第一篇：高等數學教案ch 11 無窮級數

x?

5、泰勒級數；

6、傅里葉級數的狄利克雷定理。

§11? 1 常數項級數的概念和性質

一、常數項級數的概念

常數項級數? 給定一個數列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ??

則由這數列構成的表達式

u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?

?叫做(常數項)無窮級數? 簡稱(常數項)級數? 記為?un?

n?1?即

?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ? 其中 ?n?1?n?1

余項? 當級數?un收斂時? 其部分和s n是級數?un的和s的近似值? 它們之間的差值

?

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?叫做級數?un的余項?

n?1

例1 討論等比級數(幾何級數)

?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?

n?0?的斂散性? 其中a?0? q叫做級數的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當|q|?1時? 因為limsn?? 所以此時級數?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0

當|q|>1時? 因為limsn??? 所以此時級數?aqn發散?

n??n?0?

如果|q|?1? 則當q?1時? sn ?na??? 因此級數?aqn發散?

n?0?

當q??1時? 級數?aqn成為

n?0?

a?a?a?a? ? ? ??

時|q|?1時? 因為sn 隨著n為奇數或偶數而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時級數?aqn也發散?

n?0??a

綜上所述? 如果|q|?1? 則級數?aq收斂? 其和為? 如果|q|?1? 則級數?aqn發散?

1?qn?0n?0n?

僅當|q|?1時? 幾何級數?aqna?0)收斂? 其和為n?0?a?

1?q

例2 證明級數

1?2?3?? ? ??n?? ? ?

是發散的?

證 此級數的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n(n?1)2?

顯然? limsn??? 因此所給級數是發散的?

n??

例3 判別無窮級數

解 由于

un?因此

sn?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

1?22?33?4n(n?1)111???

n(n?1)nn?11111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)

?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?從而

limsn?lim(1?n??n??1212131n11)?1?n?1n?11)?1?

n?1所以這級數收斂? 它的和是1?

二、收斂級數的基本性質

?n?1?n?1性質1 如果級數?un收斂于和s? 則它的各項同乘以一個常數k所得的級數?kun也收?n?1?n?1斂? 且其和為ks?(如果級數?un收斂于和s? 則級數?kun也收斂? 且其和為ks?)?n?1?n?

1這是因為? 設?un與?kun的部分和分別為sn與?n? 則

lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks?

n??n??n??n?? ?這表明級數?kun收斂? 且和為ks?

n?1

性質2 如果級數?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級數?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1???s???

這是因為? 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n? 則

n?1n?1n?1???

lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n??

?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

n??

?lim(sn??n)?s???

n??

性質

3在級數中去掉、加上或改變有限項? 不會改變級數的收斂性?

比如? 級數1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級數10000?級數111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質4 如果級數?un收斂? 則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂? 且其和不n?1變?

應注意的問題? 如果加括號后所成的級數收斂? 則不能斷定去括號后原來的級數也收斂?

例如? 級數

(1?1)+(1?1)+? ? ?收斂于零? 但級數1?1?1?1?? ? ?卻是發散的?

推論? 如果加括號后所成的級數發散? 則原來級數也發散?

級數收斂的必要條件?

?

性質5 如果?un收斂? 則它的一般項un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

（性質5的等價命題：若limun?0，則級數?un發散）

n?0n?1?

證

設級數?un的部分和為sn? 且limsn?s? 則

n?1n??

limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n?0n??n??n??

應注意的問題? 級數的一般項趨于零并不是級數收斂的充分條件?

例4 證明調和級數

?1111?1??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發散的?

23nn?1n1收斂且其和為s? sn是它的部分和?

nn?1??

證 假若級數?顯然有limsn?s及lims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n??

但另一方面?

s2n?sn?1111111?? ? ? ? ???? ? ? ? ???

n?1n?22n2n2n2n21必定發散?

nn?1?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說明級數?n??

§11? 2 常數項級數的審斂法

一、正項級數及其審斂法

正項級數? 各項都是正數或零的級數稱為正項級數?

?

定理1 正項級數?un收斂的充分必要條件它的部分和數列{sn}有界?

n?1?n?1?n?1?n?

1定理2(比較審斂法)設?un和?vn都是正項級數? 且un?vn(n?1? 2? ? ? ?)? 若級數?vn收?n?1?n?1?n?1斂? 則級數?un收斂? 反之? 若級數?un發散? 則級數?vn發散?

證

設級數?vn收斂于和?? 則級數?un的部分和

n?1n?1??

sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?

?即部分和數列{sn}有界? 由定理1知級數?un收斂?

n?1?n?1?n?1

反之? 設級數?un發散? 則級數?vn必發散? 因為若級數

?n?1?n?1?vn收斂? 由上已證明的結論? 將有級數?un也收斂? 與假設矛盾?

?n?1?n?1?n?1

推論 設?un和?vn都是正項級數? 如果級數?vn收斂? 且存在自然數N? 使當n?N時?n?1?n?1有un?kvn(k?0)成立? 則級數?un收斂? 如果級數?vn發散? 且當n?N時有un?kvn(k?0)成立?

?則級數?un發散?

n?1

例1 討論p?級數

?

?n?111111?1???? ? ? ? ?? ? ? ?

pppppn234n 的收斂性? 其中常數p?0?

解 設p?1? 這時1p?1? 而調和級數?1發散? 由比較審斂法知? 當p?1時級數?1pnnn?1nn?1n發散?

設p?1? 此時有

nn111111?dx?dx?[?p?1](n?2, 3, ? ? ?)?

??pppp?1n?1nn?1xp?1(n?1)nn???對于級數?[n?211?]? 其部分和 p?1p?1(n?1)n12]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11?

]?1?p?1p?1(n?1)(n?1)

sn?[1?3因為limsn?lim[1?n??n??1]?1?

p?1(n?1)?111所以級數?[收斂? 從而根據比較審斂法的推論1可知? 級數當p?1?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n?時收斂?

?

綜上所述? p?級數?n?11當p?1時收斂? 當p?1時發散?

pn1?

例2 證明級數?n?1n(n?1)是發散的?

證 因為1n(n?1)?1(n?1)2?1?

n?1?而級數?n?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發散的?

n?123n?1根據比較審斂法可知所給級數也是發散的?

?n?1?n?1

定理3(比較審斂法的極限形式)

設?un和?vn都是正項級數?

(1)如果limn??unvnunvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且級數?vn收斂? 則級數?un收斂?

(2)如果limn???l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且級數?vn發散? 則級數?un發散?

例3 判別級數?sin1的收斂性?

n?1?nsin

解 因為 limn??1?n?1? 而級數1發散?

?1n?1nn?根據比較審斂法的極限形式? 級數?sinn?11發散?

n?

例4 判別級數?ln(1?n?11)的收斂性?

n2ln(1?

解 因為 limn??1)?21n?1? 而級數收斂?

?21n?1n2n?根據比較審斂法的極限形式? 級數?ln(1?n?11)收斂?

n2?

定理4(比值審斂法? 達朗貝爾判別法)設?un為正項級數? 如果

n?1limn??un?1un???

則當??1時級數收斂? 當??1(或limn??un?1un??)時級數發散? 當? ?1時級數可能收斂也可能發散?

例5 證明級數1??是收斂的?

解 因為 limn??1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ?(n?1)un?1un? limn??1?2?3 ? ? ?(n?1)1?2?3 ? ? ? n? limn??1?0?1?

n根據比值審斂法可知所給級數收斂?

1?2?3n!

例6 判別級數1?1?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

23n10101010

解 因為 limn??un?1un(n?1)!10nn?1? lim?? lim???

n?1n!n??10n??10根據比值審斂法可知所給級數發散?

例7 判別級數?1的收斂性?

(2n?1)?2nn???

解 limn??un?1un? lim(2n?1)?2nn??(2n?1)?(2n?2)?1?

這時??1? 比值審斂法失效? 必須用其它方法來判別級數的收斂性?

?111?2? 而級數?

