第一篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式剖析[大全]

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù)型，求證例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)

.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1

即，因?yàn)椋?所以.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個(gè)矩形的面積之

上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間

圖

2即，所以

.例

3證明。

證明

構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可知，在個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為項(xiàng)之和，中間的通項(xiàng)不等式的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)這三個(gè)數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若； 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點(diǎn)（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明

（Ⅲ）不等式項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，此式適合即，左邊是通項(xiàng)為，則當(dāng)，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時(shí)，時(shí)，也就是要證

由此構(gòu)造函數(shù)積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

.圖5

而立.，所以，故原不等式成

第二篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因?yàn)椋?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為的圖象在點(diǎn)

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（Ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖5

而

故原不等式成立.，所以，

第三篇：利用定積分證明數(shù)列和型不等式

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證

.分析

這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間

并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函

上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因?yàn)?，所?所以

.例2 求證

.證明 構(gòu)造函數(shù)

而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖

3個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋鞯膱D象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點(diǎn)（Ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（Ⅲ）不等式數(shù)列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臅r(shí)，此式適合，故只要證當(dāng) 時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點(diǎn)評(píng) 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，

第四篇：高中數(shù)學(xué)_利用定積分證明數(shù)列和型不等式（定稿）

利用定積分證明數(shù)列和型不等式

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū)

我們把形如(為常數(shù))

或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見(jiàn)于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考?jí)狠S題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說(shuō)明供參考.一、(為常數(shù))型

例1(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)

已知正整數(shù)，求證

.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個(gè)不等式更強(qiáng)的不等式，這個(gè)不等式是怎么來(lái)的令人費(fèi)解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過(guò)程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)

數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

1即，因?yàn)椋?所以

.例2求證

.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)

在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個(gè)矩形的面積之和

小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以

.例3證明。

證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間

上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可

個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

3即

.所以

.二、型

例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項(xiàng)為前

項(xiàng)之和，中間的的數(shù)列的前項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為項(xiàng)之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時(shí)這三個(gè)數(shù)

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間

上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長(zhǎng)度1為一邊長(zhǎng)，以左右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長(zhǎng)的兩

個(gè)矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖

4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)

處的切線方程為

.的圖象在點(diǎn)

（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問(wèn)不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強(qiáng)、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn).這個(gè)不等式的證明既可用第二問(wèn)的結(jié)論證明也可用定積分來(lái)證明.證明（Ⅲ）不等式

列的前項(xiàng)之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時(shí)，此式適合，故只要證當(dāng)

時(shí)，即，也就是要證

.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面

積，即

.圖

5而

故原不等式成立.，所以，點(diǎn)評(píng)本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個(gè)新方法新亮點(diǎn)，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問(wèn)題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，精彩的解法不是空穴來(lái)風(fēng)而是理性思維的必然結(jié)果.作者簡(jiǎn)介：鄒生書(shū)，男，1962年12月出生，湖北陽(yáng)新縣人.現(xiàn)任教于陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，黃石市骨干教師.近四年來(lái)在《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)教研》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《河北理科教學(xué)研究》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇，在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多篇.

第五篇：數(shù)列----利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

數(shù)列已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an?S2?Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）設(shè)a1?0，數(shù)列{lg大值。

2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn??

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列{

3在等差數(shù)列?an?中，a3?a4?a5?84,a9?73.（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對(duì)任意m?N*，將數(shù)列?an?中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列m2m10a1的前n項(xiàng)和為Tn，當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最an12n?kn，k?N*,且Sn的最大值為8.29?2an的前n項(xiàng)和Tn。n2?bm?的前m項(xiàng)和Sm.