第一篇：第六章 第一節和第二節大數定理和中心極限定理

第六章 大數定律和中心極限定理

研究隨機變量序列的各種極限(或收斂性)的理論.我們知道,概率論是研究隨機現象統計規律的學科,然而隨機現象統計規律性只有在相同條件下進行大量重復的試驗或觀察才能顯現出來,這就要用到極限去刻劃.隨機現象在大量重復試驗中呈現明顯的規律性,這只是一個信念,其確切含義和理論根據是什么？現在就來解決這些問題.極限定理是概率論中最重要的理論.它在概率論與數理統計的理論研究與應用中起著十分重要的作用.第一節 契比雪夫不等式

這里介紹一個重要的不等式--契比雪夫不等式,它是大數定律和中心極限定理的理論基礎.定理 設隨機變量X存在數學期望EX和方差DX,則對任意正數?, 成立

P{|X?EX|??}?DX?2, 此式稱為契比雪夫不等式.或等價地

P{|X?EX|??}?1?P{|X?EX|??}?1?DX.?2證明(1)當X為離散型隨機變量, 分布律為

P{X?x}?p ,i?1,2,???

ii則有

P{|X?EX|??}

??P{X?x}

i|xi?EX|????|xi?EX|???(x?EX)i2?22P{X?x}i?i(x?EX)i??DX2P{X?x}

i?2;(2)當X為連續型隨機變量, 概率密度為f(x), 則有

P{|X?EX|??}

????1??|x?EX|??f(x)dx

2?(x?EX)|x?EX|???22f(x)dx

?2?(x?EX)f(x)dx???DX?2.例

P{|X?EX|?aDX}

?DX(aDX)2?1a2 ,(a?0)

從上述證明方法中,還可以看出(類似可證),成立

P{|X|??}?(??0,k?1)P{|X?EX|??}?E(|X?EX|)kE|X|k?k，;

?k,(??0,k?1);等形式的不等式.(車貝謝夫,車貝曉夫,切比雪夫)例 設隨機序列{Xn}和隨機變量X，E|Xn?X如果limn??|?0，2則對任意?有 limn???0, P{|Xn?X|??}?0。

證明 因為 對任意??0，成立P{|Xn?X|??}?E|Xn?X|2?2，2利用條件limE|Xn?X|?0，n??limP{|Xn?X|??}?0。即得成立n??

定理 設隨機變量X的數學期望EX和方差DX均存在,且DX?0, 則有 P{X?EX}?1.證明 由車比謝夫不等式

P{|X?EX|??}?DX?2，1n}?DX()n12得0?P{|X?EX|??0, n?1,2,?, P{|X又

?EX|?1n}?0??,n?1,2,?，1n}{|X?EX|?0}??{|X?EX|?n?1，1n})??0?P{|X?EX|?0}?P(?{|X?EX|?n?1??

??n?1P{|X?EX|?1n}?0, 于是P{|X?EX|?0}?1, 即P{X?EX}?1.(P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

?P(A1)?P(A2), P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)，??P(?Ai)?i?1?P(Ai?1i).第二節 大數定律

在第一章中我們指出,隨機事件的頻率f(A)?nf(A)?nnAn,當

n??時, nAn具有某種穩定性和統計概 率的定義5.它們的真正含義,在當時無法說清楚,現在就來說清楚這個問題.對于這一點, 大數定理將給于理論上的依據.下面只介紹大數定理的最基本情形.定理一(契比雪夫大數定律)設X,X,???,X,???是相互獨立的12n隨機變量序列,每一個X都有有限