因為收斂? 因此由比較審斂法可知所給級數收斂?

2(2n?1)?2nnn?1n

定理5(根值審斂法? 柯西判別法)

設?un是正項級數? 如果它的一般項un的n次根的極限等于??

n?1?

limnn??un???

n則當??1時級數收斂? 當??1(或limn??un???)時級數發散? 當??1時級數可能收斂也可能發散?

例8 證明級數1?111?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是收斂的?

223n 并估計以級數的部分和sn近似代替和s所產生的誤差?

解 因為 limn??nun? limnn??11? lim?0?

nnn??n所以根據根值審斂法可知所給級數收斂?

以這級數的部分和sn近似代替和s所產生的誤差為

|rn|?

?

?111??? ? ? ? n?1n?2n?3(n?1)(n?2)(n?3)111??? ? ? ? ?

(n?1)n?1(n?1)n?2(n?1)n?31?

n(n?1)n?

例6判定級數?n?12?(?1)n2n的收斂性?

解 因為

limn??nun?lim1n12?(?1)n??

2n??2所以? 根據根值審斂法知所給級數收斂?

定理6

(極限審斂法)

設?un為正項級數?

n?1?

(1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 則級數?un發散?

n??n???n?1?

(2)如果p?1? 而limnpun?l(0?l???)? 則級數?un收斂?

n??n?1?

例7 判定級數?ln(1?n?11)的收斂性?

2n

解 因為ln(1?11)~(n??)? 故 n2n2n??

limn2un?limn2ln(1?n??121)?limn?2?1?

n??n2n根據極限審斂法? 知所給級數收斂?

?

例8 判定級數?n?1(1?cosn?1?n)的收斂性?

解 因為

limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???

n2n2根據極限審斂法? 知所給級數收斂?

二、交錯級數及其審斂法

交錯級數? 交錯級數是這樣的級數? 它的各項是正負交錯的?

交錯級數的一般形式為?(?1)n?1un? 其中un?0?

n?1??

例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交錯級數?

是交錯級數? 但?(?1)n?1nnn?1?

定理6（萊布尼茨定理）

如果交錯級數?(?1)n?1un滿足條件?

n?1?

(1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

(2)limun?0?

n??則級數收斂? 且其和s?u1? 其余項rn的絕對值|rn|?un?1?

簡要證明? 設前n項部分和為sn?

由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)?

及

s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n

看出數列{s2n}單調增加且有界(s2n?u1)? 所以收斂?

設s2n?s(n??)? 則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 從而級數是收斂的? 且sn?u1?

因為 |rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收斂的交錯級數? 所以|rn|?un?1?

例9 證明級數?(?1)n?1 收斂? 并估計和及余項?

n?1?1n

證

這是一個交錯級數? 因為此級數滿足

(1)un?1?1?un?1(n?1, 2,? ? ?)?

(2)limun?lim1?0?

nn?1n??n??n由萊布尼茨定理? 級數是收斂的? 且其和s?u1?1? 余項|rn|?un?1?

1三、絕對收斂與條件收斂?

絕對收斂與條件收斂?

?n?1?n?1?n?1n?1?

若級數?|un|收斂? 則稱級數?un絕對收斂? 若級數?un

?n?1?n?1收斂? 而級數?|un|發散? 則稱級?un條件收斂?

例10 級數?(?1)n?1?n?11n?11是絕對收斂的? 而級數是條件收斂的?

(?1)?2nnn?1?n?1??n?

1定理7 如果級數?un絕對收斂? 則級數?un必定收斂?

值得注意的問題?

?n?1?n?1

如果級數?|un|發散? 我們不能斷定級數?un也發散?

?

但是? 如果我們用比值法或根值法判定級數?|un|發散?

n?1?則我們可以斷定級數?un必定發散?

n?1?這是因為? 此時|un|不趨向于零? 從而un也不趨向于零? 因此級數?un也是發散的?

n?1

例11 判別級數?sinna的收斂性?

2nn?1?

1na1

解 因為|sin2|?2? 而級數?2是收斂的?

nnn?1nnasinna所以級數?|sin2絕對收斂?

|也收斂? 從而級數?2nn?1n?1n

2例12 判別級數?(?1)n1n(1?1)n的收斂性?

????n?12n2

解? 由|un|?1n(1?1)n? 有limn2nn??|un|?111lim(1?)n?e?1?

2n??n2可知limun?0? 因此級數?(?1)nn??n?1?11n2(1?)發散?

nn2

§ 11? 3 冪級數

一、函數項級數的概念

函數項級數? 給定一個定義在區間I 上的函數列{un(x)}? 由這函數列構成的表達式

u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? 稱為定義在區間I上的(函數項)級數?

記為?un(x)?

n?1?

收斂點與發散點?

對于區間I內的一定點x0? 若常數項級數?un(x0)收斂? 則稱

n?1?點x0是級數?un(x)的收斂點?

若常數項級數?un(x0)發散? 則稱

n?1?n?1??點x0是級數?un(x)的發散點?

n?

1收斂域與發散域?

函數項級數?un(x)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域? 所

n?1? 有發散點的全體稱為它的發散域?

和函數?

在收斂域上? 函數項級數?un(x)的和是x的函數s(x)?

n?1?s(x)稱為函數項級數?un(x)的和函數? 并寫成s(x)??un(x)?

n?1n?1??

∑un(x)是?un(x)的簡便記法? 以下不再重述?

n?1?

在收斂域上? 函數項級數∑un(x)的和是x的函數s(x)?

s(x)稱為函數項級數∑un(x)的和函數? 并寫成s(x)?∑un(x)?

這函數的定義就是級數的收斂域?

部分和?

函數項級數?un(x)的前n項的部分和記作sn(x)?

n?1?

函數項級數∑un(x)的前n項的部分和記作sn(x)? 即

sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)?

在收斂域上有limsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?

n??

余項?

函數項級數?un(x)的和函數s(x)與部分和sn(x)的差

n?1?

rn(x)?s(x)?sn(x)叫做函數項級數?un(x)的余項?

n?1?

函數項級數∑un(x)的余項記為rn(x)? 它是和函數s(x)與部分和sn(x)的差 rn(x)?s(x)?sn(x)?

在收斂域上有limrn(x)?0?

n??

二、冪級數及其收斂性

冪級數?

函數項級數中簡單而常見的一類級數就是各項都冪函數的函數 項級數? 這種形式的級數稱為冪級數? 它的形式是

a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? ?

其中常數a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做冪級數的系數?

冪級數的例子?

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ?

1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

2!n!

注? 冪級數的一般形式是

a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?

經變換t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?

冪級數

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ?

可以看成是公比為x的幾何級數? 當|x|?1時它是收斂的? 當|x|?1時? 它是發散的? 因此它的收斂

域為(?1? 1)? 在收斂域內有

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

1?x

定理1(阿貝爾定理)如果級數?anxn當x?x0(x0?0)時收斂? 則適合不等式

n?0?|x|?|x0|的一切x使這冪級數絕對收斂? 反之? 如果級數?anxn當

n?0?x?x0時發散? 則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級數發散?

證

先設x0是冪級數?anx的收斂點? 即級數?anxn收斂? 根據級數收斂的必要條件?

n?0n?0n有limanx0?0? 于是存在一個常數M? 使 n??n?n?| anx0 |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

這樣級數n?0?anxn的的一般項的絕對值

xnxnxnn|?|ax|?||?M?||?

n0nx0x0x0??n|anxn|?|anx0???xnn因為當|x|?|x0|時? 等比級數?M?||收斂? 所以級數?|anx|收斂? 也就是級數?anxn絕

x0n?0n?0n?0對收斂?

定理的

例1 求冪級數

n?1?(?1)?n?1nxnx2x3n?1x?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?

n23n的收斂半徑與收斂域?

1a

解

因為?? lim|n?1|? limn?1?1?

n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?

?

