第一篇：第六章 第三節中心極限定理

第六章 大數定律和中心極限定理

第三節 中心極限定理

在對大量隨機現象的研究中發現,如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素所造成,而每一個別因素在總影響中所起的作用較小,那么這種量通常都服從或近似服從正態分布.例如測量誤差、炮彈的彈著點、人體體重等都服從正態分布,這種現象就是中心極限定理的客觀背景.設隨機變量X,X,???,X,???獨立

12n同分布,且Xi~N(?,?)，2(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1inn 1 Y?EYY?n?? Y?稱為Y的標準DYn?*nnnnnn化, 則有Y~N(0,1)

FY*(x)?P{Yn*?x}??(x)

n*n對任意實數x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x??*?x}?limF(x)

n???Yn*1edt.2?t2?2一般地，有下述結果。定理三(同分布的中心極限定理)設隨機變量X,X,???,X,???獨立同分布,且存在有限的數學期望和方差

EX??,DX???0，12n2ii(i?1,2,???)

記Y??X,(EY?n?,DY?n?)，2nni?1innY?EYY?n?? Y?稱為Y的標DYn?*nnnnnn 2 準化, FYn*(x)?P{Y?x}

n*則對任意實數x,有

Y?n??x}

limP{n?nn???P{Yn ?limn?????(x)??x*?x}?limF(x)

n???Yn*??1edt.2?t2?2

定理表明,當n充分大時,隨機變量?X?n?i?1inn?近似地服從標準正

ni?1i態分布N(0,1).因此,?X近似地服從正態分布N(n?,n?).由此可見,正態分布在概率論中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2設?n是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數,p是事件A在每次 試驗中發生的概率, 則對任意區間[a,b],成立 limP{a?n?????npnnp(1?p)?b}

??ba1edt??(b)??(a)2??t22 證明 引人隨機變量

?1,第i次試驗中A發生 X?? ，?0,第i次試驗中A不發生i則n次試驗中事件A發生的次數

?n?X?X?????X ，12n12n由于是獨立試驗,所以X,X,???,X相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即

P{X?1}?p,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,nii于是

EXii?p, DX?p(1?p)

由定理三,即得

limP{n?????npnnp(1?p)ni?1i?x}

?limP{n????X?npnp(1?p)?x}

??x??1edt??(x), 2??t22于是對任意區間[a,b],有

limP{a?np(1?p)?b}

nn?????npt22??ba1edt??(b)??(a).2??

近似計算公式:

??npN?npM?np，N???M???np(1?p)np(1?p)np(1?p)nnP{N???M}nn

??npN?npM?np?P{??}np(1?p)np(1?p)np(1?p)M?npN?np??()??().np(1?p)np(1?p)例1 某計算機系統有120個終端,每個終端有5%的時間在使用,若各終端使用與否是相互獨立的,試求有10個以上的終端在使用的概率.解 以X表示使用終端的個數, 引人隨機變量 ?1,第i個終端在使用 X?? ，?0,第i個終端不使用i i?1,2,???,120 , 則

X?X?X?????X ，121202120由于使用與否是獨立的,所以X,X,???,X相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即 P{X?1}?p?0.05,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,120 1ii于是,所求概率為

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}，np(1?p)np(1?p)由中心極限定理得

P{X?10}?1?P{X?10}

X?np10?np?1?P{?}

np(1?p)np(1?p)10?np)

?1??(np(1?p)10?120?0.05?1??()

120?0.05?0.95?1??(1.68)?1?0.9535?0.0465.例2 現有一大批種子,其中良種占1.現從中任選6000粒,試問在這些61種子中,良種所占的比例與之誤差

6小于1%的概率是多少？ 解 設X表示良種個數, 則

1X~B(n,p),n?6000,p? , 所求概率為 X1P{|?|?0.01}?P{|X?np|?n?0.01}n6

X?npn?0.01?P{||?}

np(1?p)np(1?p)X?np6000?0.01?P{||?}

15np(1?p)6000??66??(2.078)??(?2.078)