i的方差,且有公共的上界,即

D(X)?C, i?1,2,???,n,??? 則對任意??0,成立

ilimP{|n??1n1nn?X?ii?11n1n?EX|??}?1 ，ii?1

nnlimP{|n???X??EX|??}?0.ii?1nii?1證明 令 Y?n1nn?X

ii?1由數學期望的性質,有

EY?E(n1nn?X)?ii?11nn?EX，ii?1 6 因X,X,???,X,???相互獨立, 由方差的性質,得到

12nDY?D(n1nnn?X)?ii?11n2n?DX，ii?1 ?1n2?C?i?1Cn , 利用契比雪夫不等式,可得

1?P{|1nn?X??EX|??}

ii?11nnii?1

?P{|Y?EY|??}?1?nnDYn?2?1?Cn?2, 在上式中,令n??,即得

limP{|n??1nn?X?ii?11nn?EX|??}?1.ii?1

定義 依次序列出的隨機變量：X,X,???,X,??? 簡記為{Xn},簡稱12n隨機(變量)序列{X}.n 定義 對于隨機(變量)序列{X}和隨機變量X(或常數a),若對任意??0,有

limP{|X?X|??}?1

nn??n(或limP{|X?a|??}?1)n??n則稱隨機(變量)序列{X}依概率收

n斂于X(或常數a).(等價于limP{|X?X|??}?0)

n??n??X,(n??)簡記為X?Pn??a,(n??))(或X?Pn 推論(辛欽大數定律)若隨機變量序列X,X,???,X,???獨立同分布,且存在有限的數學期望和方差

12n EX??,DX??,(i?1,2,???)

2ii則對任意??0,有

limP{|X??|??}?1 , n??其中 X?1nn?X.ii?1 8 證明 由數學期望和方差的性質及條件,有

EX?E(?X)

nii?11n?1nn?EX?ii?11nn????，i?1DX?D(?1n21nnn?X)

ii?1?DX?ii?11n2n???2i?1?n2, 對任意??0,有

1?P{|X??|??}

?P{|X?EX|??}

?1?DX?2?1??n?22, 于是成立

limP{|X??|??}?1 , n??即{X}依概率收斂于常數?.這個結論將在第八章中用到,是用樣本均值作為總體均值?的點估計的理論依據.定理二(貝努里大數定律)設n是n次獨立重復試驗中事件A發A生的次數,p是事件A在每次試驗中發生的概率, 則對任意??0,成立

limP{|n??nAn?p|??}?1.證明 引人隨機變量

?1,第i次試驗中A發生X?? , ?0,第i次試驗中A不發生i

則n次試驗中事件A發生的次數

n?X?X?????X , A12n由于是獨立試驗,所以X,X,???,X相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即

12nP{X?1}?p,P{X?0}?1?p,i?1,2,???,nii于是

EX?p, i 10 DX?p(1?p)?p?p?2i14?(12?p)?214利用契比雪夫大數定律的推論,得

limP{|n??nAn?p|??}?limP{|X?p|??}?1

n?? 貝努里大數定律表明:事件A發生的頻率

nAn依概率收斂于事件A發生的概率.這正是用頻率作為概率的估計值的理論依據.在實際應用中,通常做多次試驗,獲得某事件發生的頻率,作為該事件發生的概率的估計值.辛欽大數定律

定理(辛欽大數定律)設隨機變量序列X,X,???,X,???獨立同分布,且存在有限的數學期望 12n EX i??,(i?1,2,???)則對任意??0,有

limP{|X??|??}?1 , n??其中 X?1nn?X.ii?1 這個定理的證明要用到特征函數列的收斂性質，在此證明略去。

第二篇：第二節 中心極限定理

第二節 中心極限定理

獨立同分布序列的中心極限定理

定理1設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具

有相同數學期望和

方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量的分布函數為Fn（x），則對于任意實數x，有

（不證）

其中φ（x）為標準正態分布函數。

由這一定理知道下列結論：的分布

（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和

近似于正態分布N（nμ，nσ2）。我們知道，n個獨立同分布的正態隨機變量之和服從正態分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當n充分大時，其和Zn近似服從正態分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標準化隨機變量為數即是上述的Fn（x），因而有由此可見，當n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值態分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標的炮彈數是一個隨機變量，其數學期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率。

解 設Xi為第i次射擊時命中目標的炮彈數（i=1,2,…,100），則

為100次射擊中命中目標的炮彈總數，而且X1，X2，…X

100同

分布且相互獨立。

近似服從標準正態的分布近似于正，即為上述Yn。因此的分布函

由定理1可知，隨機變量分布，故有

[例]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數分布。現隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16）,E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則