當x?1時? 冪級數成為?(?1)n?1n?1?1? 是收斂的?

n

1當x??1時? 冪級數成為?(?)? 是發散的? 因此? 收斂域為(?1, 1]?

nn?1

例2 求冪級數?1?x?1nx n!n?0?12131x?x? ? ? ? ?xn? ? ? ? 2!3!n!的收斂域?

1a(n?1)!n!? lim?0?

解

因為?? lim|n?1| ? limn??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R???? 從而收斂域為(??, ??)?

例3 求冪級數?n!xn的收斂半徑?

n?0?

解 因為

?? lim|n??an?1an| ? lim(n?1)!n!n??????

所以收斂半徑為R?0? 即級數僅在x?0處收斂?

例4 求冪級數??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?

解 級數缺少奇次冪的項? 定理2不能應用? 可根據比值審斂法來求收斂半徑?

冪級數的一般項記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?

因為 lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?

當4|x|?1即|x|?21112時級數收斂? 當4|x|?1即|x|?時級數發散? 所以收斂半徑為R?? 222[2(n?1)]!x2(n?1)?(2n?2)(2n?1)(n?1)2[(n?1)!]2?提示?

(2n)!2nun(x)x(n!)2un?1(x)x2?

例5 求冪級數??(x?1)n2nn的收斂域?

tn?

nn?12n?n?1

解 令t?x?1? 上述級數變為?an?1an

因為 ?? lim|n??2n?n1| ?n?1??

2?(n?1)2所以收斂半徑R?2?

?(?1)1

當t?2時? 級數成為?? 此級數發散? 當t??2時? 級數成為?? 此級數收斂? 因此

nn?1nn?1?tn級數?n的收斂域為?2?t?2? 因為?2?x?1?2? 即?1?x?3? 所以原級數的收斂域為[?1, 3)?

n?12n?

三、冪級數的運算

設冪級數?anx及n?0?nn?0?bnxn分別在區間(?R, R)及(?R?, R?)內收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)?中較小的區間內有 加法? 減法? n?0??anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0?n?0?nn?n?n?n?0?anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0n?0

設冪級數∑anxn及∑bnxn分別在區間(?R, R)及(?R?, R?)內收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中較

小的區間內有

加法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

減法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

乘法?(?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?

nn?0n?0??

?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)xn? ? ? ?

性質1 冪級數?anxn的和函數s(x)在其收斂域I上連續?

n?0?

如果冪級數在x?R(或x??R)也收斂? 則和函數s(x)在(?R, R](或[?R, R))連續?

性質2 冪級數?anxn的和函數s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項積分公式

n?0?

?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0anxdx???xn?ann?0n?1xn?1(x?I)?

逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑?

性質3 冪級數?anxn的和函數s(x)在其收斂區間(?R? R)內可導? 并且有逐項求導公式

n?0?

s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?

n?1?n?逐項求導后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑?

例6 求冪級數?1xn的和函數?

n?0n?1??

解 求得冪級數的收斂域為[?1? 1)?

設和函數為s(x)? 即s(x)?

在xs(x)?1xn? x?[?1? 1)? 顯然s(0)?1?

n?0n?1?1n?1x的兩邊求導得 n?1n?0???11n?1x)???xn?

[xs(x)]???(?

n?11?xn?0n?0?對上式從0到x積分? 得

xs(x)??1dx??ln1(?x)?

01?xx

1???ln(1?x)0?|x|?11于是? 當x ?0時? 有s(x)??ln(1?x)? 從而s(x)??x?

x? 1 x?0?x?11n?

1因為xs(x)??x??[?xn?1]?dx

0n?0n?1n?0n?1?

??x?0n?0?xndx??0x1dx??ln1(?x)?

1?x所以? 當x?0時? 有s(x)??1ln(1?x)?

x1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?

? 1 x?0?

例7 求級數??(?1)nn?1?的和?

n?0

解

考慮冪級數?1xn? 此級數在[?1, 1)上收斂? 設其和

n?0n?1?函數為s(x)? 則s(?1)??(?1)nn?1?

n?0?(?1)11?ln?

在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)? 于是?s(?1)?ln2? s(?1)?ln? 即?22n?0n?1n

§11? 4 函數展開成冪級數

一、泰勒級數

要解決的問題? 給定函數f(x)? 要考慮它是否能在某個區間內“展開成冪級數”? 就是說? 是否能找到這樣一個冪級數? 它在某區間內收斂? 且其和恰好就是給定的函數f(x)?

如果能找到這樣的冪級數? 我們就說? 函數f(x)在該區間內能展開成冪級數? 或簡單地說函數f(x)能展開成冪級數? 而該級數在收斂區間內就表達了函數f(x)?

泰勒多項式? 如果f(x)在點x0的某鄰域內具有各階導數? 則在該鄰域內f(x)近似等于

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?

?f(n?1)f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?

泰勒級數? 如果f(x)在點x0的某鄰域內具有各階導數f?(x)? f??(x)? ? ? ? ?

f(n)(x)? ? ? ? ? 則當n??時? f(x)在點x0的泰勒多項式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級數

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?

這一冪級數稱為函數f(x)的泰勒級數?

顯然? 當x?x0時? f(x)的泰勒級數收斂于f(x0)?

需回答的問題? 除了x?x0外? f(x)的泰勒級數是否收斂? 如果收斂? 它是否一定收斂于f(x)?

定理

設函數f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數? 則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n?0時的極限為零? 即

n??limRn(x)?0(x?U(x0))?

證明

先證必要性? 設f(x)在U(x0)內能展開為泰勒級數? 即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?

又設sn?1(x)是f(x)的泰勒級數的前n?1項的和? 則在U(x0)內sn?1(x)? f(x)(n??)?

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?

再證充分性? 設Rn(x)?0(n??)對一切x?U(x0)成立?

因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)?

即f(x)的泰勒級數在U(x0)內收斂? 并且收斂于f(x)?

麥克勞林級數? 在泰勒級數中取x0?0? 得

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??

此級數稱為f(x)的麥克勞林級數?

展開式的唯一性? 如果f(x)能展開成x的冪級數? 那么這種展式是唯一的? 它一定與f(x)的麥克勞林級數一致?

這是因為? 如果f(x)在點x0?0的某鄰域(?R? R)內能展開成x的冪級數? 即

f(x)?a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?

那么根據冪級數在收斂區間內可以逐項求導? 有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x2? ? ? ??nanxn?1? ? ? ? ?

f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anx

n?2

2n

? ? ? ? ?

f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anxn?3 ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ? f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?

于是得

a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??

應注意的問題? 如果f(x)能展開成x的冪級數? 那么這個冪級數就是f(x)的麥克勞林級數? 但是? 反過來如果f(x)的麥克勞林級數在點x0?0的某鄰域內收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點x0?0處具有各階導數? 則f(x)的麥克勞林級數雖然能作出來? 但這個級數是否在某個區間內收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察?

二、函數展開成冪級數

展開步驟?

是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內有展開式

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?

例1 將函數f(x)?ex展開成x的冪級數?

解 所給函數的各階導數為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f

1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ??

2!n!(n)

x

(n)

(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級數

它的收斂半徑R????

對于任何有限的數x、?(?介于0與x之間)? 有

n?1e?n?1|x||x|x| ?e?

|Rn(x)| ?|?

(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式 而 limn??(n?1)!n??

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例2 將函數f(x)?sin x 展開成x的冪級數?

解 因為f(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?

? ? ?)?

2所以f(n)(0)順序循環地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級數

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ??

x?3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????

對于任何有限的數x、?(?介于0與x之間)? 有

sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?|因此得展開式

|x|n?1| ??0(n ??)?

(n?1)!2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例3 將函數f(x)?(1? x)展開成x的冪級數? 其中m為任意常數?

解? f(x)的各階導數為

f ?(x)?m(1?x)m?1?

f ??(x)?m(m?1)(1?x)

? ? ? ? ? ? ? ? ??

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以

f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級數

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4 將函數f(x)?cos x展開成x的冪級數?

