第一篇：高等數學教案

-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?

1-----高等數學教案-----

n2.變速直線運動的路程: 設速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續函數，路程記為s.①把區間[T1 , T2]分成n個小區間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設y?f(x)在[a , b]上有界.①把區間[a , b]分成n個小區間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn?1 , xn]，-----高等數學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果

lim?f(?i)?xi

??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上

-----高等數學教案-----

則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為

f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數f(x)﹑積分區間[a , b]有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即

b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上

-----高等數學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：

①如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則

b? af(x)dx?s

(S是曲邊梯

-----高等數學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s

(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規定:

-----高等數學教案-----

①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b

②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質：

①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則

b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a

-----高等數學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則

b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則

b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設m?f(x)?M，則

bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)

-----高等數學教案-----在[a , b]上連續，則在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續，所以存在最大值M和最小值m，使得

m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a

-----高等數學教案-----

b故在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)b?a即

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0

-----高等數學教案-----，所以

12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即

? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式

1.積分上限的函數(變上限

-----高等數學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續，稱

x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數.2.如果f(x)在[a , b]上連續，x則?(x)?? af(t)dt可導，且

xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數.解: F?(x)?xsinx.-----高等數學教案-----

sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2

x?limx???1?

2-----高等數學教案-----

?

3.?? ?(x)f(t)dt?

?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd

例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例

15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22

-----高等數學教案-----例6.設f(x)在[a , b]上連續，且單調增加，證明:

x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內單調增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x

f(x)?f(?)?(x?a)

-----高等數學教案-----

(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調增加，而a???x，所以

f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內單調增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續，且F(x)是f(x)的一個原函數，則

b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數學教案-----

為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數，所以?(x)?F(x)?C.由于

?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得

C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即

?(b)?? af(x)dx

?F(b)?F(a)

?F(x).ba

-----高等數學教案-----證: 因

?1

1例7.? ?2dx?lnx?2

x?ln1?ln2 ??ln2.?1

例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx

221xx?(x?)0?(?x)22

?1.例9.設

?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數學教案 6 ,-----

:

2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?

例10.求

x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x

tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法

-----高等數學教案-----1.定積分的換元法:

b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續，?(t)有連續的導數，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1

3-----高等數學教案-----例 例

?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12

?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24

-----高等數學教案-----

sin2tcostdt

2? 例

??2 ? cottdt

4?? ?2(csc2 ?t?1)dt

4?(?cott?t)?2?

4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx

??? ?5 02cosxdcosx

?(?16?6cosx)20

?16.-----高等數學教案-----

4.例5.? 0x(2?x)dx

12421??? 0(2?x)d(2?x)2

25111

??[(2?x)]0

2531

?.102.設f(x)在[?a , a]上連續且為偶函數，則

a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12

4-----高等數學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0

??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所

以

a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx

?2? 0f(x)dx.a3.設f(x)在[?a , a]上連續且

a為奇函數，則

? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2

-----高等數學教案-----

32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數，所以

xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數，1?x

-----高等數學教案-----以(arctanx)是偶函數，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122

312?[(arctanx)]0

332??()3496例8.設f(x)在[0 , a]上連續，-----高等數學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:

??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ?f(sinx)dx?

-----高等數學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx

? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0

??f(cost)dt

?2 0??f(cosx)dx.?2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?

-----高等數學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx

0 x???t ? ?(??t)f(sint)?

?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt

??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得

.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續函數，??xf(sinx)dx?

-----高等數學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)

??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得

x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數，得

?x ef(x)?1，x x 0?ux

-----高等數學教案-----即

f(x)?e.4.定積分的分部積分法:

x

? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b

例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx

5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx

x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續函數，證明:

-----高等數學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數.a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?

T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx

af(x)dx

x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以

? a a?T 0f(x)dx?

T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx

-----高等數學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設f(x)在(?? , ??)上連續，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)

bh?0h a證: 設f(x)的一個原函數為F(x)，則

b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h

-----高等數學教案-----

ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設f(x)在[a , ??)上連續，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且

??t

? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發散.??

-----高等數學教案-----②設f(x)在(?? , b]上連續，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且

b

???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發散.③設f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且

b

-----高等數學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發散.2.引入記號:

??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a)

?[F(x)].??a

-----高等數學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??)

