第一篇：線性規(guī)劃問題中目標函數常見類型梳理
線性規(guī)劃問題中目標函數常見類型梳理
必須做并保管好——王永富
一、直線的斜率型
?x2?y2?4y?3例1.已知實數x、y滿足不等式組?,求函數z?的值域.x?1?x?0
注意：當目標函數形如z?y?a時,可把z看作是動點P(x,y)與定點Q(b,a)連線的斜x?b
率，這樣目標函數的最值就轉化為PQ連線斜率的最值。
?x－y＋2≤0，y例2 已知變量x，y滿足約束條件?x≥1，則的取值范圍是（）.xx＋y－7≤0，?
99（A）6]（B）∪[6，＋∞）5
5（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]
解析是可行域內的點M（x，y）與原點O yx
59y（0，0）連線的斜率，當直線OM過點（取得 22x
9y最小值；當直線OM過點（1，6）時，取得最大值6.答案A 5x
二、平面內兩點間的距離型（或距離的平方型）
?x?y?1?0?例3.已知實數x、y滿足?x?y?1?0，則w?x2?y2?4x?4y?8的最值為___________.?y??1?
同步訓練：已知實數x，y
滿足
是,則的最大值
分析，目標函數的幾何意義是表示可行域內的點
畫出可行域可求得
三、點到直線的距離型
到點（1，1）的距離的平方，例4.已知實數x、y滿足2x?y?1,求u?x2?y2?4x?2y的最小值。
?2x?y?2?0?同步訓練：已知實數x、y滿足?x?2y?4?0,則目標函數z?x2?y2的最大值是____。
?3x?y?3?0?
四、變換問題研究目標函數
?y?x?例5.已知?x?y?2，且z?2x?y的最大值是最小值的3倍，則a等于（）
?x?a?
A．1122或3B．C．或2D． 335
5五、求可行域的面積
?2x?y?6?0?例
6、不等式組?x?y?3?0表示的平面區(qū)域的面積為（）
?y?2?
A、4 B、1 C、5 D、無窮大
六、求可行域中整點個數
例
7、滿足|x|＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱坐標都是整數）有（）
A、9個 B、10個 C、13個 D、14個
七、求線性目標函數中參數的取值范圍
?x?y?5?例
8、已知x、y滿足以下約束條件?x?y?5?0，使z=x+ay(a>0)取得最小
?x?3?
值的最優(yōu)解有無數個，則a的值為（）
A、－3 B、3 C、－1 D、1八、求非線性目標函數的最值例
9、已知x、y滿足以下約束條件?2x?y?2?0??x?2y?4?0，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）
?3x?y?3?0?
A、13，1B、13，2 C、13，4D、55
例9：已知實數滿足，求的最大值．
分析：這個目標函數就顯得有點“隱蔽”了，注意到目標函數有個絕對值符號，聯(lián)想到點到直線的距離公式的結構特點，那么就可順利解決
了．距離的倍．，也是說
表示為可行域內的點到直線
第二篇：求函數的值域常見類型
求值域的幾種常用方法
（1）觀察法、直接法、配方法、換元法：
對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數y??sin2x?2cosx?4，可變?yōu)閥??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解決
（2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數y?log1(?x2?2x?3)就是利用函數y?log1u和u??x2?2x?3的值域來求。
（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數y?2x?13?3?的值域[,] x2?2x?222
（4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數y?
（5）利用基本不等式求值域：如求函數y?3x的值域 x2?42cosx?3的值域，因為 cosx?1
（6）利用函數的單調性求求值域：如求函數y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域
（7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域
（8）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）
m，（m>0）的函數，m<0就是單調函數了 x
4三種模型：（1）如y?x?，求（1）單調區(qū)間（2）x的范圍[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0)?(0,4],求值x（9）對勾函數法 像y=x+
域
（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域（2）單調遞增區(qū)間（x?0或x?4）x?4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求單調遞增區(qū)間 x?3（3）如y?2x?
