第一篇：分式函數值域解法

分式函數值域解法匯編

甘肅省定西工貿中專文峰分校 張占榮

函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想，數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖象。而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一。為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討。下面就本人對分式函數值域的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關概念

函數值是指在函數y＝f(x)中，與自變量x的值對應的y值。

函數的值域是函數值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定；當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義確定。

分式函數是指函數解析式為分式形式的函數。

二、分式函數的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關于自變量x（或參數）的一次函數的分式函數。

1.y=(a0)型

例１ 求函數y=的值域。

解法一：常數分離法。將y=轉化為y=（k1,k2為常數），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數法。利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。

解：反解y=得x=，對調 y=（x)，∴函數y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數的一次分式函數，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名。可以考慮借助三角函數值域解題，其實質跟y=（t=sinx）在t的指定區間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數的值域為[，0]。

總結：求一次分式函數的值域，首先要看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上；其次用反函數法解題；再次還要注意含三角函數的分式函數，其實質是在指定區間上求分式函數的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關于x的二次函數。由于出現了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數、方程三者相互聯系，可以相互轉化。所以可考慮將其轉化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f(x)=0。由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數y的二次方程f(x)=0,根據判別式

即可求出值域。

例４ 求函數y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當y＝0時，x＝0，當y≠0時，由△≥0得-

∵函數定義域為R，≤y≤。

∴函數y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數的單調性求值域。

解：用單調性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數y=t+ 在t≥2上單調遞增。

∴當t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數的值域為。

總結：不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結分式函數值域解法

求函數的值域是高中數學的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進行歸類總結，盡最大可能地尋找不同類型分式函數求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數法。反函數法是求一次分式函數的基本方法，是利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內，還是在指定區間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數的基本方法之一，即先去分母，把函數轉化成關于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數的值域。需注意的是判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區間上求二次分式函數的基本方法之一，當二次分式函數在指定區間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復合型分式函數值域的常用方法。當分式函數的分子或分母出現子函數（如三角函數）時，可考慮用換元法，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調性法。單調性法是通過確定函數在定義域(或某個定義域的子集)上的單調性求出函數的值域的方法。

另外，還可以根據函數的特點，利用數形結合或求導數的方法求分式函數的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明

第二篇：二次分式函數值域的求法

二次

甘肅王新宏

一定義域為R的二次分式函數用“判別式”法

解題步驟：1把函數轉化為關于x的二次方程方程有實根，△≥0求的函數值域

2x2?x?21：求y =2的值域 x?x?2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2?x?2由y =2得，x?x?2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①當y-2=0時，即y=2時，方程為x=0?R

②當y-2≠0時，即y≠2時,∵x?R

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有實根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函數值域為?1,5? 2222

練習1：求y =3x的值域 x2?4?33???4,4? ??

二分母最高次冪為一次的二次分式函數值域常轉化為“√”函數或用“均值不等式”來做。先來學習“√”函數。

形如y =x+

圖像

k(x>0 ,k>0)的函數，叫“√”函數 x

??

值域：?2k,??? 單調性：在x∈0,時，單調遞減。在x∈k,???時，單調遞減。解題步驟：①令分母為t,求出t的范圍

②把原函數化為關于t的函數

③利用“√”函數的單調性或均值不等式來求值域

2x2?x?11例2求y =（?x?3）的值域 22x?1

解令2x-1=t,得

t?1 2

t111∴y=???2? 2t22

t1當且僅當?時，即t=2時，取“=”。2t

1∴y?2? 20

∴值域為：?2??

?1?,???2?

?7??1,3? ??(sinx)2?3cosx?4練習2求y=的值域cosx?2

三分子為一次因式的二次分式函數，即形如：y=ax?b(ac?0)cx2?dx?e

解題步驟：①令分子為t,求出t的范圍，把原函數化為關于t的函數

②分子分母同除以t，把分母化為關于t的“√”函數

③根據復和函數的單調性得出原函數值域

例3y =x?1x???1,??? 2x?3x?3

解令x+1=t,得

t??0,???且x=t-1

∴y=t=t2?t?1111?t?t

1?3(t=1時取“=”)t

1∴y?且y>0 3∵1+t+

∴值域為?0,? 3

練習3:求y =?1???x的值域 ？x2?1?1??0,2? ??

四分子分母均為二 次的二 次分式函數可化為“三“求之。

2x?12x2?6x?12(x2?2x?2)?2x?1例如：y=2==2+ x2?2x?2x?2x?2x2?2x?2

注：實際上所有的二次分式函數的值域都可以用求導的方法解決，但有些題目用求導的方法求值域時比較繁瑣，配和以上方法，會得到事半功倍的效果。

張掖實驗中學734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第三篇：函數值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數值域的幾種方法

求分式函數值域的常見方法 1 用配方法求分式函數的值域

如果分式函數變形后可以轉化為y?配方，用直接法求得函數的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結論來求分式函數的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當y?1時①式是一個關于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當y?1時，x?0，?1?故函數的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數的值域時要注意下列問題：

1、函數定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當x不能取某些實數時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉換后的一元二次方程若二次項系數中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數單調性求分式函數的值