?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??)

?[F(x)].????例1.判斷反常積分

???x? 0xedx

2-----高等數學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11

?xlim(?e)? ???221 ?.2

例2.判斷反常積分

?1? ??cosxdx

22的斂散性.解: 原式?(sinx)

?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???

-----高等數學教案-----常積分? ??cosxdx發散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1

-----高等數學教案-----

??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發散.例4.判斷反常積分

? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx

-----高等數學教案-----

?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0

????

22??.? 1 ??

例5.判斷反常積分

1dx

2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1

-----高等數學教案-----

??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數的反常積分(瑕積分): ①設f(x)在(a , b]上連續，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?

-----高等數學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發散.②設f(x)在[a , b)上連續，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果

blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發散.③設f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續，點c為f(x)的 b

-----高等數學教案-----瑕點.如果兩個反常積分

b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則

b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發散.5.引入記號: ①設F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數，a為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?F(b)?limF(x)

x?a??[F(x)].ba

-----高等數學教案-----②設F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數，b為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?limF(x)?F(a)

x?b??[F(x)].ba

例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x

x ?0?10??1.-----高等數學教案-----

1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx

?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1

??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)

-----高等數學教案-----

??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發散.11

例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx

xx 1

-----高等數學教案-----

第二篇：高等數學教案12

-----

?3.余項rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級數(幾何級數)n?0??

(a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q

-----高等數學教案-----

na?aq②q?1時，sn?，1?qlimsn??，?aq發散； n??nn?0??nsn??，③q?1時，sn?na，limn??n?0?aq發散.n④q??1時，?0 , n為偶數limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數n?0?aq發散.n?n?1例2判斷級數?ln是否收nn?1?

-----高等數學教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?

??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級數發散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1

-----高等數學教案-----

1sn?，所以原級數收斂 由于limn??24.收斂級數的性質: ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發散，n?1?則?kun(k?0)也發散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數學教案-----

③在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性.④如果?un收斂，則對這級數n?1?的項任意加括號后所成的級數(u1???un)?(un?1???un)???

(un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個級數發散，則加括號后所成的級數可能收斂，也可能發散.如果一個正項級數發散，則加

-----高等數學教案-----括號后所成的級數一定發散.⑤級數收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調和級數 1111??????? 23n是發散的.證: 假設調和級數收斂，部分

sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數學教案-----

111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調所以limn??和級數發散.1P②.由于調和級數?發散，n?1n?1所以?也發散.n?13n?14P225⑤.由于級數?n是公比為

n?124225?

-----高等數學教案-----11q?的幾何級數，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級數?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級數，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數項級數的審斂法

-----高等數學教案-----1.正項級數: ?un(un?0).n?1?2.正項級數?un的部分和數列

n?1??sn?單調增加.3.正項級數?un收斂?部分和

n?1?數列?sn?有界.4.比較審斂法: 設?un、?vn都

n?1n?1??是正項級數，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂；

n?1?n?1???

②若?un發散，則?vn發散.n?1n?-----高等數學教案-----5.比較審斂法的推論: 設?un、n?1n?1??vn都是正項級數.?n?1?

①若?vn收斂，且存在自然數N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1?

②若?un發散，且存在自然數n?1?N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?vn發散.n?-----高等數學教案-----?例1.判斷p?級數

1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當p?1時，由于1np?而??1發散，所以?n?1n?1n?1np發散.②當p?1時，對于級數

1?1112p?3p???np?? 加括號后:

-----高等數學教案-----

1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567

它的各項均不大于級數

1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444

11?1?p?1?p?1?? 24的對應項，而后一個級數是收斂的幾何級數，所以級數

-----高等數學教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項級數?p收斂.n?1n?1例2.判斷級數?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發散，所以?lnn發散.n?12?1例3.判斷級數?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級數，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數學教案-----例4.若正項級數?an與?bn均

n?1n?1??收斂，則下列級數也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③

2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于

-----高等數學教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數學教案-----

?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以

?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設n?1?un、?vn均是正項級數，n?1??

-----高等數學教案-----

?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn

②若limn??n?1vn與?un同時收斂和同時發散.n?1?un???，且?vn發散，③若limn??n?1vn?則?un發散.n?1?1例6.判斷級數?n的斂散

n?1n?n?