例1．
1、已知函數f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。
2、已知y=f(x)=x2-2x+3,當x∈[t,t+1]時，求函數的最大值和最小值。
例2． 設函數f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若對于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，則實數a的值為
x2?2x?a例
3、已知函數f(x)? ,x?[1,??).若對任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,試求實數a的取值范圍。x
第三篇：導數在研究函數問題中的應用
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導數在研究函數問題中的應用
作者：朱季生
來源：《中學教學參考·理科版》2013年第04期
函數是高中數學的重要內容和主干知識，而導數知識在研究函數圖象、函數零點、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問題中亦有著廣泛的應用.本文以2012年福建省高考中的函數試題舉例闡述.一、函數的凹凸性與拐點的有關性質
第四篇：淺談導數在求解與函數單調性有關問題中的應用
淺談導數在求解與函數單調性有關問題中的應用
函數單調性是高中階段函數的一個最基本的性質，導數為我們提供了一套新的理論和方法，只通過簡單的求導和解相關的不等式就可以判斷出函數的單調性，進而更深入地解決問題，比如最值問題等。那么，怎樣用導數解決有關單調性的問題呢？
一、導數與函數單調性的關系
1.定義
設函數y=f（x）在某個區(qū)間（a，b）內可導，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞增；如果f'（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區(qū)間內單調遞減。
2.說明
（1）如果函數y=f（x）在區(qū)間I內恒有f'（x）=0，則y=（x）在區(qū)間I內為常函數。
（2）f'（x）>0是f（x）遞增的充分不必要條件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一個點例外，即x=0時f'（x）=0，同樣f'（x）<0是f（x）遞減的充分不必要條件。
（3）設函數y=f（x）在某個區(qū)間內可導，如果 f（x）在該區(qū)間上單調遞增（或單調遞減），則先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去驗證f'（x）=0時是否恒成立。
（4）利用導數證明不等式時，往往要先構造函數，再利用導數判斷其單調性求解。
（5）利用導數求函數單調區(qū)間的三個步驟：
①確定函數的定義域。
②求函數f（x）的導數f'（x）。
③令f'（x）>0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間；令f'（x）<0解不等式，得x的范圍就是遞減區(qū)間。
二、典型例題
1.判斷單調性
例：討論函數的單調性。
題型分析：求出y'，在函數定義域內討論y'的符號，從而確定函數的單調性。
解題歸納：在判斷函數單調性時，在某個區(qū)間內若出現個別的點使f'（x）=0，則不影響包含該點的這個區(qū)間上函數的單調性，只有在某個區(qū)間內恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在該區(qū)間內為常函數。
2.證明單調性
例：求證函數f（x）=在區(qū)間（0，2）上是單調遞增函數。
題型分析：利用導數判斷或證明一個函數在給定區(qū)間上的單調性，實質就是判斷或證明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在給定區(qū)間上恒成立，一般步驟為：求導數f'（x），判斷f'（x）的符號，給出單調性結論。
解題歸納：判斷導數符號時應注意利用不等式的關系。
3.已知單調性求參數的范圍
例：設函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在區(qū)間（-，-）內是減函數，求a的取值范圍。
題型分析：函數解析式中含有參數，已知單調性，求參數的取值范圍，解答本題可先求函數的導數，以導數符號確定參數的取值范圍。