是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理下面介紹另一個中心極限定理，它是定理1的特殊情況。

定理2（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Zn是n

次獨立重復試驗中

事件A發生的次數，p是事件A發生的概率，則對于任意實數x

其中q=1-p,φ（x）為標準正態分布函數。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結論：（1）在貝努利試驗中，若事件A發生的概率為p。又設Zn為n次獨立重復試驗中事件A發生的頻數，則當n充分大時，Zn近似服從正態分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發生的概率為p，為n次獨立重復試驗中事件A發生的頻率，則當n充分大時，近似

服從正態分布

【例】設某單位內部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設X為1000臺分機中同時使用外線的分機數，則X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50,根據題意，設N為滿足條件的最小正整數

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標準正態分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

第三篇：第五章 大數定律及中心極限定理

第五章

大數定律及中心極限定理

概率統計是研究隨機變量統計規律性的數學學科，而隨機現象的規律只有在對大量隨機現象的考察中才能顯現出來。研究大量隨機現象的統計規律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理進行研究。極限定理的內容非常廣泛，本章中主要介紹大數定律與中心極限定理。

5.1 切比雪夫Chebyshev不等式

一個隨機變量離差平方的數學期望就是它的方差，而方差又是用來描述隨機變量取值的分散程度的。下面我們研究隨機變量的離差與方差之間的關系式。

定理5－1（切比雪夫不等式）設隨機變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對任意小正數ε>0，有:

或：

［例5-1］設X是拋擲一枚骰子所出現的點數，若給定ε=2,2.5，實際計算P{|X-E（X）|≥ε}，并驗證切比雪夫不等式成立。

解 X的分布律為

所以

當ε=2時，當ε=2.5時，可見，切比雪夫不等式成立。

[例5-2]設電站供電網有10 000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定所有電燈開或關是彼此獨立的。試用切比雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6 800～7 200的概率。

解：設X表示在夜晚同時開著的電燈的數目，它服從參數n=10 000,p=0.7的二項分布。于是有

E（X）=np=10 000×0.7=7 000，D（X）=npq=10 000×0.7×0.3=2100，P{6 800

可見，雖然有10 000盞燈，但是只要有供應7 000盞燈的電力就能夠以相當大的概率保證夠用。

[例5-3補充] 用切比雪夫不等式估計

解： 的三倍的可能性極

可見，隨機變量X取值與期望EX的差的絕對值大于其均方差小。

5.2 大數定律

在第一章中曾經提到過，事件發生的頻率具有穩定性，即隨著試驗次數增多，事件發生的頻率將逐漸穩定于一個確定的常數值附近。另外，人們在實踐中還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩定性，即平均結果的穩定性。大數定律以嚴格的數學形式表示證明了在一定的條件下，大量重復出現的隨機現象呈現的統計規律性，即頻率的穩定性與平均結果的穩定性。

5.2.1 貝努利大數定律

定理5-2 設m是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A的概率，則對任意正數ε，有

貝努利大數定律說明，在大量試驗同一事件A時，事件A的概率是A的頻率的穩定值。

5.2.2 獨立同分布隨機變量序列的切比雪夫大數定律

先介紹獨立同分布隨機變量序列的概念。

稱隨機變量序列X1,X2,…Xn,…是相互獨立的，若對任意的n>1,X1,X2,…Xn是相互獨立的。此時，若所有的Xi又具有相同的分布，則稱X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。

定理5-3 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布隨機變量序列E（Xi）=μ,D（Xi）=σ2（i=1,2…）均存在，則對于任意ε>0有

這一定理說明：經過算術平均后得到的隨機變量在統計上具有一種穩定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數定律的含義。在概率論中，大數定律是隨機現象的統計穩定性的深刻描述；同時，也是數理統計的重要理論基礎。

5.3 中心極限定理

5.3.1獨立同分布序列的中心極限定理

定理5-4 設X1,X2,…Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，且具有相同數學期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。記隨機變量 的分布函數為Fn（x），則對于任意實數x，有