解

已知

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

對上式兩邊求導得

cosx?1?x2x4x2n?? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(???x???)?

2!4!(2n)!1展開成x的冪級數?

1?x

2例5 將函數f(x)?

解 因為21?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?

1?x把x換成?x? 得

1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ?(?1?x?1)? 21?x注? 收斂半徑的確定? 由?1??x2?1得?1?x?1?

例6 將函數f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級數?

解

因為f?(x)?1?

1?x而1是收斂的等比級數1?xn?0?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數? ?

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?

1?x所以將上式從0到x逐項積分? 得

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)?

234n?

1解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx 1?xxn?1

??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

0n?1n?0n?0xnnn??

上述展開式對x?1也成立? 這是因為上式右端的冪級數當x?1時收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續?

例7 將函數f(x)?sin x展開成(x?

解

因為

sinx?sin[并且有

cosx(?

sinx(?所以

sinx??4?(x??4)的冪級數?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

3!45!42?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?

242!43!

4例8 將函數f(x)?

解 因為

f(x)?1展開成(x?1)的冪級數?

x2?4x?3111111?????

2x?1x?1(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)x?4x?34(1?)8(1?)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)

??(?1)??(?1)n4n?08n?024n

?n?0?(?1)n(?12n?2?122n?3)(x?1)n(?1?x?3)?

提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?

24n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域的確定? 由?1?

展開式小結? x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

241?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!ln(1?x)?x?x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?(1?x)m?1?mx?

§11? 5 函數的冪級數展開式的應用

一、近似計算

例1 計算5240的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

因為5240?5243?3?3(1?14)1/5?

3所以在二項展開式中取m?1? x??14? 即得

5111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?

535?2!35?3!3這個級數收斂很快? 取前兩項的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截斷誤差)為

|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?8?3?12??16? ? ? ?)245?2!35?3!35?4!31?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????

125325?27?40200001?8111)?

534于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10?4? 計算時應取五位小數? 然后四舍五入? 因此最后得

5240?2.9926?

例2 計算ln 2的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

在上節例5中? 令 x?1可得

ln2?1?111?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?.23n

如果取這級數前n項和作為ln2的近似值? 其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過10?4? 就需要取級數的前10000項進行計算.這樣做計算量太大了? 我們必需用收斂較快的級數來代替它.把展開式

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)234n?1中的x換成?x ? 得

x2x3x ln(1?x)??x???? ? ? ?(1?x?1)?

234兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?

ln1?x11?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)? 1?x3533令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一個展開式? 得

1?x

ln2?2(??13111111????? ? ? ?)? 333535737如果取前四項作為ln2的近似值? 則誤差為

|r4|?2(?

?111111????13? ? ? ?)***[1??()? ? ? ? ]

9931?2111???.11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同樣地? 考慮到舍入誤差? 計算時應取五位小數?

1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得

ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?解

首先把角度化成弧度?

9??從而

x求sin9?的近似值? 并估計誤差?

3!?180?9(弧度)??3?20(弧度)?

1?sin??20203!20??? ?

其次? 估計這個近似值的精確度? 在sin x 的冪級數展開式中令x??? 得

201??1???1??????

sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個收斂的交錯級數? 且各項的絕對值單調減少? 取它的前兩項之和作為sin?的近似值? 起誤差為

1??11

|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?520?3于是得

sin9??0?15643? 這時誤差不超過10?5?

例4 計算定積分

x2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001（取

21??0.56419）?

解 將e的冪級數展開式中的x換成?x? 得到被積函數的冪級數展開式

e?x2?1??(?x2)1!?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

??(?1)nn?0x2n(???x???).n!于是? 根據冪級數在收斂區間內逐項可積? 得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1

?(1?111??? ? ? ?).2462?32?5?2!2?7?3!前四項的和作為近似值? 其誤差為

|r4|?所以

21111??

?2?9?4!900008??20e?x2dx?1?(1?12?32??42??52!16)?0.52? 0 5?2?73!1

例5 計算積分

?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解 由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數在x?0處的值為1?

x?0x則它在積分區間[0? 1]上連續.展開被積函數? 有

sinxx2x4x6

?1???? ? ? ?(???x???)?

x3!5!7!在區間[0? 1]上逐項積分? 得

?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?

x3?3!5?5!7?7!因為 收斂于和v? 就說復數項級數收斂且和為u?iv?

絕對收斂?

2如果級?(un?ivn)的各項的模所構成的級數?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級數?(un?ivn)絕對收斂?

n?1?

復變量指數函數? 考察復數項級數

1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!x 可以證明此級數在復平面上是絕對收斂的? 在x軸上它表示指數函數e? 在復平面上我們用它來定義復變量指數函數? 記為ez ? 即

ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!

歐拉公式? 當x?0時? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?

?1?iy?

?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ?)?i(y?y3?y5? ? ? ?)2!4!3!5!

?cos y?isin y?

把y定成x得

e?cos x?i sin x?

這就是歐拉公式?

復數的指數形式? 復數z可以表示為

z?r(cos? ?isin?)?rei? ?

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?

三角函數與復變量指數函數之間的聯系?

因為e?cos x?i sin x? e?cos x?i sin x? 所以 ix?ixix

e+e?2cos x?

e?e?2isin x?

cosx?1(eix?e?ix)? sinx?1(eix?e?ix)?

22iix?ixx?ix這兩個式子也叫做歐拉公式?

復變量指數函數的性質?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?

§11.7 傅里葉級數 一、三角級數

三角函數系的正交性

三角級數? 級數 a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?稱為三角級數? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數?

三角函數系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函數系的正交性? 三角函數系中任何兩個不同的函數的乘積在區間[??? ?]上的積分等于零? 即

???cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

????

???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???1??2?三角函數系中任何兩個相同的函數的乘積在區間[????]上的積分不等于零? 即

dx?2??

2???cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx???2(n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函數展開成傅里葉級數

問題? 設f(x)是周期為2?的周期函數? 且能展開成三角級數?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系數a0? a1? b1? ? ? ? 與函數f(x)之間存在著怎樣的關系? 假定三角級數可逐項積分? 則

????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里葉系數?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

f(x)cosnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)? ??1?系數a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數f(x)的傅里葉系數?

傅里葉級數? 三角級數

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1? 稱為傅里葉級數? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數?

問題? 一個定義在(??? ??)上周期為2?的函數f(x)? 如果它在一個周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數? 然而? 函數f(x)的傅里葉級數是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數f(x)? 一般來說? 這兩個問題的答案都不是肯定的?

定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設f(x)是周期為2?的周期函數? 如果它滿足? 在一個周期內連續或只有有限個 1 f(x)?4[sinx?sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

?32k?1

(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?

例2 設f(x)是周期為2?的周期函數? 它在[????)上的表達式為

f(x)???x ???x?0

0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級數.解 所給函數滿足收斂定理的條件? 它在點x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續? 因此? f(x)的傅里葉級數在x?(2k?1)?處收斂于

11?[f(x?0)?f(x?0)]?(0??)???

222在連續點x(x?(2k?1)?)處級數收斂于f(x)?

傅里葉系數計算如下?

a0?1?????f(x)dx?1????0xdx?? ?? 2an?1?????f(x)cosnxdx?1????0xcosnxdx?1xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)??22?nnn??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?

??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ?

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????0xsinnxdx?1?[?xcosnxsinnx0cosn??]?? ??nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?

周期延拓? 設f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補充函數f(x)的定義? 使它拓廣成周期為2?的周期函數F(x)? 在(??? ?)內? F(x)?f(x).

例3 將函數

f(x)??展開成傅里葉級數?

解 所給函數在區間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數時? 它在每一點x處都連續? 因此拓廣的周期函數的傅里葉級數在[??? ?]上收斂于f(x)?

傅里葉系數為?

a0?

an?1??x ? ??x?0

x 0 ? x????1????????f(x)dx?1????(?x)dx???0101?xdx???

1?2f(x)cosnxdx?????0(?x)cosnxdx???0?

xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ??