解：因為函數f（x）在區(qū)間（-，-）內是減函數，所以當x∈（-，-）時，f'（x）≤0恒成立，結合二次函數圖象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。
經驗證，當a=2時也成立，所以a≥2。
解題歸納：本題一定要注意最后的驗證，了解導數符號和單調性的非充要關系，做到知識掌握的準確性和做題邏輯的嚴密性。
變式：若函數f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在區(qū)間（1，4）上是減函數，在區(qū)間（6，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍。
題型分析：本變式給出了兩個單調區(qū)間，應該得出兩個導數不等式，再求參數范圍。
解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，結合函數圖象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。
解題歸納：本題也可轉化為f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再驗證等號的方法來求解。
4.利用單調性證明不等式
例：求證當x>0時，ln（x+1）>x-x2。
題型分析：利用導數證明不等式的基本方法是通過移項或者變形后再移項來構造一個新的函數，利用新函數單調性再求最值的方法來證明。
證明：設f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2
函數的定義域為（-1，+∞）
則f'（x）=-1+x=，當x∈（-1，+∞）時，f'（x）>0
所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函數。
所以，當x>0時，f（x）>f（0）=0
即當x>0時，ln（x+1）>x-x2
解題歸納：通過考查函數的單調性證明不等式是不等式證明的一種常用方法，也是證明不等式的一種巧妙方法。
總之，導數在求解與單調性有關問題中有廣泛應用，在以后的工作和學習中我將不斷探索和積累。
（責任編輯馮璐）
第五篇：函數和不等式思想在極值點偏移問題中的應用
函數和不等式思想在極值點偏移問題中的應用
一、教材分析
1．教材的內容
選修
1-1
第三章，本節(jié)屬于專題復習課.2.教材所處的地位和作用
微積分的創(chuàng)立是數學發(fā)展史中的里程碑，它的發(fā)展應用開創(chuàng)了向近代數學過渡的新時期，它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段。導數的概念是微積分的核心概念之一，它有及其豐富的實際背景和廣泛的應用。在選修模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，理解導數的含義，體會導數思想及其內涵；應用導數探索函數的單調，極值等性質在實際中的應用，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發(fā)展的價值。
3.學情分析
①通過《數學必修》中函數，幾何與代數，數學建模等內容的學習以及在《數學選修
1-1》中第二，三章內容的學習，學生已經具備了函數的基本知識和運算能力，這為本節(jié)我們討論極值點偏移問題提供了很好的前提與基礎。
②學生具體研究學習了數學必修中函數單調性的尋找，證明和應用及不等式的相關結論，具備了一定的探究能力。基于此，學生會產生思考，如何運用函數和不等式來解決高考試題中極值點偏移的問題，能否給出一般性的解決方法和步驟，如果能夠得到這類問題較為簡單的解題通法，這個常常出現在高考數學壓軸題
題位置上的難點將不會再對我們造成太難的阻礙，甚至會成為部分同學新的得分點。
③教學對象是高三年級理科生，由于學生年齡和能力及題目本身思維要求高，過程繁，計算難度大等原因，學生的思維盡管活躍，敏捷，但卻缺乏冷靜深刻的數學思維和解難題的能力，因此所做的探索過于片面，結論不夠嚴謹.4.教學的重點和難點
重點：函數構造法，對數平均不等式和極值點偏移的判定定理
難點：函數構造法的結題步驟，構造函數的選取，對數平均不等式的放縮和極值點偏移的判定定理的使用
二、教學目標分析
1．知識與技能
1.能運用函數和不等式解決導數應用中極值點偏移的問題
2.掌握函數和不等式解決這類題的一般步驟
3.極值點偏移的判定定理的使用
2、過程與方法
1.通過利用幾何畫板展現極值點偏移的過程，讓學生直觀認識感受極值點偏移的本
質原因，激發(fā)學生探究解決問題的激情，和培養(yǎng)學生認真觀察事物變化過程，總結變化規(guī)律的習慣。同時在此處先不給出極值點偏移的判定定理，而是先用函數構造法和對數平均不等式這兩種之前已經介紹過的方法來求解例一。重在感受極值偏移的現象，和復習歸納已經學習的知識方法。