（不證）

其中φ（x）為標準正態分布函數。

由這一定理知道下列結論：

（1）當n充分大時，獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態分布N2（nμ，nσ）。我們知道，n個獨立同分布的正態隨機變量之和服從正態分布。中心極限定理進一步告訴我們。

不論X1,X2,…Xn,…獨立同服從什么分布，當n充分大時，其和Zn近似服從正態分布。

（2）考慮X1,X2,…Xn,…的平均值，有

它的標準化隨機變量為，即為上述Yn。因此的分布函數即是上述的F（，nx）因而有

由此可見，當n充分大時，獨立同分布隨機變量的平均值 的分布近似于正態分布

[例5-3]對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊時命中目標的炮彈數是一個隨機變量，其數學期望為2，均方差為1.5，求在100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率。解 設Xi為第i次射擊時命中目標的炮彈數（i=1,2,…,100），則中命中目標的炮彈總數，而且X1，X2，…X100同分布且相互獨立。

為100次射擊

由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態分布，故有

[例5-4]某種電器元件的壽命服從均值為100（單位：小時）的指數分布。現隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件的壽命的總和大于1 920小時的概率。

解 設第i只電器元件的壽命為Xi=（i=1,2,…16），E（Xi）=100，D（Xi）=1002=10 000，則是這16只元件的壽命的總和。

E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，則所求概率為：

5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理

下面介紹另一個中心極限定理，它是定理5-4的特殊情況。

定理5-5（棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理）設隨機變量Zn是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A發生的概率，則對于任意實數x

其中q=1-p,φ（x）為標準正態分布函數。由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結論：

（1）在貝努利試驗中，若事件A發生的概率為p。又設Zn為n次獨立重復試驗中事件A發生的頻數，則當n充分大時，Zn近似服從正態分布N（np,npq）。

（2）在貝努利試驗中，若事件中A發生的概率為p，發生的頻率，則當n充分大時，近似服從正態分布

【例5-5】用中心極限定理得到求解5.1例5-2的概率。

解 設同時開著的燈數為X，則

X-B（1000，0.7），np=1000×0.7=7000，為n次獨立重復試驗中事件A

【例5-6】設某單位內部有1000臺電話分機，每臺分機有5%的時間使用外線通話，假定各個分機是否使用外線是相互獨立的，該單位總機至少需要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機需要使用外線時不被占用？

解：把觀察每一臺分機是否使用外線作為一次試驗，則各次試驗相互獨立，設X為1000臺分機中同時使用外線的分機數，則

X～B（1000，0.05），np=1000×0.05=50，根據題意，設N為滿足條件的最小正整數

由于φ（-7.255）≈0，故有

查標準正態分布表得φ（1.65）=0.9505，故有

由此

N≥61.37

即該單位總機至少需要62條外線，才能以95%以上的概率保證每臺分機在使用外線時不被占用。

小結 本章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數定律

其中n是試驗次數，m是A發生次數，p是A的概率，它說明試驗次數很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數定律

取值穩定在期望附近。

它說明在大量試驗中，隨機變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復事件發生次數，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應用問題。

第四篇：CH5 大數定律及中心極限定理--練習題

CH5 大數定律及中心極限定理

1.設Ф(x)為標準正態分布函數，Xi=?

100?1,事件A發生；?0,事件A不發生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互獨立。令Y=?

i?1Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數F(y)近似于（）

y?80

4A.Ф(y)

2.從一大批發芽率為0.9的種子中隨機抽取100粒,則這100粒種子的發芽率不低于88%的概率約為.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.設隨機變量X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn??

i?1??Xi,n?1，2，?.Φ（x）為標準正態分布函數，則limP?n???????1??（）np(1?p)??Yn?np

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.設

5.設X服從(-1,1)上的均勻分布，試用切比雪夫不等式估計

6.設

7.報童沿街向行人兜售報紙，設每位行人買報紙的概率為0.2，且他們買報紙與否是相互獨立的。試求報童在想100為行人兜售之后，賣掉報紙15到30份的概率

8.一個復雜系統由n個相互獨立的工作部件組成，每個部件的可靠性（即部件在一定時間內無故障的概率）為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使得整個系統工作。問n至少為多少才能使系統的可靠性為0.95

