第一篇：2018考研概率知識點總結：大數定律和中心極限定理

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研概率知識點總結：大數定律和

中心極限定理

考研數學復習最后兩月多的時間，大家除了瘋狂做題之外，對于知識點的整合聯系也要做好，統籌全局才能穩操勝券，下面是概率與數理統計部分知識點整合，大家可以抽時間捋一捋。

2018考研概率知識點整合：大數定律和中心極限定理

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

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第二篇：概率統計第五章大數定律及中心極限定理

第五章大數定律及中心極限定理

第一節 大數定律（Laws of Large Numbers）

隨機現象總是在大量重復試驗中才能呈現出明顯的規律性，集中體現這個規律的是頻率的穩定性。大數定律將為此提供理論依據。凡是用來說明隨機現象平均結果穩定性的定理統稱為大數定律。由于內容非常豐富，我們只介紹其中兩個。

一 契比雪夫大數定律

[定理1（契比雪夫的特殊情況）]設相互獨立的隨機變量X1,X2,?,Xn,?具有相同的數學

期望和方差：E(Xk)??，D(Xk)??(k?1,2,?)，則???0,?1limP?n??

?n

n

?X

k?1

k

?

??????1

?．

【注1】 契比雪夫大數定律告訴我們：隨機變量的算術平均有極大的可能性接近于它們的數學期望，這為在實際工作中廣泛使用的算術平均法則提供了理論依據.例如，為測量某個零件的長度，我們進行了多次測量，得到的測量值不盡相同，我們就應該用所有測量值的算術平均作為零件長度的近似為最佳。

二 伯努利大數定律

[定理2（伯努利大數定律）]設nA是n次獨立試驗中事件A發生的次數，p是事件A在nA

每次試驗中發生的概率，則事件A發生的頻率n依概率收斂于事件A的概率p，即???0,limP{|

n??

nAn

?p|??}?1

或

limP{|

n??

nAn

?p|??}?0

【注2】伯努利大數定律中的nAn，實際上就是事件A發生的頻率，定律以嚴格的數學形式

表述了頻率穩定于概率的事實。這樣，頻率的穩定性以及由此形成的概率的統計定義就有了理論上的依據。

第二節中心極限定理（Central Limit Theorems）

n

如果X1,X2,?,Xn是同時服從正態分布的n個相互獨立的隨機變量，則它們的和?

i?1

Xi

仍

然是服從正態分布的隨機變量。現在的問題是：如果X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個相互獨立的隨機變量，并非服從正態分布，那么它們的和是否還會服從正態分布呢？中心極限定理對此給出了肯定的答復。所有涉及大量獨立隨機變量和的極限分布的定理統稱為中心極限定理。由于內容非常豐富，我們只介紹其中兩個。

一 獨立同分布中心極限定理

[定理3（獨立同分布中心極限定理）]設隨機變量X1,X2,?,Xn,?相互獨立，服從同一

分布，且具有數學期望和方差：E(Xk)???,D(Xk)???0(k?1,2,?)，則對于任意的x，n

?X

limPn??

k

?n?

?x}?

?

x?t

dt??(x)

．

n

【注3】 定理說明，均值為?，方差為?

n

?0的獨立同分布的隨機變量之和

?Xk的標準

k?1

化變量Yn

?X

?

k

?n?，當n很大時近似服從N(0,1)；而?

k?1

n

Xk

近似服從N(n?,n?)．

【注4】若記

??2?

X~N??,?

n??

X?

n

?n

Xk，則Yn

?

k?1

近似服從正態分布N(0,1)；或X近似服從

．

二 棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理

[定理4（棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理）]

設隨機變量Yn?(n?1,2,?)服從參數為n,p?(0?p?1)的二項分布，則?x?R，有

limPn??

Y?np?x}?

?

x??

?

t22

dt??(x)

．

【注5】 這個定理的直觀意義是，當n足夠大時，服從二項分布的隨機變量Yn可認為近似服從正態分布N(np,np(1?

p))~?N?0,1?