?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)?

三、正弦級數和余弦級數

當f(x)為奇函數時? f(x)cos nx是奇函數? f(x)sin nx是偶函數? 故傅里葉系數為

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?2 ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?

2?35??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

因此奇數函數的傅里葉級數是只含有正弦項的正弦級數

?bnsinnx?

n?1?

當f(x)為偶函數時? f(x)cos nx是偶函數? f(x)sin nx是奇函數? 故傅里葉系數為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶數函數的傅里葉級數是只含有余弦項的余弦級數

a02??ancosnx?

n?1?

例4 設f(x)是周期為2?的周期函數? 它在[??? ?)上的表達式為f(x)?x? 將f(x)展開成傅里葉級數?

解 首先? 所給函數滿足收斂定理的條件? 它在點x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續? 因此f(x)的傅里葉級數在函數的連續點x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于

11[f(??0)?f(???0)]?[??(??)]?0?

其次? 若不計x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數? 于是 an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而

bn?

?2?2?0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

?[?xcosnxsinnx?22?]??cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

02nnnnf(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n

(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?

例5 將周期函數u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級數? 其中E是正的常數?

解 所給函數滿足收斂定理的條件? 它在整個數軸上連續? 因此u(t)的傅里葉級數處處收斂于u(t)?

因為u(t)是周期為2?的偶函數? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt 11cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

(4n2?1)?所以u(t)的傅里葉級數展開式為

u(t)?4E(1??1cosnt)(???t???)?

2?2n?14n?1

奇延拓與偶延拓? 設函數f(x)定義在區間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們在開區間(??? 0)內補充函數f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(偶函數)? 按這種方式拓廣函數定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?

例6 將函數f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級數和余弦級數?

解

先求正弦級數? 為此對函數f(x)進行奇延拓?

bn?2???0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 nnn2?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???

??

2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數的正弦級數展開式為

x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x? ? ? ? ](0?x??)?

34在端點x?0及x??處? 級數的和顯然為零? 它不代表原來函數f(x)的值?

再求余弦級數? 為此對f(x)進行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 2nnn0 n?2, 4, 6, ? ? ? ??

?2(cosn??1)??4?

?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2

a0?2??0?(x?1)dx?2x2?[?x]0???2 ?2

函數的余弦級數展開式為

x?1? ??1?4(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?

2?35

§11? 8 周期為2l的周期函數的傅里葉級數

我們所討論的周期函數都是以2?為周期的? 但是實際問題中所遇到的周期函數? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數f(x)展開成三角級數呢？

問題? 我們希望能把周期為2l的周期函數f(x)展開成三角級數? 為此我們先把周期為2l的周期函數f(x)變換為周期為2?的周期函數?

令x?l?t及f(x)?f(ll?t)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數?

lt?2l)?f(lt)?F(t)? 這是因為F(t?2?)?f[?(t?2?)]?f(??于是當F(t)滿足收斂定理的條件時? F(t)可展開成傅里葉級數?

F(t)?其中

an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?

n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

????1?從而有如下定理?

定理 設周期為2l的周期函數f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級數展開式為

f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?

2n?1ll?其中系數an ? bn 為

an??f(x)cosl?l1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

l

bln?xn?1l??lf(x)sinldx(n?1? 2? ? ? ?)?

當f(x)為奇函數時?

?f(x)??binn?xns? n?1l

其中b2l?ln?0f(x)sinn?xldx(n ? 1? 2? ? ? ?)?

當f(x)為偶函數時?

f(x)?a0?2??an?xncos?

n?1l其中a2n??ln?xl0f(x)cosldx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?

例1 設f(x)是周期為4的周期函數? 它在[?2? 2)上的表達式為

f(x)???0 ?2?x?0(常數k?0)??k 0?x?2

將f(x)展開成傅里葉級數?

解

這里l?2?

a12?20kcosn?x2dx?[kn?sinn?xn?2]20?0(n?0)?

a?102?0?20dx?12?20kdx?k?

2?2k

b1n?2?0ksinn?x2dx?[?kn?cosn?x2]2k? 0?n?(1?cosn?)??n???0 于是

f(x)?k2?2k?(sin?x2?13sin3?x2?15sin5?x2? ? ? ?)(???x???? x?0? ?2? ?4?

? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于

k2)?

? px 0?l

例2 將函數M(x)??x??22展開成正弦級數?

?p(l?x)?2 l2?x?l

n?1, 3, 5, ? ? ? n?2, 4, 6, ? ? ?

解

對M(x)進行奇延拓? 則

an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?2lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?

l?0??0ll2l2l2l對上式右邊的

第二篇：高等數學教案ch 8.4～8.8

§8? 4 多元復合函數的求導法則

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)

?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數?

dt

2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形

定理2 如果函數u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z??z??u??z??v??z??w

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？

?y?x

提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？

?y?x?f?f?f?f

提示? ?z??u?? ?z??u??

?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導數? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數? 與也朋類似

?y?y?x的區別?

3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形

定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z?dv

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

?z

例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?

?x?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?

?y?x

?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f

?u????z

?y?y?z?y

?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數dz?

dt

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數? 求及? ?x?z?x

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?

引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?

2?

?x?u?x?v?x12?f??f?

?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?

注?

2?2u?

?(1)(?u)2?(?u)2?

(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標與極坐標間的關系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數求導法則? 得

???u???ux?uy?u??uysin??co?s???

?u??u?

?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????

?u??u?

????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數? 得

2??(?u)?????(?u)??? ?

u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin

?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??

?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得

22222?u?u?u11?u1??u?

2?2?2???22?2[?(?)?u]?

??????2?x?y???????

全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數的求導法則 一、一個方程的情形

隱函數存在定理1

設函數F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內具有連續偏導數? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

dy等式兩邊對x求導得 ?F??F??0?

?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得 Fdy??x?

dxFy

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?

解 設F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?

dx2y2y2y3ydx2x?0

2隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?

隱函數存在定理2

設函數F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?

?y?x因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz?2z

例2.設x?y?z?4z?0? 求2?

?x

解

設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx?

v??

x2?y2x2?y2y 事實上?

xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?

yyx?yyv?x?22?2x2?

yx?yx?y

如何根據原方程組求u? v的偏導數？

隱函數存在定理設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列

?F?(F,G)?u式：

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)

?u??1??xv?

?v??1??ux?

?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????

?u??1?

?v??1?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的 二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?y?x?x?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??22? ?v?22?

?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u?22? ?v??22?

?yx?y?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx

?? 即??

udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?

x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?

x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數?

又

?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)

(1)證明方程組

?

y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設

J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

?x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

J?u?xJ?v?x

同理? 可得

?u??1?x?v?1?x

? ?

?yJ?v?yJ?u

§8? 6

多元函數微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0

? ???x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

x?1?y?1?z? ?

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

x?1?y?2?z?1

?

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

在點(1? ?2? 1)處?

二? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

y?2z?3?法線方程為x?1??

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

x?2?y?1?z?4法線方程為 ?

42?1§8? 7

方向導數與梯度

一、方向導數

現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向導數的定義可知? 方向導數

?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向導數的計算?

定理

如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??

tt?0?這就證明了方向導數的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向導數如何? 提示?

?f?f??

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x2y

例1 求函數z?xe在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(1, ?1)?

22? 因為函數可微分? 且?z?x所以所求方向導數為

(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??

?z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?

2222(1,1,2)

二? 梯度

設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向導數? ?

如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?

?f

討論? 的最大值?

??l

結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方?f向的方向導數就等于|grad f(x0? y0)|? 于是

?n?f

grafd(x0,y0)?n?

?n

這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?

梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數的等量面的概念? 則可得函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面? 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數?

1?

x2?y2 解 這里f(x,y)?212?

x?y 例3 求grad

因為 ?f?f2y??22x22? ??222?

?x?y(x?y)(x?y)2y所以

gra d212??22x22i?222j?

x?y(x?y)(x?y)

例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?

