函數(shù)為??(t)?(1?it?)??，易知

??????)??的特征函數(shù)為

g?(t)?e而

?i?t(1?it??e?i?t??ln(1?it?)

1t21it2t3ln(1?)?????o()

??2?3????)itit因而有

t21it3t3t2?i?t??ln(1?)?????o()??,???

232????it故lim???g?(t)?e?t22，所以相應(yīng)的分布函數(shù)弱收斂于N(0,1)分布，命題得證。

4.41設(shè){?n}為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且?n服從(?n,n)上的均勻分布，證明對(duì){?n}成立中心極限定理。

x2n2dx?證：易知E?n?0,D?n?E????n2n32nn，于是

k21B??D?k???n(n?1)(2n?1)

18k?1k?132nnnn32故Bn?3，對(duì)任意的??0，存在N，使當(dāng)n?N時(shí)有

n因而B(niǎo)n??n，從而當(dāng)n?N，??1，3?|x|?Bn?x2dFk(x)?0，若k?n，由此知

1lim2n??Bn??k?1n|x|?Bn?x2dFk(x)?0

即林德貝爾格條件滿足，所以對(duì){?n}成立中心極限定理，結(jié)論得證。4.42 設(shè){?n},{?n}皆為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且

{?n}與{?n}獨(dú)立，其中

11nE?n?0,D?n?1;P(?n??1)?,n?1,2,?，證明：sn??i?i的分布函數(shù)弱收斂于正?2ni?1態(tài)分布N(0,1)。

證：這時(shí){?n?n}仍是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，易知有

E(?n?n)?0,D(?n?n)?E(?n?n)2?E?n2?1

由林德貝爾格---勒維中心極限定理知：sn得證。

4.45 利用中心極限定理證明：

?1??的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布N(0,1)，結(jié)論?niii?1n?nnk??n1??e?,n?? ???2?k?0k!?證：設(shè){?n}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，共同分布為?n?1的Poisson分布，故

E?n?D?n?1,B??D?k?n，由林德貝爾格---勒維中心極限定理知 2nk?1?n?(??E?)???kkn1P(??k?n)?P?k?1?0????Bn2?k?1????由Poisson分布的可加性知

?0??e?t22dt?1,n?? 2??k?1nk服從參數(shù)為n的Poisson分布，因而

nn?nnk?nP(??k?n)??e，但e?0(n??)，所以

n!k?1k?0k!nn?1n?nnk??nnn?n1??e?P(??n)?e?,n?? ?k??k!?n!2k?1?k?0?成立，結(jié)論得證。

第三篇：概率統(tǒng)計(jì)第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理

第一節(jié) 大數(shù)定律（Laws of Large Numbers）

隨機(jī)現(xiàn)象總是在大量重復(fù)試驗(yàn)中才能呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，集中體現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的是頻率的穩(wěn)定性。大數(shù)定律將為此提供理論依據(jù)。凡是用來(lái)說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理統(tǒng)稱(chēng)為大數(shù)定律。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個(gè)。

一 契比雪夫大數(shù)定律

[定理1（契比雪夫的特殊情況）]設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?具有相同的數(shù)學(xué)

期望和方差：E(Xk)??，D(Xk)??(k?1,2,?)，則???0,?1limP?n??

?n

n

?X

k?1

k

?

??????1

?．

【注1】 契比雪夫大數(shù)定律告訴我們：隨機(jī)變量的算術(shù)平均有極大的可能性接近于它們的數(shù)學(xué)期望，這為在實(shí)際工作中廣泛使用的算術(shù)平均法則提供了理論依據(jù).例如，為測(cè)量某個(gè)零件的長(zhǎng)度，我們進(jìn)行了多次測(cè)量，得到的測(cè)量值不盡相同，我們就應(yīng)該用所有測(cè)量值的算術(shù)平均作為零件長(zhǎng)度的近似為最佳。

二 伯努利大數(shù)定律

[定理2（伯努利大數(shù)定律）]設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在nA

每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則事件A發(fā)生的頻率n依概率收斂于事件A的概率p，即???0,limP{|

n??

nAn

?p|??}?1

或

limP{|

n??

nAn

?p|??}?0

【注2】伯努利大數(shù)定律中的nAn，實(shí)際上就是事件A發(fā)生的頻率，定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式