2.結合例一的解題過程，重點回顧討論解題的方法和步驟，展示這兩種方法的易錯點和難點的突破口，樹立學生解難題的信心規(guī)范學生的解題過程。然后把時間向前推移六年到例
2（2010
天津）讓學生自主模仿例一的解法嘗試來解例二，通過例一的復習學生較容易使用其中的一種或兩種方法得到題目的答案讓學生體會到學以致用的成就感，同時也通過兩題的比對了解到高考題目的變遷歷史體會該知識點在高考中的地位清楚今后的復習和學習方向。
3.展示學生例二的解題過程并加以點評后提出更高的要求——有沒有更好的方法，結合一開始的三張圖片讓學生再次重新審視極值點偏移的原因回歸到數學本質上來，不用很精準只需要說出自己的直觀感受即可，通過這一過程讓學生鍛煉自己的數學直觀想象和數學運算分析等核心素養(yǎng)，同時也為后面介紹極值點偏移的判定定理做好鋪墊，比較分析函數構造法和對數平均不等式的特點和優(yōu)缺點，認識到具體問題具體分析，方法的選擇要靈活有針對性，不能盲目模仿和生搬硬套，通過一題多解，和同法異題的求解加深解題方法的理解和應用能力的提高，由具體問題的多角度的思維得出不同方法的求解過程培養(yǎng)學生的探索精神和數學歸納的能力，數學抽象能力。
3、情感態(tài)度與價值觀
通過經歷對例一和例二高考真題的探索和解決，激發(fā)學生對數學的好奇心和求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美．引導學生樹立科學的世界觀，提高學生的數學素養(yǎng)和綜合素質。
三、教學方法與手段分析
1.教學方法
結合本節(jié)課的教學內容和學生的認知水平，在教法上，我采用“探究發(fā)現”模式的教學方法，整個教學過程以學生為主體，學生自主學習為中心的思想，同時運用多媒體課件教學等技術手段，同一題目不同方法的比對，相同方法不同題目的求解讓學生由淺入深，循序漸進的參與這堂課的每個過程，自然而然的完成本節(jié)課的教學目標。
2.學法
觀察分析→自主探究→
合作交流
→初步運用
→歸納小結
3.教學手段
利用計算機和實物投影等輔助教學，充分調動學生參與課堂教學的主動性與積極性.四、教學過程分析
教學是一個教師的“導”，學生的“學”以及教學過程中的“悟”構成的和諧整體.教師的“導”也就是教師啟發(fā)、誘導、激勵、評價等為學生的學習搭建支架，把學習的任務轉移給學生，學生就是接受任務，探究問題、完成任務.如果在教學過程中把“教與學”完美的結合也就是以“問題”為核心，通過對知識的發(fā)生、發(fā)展和運用過程的演繹、解釋和探究來組織和推動教學.Ⅰ.創(chuàng)設情境，提出問題
圖
x
=
m
=
x1
+
x2
極值點無偏移
圖
x
m
=
x1
+
x2
極值點左偏
0
圖
x0
2
0
m
=
x1
+
x2
目的：①本例通過給出三張典型的凹函數圖像，讓學生從圖像特征上去直觀感受函數圖像極值點發(fā)生偏移的原因，有助于調動學生學習積極性，同時上來通過圖像讓學生直觀感受而非繁瑣的計算來思考解決問題，有助于開拓學生視野回歸數學問題本質，降低了學生對于該問題的為難情緒。
②通過學生觀察后教師自然而然的給出極值點偏移的定義，并順帶給出極值點偏移的數學解釋逐步讓學生由感性認知上升到理論認知，當然老師在此可以對學生提出進一步要求，可不可以給出一般性的判定定理？這里我們只先提出問題，做下伏筆，但并不馬上去求解，避免由于問題過難而挫傷學生的積極性，同時也為本節(jié)課最后的問題做好了鋪墊。
Ⅱ.探究問題
例一（2016
全國卷一）已知函數
f
(x)=
(x
2)ex
+
a(x
-1)2
有兩個零點。
（I）求
a的取值范圍；（略）
（II）設
x1,x2
是
f
(x)的兩個零點，證明：
x1
+
x2
目的：①發(fā)揮學生的主觀能動性，先自己探求結果，檢查學生前一階段的復習成果和對于問題一的思考和聯(lián)系；
②讓學生對于零點偏移求解過程更加熟練，思路更加清晰；并為下一步對數平均不等式和極值點偏移的判定定理做好鋪墊；
解法一：對稱構造函數法由（1）知a
3
0
①
x1
x2
②構造函數
F
(x)
=
f
(x)
f
(2
x)，(x
1)
T
F
＇
(x)
=
f
＇
(x)
f
＇
(2
x)
=
(x
-1)(ex
+
2a)
+
(1-
x)(e2-x
+
2a)
=
(x
-1)(ex
e2-x)
x
1時
x
0
T
x
x
T
e2-
x
ex
0
＼
F
＇
(x)
0
T
F
(x)在(-
￥，1)上
-
③代入
x1
得
F
(x1)<
F
(1)=
0
T
f
(x2)
=
f
(x1)
f
(2
x1)
又Q
y
=
f
(x)在(1，+
￥)上
-
x2
?