-----高等數學教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發散，所以?n發散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級數?ln的斂

n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n

-----高等數學教案-----例8.判斷級數?(2?1)的斂散

nn?1?性.解: 由于

nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發散，所以?(2?1)發散.n?1n?1n7.比值審斂法(達朗貝爾判別法): 設?un為正項級數，且n?1?

-----高等數學教案-----un?1lim??.n??un

①若??1，則?un收斂；

n?1?

②若??1或????，則?un發

n?1?散；

③若??1，則?un可能收斂也

n?1?可能發散.1例9.判斷級數?的斂散

n?1(n?1)!?性.-----高等數學教案-----

1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級數?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發散.n?110

-----高等數學教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設?un為正項級數，且n?1nu??.limnn???

①若??1，則?un收斂；

n?1?

②若??1或????，則?un發

n?1?散；

③若??1，則?un可能收斂也

n?1?可能發散.2n?1n例11.判斷級數?()的n?13n?1?

-----高等數學教案-----斂散性.解: 由于

2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯級數: ?u1?u2?u3?u4??，或

?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數.-----高等數學教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯級數?(?1)un滿足條件: n?1n?1?

①un?un?1；

i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項的絕對值rn?un?1.例12.判斷級數?(?1)n?1?n?11的斂

n散性.解: 由于

-----高等數學教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0

②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對收斂.n?1?例如，級數?(?1)n?1?n?11絕對收

2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數學教案-----

?而?un發散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級數?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項級數?un的絕對值收斂，則?un收斂.n?1?1

證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數學教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收

n?1n?1??斂.15.設?un是任意項級數，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發散，則?un發散.n?1n?1??n例13.判別級數?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還

?n?1是絕對收斂.-----高等數學教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所

n?1n發散.n?1?1n?例14.判別級數?nsin是否

5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n

522n?121(是公比為q??1的幾何級數)2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故

5n?1-----高等數學教案-----1n??nsin絕對收斂.5n?12?1例15.判別級數?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而

n?1n1limln(1?)?0，所以交錯級數n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于

-----高等數學教案-----

1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發散，所以?(?1)ln(1?)發n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級數

1.區間I上的函數項級數: u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數學教案-----對于x?x0?I，常數項級數

u1(x0)?u2(x0)???un(x0)??

?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點.收斂點的全體稱為收斂域，發散點的全體稱為發散域.2.(x?x0)的冪級數: n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)

2n???an(x?x0)??

-----高等數學教案-----3.x的冪級數:

n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當

nn?0?則當x?x0x?x0(x0?0)時收斂，時?anx絕對收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當x?x0時發散，則當nx?x0時?anx發散.nn?0?

5.阿貝爾定理的推論: 如果

-----高等數學教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點收斂，n?也不是在整個數軸上收斂，則存在R?0，使得

①當x?R時，冪級數絕對收斂；

②當x?R時，冪級數發散；

③當x?R與x??R時，冪級數可能收斂也可能發散.)為

稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四

-----高等數學教案-----個區間之一(由x??R處的收斂性決定).規定冪級數僅在x?0處收斂時R?0，冪級數對一切x都收斂時R???.6.對于冪級數?anx，如果

nn?0?an?1lim??，則 n??an

-----高等數學教案-----

?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.??

(?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n?

-----高等數學教案-----

(?1)x1當x??1時，???(?)nnn?1n?1發散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當x?1時，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收

nn?1斂域為(?1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n

-----高等數學教案-----

321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當時，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對收斂.??22n?01?nn?01?n1當時，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域為(3x)2n?01?n

-----高等數學教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則

(?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n??

-----高等數學教案-----

nn(?1)n1當t??1時，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當t?1時，n?1nn?1nn?(?1)n對收斂.因此，?2t的收斂

n?1nn?(?1)n區間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域為[2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn

-----高等數學教案-----

1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發散.散.2n?11當x??3時，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當x?3時，?nx? ?3發n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域為n?03(?3 , 3).?

-----高等數學教案-----7.冪級數的運算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則

n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級數的性質:

①?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上連續.-----高等數學教案-----

②?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項積分公式

?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.?