9.某人有100個燈泡，每個燈泡的壽命為指數分布，其平均壽命為5小時。他每次用一個燈泡，燈泡滅了之后立即換上一個新的燈泡。求525小時之后他仍有燈泡可用的概率近似值相互獨立的隨機變量，且都服從參數為10的指數分布，求 的下界 是獨立同分布的隨機變量，設, 求

第五篇：04 第四節 大數定理與中心極限定理

第四節 大數定理與中心極限定理

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科.而隨機現象的規律性在相同的條件下進行大量重復試驗時會呈現某種穩定性.例如, 大量的拋擲硬幣的隨機試驗中, 正面出現頻率;在大量文字資料中, 字母使用頻率;工廠大量生產某種產品過程中, 產品的廢品率等.一般地, 要從隨機現象中去尋求事件內在的必然規律, 就要研究大量隨機現象的問題.在生產實踐中, 人們還認識到大量試驗數據、測量數據的算術平均值也具有穩定性.這種穩定性就是我們將要討論的大數定律的客觀背景.在這一節中，我們將介紹有關隨機變量序列的最基本的兩類極限定理----大數定理和中心極限定理.內容分布圖示

★大數定理的引入 ★切比雪夫不等式

★例1

★例2 ★大數定理

★中心極限定理的引入 ★林德伯格—勒維定理

★例3 ★例6

★推論

大數定理

★棣莫佛—拉普拉斯定理 ★例4

★例5 ★例7

★例8 ★高爾頓釘板試驗

中心極限定理

★內容小結

★課堂練習★習題4-4

內容要點：

一、依概率收斂

與微積分學中的收斂性的概念類似, 在概率論中, 我們要考慮隨機變量序列的收斂性.定義

1設X1,X2,?,Xn,?是一個隨機變量序列, a為一個常數,若對于任意給定的正數?,有 limP{|Xn?a|??}?1, 則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a, 記為

n??Xn???aP(n??).PP定理1 設Xn???a,Yn???b,又設函數g(x,y)在點(a,b)連續, 則

g(Xn,Yn)???g(a,b).P

二、切比雪夫不等式

定理2設隨機變量X有期望E(X)??和方差D(X)??2,則對于任給??0, 有

P{|X??|??}???22.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若?2越小, 則事件

{|X?E(X)|??} 的概率越大, 即, 隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機變量取值的離散程度.(ii)當方差已知時,切比雪夫不等式給出了X與它的期望的偏差不小于?的概率的估計式.如取??3?, 則有

P{|X?E(X)|?3?}??9?22?0.111.故對任給的分布,只要期望和方差?2存在, 則隨機變量X取值偏離E(X)超過3?的概率小于0.111.三、大數定理 1．切比雪夫大數定律

定理3(切比雪夫大數定律)設X1,X2,?,Xn,?是兩兩不相關的隨機變量序列,它們數學期望和方差均存在, 且方差有共同的上界, 即D(Xi)?K,i?1,2,?, 則對任意??0, 有

??1limP?n????nn?i?1Xi?1nn?i?1??E(Xi)????

1??1nn注: 定理表明: 當n很大時,隨機變量序列{Xn}的算術平均值學期望

2．伯努利大數定理 1nn?i?1Xi依概率收斂于其數?E(X).ii?1定理4(伯努利大數定律)設nA是n重伯努利試驗中事件A發生的次數, p是事件A在每次試驗中發生的概率, 則對任意的??0, 有