(1,+
￥),2
x1
?
(1,+
￥)
＼
x2
x1
即
x1
+
x2
提問
1：學生解法一由哪些主要步驟，哪些步驟是你覺得難得地方，我們是如何解決這些困難的？
結合學生的回答對稱化構造函數處理極值點偏移問題的基本步驟歸納如下：
＇
①求導獲得
f
(x)的單調性，數形結合判斷零點
x1,x2
和極值點
x0的范圍
②構造輔助函數
F
(x)
=
性
f
(x)
f
(2x0
x)，判斷函數
F
(x)的符號，確定函數
F
(x)的單調
③結合F
(x0)
=
0
限定
x的范圍判定
F
(x)的符號得到不等式
④將
x1
(或x2)
代入上述不等式，利用
f
(x1)
=
f
(x2)
替換
f
(x1)
⑤結合①求得
f
(x)的單調性轉化為
x1,x2的不等式，證明結束。提問
2；可不可以把流程繼續(xù)簡化？
其中主要的三步流程簡化為“求導→構造→代入”。構造是難點，求導是關鍵，常用構
造要記清。
提問
3：還有其他解法嗎？提醒學生從不等式構造上思考
學生有困難，則先回顧基本不等式內容，讓學生從熟悉的，簡單的問題入手
調和平均數￡
幾何平均數￡
算術平均數￡
￡
平方平均數
A(a,b)
=
a
+
b,L(a,b)
=
a
b
ln
a
ln
b
,G(a,b)
=
ab,(a,b
0)
T
A
￡
L
￡
G
解法二：對數平均不等式（ALG）
f
(x)
=
f
(x)
=
0
?
(x
2)ex1
+
a(x
-1)2
=
(x
2)ex2
+
a(x
-1)2
=
0
ì?a(x
-1)2
=
(2
x)ex1
T
í
??a(x
-1)2
=
(2
x)ex2，兩式相減得a(x
+
x
-
2)(x
-
x)
=
(2
x)ex1
(2
x)ex2
ìx1
+
x2
3
0
（反證）假設
x
+
x
3
T
?x
x
0
T
(2
x)ex
(2
x)ex
￡
0
í
?
?a
3
0
T
(2
x)ex1
￡
(2
x)ex2
（左右兩邊同時取對數）
T
ln(2
x1)
+
x1
￡
ln(2
x2)
+
x2
T
ln(2
x1)
ln(2
x2)
￡
x2
x1
T
（x2
x1
3
T
(2
x1)
(2
x2)
3
（*）
ln
x1)-
ln(2
x2)
ln(2
x1)-
ln(2
x2)
由對數平均不等式（ALG）得
(2
x1)
(2
x2)
<
(2
x1)
+
(2
x2)
=
x1
+
x2
￡
ln(2
x1)-
ln(2
x2)
顯然與（*）相矛盾，假設不成立，原命題成立。
解題流程：實際問題→（數學抽象）數學模型→數學解→（解釋與檢驗）實際問題引導學生體會數學思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美．
提問
4：這類問題最早出現在那一年高考題中，當時的高中生如何解決這類問題，我們是否能在當年的高考題中取得滿分？激發(fā)學生的動力積極性，檢查學生的掌握情況。給出本節(jié)的例二
例二（2010
天津卷）已知函數
f
(x)=
xe-x
(x
?