-----高等數學教案-----③?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂區間(?R , R)內可導，并有逐項求導公式

???nns?(x)??anx??(anx)?

?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相

nn?0?同.n1例5.求?x的和函數.n?1n?

-----高等數學教案-----

1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當x??1時，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當x?1時，?x??發散.因

n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域為[?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n????

-----高等數學教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0)

??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數.解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n

-----高等數學教案-----

: 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域

nn?1?(?1 , 1)上的和函數.解: 令s(x)??(n?1)x，則

nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx

nn?1x?x??x

n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數學教案-----

2s(x)?[? 0s(x)dx]?

xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數.解: ?nx??nx??x??x

nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x

n?1n?1??

-----高等數學教案-----

2x?xx? ?2(1?x)1?xx

.(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區

nn?1?間(?1 , 1)上的和函數.解n?1:

?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x

-----高等數學教案-----

3x?2x?2(1?x)2

(?1 , 1).§12.4 函數展開成冪級數

1.設f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數，冪級數

??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)

2!f(x0)n???(x?x0)??

n!稱為f(x)的泰勒級數.(n)

如果泰勒級數收斂于f(x)，則

-----高等數學教案-----

第三篇：第十章____重積分(高等數學教案)

高等數學教案

重積分

重積分

【教學目標與要求】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。

3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。

4.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。

【教學重點】

1.二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；

2.三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3.二、三重積分的幾何應用及物理應用。

【教學難點】

1.利用極坐標計算二重積分； 2.利用球坐標計算三重積分； 3.物理應用中的引力問題。

【教學課時分配】(10學時)第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

習題課

【參考書】

[1]同濟大學數學系.《高等數學（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學數學系.《高等數學學習輔導與習題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟大學數學系.《高等數學習題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等數學教案

重積分

§10? 1 二重積分的概念與性質

【回顧】定積分

設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)分割：用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區間[a? b]分成n個小區間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x?

iii?1則

?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質

一、引例

1? 曲頂柱體的體積V 設有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區域D? 其側面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負連續? 稱為曲頂柱體?

若立體的頂是平行于xoy面的平面。

體積=底面積?高

現在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積?

（i）分割：用任意曲線網把D分成n個小區域 ：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 高等數學教案

重積分

（ii）代替：在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（iii）近似和： 整個曲頂柱體體積V

V??f(?i,?i)??i?

i?1n分割得越細, 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無限細”, 則右端近似值會無限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n

其中??i的直徑是指??i中相距最遠的兩點的距離。則

V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i

??0i?1n2?平面薄片的質量?

當平面薄板的質量是均勻分布時，質量 = 面密度×面積.若平面薄板的質量不是均勻分布的.這時, 薄板的質量不能用上述公式算, 應如何算該薄板的質量M? 設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負連續? 現在要計算該薄片的質量M?

（i）分割：用任意一組曲線網把D分成n個小區域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

（ii）代替：把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量?

mi??(? i ? ? i)?? i ?

（iii）近似和： 各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值?

M???(?i,?i)??i?

i?1n高等數學教案

重積分

將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質量（iv）取極限：

記 ??max{?的直徑},i1?i?n

則

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1n兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：

“分割, 代替,近似和,取極限”

(2)所求量的結構式相同

曲頂柱體體積:

V?lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n平面薄片的質量:

M?lim??(?i,?i)??i

??0i?1n二、二重積分的定義及可積性

定義： 設f(x? y)是有界閉區域D上的有界函數? 將閉區域D任意分成n個小閉區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個小區域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果當各小閉區域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在閉區域D上的二重積分? 記作

??f(x,y)d?? 即

D

lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區域? 積分和?

直角坐標系中的面積元素?

如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區域外? 其余的小閉區域都是矩形閉區域? 設矩形閉區域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數學教案

重積分

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的?

說明：當函數f(x? y)在閉區域D上連續時? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數f(x? y)在閉區域D上連續，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計算：三.二重積分的性質

設D為有界閉區域，以下涉及的積分均存在。性質1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。

D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??

DDD性質2 設k為常數，則性質3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?

DD性質4 設D?D1?D2，且D1,D2無公共內點，則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2性質5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則

??f(x,y)d????g(x,y)d??