表述了頻率穩(wěn)定于概率的事實(shí)。這樣，頻率的穩(wěn)定性以及由此形成的概率的統(tǒng)計(jì)定義就有了理論上的依據(jù)。

第二節(jié)中心極限定理（Central Limit Theorems）

n

如果X1,X2,?,Xn是同時(shí)服從正態(tài)分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則它們的和?

i?1

Xi

仍

然是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。現(xiàn)在的問(wèn)題是：如果X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并非服從正態(tài)分布，那么它們的和是否還會(huì)服從正態(tài)分布呢？中心極限定理對(duì)此給出了肯定的答復(fù)。所有涉及大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布的定理統(tǒng)稱(chēng)為中心極限定理。由于內(nèi)容非常豐富，我們只介紹其中兩個(gè)。

一 獨(dú)立同分布中心極限定理

[定理3（獨(dú)立同分布中心極限定理）]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn,?相互獨(dú)立，服從同一

分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)???,D(Xk)???0(k?1,2,?)，則對(duì)于任意的x，n

?X

limPn??

k

?n?

?x}?

?

x?t

dt??(x)

．

n

【注3】 定理說(shuō)明，均值為?，方差為?

n

?0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和

?Xk的標(biāo)準(zhǔn)

k?1

化變量Yn

?X

?

k

?n?，當(dāng)n很大時(shí)近似服從N(0,1)；而?

k?1

n

Xk

近似服從N(n?,n?)．

【注4】若記

??2?

X~N??,?

n??

X?

n

?n

Xk，則Yn

?

k?1

近似服從正態(tài)分布N(0,1)；或X近似服從

．

二 棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理

[定理4（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）]

設(shè)隨機(jī)變量Yn?(n?1,2,?)服從參數(shù)為n,p?(0?p?1)的二項(xiàng)分布，則?x?R，有

limPn??

Y?np?x}?

?

x??

?

t22

dt??(x)

．

【注5】 這個(gè)定理的直觀意義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?

p))~?N?0,1?

.【注6】一般的結(jié)論是，不管每個(gè)服從什么分布，只要滿足條件：

1）構(gòu)成和式的X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

2）每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)和的影響要均勻地小

3）構(gòu)成和式的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)要相當(dāng)多，至少在30個(gè)以上

n

那么，它們的和?

i?1

Xi

將近似服從正態(tài)分布。因此，中心極限定理揭示了正態(tài)分布的形成機(jī)

制。例如我們?cè)趯?duì)某經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行定量分析時(shí)，如果在許多種隨機(jī)影響因素中沒(méi)有一個(gè)是起主導(dǎo)作用的，那么就可以把它看成正態(tài)分布來(lái)進(jìn)行分析。

經(jīng)驗(yàn)表明：應(yīng)用中大量的獨(dú)立隨機(jī)變量的和，都可以看成近似地服從正態(tài)分布。例

如測(cè)量誤差，炮彈落點(diǎn)離開(kāi)目標(biāo)的偏差以及產(chǎn)品的強(qiáng)度，折斷力，壽命等質(zhì)量指標(biāo)均屬于此列。這樣，由于中心極限定理的出現(xiàn)和應(yīng)用，更加顯示出了正態(tài)分布的重要。

三 中心極限定理在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1.同分布獨(dú)立和?Xk的概率的計(jì)算

k?1n

例1 每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為 100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克．一箱內(nèi)裝200袋

味精，求一箱味精的凈重大于20200克的概率．

200

解：設(shè)每袋味精的凈重為Xk?k?1,2,?,200?，則一箱味精的凈重為?

k?1

200

Xk，又

E?Xk??100,??10

.由中心極限定理知?

k?1

Xk

近似地服從正態(tài)分布。所以

?200??200?P??Xk?20200??1?P??

Xk?20200? ?k?1??k?1?

?200?

??Xk?20000??1?P?????

?1???1???1.41??1?0.9207?0.0793.2.n很大時(shí)，二項(xiàng)分布中事件?a?Yn?b?的概率的計(jì)算

例2 設(shè)有一大批電子元件，次品率為1 %，現(xiàn)在任意取500個(gè)，問(wèn)其中次品數(shù)在5～9個(gè)

之間的概率為多少？

解：設(shè)任意取500個(gè)其中次品數(shù)為Yn，則Yn可認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N(np,np(1?p))．

P?