?2?(2.078)?1?2?0.98?1?0.96.例3 設有30個電子器件D,D,???,D,它們的使用情況如下: 1230D損壞,D接著使用;D損壞,D接1223著使用等等.設器件D的使用壽命服從參數??0.1(單位:h)的指數分布.令T

為30個器件使用的總時數,問T超過350h的概率是多少？

i?1 8 解 設Xi為 器件D的使用

i壽命,Xi 服從參數??0.1(單位:h)

?1的指數分布, X,X,???,X相互獨1230立, T?X1?X2?????Xnn?30, ??EX?11i??0.1?10 , ?2?DXi?1?2?10.12?100, 由中心極限定理得

P{T?350}?1?P{T?350}

?1?P{T?n?n??350?n?n?} ?1??(350?30030?10)?1??(530)?1??(0.91)?1?0.8186

?0.1814.，例4 某單位設置一電話總機,共有200架電話分機.設每個電話分機有5%的時間要使用外線通話,假定每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的,問總機需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個分機都能即時使用.解 依題意

設X為同時使用的電話分機個數, 則X~B(n,p),n?200,p?0.05, 設安裝了N條外線, 引人隨機變量

?1,第i個分機在使用 X?? ，?0,第i個分機不使用i i?1,2,???,200 , 則

X?X?X?????X ，122002200由于使用與否是獨立的,所以X,X,???,X相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X?1}?p?0.05,iP{X?0}?1?p,i?1,2,???,200, i {X?N}?保證每個分機都能即時使用, P{X?N}?0.9 , 0.9?P{X?N}

X?npN?np?} ?P{np(1?p)np(1?p)N?np)

??(np(1?p)N?200?0.05??()

200?0.05?0.95N?10N?10??()??()，3.089.5查標準正態分布表

N?10?z?1.28, 3.080.9N?1.28?3.08?10?13.94, 取 N?14, 答: 需要安裝14條外線.例5 設隨機變量X的概率密度為

?x?e,x?0 f(x)??m!，??0,x?0其中m為正整數，證明

m?xmP{0?X?2(m?1)}?.m?1 證明

xEX??xf(x)dx??x?edx

m!1xedx ??m!m?????x??0??m?2?1?x011 ??(m?2)?(m?1)!?m?1, m!m!

xEX??xf(x)dx??x?edxm!m2??2??2?x??0

1x ??m!??0m?3?1edx

?x

11??(m?3)?(m?2)!?(m?2)(m?1), m!m!

DX?EX?(EX)

222

?(m?2)(m?1)?(m?1)

?m?1 , 利用車貝謝不等式,得 P{0?X?2(m?1)}

?P{?(m?1)?X?(m?1)?(m?1)} ?P{|X?(m?1)|?(m?1)} ?P{|X?EX|?(m?1)}

DXm?1?1??1?

(m?1)(m?1)m ?.m?122 13

第二篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗.圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態分布.如果定義:當第次碰到釘子后滾向右邊,令;當第次碰到釘子后滾向左邊,令.則是獨立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態.可以想象,當越來越大時接近程度越好.由于時,.因此,顯然應考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個證明了二項分布的極限是正態分布.研究極限分布為正態分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理

設是獨立隨機變量序列,假設存在,若對于任意的,成立

稱服從中心極限定理.設服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數列.解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則

用頻率估計概率時的誤差估計.由德莫佛—拉普拉斯極限定理,由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.第二類問題是已知,要使不小于某定值,應至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.第三類問題是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計:.拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.已知在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數,則服從二項分布:的隨機變量.求.解:

因為很大,于是

所以

利用標準正態分布表,就可以求出的值.某單位內部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數為,顯然有.由題意得,查表得，故取.于是

取最接近的整數,所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.根據孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結紅果植株和結黃果植株的比率為3:1,現在種植雜交種400株,試求結黃果植株介于83和117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,并假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結黃果的株數記為,則.由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨立同分布的隨機變量序列,假設,則有