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則

??f(x,y)d??0

D

（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

這是因為?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|

性質6 設M、m分別是f(x? y)在閉區域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則

高等數學教案

重積分

m|D|???f(x,y)d??M|D|?

D

性質7(二重積分的中值定理)設函數f(x? y)在閉區域D上連續? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?,?)?D，使

例2.比較下列積分的大小：??f(x,y)d??f(?,?)??

D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}

小結

1.二重積分的定義：

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質（與定積分性質相似）

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意二重積分的定義，性質以及應用，并且要與定積分的定義、性質進行比較，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.比較下列積分值的大小關系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy

22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書設計

作業 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10? 2 二重積分的計算法 高等數學教案

重積分

一、利用直角坐標計算二重積分

X??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區域? D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區域?

設f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時二重積分柱體的體積?

對于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?

根據平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V?即

V?可記為

?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區域D為Y ??型區域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區域?

D

解? 畫出區域D?

方法一?

可把D看成是X??型區域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]??

?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x高等數學教案

重積分

解法2? 也可把D看成是Y??型區域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D

例2? 計算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區域?

解

畫出區域D? 可把D看成是X??型區域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??

302

也可D看成是Y??型區域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?

例3 計算

2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區域?

??

解 積分區域可以表示為D?D1+D2?

其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1

??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

積分區域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy

?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設這兩個圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數學教案

重積分

利用立體關于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂的曲頂柱體?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

16R3?

22(R?x)dx??03 二?

利用極坐標計算二重積分

?8R

有些二重積分? 積分區域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數用極坐標變量?、? 表達比較簡單?

這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分

lim?f(?i,?i)??i?

??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi?

1下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式?

以從極點O出發的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區域D分為n個小閉區域? 小閉區域的面積為?

111222??(?i???i)???i???i??i??i??i?

?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)?

則有

??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i

?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若積分區域D可表示為? 1(?)???? 2(?)?

?????? 高等數學教案

重積分

則

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區

解

在極坐標系中? 閉區域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?

0002D22?a22??(1?e?a)

注? 此處積分

122?022?d???(1?e?a)?

dxdy?

2??e?xD22?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2??e?x?y2

利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計算廣義積分?e?xdx?

02??2

設D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

2?y2?0? 從則在這些閉區域上的二重積分之間有不等式

2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因為

??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應用上面已得的結果有 高等數學教案

重積分

??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?

42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?

42于是上面的不等式可寫成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?

?404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?? 從而??e?x2dx???

?4 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積?

解

由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區域?

在極坐標系中D可表示為

0???2a cos? ? 0???于是

V?4 ??

22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?

3232?2

?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?

03323

小結

1.二重積分化為累次積分的方法；

2.積分計算要注意的事項。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標和極坐標，以及在計算時要注意事項，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.設f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。

00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0)

講課提綱、板書設計 高等數學教案

重積分

作業 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§10?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區域?上的有界函數? 將?任意分成n個小閉區域：

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個小閉區域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和

?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數f(x? y? z)在閉區域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?高等數學教案

重積分

lim?f(?i,?i,?i)?vi?

???f(x,y,z)dv???0i?1?n

三重積分中的有關術語? ???——積分號?

f(x? y? z)——被積函數?

f(x? y? z)dv——被?積表達式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區域?

在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?

??

當函數f(x? y? z)在閉區域?上連續時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區域?上是連續的?

三重積分的性質? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

???

?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?

???dv?V? 其中V為區域?的體積? 二、三重積分的計算

1? 利用直角坐標計算三重積分

三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數學教案

重積分

即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

提示? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

對于平面區域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數? 在區間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數F(x? y)?

F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計算F(x? y)在閉區域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區域?上的三重積分?

??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

z2(x,y)

1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

?dx即

?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

例1 計算三重積分域?

解 作圖? 區域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區?12高等數學教案

重積分

于是

???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00?

??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0

111?

??(x?2x2?x3)dx?4048

討論? 其它類型區域呢?

有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區域?所得到的一個平面閉區域? 則有

???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy?

?1c2Dz2y2z2x

例2 計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc?2區域?

解 空間區域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c?

ab2c2于是

????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?

?c?c15cD2?c2??zc

練習：

例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區域?

例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進行二重積分再進行定積分的形式?