利用場的概念? 我們可以說向量函數grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數量場f(M)產生的? 通常稱函數f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數量函數的梯度場??

例5 試求數量場m所產生的梯度場? 其中常數m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?

解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理

?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而

gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?

rrrrr2r

上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質量為m 質點對位于點M而質量為l的質點的引力? 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數m稱為引力勢?

r

r§8?8

多元函數的極值及其求法

一、多元函數的極值及最大值、最小值

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?

例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?

例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?

例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?

以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?

設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點?

?

例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

第一步 解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

求得一切實數解? 即可得一切駐點?

第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數的值A、B和C?

第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?

例4 求函數f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導數

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數的(?3? 2)處有極大值 f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數的駐點? 因此? 在考慮函數的極值問題時? 除了考慮函數的駐點外? 如果有偏導數不存在的點? 那么對這些點也應當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區域D上連續? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數在D上連續、在D內可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數在D的內部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數f(x? y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據問題的性質? 知道函數f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得? 而函數在D內只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

8解 設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為m? 此水箱所用材料的面積為

xyA?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)?

xyxyxy8)?0? 得x?2? y?2?

A?2(x?令Ax?2(y?8?)?0yy2x

2根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x? y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省?

?

2?2? 因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?

2?從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)?

令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

?12?2x?xcos??0

??

2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

?

這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得

2(x?y)2

V?xy(a?2xy)?

2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法?

現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dy?0?

dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)fy(x0,y0)

設???? 上述必要條件變為

?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

???(x0,y0)?0

拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

???(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數V?xyz的最大值?

構成輔助函數

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?

?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?

第三篇：高等數學教案ch 8.2 偏導數

§8?2

偏導數

一、偏導數的定義及其計算法

對于二元函數z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數? 這函數對x的導數? 就稱為二元函數z?f(x? y)對于x的偏導數?

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應地函數有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

存在? 則稱此極限為函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導數? 記作

?z?xx?x0y?y0?

?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

例如：

fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?x?0?

類似地? 函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導數定義為

lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?

記作 ?z?yx?x0y?y0? ?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導函數?

如果函數z?f(x? y)在區域D內每一點(x? y)處對x的偏導數都存在? 那么這個偏導數就是x、y的函數? 它就稱為函數z?f(x? y)對自變量x的偏導函數? 記作

?z?x?

?f?x? zx? 或fx(x,y)?

偏導函數的定義式? fx(x,y)?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?

?x

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?z?y? ?f?y? zy ? 或fy(x,y)?

偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim求?f?x?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

?f?y時? 只要把y暫時看作常量而對x求導數? 求時? 只要把x暫時看作常量而對y求導數?

討論? 下列求偏導數的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

fx(x0,y0)?[df(x,y0)]x?x? fy(x0,y0)?[df(x0,y)]y?y?

dx0dy0

偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數??例如三元函數u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導數定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數u?f(x? y? z)的定義域的內點? 它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題?

例1 求z?x2?3xy?y2在點(1? 2)處的偏導數?

?z?z?3x?2y?

解 ?z?2x?3y?

?x?y?xx?1?2?1?3?2?8? y?2?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?

例2 求z?x2sin 2y的偏導數?

?z?2x2cos2y?

解 ?z?2xsin2y?

?x?y 例3 設z?xy(x?0,x?1)? 求證?

?z?xylnx??

證 ?z?yxy?1?

x?z1?z??2zy?xlnx?y?

?x?y

x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2zlnx?

例4 求r?x2?y2?z2的偏導數?

解 ?r??xxx?y?z222?xr? ?r??yyx?y?z222?yr?

例5 已知理想氣體的狀態方程為pV=RT(R為常數)? ?

求證? ?p?V?T????1?

?V?T?p?pRT 證 因為p?RT? ??2? ?V?VV

V?RT? ?V?R?

p?Tp

T?所以pV? ?T?V?

?pRR?p?V?TRTRVRT????2??????1?

?V?T?ppRpVV

例5 說明的問題? 偏導數的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導數的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導數與連續性? 對于多元函數來說? 即使各偏導數在某點都存在? 也不能保證函數在該點連續? 例如

?xy22 x ?y?0? f(x,y)??x?y2

2? 2?0?0 x ? y在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數在點(0? 0)并不連續?

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

d

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?[f(0, y)]?0?

dxdy

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)y?kxkx2k?lim2?2222x?0x?kxx?y1?k2xy? ?

因此? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函數f(x? y)在(0? 0)處不連續?

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?f

?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導數

?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

設函數z?f(x? y)在區域D內具有偏導數

?z?fx(x,y)? ?x

?z?fy(x,y)? ?y

那么在D內fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數? 如果這兩個函數的偏導數也存在? 則稱它們是函數z?f(x? y)的二偏導數? 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數

如果函數z?f(x? y)在區域D內的偏導數fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導數?

則它們的偏導數稱為函數z?f(x? y)的二階偏導數? 按照對變量求導次序的 不同有下列四個二階偏導數

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)()?2?fxx(x,y)?

?y?x?x?y?x?x?x?

??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)?

()?2?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y

??z?2z??z?2z?fxy(x,y)?()??fyx(x,y)稱為混合偏導數? ?其中()??y?x?x?y?x?y?y?x??z?2z()?2?x?x?x2??z?2z??z?2z()?()?? ? ? ?(?z)??z?

?2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數? ? 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數?

例6 設z?xy?3xy?xy?1? 32

3?2z求2?x?3z、3?x?2z?2z、和?

?y?x?x?y

解 ?z?3x2y2?3y3?y? ?z?2x3y?9xy2?x?

?x?y2?3z2

?z? ?6xy?6y2?

32?x?x?2z?2z22

?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ??x?y?y?x

?2z?2z?由例6觀察到的問題?

?y?x?x?y?2z?2z

定理 如果函數z?f(x? y)的兩個二階混合偏導數及在區域D內連續?

?y?x?x?y那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等?

類似地可定義二元以上函數的高階偏導數?

2?2z 例7 驗證函數z?lnx2?y2滿足方程?z??0?

22?x?y 證 因為z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以

?z??xxx2?y2? ?z??yyx?y22?

22y2?x2?2z(x?y)?x?2x??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2?

22x2?y2?2z(x?y)?y?2y??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2?

x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?222?222?0?

?x?y(x?y)(x?y)

例8．證明函數u?1r?2u?2u?2u滿足方程2?2?2?0?

?x?y?z 其中r?x2?y2?z2?

證? ?u??12??r??12?x??x3?

?xr?xrrr

同理

?2u13x?r13x2??3?4???3?5?x2rr?xrr?

?2u13y???523?yrr2213z2? ?u???5?

23?zrr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2??3???3?5?0rr5rr

?

2?x提示? ?u?(?)??23?x?xrr3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x?

??66rr

第四篇：高等數學教案ch 9 重積分

第九章

重積分

教學目的：

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。

2、掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。

3、掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。

4、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。教學重點：

1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；

2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。

3、二、三重積分的幾何應用及物理應用。教學難點：

1、利用極坐標計算二重積分；

2、利用球坐標計算三重積分；

3、物理應用中的引力問題。

§9? 1 二重積分的概念與性質 一、二重積分的概念

1? 曲頂柱體的體積

設有一立體? 它的底是xOy面上的閉區域D? 它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續? 這種立體叫做曲頂柱體? 現在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積?

首先? 用一組曲線網把D分成n個小區域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

這個平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i?

i?1n可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i?

??0i?1n其中?是個小區域的直徑中的最大值?

2?平面薄片的質量?

設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續? 現在要計算該薄片的質量M?

用一組曲線網把D分成n個小區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量?

?(? i ? ? i)?? i ?

各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值? M???(?i,?i)??i?

i?1nn

將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質量M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個小區域的直徑中的最大值?

定義 設f(x? y)是有界閉區域D上的有界函數? 將閉區域D任意分成n個小閉區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個小區域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和

n?i?1f(?i,?i)??i?