.【注6】一般的結論是，不管每個服從什么分布，只要滿足條件：

1）構成和式的X1,X2,?,Xn是服從相同分布的n個相互獨立的隨機變量

2）每個隨機變量對和的影響要均勻地小

3）構成和式的隨機變量的個數要相當多，至少在30個以上

n

那么，它們的和?

i?1

Xi

將近似服從正態分布。因此，中心極限定理揭示了正態分布的形成機

制。例如我們在對某經濟問題進行定量分析時，如果在許多種隨機影響因素中沒有一個是起主導作用的，那么就可以把它看成正態分布來進行分析。

經驗表明：應用中大量的獨立隨機變量的和，都可以看成近似地服從正態分布。例

如測量誤差，炮彈落點離開目標的偏差以及產品的強度，折斷力，壽命等質量指標均屬于此列。這樣，由于中心極限定理的出現和應用，更加顯示出了正態分布的重要。

三 中心極限定理在近似計算中的應用 1.同分布獨立和?Xk的概率的計算

k?1n

例1 每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為 100克，標準差為10克．一箱內裝200袋

味精，求一箱味精的凈重大于20200克的概率．

200

解：設每袋味精的凈重為Xk?k?1,2,?,200?，則一箱味精的凈重為?

k?1

200

Xk，又

E?Xk??100,??10

.由中心極限定理知?

k?1

Xk

近似地服從正態分布。所以

?200??200?P??Xk?20200??1?P??

Xk?20200? ?k?1??k?1?

?200?

??Xk?20000??1?P?????

?1???1???1.41??1?0.9207?0.0793.2.n很大時，二項分布中事件?a?Yn?b?的概率的計算

例2 設有一大批電子元件，次品率為1 %，現在任意取500個，問其中次品數在5～9個

之間的概率為多少？

解：設任意取500個其中次品數為Yn，則Yn可認為近似服從正態分布N(np,np(1?p))．

P?

5?Yn?9??P?

?

?4????????0????1.80??0.5?0.9641?0.5?0.4641.2.22??

例3.有200臺獨立工作(工作的概率為0.6)的機床，每臺機床工作時需3 kw電力．問共需多少電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產? 解：同時對200臺機床察看是開工還是停工？可看成n

?200,p?0.6的二項分布，設工作的機床數為Yn，假設至多有m臺機床在工作，則依照題意有P?0?Yn?m??0.999

P?

0?Yn?m??P???

?

?????????0??

141.5

所以??

??0.999?

?

3.1，即m?120?3.1，取整數解

m?142（臺），共需電力：142×3=426 kw.所以，至少需426 kw 電力, 才可有99.9 %的可靠性保證正常生產。

第三篇：第五章 大數定律及中心極限定理

第五章

大數定律及中心極限定理

概率統計是研究隨機變量統計規律性的數學學科，而隨機現象的規律只有在對大量隨機現象的考察中才能顯現出來。研究大量隨機現象的統計規律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理進行研究。極限定理的內容非常廣泛，本章中主要介紹大數定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機變量離差平方的數學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數ε>0，有:

或：

［例5-1］設X是拋擲一枚骰子所出現的點數，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當ε=2時，當ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設電站供電網有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6 800～7 200的概率。

解：設X表示在夜晚同時開著的電燈的數目，它服從參數n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應7 000盞燈的電力就能夠以相當大的概率保證夠用。

[例5-3補充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數定律

在第一章中曾經提到過，事件發生的頻率具有穩定性，即隨著試驗次數增多，事件發生的頻率將逐漸穩定于一個確定的常數值附近。另外，人們在實踐中還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩定性，即平均結果的穩定性。大數定律以嚴格的數學形式表示證明了在一定的條件下，大量重復出現的隨機現象呈現的統計規律性，即頻率的穩定性與平均結果的穩定性。

5.2.1 貝努利大數定律

定理5-2 設m是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A的概率，則對任意正數ε，有

貝努利大數定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩定值。

5.2.2 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律

先介紹獨立同分布隨機變量序列的概念。

稱隨機變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。

定理5-3 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經過算術平均后得到的隨機變量在統計上具有一種穩定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數定律的含義。在概率論中，大數定律是隨機現象的統計穩定性的深刻描述；同時，也是數理統計的重要理論基礎。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量 的分布函數為Fn（x），則對于任意實數x，有