證明:設的特征函數為,則的特征函數為

又因為,所以

于是特征函數的展開式

從而對任意固定的,有

而是分布的特征函數.因此,成立.在數值計算時,數用一定位的小數來近似,誤差.設是用四舍五入法得到的小數點后五位的數,這時相應的誤差可以看作是上的均勻分布.設有個數,它們的近似數分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,其中,證明:的分布函數弱收斂于.證明:為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,所以仍是獨立同分布的隨機變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數弱收斂于,結論得證.作業:

p222EX32,33,34,3

5五、林德貝爾格條件

設為獨立隨機變量序列,又

令,對于標準化了的獨立隨機變量和的分布

當時,是否會收斂于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.這時就是的分布函數.如果不是正態分布,那么取極限后,分布的極限也就不會是正態分布了.因而,為了使得成立,還應該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項是起突出作用.由此認為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項中不應該有這種起突出作用的加項.因為考慮加項個數的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.設是獨立隨機變量序列,又，這時

(1)若是連續型隨機變量,密度函數為,如果對任意的,有

(2)若是離散型隨機變量,的分布列為

如果對于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.以連續型情形為例,驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是“均勻地斜.證明:令,則

于是

從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個關系式表明,的每一個加項中最大的項大于的概率要小于零,這就意味著所有加項是“均勻地斜.六、費勒條件

設是獨立隨機變量序列,又，稱條件為費勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費勒中心極限定理

引理1對及任意的,證明:記,設,由于

因此，其次,對,用歸納法即得.由于,因此,對也成立.引理2對于任意滿足及的復數,有

證明:顯然

因此,由歸納法可證結論成立.引理3若是特征函數,則也是特征函數,特別地

證明定義隨機變量

其中相互獨立,均有特征函數,服從參數的普哇松分布,且與諸獨立,不難驗證的特征函數為,由特征函數的性質即知成立.林德貝爾格-費勒定理

定理設為獨立隨機變量序列,又.令,則

(1)

與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數與分布函數,表示的分布函數,那么(5)

這時

因此林德貝爾格條件化為:對任意,(6)

現在開始證明定理.設是任意固定的實數.為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價的:

(8)

事實上,由(3)知,又因為

故對一切,把在原點附近展開,得到

因若費勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有

(9)

這時

(10)

對任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因為可以任意小,故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價性.(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上,(13)

右邊與無關,而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當足夠大時,也可以任意地小,這樣,費勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,當時,當時,因此

(14)

對任給的,由于的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費勒條件成立,這時(8)與(7)是等價的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相應的特征函數應滿足(7).但在費勒條件成立時,這又推出了(8),因此,(15)

上述被積函數的實部非負,故

而且

(16)

因為對任意的,可找到,使,這時由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理

設為獨立隨機變量序列,又.令,若存在,使有

則對于任意的,有

第三篇：中心極限定理的教學

中心極限定理的教學

摘 要： 中心極限定理是概率論與數理統計課程中一個重要的定理，也是學生學習過程中的難點，因此教學也有一定的難度.本文首先分析學生學習的主要困惑，其次針對性地理解了中心極限定理的實質，教學過程中設計了具體事例鼓勵學生自主發現探索，從而對中心極限定理容易接受，最后用實例鞏固中心極限定理的應用.關鍵詞： 中心極限定理 正態分布 自主探索 概率近似

中心極限定理是概率論與數理統計課程中一個重要的定理，銜接著概率論知識與數理統計的相關知識，是教學中的一個難點.利用中心極限定理，數理統計中許多紛亂復雜的隨機變量序列和的分布都可以用正態分布進行近似，而正態分布有著許多完美的結論，從而可以獲得實用且簡單的統計分析方法和結論.然而，由于中心極限定理的教學課時少而定理本身又較抽象，學生很難在短時間內理解該定理并能夠加以應用.為此，不少教師對該內容進行了探討.本文結合學生的基礎和知識結構，產生的疑惑，以及教學的需要，提高學生的應用能力，對該定理的教學方法進行探討.一、學生學習中心極限定理的困難

中心極限定理這一節的教學目標是要求學生理解中心極限定理，并熟練運用該定理進行事件概率的近似計算，然而在講解這一內容只有2個課時，學生又不熟悉相應的概率基礎，導致無論是數學專業還是非數學專業的學生對該知識點都存在疑惑，主要表現在：不知道中心極限定理是什么意思，具體形式是什么，怎么用.針對這三方面的問題，教師首先應該要理解深刻，概括恰當，簡明扼要.1.中心極限定理的背景