如果當各小閉區域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在閉區域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即

D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i?

nf(x? y)被積函數? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區域? 積分和?

直角坐標系中的面積元素?

如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區域外? 其余的小閉區域都是矩形閉區域? 設矩形閉區域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作

??Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素?

二重積分的存在性? 當f(x? y)在閉區域D上連續時? 積分和的極限是存在的?

也就是說函數f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數f(x? y)在閉區域D上連續? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的?

二?

二重積分的性質

性質1 設c1、c2為常數? 則

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD?

性質2如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和? 例如D分為兩個閉區域D1與D2? 則

??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

D1D

2性質3 ??1?d????d???(?為D的面積)?

DD

性質4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式

??Df(x,y)d????g(x,y)d?D?

特殊地

|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

性質5 設M、m分別是f(x? y)在閉區域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有

m????Df(x,y)d??M??

性質6(二重積分的中值定理)設函數f(x? y)在閉區域D上連續? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?? ?)使得

??Df(x,y)d??f(?,?)??

§9? 2 二重積分的計算法

一、利用直角坐標計算二重積分

X??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區域?

設f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區域D為底的D曲頂柱體的體積?

對于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根據平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

即

V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

可記為

??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區域D為Y ??型區域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區域?

D

解? 畫出區域D?

解法1?

可把D看成是X??型區域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x?

注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D1111

2解法2? 也可把D看成是Y??型區域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288?

例2? 計算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區D域?

解

畫出區域D? 可把D看成是X??型區域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1?

301

2也可D看成是Y??型區域：?1?y?1? ?1?x

??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx?

例3 計算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區域?

D

解 積分區域可以表示為D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy?

積分區域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy

4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368?

討論積分次序的選擇?

例

4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設這兩個圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立體關于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂的曲頂柱體? 于是

V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

D

?8?(R2?x2)dx?16R3?

0R3

二?

利用極坐標計算二重積分

有些二重積分? 積分區域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數用極坐標變量?、? 表達比較簡單?

這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分??f(x,y)d??

Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i?

下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式?

以從極點O出發的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區域D分為n個小閉區域? 小閉區域的面積為?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i?

其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)?

則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

nn于是 lim即

??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d??

??f(?co?D若積分區域D可表示為

? 1(?)???? 2(?)?

??????

則

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區域?

解

在極坐標系中? 閉區域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)?

02

注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy?

利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計算廣義積分??? 0e?xdx?

2設D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}?

D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?

S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區域上的二重積分之間有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因為

?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應用上面已得的結果有

?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2?

?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)?

2于是上面的不等式可寫成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)?

2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?4? 從而?e?xdx???

??2 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積?

解

由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??4a2?x2?y2dxdy?

D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區域?

在極坐標系中D可表示為

0???2a cos? ? 0??? ??

2?于是

V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d?

?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)?

0332?§9?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區域?上的有界函數? 將?任意分成n個小閉區域

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個小閉區域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區域的直徑

i?1n中的最大值?趨于零時?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數f(x? y? z)在閉區域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?

????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi?

n

三重積分中的有關術語?

???——積分號?

f(x? y? z)——被積函數?

f(x? y? z)dv

?——被積表達式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區域?

在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z??

當函數f(x? y? z)在閉區域?上連續時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區域?上是連續的?

三重積分的性質? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv??

???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?1??2dv?V? 其中V為區域?的體積? 二、三重積分的計算

1? 利用直角坐標計算三重積分

三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

提示?

設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計算????f(x,y,z)dv?

基本思想?

對于平面區域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數? 在區間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數F(x? y)?

F(x,y)??三重積分?

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計算F(x? y)在閉區域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即

???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

例1 計算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區域?

解 作圖? 區域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1?

2于是

???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz

??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2

?14?0(x?2x1?x3)dx?1?

討論? 其它類型區域呢?

有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區域?所得到的一個平面閉區域? 則有

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?

c1Dzc

2例2 計算三重積分???zdxdydz?

2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空

abc間閉區域?

解 空間區域?可表為: 22y2

x2?2?1?z2? ?c? z?c?

abc于是

????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3?

?2?cDz?cc1

5練習

1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中

?

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區域?

2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式?

?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

2? 利用柱面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規定?、?、z的變化范圍為?

0??

坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點M 的直角坐標與柱面坐標的關系?

x??cos?? y??sin?? z?z ?

?x??cos???y??sin???z?z

柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例3 利用柱面坐標計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區域?

解 閉區域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

????zdxdydz?????z?d?d?dz2

42?

2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d?

002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2???

026

33? 利用球面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數r、?、? 來確定? 其中

r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數r、?、? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標面r?r0? ???0? ???0的意義?

點M的直角坐標與球面坐標的關系?

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ?

?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos???

球面坐標系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標系中的三重積分?

????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d???

例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr

?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr

16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)?

提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

§9? 4 重積分的應用

元素法的推廣?

有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應用中? 如果所要計算的某個量U對于閉區域D具有可加性(就是說? 當閉區域D分成許多小閉區域時? 所求量U相應地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區域D內任取一個直徑很小的閉區域d?時? 相應的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達式? 在閉區域D上積分?

U???f(x,y)d??

D這就是所求量的積分表達式?

一、曲面的面積

設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區域? 函數f(x? y)在D上具有連續偏導數fx(x? y)和fy(x? y)? 現求曲面的面積A ?

在區域D內任取一點P(x? y)? 并在區域D內取一包含點P(x? y)的小閉區域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

dA?cos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

D或

A???1?(?z)2?(?z)2dxdy?

D?x?y

設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x

或

A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx?

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2?

因為z對x和對y的偏導數在D? x2?y2?R2上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限?

x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220

?2?R(R?R2?a2)?

于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?

a?R整個球面面積為

A?2A1?4?R2?

提示?

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222?

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222?

所以

A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R

?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設有一顆地球同步軌道通訊衛星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與地球自轉的角速度相同? 試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

解 取地心為坐標原點? 地心到通訊衛星中心的連線為z軸? 建立坐標系?

通訊衛星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為

z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2??

于是通訊衛星的覆蓋面積為

A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy?

其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區域?

利用極坐標? 得

A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)?

由于cos??R? 代入上式得

R?h

A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h?

由此得這顆通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106

???42.5%?

4?R22(R?h)2(36?6.4)?106

由以上結果可知? 衛星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛星就可以覆蓋幾乎地球全部表面?

二、質心

設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片的質心坐標?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

在閉區域D上任取包含點P(x? y)小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則

平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數? 則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質心?

解 因為閉區域D對稱于y軸? 所以質心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0?

因為

??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7??

22d????2???1?3???D?

??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)?

3?3

3類似地? 占有空間閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續)的物體的質心坐標是

x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質心?

解 取半球體的對稱軸為z軸? 原點取在球心上? 又設球半徑為a? 則半球體所占空間閉區可表示為

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0}

顯然? 質心在z軸上? 故x?y?0?

???z?dv???zdv

z??????dv??????dv??3a8?

故質心為(0, 0, 3a)?

8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?

????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32?

????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123?

rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202?

三、轉動慣量

設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉動慣量?

解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d?

2?

?1?a4???1Ma2?

424其中M?1?a2?為半圓薄片的質量?

2類似地? 占有空間有界閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉動慣量為

Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

?

Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv?

?

Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量?

解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉動慣量即球體對于z軸的轉動慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d?

?????(r2sin?2??a82

3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M?

?000155其中M?4?a3?為球體的質量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力問題?

設物體占有空間有界閉區域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續?

在物體內任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設半徑為R的勻質球占有空間閉區域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質量的質點的引力?

解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2

?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22

?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20

R

?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz

?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2]

a?RR

2R3?2G??0(?2R?2R?)

3a24?R31M??G??0?2??G23aa

?

4?R3其中M??03為球的質量?

上述結果表明? 勻質球對球外一質點的引力如同球的質量集中于球心時兩質點間的引力?

第五篇：高等數學教案ch 8 多元函數微分法及其應用

§8? 4 多元復合函數的求導法則

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?vo(?t)o(?)?