R)
（I）求函數
f
(x)的單調區(qū)間和極值；
（II）已知函數
y
=
g
(x)的圖像與函數
y
=
時，f
(x)
g(x);
f
(x)的圖像關于直線
x
=
對稱，證明：當
x
（III）如果
x1
1
x2，且
f
(x1)
=
f
(x2)，證明
x1
+
x2
2。
解法一：對稱構造函數法（1）（2）略
①由（1）知
x1
x2
②構造函數
F
(x)
=
f
(x)
f
(2
x)，(x
1)
T
F
＇
(x)
=
f
＇
(x)
f
＇
(2
x)
=
e-x
(1-
x)
+
e-(2-x)
[1-
(2
x)]
=
e-x
(1-
x)
+
e-(2-x)
(x
-1)
=
(x
-1)(e-2+x
e-x)
其中
x
0
ü
T
F
＇
(x)
0
t
x
T
ex-2
e-1
e-
x
y
T
F
(x)在（-
￥,1）上
-
③代入
x1
得
F
(x1)<
F
(1)=
0
T
f
(x2)
=
f
(x1)
f
(2
x1)
又Q
y
=
f
(x)在(1，+
￥)上
ˉ
x2
?
(1,+
￥),2
x1
?
(1,+
￥)
＼
x2
x1
即
x1
+
x2
解法二：對數平均不等式（ALG）
f
(x)
=
f
(x)
T
x
e-x1
=
x
e-x2
（左右兩邊同時取對數）
T
ln
x1
x1
=
ln
x2
x2
T
x1
x2
=
ln
x1
ln
x2
T
x1
x2
ln
x1
ln
x2
=
（*）
由對數平均不等式（ALG）得
T
x1
+
x2
x1
x2
ln
x1
ln
x2
=
x1
+
x2
提問
5：顯然這個問題對于現在的我們不是什么難題了，但作為新時代的我們能不能用給簡潔的方法給出這兩題的一般性解法，通法的探討顯然是我們要思考的問題。那么學生對于這個新的挑戰(zhàn)自然就會萌生極大地興趣，這時再回顧我們一開始觀察三張直觀圖時提出的問題，解法三的出現也就是必需的了。即本節(jié)課的最后一個知識點——極值點偏移的判定定理。
III.按圖索驥，回歸本質
極值點偏移判定定理：在給定區(qū)間
D
上函數
y
=
f
(x)
可導
f
(x1)
=
f
(x2),(x1
x2)，若
x0
為
(x,x)
上的唯一極小值點，f
＇＇＇
(x)
0，則極小值點右偏?
x1
+
x2
x；
0
f
＇＇＇
(x)
0，則極小值點左偏?
x1
+
x2
x。
0
對于該定理作為高中生我們只需要了解，不需要完整嚴格的證明，（后附有泰勒展開的完整證明過程，可以開拓一部分自學高等數學的學生的視野）
那么我們怎么來理解該判定定理呢？我們又如何運用它來解決高中相關的數學問題呢？對此我們分兩部分來討論。
第一部分：我們主要結合導數的幾何意義與
n
階導數的運算來了解該定理的由來。首先
通過讓學生再次觀察一開始我們已展示的圖一，二，三不，學生不難發(fā)現
y
=
f
(x)的圖
像偏移的原因，即
y
=
f
(x)的圖像在u(x0,?)
內增減速度的不同而發(fā)生的。接著再進一步
引導學生思考發(fā)生的不同我們如何去用數學的語言來描述刻畫它，提醒學生從導數的幾
何意義來思考，以圖
為例和學生一起做探討：
y
=
f
(x)的圖像的斜率一直在增加，但
增加的速度在變慢，（數學直觀想象），如何用數學語言來表述這一變化？（數學抽象）
→
f
＇
(x)
0,f
＇
(x)
增加T
f
＇＇
(x)
0（速度變慢）T
f
＇＇
(x)的絕對值變小
T
y
=
f
＇＇＇
(x)
0。
完成圖二的探討后可讓學生模仿獨立的完成圖
3的探索：
f
＇
(x)
0,f
＇
(x)
增加T
f
＇＇
(x)
0
（速度變快）
T
f
＇＇
(x)的絕對值變大
T
y
=
f
＇＇＇
(x)
0。
以上結論可簡單記憶口訣（“小大小”，“小小大”），同時若
x0
是極大值點的話，結論相反，口訣為（“大大大”，“大小小”）
IV.給出定理，嘗試新解
第二部分：運用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解
極值點偏移判定定理
解法三：
f
(x)=
(x
2)ex
+
a(x
-1)2
T
f
＇
(x)
=
(x
-1)(ex
+
2a)
T
f
＇＇
(x)
=
(x
-1)ex
+
ex
+
2a
T
f
＇＇＇
(x)
=
ex
(x
+1)
分兩段區(qū)間討論
①若
x
?