（不證）

其中φ（x）為標準正態分布函數。

由這一定理知道下列結論：

（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態隨機變量之和服從正態分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當n充分大時，其和Zn近似服從正態分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標準化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值 的分布近似于正態分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標的炮彈數是一個隨機變量，其數學期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率。解 設Xi為第i次射擊時命中目標的炮彈數（i=1,2,…,100），則中命中目標的炮彈總數，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數分布。現隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Zn是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A發生的概率，則對于任意實數x

其中q=1-p,φ（x）為標準正態分布函數。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發生的概率為p。又設Zn為n次獨立重復試驗中事件A發生的頻數，則當n充分大時，Zn近似服從正態分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發生的概率為p，發生的頻率，則當n充分大時，近似服從正態分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設同時開著的燈數為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復試驗中事件A

【例5-6】設某單位內部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設X為1000臺分機中同時使用外線的分機數，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據題意，設N為滿足條件的最小正整數

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標準正態分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

小結 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數定律

其中n是試驗次數，m是A發生次數，p是A的概率，它說明試驗次數很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數定律

取值穩定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復事件發生次數，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應用問題。

第四篇：CH5 大數定律及中心極限定理--練習題

CH5 大數定律及中心極限定理

1.設Ф(x)為標準正態分布函數，Xi=?

100?1,事件A發生；?0,事件A不發生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發芽率為0.9的種子中隨機抽取100粒,則這100粒種子的發芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設隨機變量X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標準正態分布函數，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設

5.設X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計

6.設

7.報童沿街向行人兜售報紙，設每位行人買報紙的概率為0.2，且他們買報紙與否是相互獨立的。試求報童在想100為行人兜售之后，賣掉報紙15到30份的概率

8.一個復雜系統由n個相互獨立的工作部件組成，每個部件的可靠性（即部件在一定時間內無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個系統工作。問n至少為多少才能使系統的可靠性為0.95

9.某人有100個燈泡，每個燈泡的壽命為指數分布，其平均壽命為5小時。他每次用一個燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個新的燈泡。求525小時之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨立的隨機變量，且都服從參數為10的指數分布，求 的下界 是獨立同分布的隨機變量，設, 求

第五篇：ch5大數定律和中心極限定理答案

一、選擇題

?0,事件A不發生

1.設Xi??(i?1,2?,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,?,X10000相互獨立,令

1,事件A發生?

10000

Y=

?X,則由中心極限定理知Y近似服從的分布是（D）

ii?

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．設X1，X2，……，Xn是來自總體N（μ,σ2）的樣本，對任意的ε>0，樣本均值X所滿足的切比雪夫不等式為（B）

?X?n????≥?

n?

C．P?X?????≤1-?

A．P

2n?

?X?????≥1-n?

n?

D．P?X?n????≤

?

B．P

?2

3.設隨機變量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?)?（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．設隨機變量X服從參數為0.5的指數分布，用切比雪夫不等式估計P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空題

1．將一枚均勻硬幣連擲100次，則利用中心極限定理可知，正面出現的次數大于60的概率

近似為___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 則?n?

X?n???i

?i?1?

?x??_對任意實數x，limP?

n??n???

????

?

___________.3.設隨機變量X的E(X)=?,D(X)??2,用切比雪夫不等式估計P(|X?E(X)|?3?2)? ___8/9________。

4．設隨機變量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估計P（|X－_____1/4___________．

5．設隨機變量X~B(100,0.8)，由中心極限定量可知，11

|≥）≤2

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

?0,6.設Xi=??1,事件A不發生事件A發生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互獨立，令Y=?X

i?1100i，則由中心極限定理知Y近似服從于正態分布，其方差為___16________。

7．設隨機變量X ~ B（100，0.2），應用中心極限定理計算P{16?X?24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.設?n為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對任意的??0,limP{|n???n?p|??}=__1________.n

9．設隨機變量X～B(100，0.5)，應用中心極限定理可算得P{40

10.設X1,X2,?,Xn是獨立同分布隨機變量序列，具有相同的數學期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，則當n充分大的時候，隨機變量Zn?

_N(0,1)_______(標明參數).1X?i?1ni的概率分布近似服從