5?Yn?9??P?

?

?4????????0????1.80??0.5?0.9641?0.5?0.4641.2.22??

例3.有200臺(tái)獨(dú)立工作(工作的概率為0.6)的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)需3 kw電力．問(wèn)共需多少電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)? 解：同時(shí)對(duì)200臺(tái)機(jī)床察看是開(kāi)工還是停工？可看成n

?200,p?0.6的二項(xiàng)分布，設(shè)工作的機(jī)床數(shù)為Yn，假設(shè)至多有m臺(tái)機(jī)床在工作，則依照題意有P?0?Yn?m??0.999

P?

0?Yn?m??P???

?

?????????0??

141.5

所以??

??0.999?

?

3.1，即m?120?3.1，取整數(shù)解

m?142（臺(tái)），共需電力：142×3=426 kw.所以，至少需426 kw 電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產(chǎn)。

第四篇：第5章大數(shù)定律與中心極限定理習(xí)題答案

5.1—5.2 大數(shù)定律與中心極限定理習(xí)題答案

1解:由切比雪夫不等式得:

P(|X?E(X)|<ε)?1?D(X)

?2=1?0.009

?2?0.9.即?2?0.09,??0.3故?min?0.3

2解:由 EX=?2,EY=2,則E(X+Y)=0,Cov(X,Y)= ?XYDXDY=?0.5?1?2＝?1,D(X?Y)1 = 3612D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=1＋4＋2?（?1）＝3 由切比雪夫不等式得:P(|X+Y|?6)?

3解:設(shè)Xi表示第i個(gè)麥穗粒數(shù)，i=1,……100, 則X1,?,X100相互獨(dú)立且服從相同分布.E(Xi)?20,D(Xi)?15,i?1,...,100.，E(2?X)=2000 ,D(?Xi

i?1i?1100100i)=22500.設(shè)X表示100個(gè)麥穗的麥粒總數(shù)，則由中心極限定理知

X=?Xi?N(2000,1502)（近似服從）

i?1100

故所求概率為：P(1800?X?2200)=P(|X-2000|?200)=?()??(?)=2?()?1?2?0.9082?1?0.8164.4解：(1)由題意可知被盜的概率P=0.2，則 X?B(100,0.2)，其分布律為

kP(X?k)?C1000.2k0.8100?k,k?0,1,.......100 434343

(2)?E(X)?np?20,D(X)?npq?16,由中心極限定理知X?N(20,4)（近似服從）.所求概率為

P(14?X?30)? ?(2.5)??(?1.5)=0.9938-1+0.9332=0.927.解：設(shè)X表示這1000粒種子的發(fā)芽粒數(shù)，則X?B(1000,0.9)

從而E(X)?np?900,D(X)?npq?90.由中心極限定理知X?N(900,90)（近似服從）.故所求概率為2

P(|X?0.9|?0.02)?P(|X?900|?20)1000

??20)???()2?(2.108??)?1900..96

第五篇：ch5大數(shù)定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發(fā)生

1.設(shè)Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨(dú)立,令

1,事件A發(fā)生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設(shè)X1，X2，……，Xn是來(lái)自總體N（μ,σ2）的樣本，對(duì)任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設(shè)隨機(jī)變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現(xiàn)的次數(shù)大于60的概率

近似為_(kāi)__0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，X2，…，Xn，…獨(dú)立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對(duì)任意實(shí)數(shù)x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計(jì)P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設(shè)隨機(jī)變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計(jì)P（|X－_____1/4___________．

5．設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設(shè)Xi=??1,事件A不發(fā)生事件A發(fā)生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨(dú)立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態(tài)分布，其方差為_(kāi)__16________。

7．設(shè)隨機(jī)變量X ~ B（100，0.2），應(yīng)用中心極限定理計(jì)算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設(shè)?n為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設(shè)隨機(jī)變量X～B(100，0.5)，應(yīng)用中心極限定理可算得P{40

10.設(shè)X1,X2,?,Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當(dāng)n充分大的時(shí)候，隨機(jī)變量Zn?

_N(0,1)_______(標(biāo)明參數(shù)).1X?i?1ni的概率分布近似服從