(-￥,1]，f
(2)
=
a
0
結合圖像可知
x1
￡
x2
a，則
x1
+
x2
②若
x
?
(-1,+
￥)，f
＇＇＇
(x)
0，x
=
是極小值，符合“小大小”
T
x
+
x2
綜上的x1
+
x2
例二新解
解法三：
f
(x)
=
xe-x
T
f
＇
(x)
=
e-x
xe-x
T
f
＇＇
(x)
=
e-x
(x
2)
T
f
＇＇＇
(x)
=
e-x
(3
x)
分兩段區(qū)間討論
①若
x
?[3,+
￥)，可知
x1
+
x2
max{x1,x2}
3
2，則
x1
+
x2
②若
x
?
(-
￥,3)，f
＇＇＇
(x)
0，x
=
是極大值，符合“大大大”
T
x
+
x2
綜上知
x1
+
x2
至此我們回頭再看例一和例二的三個解法，不知不覺中對于一開始極值點偏移的問題有
了更新的認知。
VI.課堂練習
鞏固雙基
練習
1（2011
遼寧卷）已知函數
f
(x)
=
ln
x
ax2
+
(2
a)x。
（I）討論函數
f
(x)的單調性；
（II）設a
0，證明：當0
x
時，f
（1
+
x)
f
（1
x);
a
a
a
（III）若函數
y
=
f
(x0)
0。
f
(x)的圖像與
x
軸交于
A,B
兩點，線段
AB
中點的橫坐標為
x0，證明
練習
2（2014
天津卷）設
f
(x)
=
x
aex
(a
?
R),x
?
R
已知函數
y
=
且
x1
x2
（1）求
a的取值范圍
（2）證明
x2
隨著
a的減小而增大
x1
（3）證明
x1
+
x2
隨著
a的減小而增大
f
(x)
有兩個零點
x1,x2，練習
已知函數
f
(x)
=
a
ln
x,a
?
R.若函數
f
(x)
有兩個零點
x,x。
x
求證：
x1
+
x2
練習
已知函數
f
(x)
=
ex
ax
有兩個不同的零點
x,x，其極值點為
x
0
（I）求
a的取值范圍
（II）求證：
x1
+
x2
2x0
（III）求證：
x1
+
x2
（IV）求證：
x1
x2
目的：①通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節(jié)課的主要內容和思想方法，從而實現對知識的再次深化.②練習分層，有利于不同層次的學生培養(yǎng)。
VII.課堂小結
學生點評，老師引導:
①由圖像直觀到方法求解,由繁瑣到簡潔，由為結題而解題到回歸數學本質，一再的追問和嘗試思考有利于學生的知識遷移和能力提高；
②用三種方法解題的運用：函數構造法，對數平均不等式和極值點偏移的判定定理。對三種解法的對比的再認識．特別是方法的選擇上要能盡可能適合題目適合自己；
③在理解方法的基礎上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化解法的靈活性，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.體現知識目標。
五、教學評價
結果因過程而精彩,現象因方法而生動.無論是情境創(chuàng)設,還是探究設計,都必須以學生為主體、教師為主導、訓練為主線,設法從龐雜的知識中引導學生去尋找關系,挖掘書本背后的數學思想,建構基于學生發(fā)展的知識體系,教學生學會思考,讓教學真正成為發(fā)展學生能力的課堂活動。因此，本課例在具體問題的數學模型的建立和數學工具的選擇上舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學生學會探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽光，不一定能喚醒萬物，卻能催開人世間最絢麗的花朵。
通過三種解題方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了極值點偏移的解決方法；從圖像直觀到理論總結和方法嘗試，數學的解題方法拉近了知識之間的聯(lián)系；由特殊到一般問題的推導不再讓學生為解題而解題，展現了數學思維的魅力．學生從中深刻地領會到解題過程中所蘊含的數學思想，培養(yǎng)了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能．在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養(yǎng)了學生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質．
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