在實際問題中，許多隨機現象都是由大量微小的相互獨立的隨機因素綜合影響所產生的，比如誤差受到材料、環境、設備、操作者等因素的影響，每個因素都是微小的、隨機的，但綜合起來就產生實驗過程中的誤差，即誤差是大量的隨機因素的總和，我們關心誤差就是關心大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理告訴我們，大量獨立隨機變量和的極限分布是正態分布.這一點突出了正態分布在概率論與數理統計中的重要地位，在應用中凸顯了正態分布的許多優勢，同時在總體為非正態的統計問題中發揮著重要的指導作用.在實際問題中，首先分析隨機現象，將其可分解成大量的隨機變量的和，那么無論隨機變量服從正態還是非正態，其和近似看做正態分布，進而求相關的概率計算問題.學生對此不理解，主要是因為太抽象、太籠統，在教學中可讓學生自主探討，發現總結.2.中心極限定理的具體形式

中心極限定理探討的是隨機變量和的極限分布，教材中給出了不同條件下的中心極限定理的多種結論，其形式復雜，證明繁瑣，但總結起來本質是一個形式.棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理是Lindeberg-Levy中心極限定理的特例，兩個中心極限定理歸根到底是說獨立同分布的隨機變量和的極限分布為正態分布，可變形為標準正態分布.3.中心極限定理的應用

學生對中心極限定理內容不理解，也導致無法將理論用于實踐，偶爾的依葫蘆畫瓢并沒有掌握其實質.中心極限定理常用作概率近似計算，需要根據問題的實際含義定義多個隨機變量并給出分布，然后變為獨立隨機變量和，再利用中心極限定理和正態分布的查表求概率.只有在教學中選擇恰當的例題，深入分析，合理總結，才能取到良好的效果.中心極限定理包含極限理論，因此理論上利用中心極限定理處理極限問題.在經濟問題中，質檢問題中也有廣泛的應用.教學中可引申生活實際等有趣的問題，讓學生體會學以致用的樂趣.二、中心極限定理的教學設計

首先利用簡單的引例，讓學生自主探索，總結規律.例1：有一個總體X，它是取值于[2，8]的隨機數，在等可能被取出的假設下，總體X的分布為均勻分布U（2，8）.學生自主觀察直方圖的特點，得出的規律是“中間高，兩邊低，左右基本對稱”.比照正態分布的密度曲線：

上述直方圖輪廓曲線，用如下概率函數表示關于u對稱的鐘形曲線最合適.將這一規律概括起來就是中心極限定理：

其具體形式體現出三個定理.（1）中心極限定理是用極限理論反映的一個重要定理，其優勢體現在非正態分布或不知道分布類型時，為數理統計的學習奠定基礎.（2）主要應用兩方面：第一，求隨機變量之和落在某區間的概率；第二，已知隨機變量之和的概率，求.（3）解題中分析隨機總體可分解為許多獨立隨機變量的和的形式甚為關鍵.例2：某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0.002，死亡時其家屬可向保險公司領得20萬元，問保險公司虧本的概率.學生處理實際問題的難點就在于不知如何進行問題的轉化.提示兩點：第一，將問題用隨機變量表示，每個人參保是隨機的獨立的，如何刻畫？第二，保險公司所得的總收益如何表示，學生經整理后發現，所求總收益正好可以看成2500個獨立同分布隨機變量之和，n=2500足夠大，故想到用中心極限定理將其近似為正態分布.求出變量和的期望和方差，利用正態分布查表求概率.為了加強對中心極限定理的理解和鞏固，對學生提出如下思考：

2.列舉貼近生活實例，讓學生鞏固練習，加以總結.3.學有余力拓展中心極限定理的應用領域.通過本節的學習，讓學生自主發現規律，善于總結，容易接受，形成解決實際問題的統計思維，熟悉中心極限定理和正態分布相關理論很有必要.參考文獻：

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.[2]黎玉芳.中心極限定理的教學方法探討[J].科技教育創新，2010（24）：220-221.[3]孫碑.中心極限定理及其在若干實際問題中的應用[J].論談教學，2012（6）：65-67.