?n??n?limP?A?p????1

或 limP?A?p????0.n??n???n??n?注：(i)伯努利大數定律是定理1的推論的一種特例, 它表明: 當重復試驗次數n充分大時, 事件A發生的頻率nAn依概率收斂于事件A發生的概率p.定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性.在實際應用中, 當試驗次數很大時,便可以用事件發生的頻率來近似代替事件的概率.(ii)如果事件A的概率很小，則由伯努利大數定律知事件A發生的頻率也是很小的，或者說事件A很少發生.即“概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎不會發生”，這一原理稱為小概率原理，它的實際應用很廣泛.但應注意到，小概率事件與不可能事件是有區別的.在多次試驗中，小概率事件也可能發生.3．辛欽大數定理

定理5(辛欽大數定律)設隨機變量X1,X2,?,Xn,?相互獨立, 服從同一分布,且具有數學期望E(Xi)??,i?1,2,?, 則對任意??0, 有

?1limP?n???nn?i?1?Xi??????1.?注:(i)定理不要求隨機變量的方差存在;

(ii)伯努利大數定律是辛欽大數定律的特殊情況;

(iii)辛欽大數定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.例如, 要估計某地區的平均畝產量, 可收割某些有代表性的地塊, 如n塊,計算其平均畝產量, 則當n較大時,可用它作為整個地區平均畝產量的一個估計.此類做法在實際應用中具有重要意義.四、中心極限定理

在實際問題中, 許多隨機現象是由大量相互獨立的隨機因素綜合影響所形成, 其中每一個因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機變量一般都服從或近似服從正態分布.以一門大炮的射程為例, 影響大炮的射程的隨機因素包括: 大炮炮身結構的制造導致的誤差, 炮彈及炮彈內炸藥在質量上的誤差, 瞄準時的誤差, 受風速、風向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互獨立的, 人們關心的是這眾多誤差因素對大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨立隨機變量和的問題.中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題, 其結論表明: 當一個量受許多隨機因素(主導因素除外)的共同影響而隨機取值, 則它的分布就近似服從正態分布.1．林德伯格—勒維定理

定理6(林德伯格—勒維)設X1,X2,?,Xn,?是獨立同分布的隨機變量序列, 且

E(Xi)??,D(Xi)??,i?1,2,?,n,?2

則

?n???Xi?n???i?1?limP??x??n???n?????????x12?e?t2/2dt

注: 定理6表明: 當n充分大時, n個具有期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態分布.雖然在一般情況下, 我們很難求出X1?X2???Xn的分布的確切形式, 但當n很大時, 可求出其近似分布.由定理結論有

n?i?1Xi?n?n1近似n?~N(0,1)?n?i?1Xi??n近似?/~N(0,1)?X~N(?,?22/n),X?1nn?i?1Xi.故定理又可表述為: 均值為?, 方差的??0的獨立同分布的隨機變量X1,X2,?,Xn,?的算術平均值X, 當n充分大時近似地服從均值為?,方差為?2/n的正態分布.這一結果是數理統計中大樣本統計推斷的理論基礎.2.棣莫佛—拉普拉斯定理

在第二章中，作為二項分布的正態近似，我們曾經介紹了棣莫佛—拉普拉斯定理，這里再次給出，并利用上述中心極限定理證明之.定理7（棣莫佛—拉普拉斯定理）設隨機變量Yn服從參數n,p(0?p?1)的二項分布, 則對任意x, 有

???Yn?np?limP??x??n?????np(1?p)????x12?e?t22dt??(x)

注: 易見，棣莫佛—拉普拉斯定理就是林德伯格—勒維定理的一個特殊情況.3．用頻率估計概率的誤差

設?n為n重貝努里試驗中事件A發生的頻率, p為每次試驗中事件A發生的概率,q?1?p,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有

???n??P??p????P?????n?????npq??n?npnpq??n??? pq??n???1.pq??