?z??z?du??z?dv?(?z??z)?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

注?limdz?zdu?zdv?????

dt?udt?vdt?lim?t?0o(?)?to(?)?t?0??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0dtdt?

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數?

dt

2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形

定理2 如果函數u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z?z?u?z?v?z?w??????

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？

?x?z?z?u?zdv????

提示? ?z??z??u? ?

?z?？ ?y?x?u?x?y?u?y?vdy

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？

?x?z?？ ?y

?f?u?f?z?f?u?f??

提示? ?z?? ?

??x?u?x?x?y?u?y?y這里?z與?x?f是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x偏導數?

?f?f?z是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數? 與也朋類似

?y?y?x的區別?

3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形

定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z?z?u?zdv????

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和

?x?z?y?

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和

?x?u?y?

?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny ? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny

?u?f?f?z??? ?y?y?z?y?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycosy)ex2?y2?x4si2ny?

dt

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數dz?

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數?

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

引入記號? f1???x?u?x?f(u,v)?u?v?x求?w?x?2w及?x?z?

??? f12?f(u,v)?u?v??等?

???f22? 同理有f2??f11?f?f

?w???u???v?f1??yzf2??

?f??f??2w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2?x?z?z?z?z

???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f1

1注? ?f1??f1??u?f1??v?f2??f2??u?f2??v???xyf12??? ???xyf22???????f11?????f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z?

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?

(1)(?u2?u)?()2? ?x?y2?2u(2)?u?

?22?x?y解 由直角坐標與極坐標間的關系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數求導法則? 得

??u?u???u???u?uysin?ux?uy???co?s????x???x???x?????????2???u?uco?s?u?u???u???uy?ux?sin???????y???y???y?????????2??yx?

?

?

兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數? 得

?2u??u????u??()??()?

2? ???x?x???x?x?x??u?usin???u?usin?sin?(co?s?)?co?s?(co?s?)?

?

???????????????2?2u?2usin?co?s?2usin?2?u2sin?co?s?usin?2

?2cos??2? ?????????????????2?2?2同理可得

2?2u?2u?2usin?co?s?2uco?s2?u2sin?co?s?ucos?? 2

2?2sin??2??????????????y????2?2?2兩式相加? 得

2?2u?2u11?2u1??u?2u

?u??????[?(?)?]? 2222222?x?y?????????????

全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy

?(?u?x?y?v?x?u?y?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?v?x

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數的求導法則 一、一個方程的情形

隱函數存在定理1

設函數F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內具有連續偏導數? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

dydx??FxFy?

?

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

等式兩邊對x求導得 ?F?Fdy???0?

?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得 dydx??FxFy?

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?

解 設F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)?

dydx??FxFy??xy? dydxx?0?0?

d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3d2y1??3；

dx2y??1?

x?0

隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?

隱函數存在定理2

設函數F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ??x?y因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz

例2.設x?y?z?4z?0? 22

2解

設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

F?z2xx?

??x????xFz2z?42?z2?2z求2?x?

?z??x2(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?

(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx2?y2? v?xx2?y2?

yx2?y2xx 事實上?

xu?yv?0 ?v?u?yu?x?u?1?u?yy? ?v?yxx?

?2?yx?y2x2?y

2如何根據原方程組求u? v的偏導數？

隱函數存在定理設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列

?F?(F,G)?u式：

J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

?(F,G)??

?u??1?xJ?(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv?(F,G)???

?v??1?xJ?(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy?

?u1?(F,G)?????yJ?(y,v)FuFvGuGv?

?v1?(F,G)?????yJ?(u,y)FuFvGuGv?

隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的 二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,uv?x?x?x 偏導數?u? ?v由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y??v 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?x?x?y?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x

?yv?vyu?xv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??xu? ?

?2222?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y??yuxu?yv?v當x2?y2 ?0時? 解之得?u?xv? ?

??2222?yx?y?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

udx?xdu?vdy?ydv?0xdu?ydv?vdy?udx

?? 即????xdv?0?udy?ydu?vdx?ydu?xdv??udy?vdx?

解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?

dv?yu?xvx2?y2dx?xu?yvx2?y2dy?

xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?xx?y?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數?

又

?(x,y)?(u,v)?0?

x?x(u,v)

(1)證明方程組

? ??y?y(u,v)在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

??G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0則按假設

J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

??y?y[u(x,y),v(x,y)]將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得

由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

?xJ?v?xJ?u?1??x??u??x??v??u?x?v?x??y?u?y?v?0?????u?x?v?x??

同理? 可得

?u1?x???yJ?v?

?v1?x??yJ?u? §8? 6

多元函數微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z? ?當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮

x?x0y?y0z?z0??? ?x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

y?1z?1?

x?1??

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得dydxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?和dz??

dx切向量為T?(1, dydz,)? dxdxdy?dz2x?2y?2z?0?dxdx得?dydz?1???0?dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數?

??解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0在點(1? ?2? 1)處?

? dz??1?

dx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

y?2z?1?

x?1??

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

二? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

法線方程為x?1?1y?22?z?33?

討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

y?1z?4?法線方程為 x?2??

42?1 §8? 7

方向導數與梯度

一、方向導數

現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)t

當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l?f?l(x0,y0)? 即

?lim(x0,y0)f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??

從方向導數的定義可知? 方向導數

?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向導數的計算?

定理

如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

limf(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?0t?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

這就證明了方向導數的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向導數如何? 提示?

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?f?l??f?x?

沿x軸負向時? cos???1? cos??0?

?f?f? ????l?x

例1 求函數z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(12, ?12)??

?e2y?1?

?z?y?2xe2y?2 因為函數可微分? 且?z所以所求方向導數為

?z?l(1,0)?x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)???1?12?2?(?12)??2?

2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?

?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??

如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分

別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l1211?3??3??2??(5?32)2222(1,1,2)?

二? 梯度

設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向導數? ?

如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?

討論? ?f?l的最大值?

?

結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的 方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

??z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向導數?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?fn?

?n

gradf(x0,y0)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?

梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數的等量面的概念? 則可得函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面? 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數?

例3 求grad 1x2?y2?

? 解 這里f(x,y)?

因為 1x2?y2?f?f2y2x? ?

??2??22222?x?y(x?y)(x?y)2y2xi?j?

(x2?y2)2(x2?y2)21所以

grad 2x?y2??

例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?

利用場的概念? 我們可以說向量函數grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數量場f(M)產生的? 通常稱函數f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數量函數的梯度場??

例5 試求數量場m所產生的梯度場? 其中常數m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離?

?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xr同理

my?m()??3?yrr? ?(m)??mz? 3?zrrymmxz??2(i?j?k)? 從而

gradrrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??mer?

rrrrr2

上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質量為m 質點對位于點M而質量為l的質點的引力? 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數m稱為引力勢?

r

r §8?8

多元函數的極值及其求法

一、多元函數的極值及最大值、最小值

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?

例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?

例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?

例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?

以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?

設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點

(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點?

?

例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數的駐點? 因此? 在考慮函數的極值問題時? 除了考慮函數的駐點外? 如果有偏導數不存在的點? 那么對這些點也應當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區域D上連續? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數在D上連續、在D內可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數在D的內部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數f(x? y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據問題的性質? 知道函數f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得? 而函數在D內只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解 設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為A?2(xy?y?8xym? 此水箱所用材料的面積為

8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)? xyxyxyy令Ax?2(y?82)?0? Ay?2(x?82)?0? 得x?2? y?2?

x

根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x?

y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省?

?

2?2? 因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?

2?從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)?

令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

??

2224co?s?2xco?s?x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

?

這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ? 由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?

V?xya2?2xy()? 2(x?y)a2?2xy2(x?y)?12?2x?xcos??0? 于是得

只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法?

現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變為

?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0??(x,y)?000??

拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ??(x,y)?0?

由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數V?xyz的最大值?

構成輔助函數

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?

?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?