第四篇：中心極限定理-第四章練習題

1、一儀器同時受到108個噪聲信號Xi，設它們是相互獨立的且都服從[0，4]上的均勻分布.求噪聲信號總量X?

解：EX??Xi?1108i? 228的概率.108?EX

i?1108i?216，DX??DXi?144.i?

1由中心極限定理P{X?228}?1???228?216??1??(1)?0.16.???12?

2、已知紅黃兩種番茄雜交的第二代結紅果的植株與結黃果的植株的比率為4:1．現種植雜

交種10000株，試求結黃果植株介于1960到2040之間的概率．（用?(x)表示）

114?2000,DX?10000???160055

5?2040?2000??1960?2000?P(1960?X?2040)?????????2?(1)?14040????

3、某鎮年滿18歲的居民中20%受過高等教育。今從中有放回地抽取1600人的隨機樣本，解： 設結黃果植株為X，EX?10000?求樣本中受過高等教育的人在19%和21%之間的概率。（?(1)?0.8413）

解： 設X表示抽取的1600人中受過高等教育的人數，則X~B(1600,0.2)，EX?320,DX=162 則：P{0.19?1600?X?0.21?1600}?P{304?320X?320336?320X?320??}?P{?1??1}??(1)??(?1)16161216

?2?(1)?1 ?2?0.8413?1?0.6826。

4、某商店負責供應某地區10000人所需商品，其中一商品在一段時間每人需要一件的概率

為0.8，假定在這一段時間內各人購買與否彼此無關，問商店應預備多少件這種商品，才能以97.5%的概率保證不會脫銷？（?(1.96)?0.975.假定該商品在某一段時間內每人最多可以買一件）。

解： 設應預備n件，并設X表示某地區10000人需要件數，則X~B（10000，0.8），由中心極限定理得P{X?n}???

由?n?8000???0.97540??n?8000?1.96,n?8078.4，即應預備8079件。405、某商店出售某種貴重商品。根據經驗，該商品每周銷售量服從參數為??1的泊松分布。假定各周的銷售量是相互獨立的。用中心極限定理計算該商店一年內（52周）售出該商品件數在50件到70件之間的概率。（用?(x)表示）

解：設 Xi為第i周的銷售量, i?1,2,?,52 Xi~P(1)，則一年的銷售量為Y?52?X

i?1i，E(Y)?52,D(Y)?52

由獨立同分布的中心極限定理，所求概率為

?P(50?Y?70)?P???????

?

?????1

第五篇：中心極限定理應用

中心極限定理及其應用

【摘要】中心極限定理的產生具有一定的客觀背景，最常見的是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表明了當n充分大時，方差存在的n個獨立同分布的隨機變量和近似服從正態分布，在實際中的應用相當廣泛。本文討論了中心極限定理的內容、應用與意義。

【關鍵詞】：中心極限定理 正態分布 隨機變量

一、概述

概率論與數理統計是研究隨機現象、統計規律性的學科。隨機現象的規律性只有在相同條件下進行大量重復的實驗才會呈現出來，而研究大量的隨機現象常常采用極限的形式，由此導致了對極限定理的研究。極限定理的內容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一部分內容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨立的隨機變量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：當n→∞時的極限符合正態分布。因此中心極限定理這個結論使正態分布在數理統計中具有很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應用。

二、定理及應用

1、定理一（林德貝格—勒維定理）

若?

k1，=a,?2，…是一列獨立同分布的隨機變量，且E?D?

k=k??x2(?2>0),k=1,2,…則有limp(k?