?????n????????pq????n???2????pq???這個關系式可用解決用頻率估計概率的計算問題:

4.李雅普諾夫定理

定理8（李雅普諾夫定理）設隨機變量X1,X2,?,Xn,? 相互獨立, 它們具有數學期望

n和方差: E(Xk)??k,n??時, D(Xk)??2k?0,i?1,2,?，記B?2n??.若存在正數?, 使得當

k?12k1Bn2??nn?E{|k?1Xk??k|2??}?0，則隨機變量之和?Xk的標準化變量: k?1n?Zn?k?1?n?Xk?E?X??k???k?1???D?X??k???k?1?nnnk?X?k?1?Bn??k?1k 的分布函數Fn(x)對于任意x, 滿足

nn??X??k??k??k?1k?1limFn(x)?limP??x??n??n??Bn????x???12?e?t/22dt??(x).注：定理8表明, 在定理的條件下, 隨機變量

nn?Zn?k?1Xk?Bn??k?1k.nn當n很大時,近似地服從正態分布N(0,1).由此, 當n很大時,?Xk?BnZn???k近似地服

k?1k?1?n?2?.這就是說,無論各個隨機變量Xk(k?1,2,?)服從什么分布,只要滿從正態分布N??,B??kn??k?1?n足定理的條件,那么它們的和?Xk當n很大時,就近似地服從正態分布.這就是為什么正態隨

k?1機變量在概率論中占有重要地位的一個基本原因.在很多問題中,所考慮的隨機變量可以表示成很多個獨立的隨機變量之和,例如,在任一指定時刻,一個城市的耗電量是大量用戶耗電量的總和;一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的,它們往往近似地服從正態分布.例題選講：

切比雪夫不等式

例1(講義例1)已知正常男性成人血液中, 每一毫升白細胞數平均是7300, 均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率.解 設每毫升白細胞數為X, 依題意, ??7300,?2?7002，P{5200?X?9400}?P{5200?7300?X?7300?9400?7300}

?P{?2100?X???2100}?P{|X??|?2100}.所求概率為

由切比雪夫不等式

P{|X??|?2100}?1??222/(2100)?1?(700/2100)?1?1/9?8/9，即每毫升白細胞數在5200 ~ 9400之間的概率不小于8/9.例2 在每次試驗中, 事件A發生的概率為0.75, 利用切比雪夫不等式求: 事件A出現的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90? 解 設X為次試驗中, 事件A出現的次數, 則

X~b(n,0.75), ??0.75n, ?2?0.75?0.25n?0.1875n，所求為滿足P{0.74?X/n?0.76}?0.90的最小的n.P{0.74?X/n?0.76}可改寫為

P{0.74n?X?0.76n}?P{?0.01n?X?0.75n?0.01n}?P{|X??|?0.01n}

在切比雪夫不等式中取??0.01n, 則

P{0.74?X/n?0.76}?P{|X??|?0.01n}?1??22/(0.01n)2

?1?0.1875n/0.0001n?1?1875/n

依題意, 取n使1?1875/n?0.9, 解得

n?1875/(1?0.9)?1875,0 即n取18750 時, 可以使得在n次獨立重復試驗中, 事件A出現的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為 0.90.中心極限定理

例3(講義例2)

一盒同型號螺絲釘共有100個, 已知該型號的螺絲釘的重量是一個隨機變量, 期望值是100g, 標準差是10g, 求一盒螺絲釘的重量超過10.2kg的概率.解 設為第i個螺絲釘的重量, i?1,2,?,100，100且它們之間獨立同分布, 于是一盒螺絲釘的重量為X??Xi?1i，且由??E(Xi)?100,??D(Xi)?10,n?100，知E(X)?100?E(Xi)?10000,由中心極限定理有

???P{X?10200}?P????nD(X)?100，?i?1Xi?n??n??10200?n???X?10000??p???n100?????10200?10000??

100??X?10000??X?10000??P??2??1?P??2?

100100?????1??(2)?1?0.97725?0.02275.例4(講義例3)計算機在進行數學計算時, 遵從四舍五入原則.為簡單計.現在對小數點后面第一位進行舍入運算, 則誤差X可以認為服從[?0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項計算中進行了100次數字計算, 求平均誤差落在區間[?3/20,3/20]上的概率.解 n?100, 用Xi表示第i次運算中產生的誤差.相互獨立, 都服從[?0.5,0.5]上的均勻分布, X1,X2,?,X100且E(Xi)?0,var(Xi)?1/12,i?1,2,?,100, 從而

Y100??100i?1Xi?100?0100/12?35100?i?1近似Xi~N(0,1).故平均誤差X?1100100?i?1?33?,Xi落在???2020????上的概率為

??33?31???P???X??P????20?100???20??20100?i?1Xi?3???20??