其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

2? 利用柱面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規定?、?、z的變化范圍為? 高等數學教案

重積分

0??

坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點M 的直角坐標與柱面坐標的關系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例5利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區域?

解 閉區域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所

2????zdxdydz????z?d?d?dz

??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164??

??2?[8?2??6]2?026

3?2422?2?

3? 利用球面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數r、?、? 來確定? 其中 r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數r、?、??? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標面r?r0? ???0? ???0的意義，點M的直角坐標與球面坐標的關系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?高等數學教案

重積分

球面坐標系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

??

例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

316?a

?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)?

3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

小結

1.三重積分的定義和計算； 2.換元積分公式。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意三重積分的定義和計算以及換元積分公式的應用，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。

2.設?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計算講課提綱、板書設計

作業 P164: 4，5，7，9（1）高等數學教案

重積分

§10? 4 重積分的應用

一、曲面的面積

設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區域? 函數f(x? y)在D上具有連續偏導數fx(x? y)和fy(x? y)? 現求曲面的面積A ?

在區域D內任取一點P(x? y)? 并在區域D內取一包含點P(x? y)的小閉區域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d??

xycos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數學教案

重積分

或

A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?y

設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?

?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?

?z?x或

A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

提示?

?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2??

222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?y?z??x?z?? ?

222222?x?yR?x?yR?x?y所以

A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2

?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0

?22x?y2?R2??

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設有一顆地球同步軌道通訊衛星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與高等數學教案

重積分

地球自轉的角速度相同? 試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

二、質心

設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片的質心坐標?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數? 則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd??

y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質心?

解 因為閉區域D對稱于y軸? 所以質心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數學教案

重積分

因為

2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??

??d????22???12?3??

D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?

3??d?3?

3類似地? 占有空間閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續)的物體的質心坐標是

x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質心?

提示?

?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a?

00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2???

0002420a2?

三、轉動慣量

設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD高等數學教案

重積分

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉動慣量?

解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

??

?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?

4031?a4???1Ma2?

4241?a2?為半圓薄片的質量?

2類似地? 占有空間有界閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉動慣量為

Ix?

Iy?

Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量?

解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉動慣量即球體對于z軸的轉動慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

??8?a5??2a2M?

4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力問題? 高等數學教案

重積分

設物體占有空間有界閉區域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續?

在物體內任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF

dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

在三個坐標軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設半徑為R的勻質球占有空間閉區域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質量的質點的引力?

解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

[x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22

?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R32R

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R3??1??GM

??G?? 023aa2

?2?G?0[?2R?高等數學教案

重積分

其中M?4?R3?0為球的質量?

3上述結果表明? 勻質球對球外一質點的引力如同球的質量集中于球心時兩質點間的引力?

小結

1.曲面面積的計算；

2.質心的計算；

3.轉動慣量的定義和求解。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意曲面面積的計算，質心的計算，轉動慣量的定義和求解，要結合實例，反復講解。

師生活動設計 1.設有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程2(x2?y2)，設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 已知體積減少的速率與側z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數 0.9), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)講課提綱、板書設計 作業 P175: 1，2，4（1），7（1）

高等數學教案

重積分

習題課

一、重積分計算的基本方法

—— 累次積分法

1.選擇合適的坐標系

使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序

積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法

圖示法；列不等式法(從內到外: 面、線、點)

二、重積分計算的基本技巧 1.交換積分順序的方法

2.利用對稱性或重心公式簡化計算 3.消去被積函數絕對值符號 4.利用重積分換元公式

三、重積分的應用 1.幾何方面

面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面

質量, 轉動慣量, 質心, 引力

3.其它方面

四、例題分析

1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個薄片的重心恰好落在圓心上 ,問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長 高等數學教案

重積分

度應為多少? 2.計算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。

計算二重積分

DI???(x?xye)dxdy, 其中

（1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3)

第四篇：高等數學教案ch 8.4～8.8

§8? 4 多元復合函數的求導法則

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理1 如果函數u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續的偏導數? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)

?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數?

dt

2? 復合函數的中間變量均為多元函數的情形

定理2 如果函數u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z??z??u??z??v??z??w

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？

?y?x

提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？

?y?x?f?f?f?f

提示? ?z??u?? ?z??u??

?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復合函數z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導數? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數? 與也朋類似

?y?y?x的區別?