1n????n?na?x)??n

n12???e?t22dt。

當n充分大時，??k?1k?na

?n~N（0,1），k?1??nk~N（na,n?）

22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

在n重伯努利試驗中,事件A在每次試驗中出現的概率為錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未

?找到引用源。為n次試驗中事件A出現的次數,則limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt

其中q?1?p。這個定理可以簡單地說成二項分布漸近正態分布，因此當n充分大時，可

以利用該定理來計算二項分布的概率。

同分布下中心極限定理的簡單應用

獨立同分布的中心極限定理可應用于求隨機變量之和Sn落在某區間的概率和已知隨機變量之和Sn取值的概率，求隨機變量的個數。

例1：設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的分布，其數學期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少?

解：設Xi(i=1，2，…，5000)表示第i個零件的重量X1，X2，…，X5000獨立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。

由獨立同分布的中心極限定理可知

[3]

=I-φ（1.414）=1-0.921

5=0.0785

例2：一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的且同分布，設每箱平均重50kg，標準差為5kg，若用最大載重為50噸的汽車承運，每輛車最多可以裝多少箱才能保證不超載的概率大于0.977？

解：設Xi(i=1，2，…，n)是裝運第i箱的重量，n為所求箱數。由條件可把X1，X2，…，Xn看作獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量為Tn=X1+X2+…+Xn，是獨立同分布的隨機變量之和。

由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n

根據獨立同分布的中心極限定理：

[3]

即最多可以裝98箱。

例3：報名聽心理學課程的學生人數K是服從均值為100的泊松分布的隨機變量，負責這門課的教授決定，如果報名人數不少于120，就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個班的概率是多少?

分析：該教授講授兩個班的情況出現當且僅當報名人數x不少于120，精確解為P（x≥120）=e-100 100i/i！很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機變量等于100個均值為1的獨立泊松分布隨機變量之和，即X= Xi，其中每個Xi具有參數1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。[2]

解：可知E(X)=100，D(X)=100

教授講授兩個班的概率是0.023。

例4：火炮向目標不斷地射擊，若每次射中目標的概率是0、1。

(1)求在400次射擊中擊中目標的次數在區間［30，50］內的概率。

(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標的次數超過10次的概率不小于0.9？

分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實驗。[1]即

我們知道，正態分布可近似于二項分布，而且泊松分布可近似于二項分布，當二項分布b(n，p)，n較大、p較小時可用泊松分布估計近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，這時也可用泊松分布計算；但是當n較大，p不接近0或1時，再用泊松分布估計二項分布的概率就不夠精確了，這時應采用拉普拉斯定理來計算。

解：(1)設在射擊中擊中目標的次數為Yn，所求概率(30≤Yn<50)等于：

最小正整數n=147就是所要求的最小射擊數。

以上例子都是獨立同分布的隨機變量，可以用中心極限定理近似估算，但是如果不同分布，中心極限定理是否也成立呢?

李雅普諾夫定理

當隨機變量Xi獨立，但不一定同分布時，中心極限定理也成立。定理3[2](李雅普諾夫定理)：

設X1，X2，…，Xn，…為獨立隨機變量序列，且E(Xn)=an，D(Xn)=σn2存在，Bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：

也就是說，無論各個隨機變量Xi服

從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當n很大時，它們的和近似服從正態分布。由于在大學本科階段接觸的不同分布的樣本較少，本文對它的應用將不舉例說明。

中心極限定理以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本均值總是近似地服從正態分布。正是這個結論使得正態分布在生活中有著廣泛的應用。

四、中心極限定理的意義

首先，中心極限定理的核心內容是只要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標準化當作正態變量，所以可以利用它解決很多實際問題，同時這還有助于解釋為什么很多自然群體的經驗頻率呈現出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定理對于其他學科都有著重要作用。例如數理統計中的參數（區間）估計、假設檢驗、抽樣調查等；進一步，中心極限定理為數理統計在統計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關鍵在于掌握樣本特征

值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機樣本數據，幾乎就可以把數理統計的全部處理問題的方法應用于統計學，這從另一個方面也間接地開辟了統計學的方法領域，其在現代推斷統計學方法論中居于主導地位。參考文獻

[1]鄧永錄 著 應用概率及其理論基礎.清華大學出版社。

[2]魏振軍 著 概率論與數理統計三十三講.中國統計出版社。

[3]程依明 等 著 概率論與數理統計習題與解答.高等數學出版社。