?3??P??3?5??100?i?1??Xi?3???(3)??(?3)?0.9973.??

例5(講義例4)某公司有200名員工參加一種資格證書考試.按往年經驗考試通過率為0.8,試計算這200名員工至少有150人考試通過的概率.解 ?1,令1??0,第i人通過考試第i人未通過考試,i?1,2,?,200，依題意,P{Xi?1}?0.8,np?200?0.8?160,np(1?p)?32.?200i?1Xi是考試通過人數, 由中心極限定理4, 得

P{?Xi??X?160?/32~N(0,1)，?150}?P{??X?160?/32}??150?160?/200近似i?1i200ii32

?P{??200i?1Xi?160/?32??1.77}

1??(?1.77)??(1.77)?0.96, 即至少有150名員工通過這種考試的概率為0.96.例6(講義例5)某市保險公司開辦一年人身保險業務, 被保險人每年需交付保險費160元, 若一年內發生重大人身事故, 其本人或家屬可獲2萬元賠金.已知該市人員一年內發生重大人身事故的概率為0.005, 現有5000人參加此項保險, 問保險公司一年內從此項業務所得到的總收益在20萬到40萬元之間的概率是多少? 解 記Xi???1,若第i個被保險人發生重大事?0,若第i個被保險人未發生重大故事故(i?1,2,?,5000)

于是Xi均服從參數為p?0.005的兩點分布, 且p{Xi?1}?0.005,np?25.?5000i?1Xi是5000個被保險人中一年內發生重大人身事故的人數, 保險公司一年內從此

5000i?1項業務所得到的總收益為0.016?5000?2??于是

Xi萬元.5000??????P?20?0.016?5000?2Xi?40??P?20????i?1???5000??i?1??Xi?30???

???P???20?2525?0.995??5000i?1Xi?2525?0.995??????(1)??(?1)?0.6826

25?0.995??30?25 例7 對于一個學校而言, 來參加家長會的家長人數是一個隨機變量, 設一個學生無家長, 1名家長, 2名家長來參加會議的概率分別0.05, 0.8, 0.15.若學校共有400名學生, 設各學生參加會議的家長數相互獨立, 且服從同一分布.求參加會議的家長數X超過450的概率.解 以Xk(k?1,2,?,400)記第k個學生來參加會議的家長數, 則Xk的分布律為

Xkpk00.0510.820.15

400易知E(Xk)?1.1,D(Xk)?0.19,k?1,2,?,400, 而X??Xk?1k,由定理3, 隨機變量

400?Xk?1k?400?1.1?X?400?1.14000.190.19近似~400N(0,1), 故

?X?400?1.1450?400?1.1?P{X?450}?P???

4000.19??4000.19?X?400?1.1??1?P??1.147?

?4000.19??1??(1.147)?0.1357.例8 設有1000人獨立行動, 每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計, 在一次行動中, 至少有多少人能進入掩蔽體.解 用Xi表示第i人能夠按時進入掩蔽體, 令Sn?X1?X2???X1000.設至少有m人能進入掩蔽體, 則要求

P{m?Sn}?0.95,Sn?90090 {m?Sn}???m?1000?0.9?1000?0.9?0.1?Sn?900?? 90?近似由中心極限定理, 有

~N(0,1), 所以

?m?900?Sn?900S?900?m?900?P{m?Sn}?P??n?1?P????

90909090????查正態分布數值表, 得

m?90090??1.65, 故m?900?15.65?884.35?884人.課堂練習

某地有甲、乙兩個電影院競爭當地每天的1000名觀眾, 觀眾選擇電影院是獨立的和隨機的.問: 每個電影院至少應設有多少個座位, 才能保證觀眾因缺少座位而離去的概率小于1%?