對于求函數的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數本質特征的通性通法即利用函數的單調性來求其值域.例1求函數y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數進而y是x的增函數，于是y????,?2?； x?1當x??1時，當x??1時，同樣y是x的增函數，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調性的結論： x在求分式函數時我們常運用函數y?x??⑴當a?0時在??,a和??a,??上增函數，在??a,0和0,a上是減函數.??????⑵當a?0時在???,0?和?0,???上是增函數.例求函數y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數，在?2,3?是上增函數，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數法(反解)求分式函數的值域

設y?f(x)有反函數，則函數y?f(x)的定義域是它反函數的值域，函數y?f(x)的值域是其反函數的定義域.那么如果一個分式函數的反函數存在，我們就可以通過求反函數的定義域來求其值域.例1 求函數y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數存在，其反函數為5x?152??，5?解：由于函數y?y?x? 明顯知道該函數的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數，并且用此方法求函數的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關于y的不等式所以反函數求值域的實質是反函數的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數的值域

4x2?7x??0,1?求函數例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數的值域即為關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數的值域

當題目的條件與結論看不出直接的聯系（甚至相去甚遠）時，為了溝通已知與未知的聯系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，發現解題方向.換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學數學問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當且僅當tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據三角函數的有界性求能求出函數的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數的值域.若原函數通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數為正；②各變數的和或積為常數.則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當x?1時取等號），8故函數的值域為?0,3?.例2 設Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數學聯賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數列的問題而實際是我們可以將其轉化為求函數值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質來求其值域就使得整個解題過程利用數更簡單.8.斜率法求分式函數的值域

數形結合是中學數學中的一種重要的數學思想方法.數是形的抽象概括，形是數的直觀表現.華羅庚先生指出：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現在數學的其它領域中，在求函數的值域與最值時也有良好的反映.聯想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數化為斜率式并利用數形結合法來求函數的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數的值域為??51???2,2??.

第四篇：分式函數

函數與導數專題（文）

分式函數

2x?11．函數f?x??x的值域為2?1

說明：引出分式函數基本做法，突出對勾形式函數f(x)?x?

質。

2．（浙江卷文8）若函數f(x)?x?2a(a?R)的圖象與基本性xa(a?R)，則下列結論正確的是x

A．?a?R，f(x)在(0,??)上是增函數

B．?a?R，f(x)在(0,??)上是減函數

C．?a?R，f(x)是偶函數

D．?a?R，f(x)是奇函數

t2?4t?13．【2010·重慶文數】已知t?0，則函數y?的最小值為____________.t

x2?3x?3,(x??1)的值域為變式練習：①函數f?x??x?1

②函數f?x??

③函數f?x??

4．【2010·天津文數】設函數f(x)=x-

則實數m的取值范圍是________.?x?y?2?05．動點P(a,b)在不等式組?表示的平面區域內部及其邊界上運動，則??a?b?3的取值范圍?x?y?0a?1?y?0?x?1,(x??1)的值域為2x?3x?3sinx?cosx?1???,x??0,?的值域為2sinxcosx?2?1,對任意x?[1,??），f(mx)+mf(x)<0恒成立，x

是．

例題1：經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內（以30天計），日旅游人數f(t)（萬人）與時間t（天）的函數關系近似滿足f(t)?4?1，人均消費g(t)（元）與時間（的函數關系近似滿足g(t)?115?|t?15|.t天）

t

（Ⅰ）求該城市的旅游日收益w(t)（萬元）與時間t(1?t?30,t?N)的函數關系式；

（Ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）

例題2：【2010·江蘇卷】將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，2(梯形的周長）其中一塊是梯形，記S?,求S的最小值。梯形的面積

【解析】考查函數中的建模應用，等價轉化思想，一題多解.設剪成的小正三角形的邊長為x，則：S?2(3?x)2

?(0?x?1)21?x方法一:利用導數求函數最小值

.(3?x)2(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)?222(1?

x)1?

x(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)?2(3x?1)(x?3)??2222(1?x)(1?x)1S?(x)?0,0?x?1,x?，3

11當x?(0,]時，S?(x)?0,遞減；當x?[,1)時，S?(x)?0,遞增； 33

故當x?1時，S的最小值是。33

方法二:利用函數的方法求最小值.t211112?令3?x?t,t?(2,3),?

(,)，則：S? 86t32?t?6t?8???1t2t

故當?

1t31,x?時，S

.83

第五篇：分式函數難點

關于y=f（x）=x^2/1+x^2函數求值問題

如果記y=x^2/1+x^2=f（x），并且f（1）表示當x=1時y的值，即f（1）=1^2/1+1^2=1/2；f（1/2）表示當x=1/2時y的值，即f（1/2）=（1/2）^2/1+（1/2）^2=1/5，求f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）的值（結果用含n的代數式表示，n為正整數）

解：

因為f（x）=x^2/1+x^2

所以f(1/x)=(1/x)^2/[1+(1/x)^2]上下乘x^2

=1/(1+x^2)

所以f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(1+x^2)=(1+x^2)/(1+x^2)=1 所以f(1)=1/(1+1)=1/2

f(2)+f(1/2)=1

……

f(n)+f(1/n)=1

所以f（1）+f（2）+f（1/2）+f（3）+f（1/3）+……+f（n）+f（1/n）

=1/2+1+1+……+1

=1/2+(n-1)

=n-1/2