3．復合函數的中間變量既有一元函數? 又有多元函數的情形

定理3 如果函數u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數? 函數v??(y)在點y可導? 函數z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續偏導數? 則復合函數z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數存在? 且有

?z??z??u??z?dv

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

?z

例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?

?x?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?

?y?x

?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f

?u????z

?y?y?z?y

?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數dz?

dt

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續偏導數? 求及? ?x?z?x

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?

引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?

2?

?x?u?x?v?x12?f??f?

?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數連續? 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式?

注?

2?2u?

?(1)(?u)2?(?u)2?

(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標與極坐標間的關系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數求導法則? 得

???u???ux?uy?u??uysin??co?s???

?u??u?

?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????

?u??u?

????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數? 得

2??(?u)?????(?u)??? ?

u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin

?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??

?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得

22222?u?u?u11?u1??u?

2?2?2???22?2[?(?)?u]?

??????2?x?y???????

全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續偏導數? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續偏導數? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續偏導數? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數或中間變量u、v的函數? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數的求導法則 一、一個方程的情形

隱函數存在定理1

設函數F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內具有連續偏導數? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

dy等式兩邊對x求導得 ?F??F??0?

?x?ydx由于F y連續? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同Fy ?0? 于是得 Fdy??x?

dxFy

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)? 并求這函數的一階與二階導數在x?0的值?

解 設F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續導數、當x?0時y?1的隱函數y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?

dx2y2y2y3ydx2x?0

2隱函數存在定理還可以推廣到多元函數? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數?

隱函數存在定理2

設函數F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內具有連續的偏導數? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?

?y?x因為F z連續且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz?2z

例2.設x?y?z?4z?0? 求2?

?x

解

設F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數u?yx?

v??

x2?y2x2?y2y 事實上?

xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?

yyx?yyv?x?22?2x2?

yx?yx?y

如何根據原方程組求u? v的偏導數？

隱函數存在定理設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數所組成的函數行列

?F?(F,G)?u式：

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)

?u??1??xv?

?v??1??ux?

?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????

?u??1?

?v??1?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數的偏導數: 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續偏導數的 二元函數u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導數? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?y?x?x?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??22? ?v?22?

?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u?22? ?v??22?

?yx?y?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx

?? 即??

udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?

x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?

x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設函數x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領域內連續且有連續偏導數?

又

?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)

(1)證明方程組

?

y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領域內唯一確定一組單值連續且有連續偏導數的反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設

J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數存在定理3? 即得所要證的結論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

?x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

J?u?xJ?v?x

同理? 可得

?u??1?x?v?1?x

? ?

?yJ?v?yJ?u

§8? 6

多元函數微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0

? ???x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

x?1?y?1?z? ?

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

x?1?y?2?z?1

?

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

在點(1? ?2? 1)處?

二? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數F(x? y? z)的偏導數在該點連續且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

y?2z?3?法線方程為x?1??

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

x?2?y?1?z?4法線方程為 ?

42?1§8? 7

方向導數與梯度

一、方向導數

現在我們來討論函數z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數f(x? y)在點P0沿方向l的方向導數? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向導數的定義可知? 方向導數

?f?l(x0,y0)就是函數f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向導數的計算?

定理

如果函數z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數在該點沿任一方向l 的方向導數都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??

tt?0?這就證明了方向導數的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向導數如何? 提示?

?f?f??

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x2y

例1 求函數z?xe在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向導數?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(1, ?1)?

22? 因為函數可微分? 且?z?x所以所求方向導數為

(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??

?z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向導數為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向導數為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向導數? 其中l的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?

2222(1,1,2)

二? 梯度

設函數z?f(x? y)在平面區域D內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向導數? ?

如果函數f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關系式表明了函數在一點的梯度與函數在這點的方向導數間的關系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向導數

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向? 它的模就等于方向導數的最大值?

?f

討論? 的最大值?

??l

結論? 函數在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數)所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數的函數值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方?f向的方向導數就等于|grad f(x0? y0)|? 于是

?n?f

grafd(x0,y0)?n?

?n

這一關系式表明了函數在一點的梯度與過這點的等值線、方向導數間的關系? 這說是說? 函數在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數值較低的等值線指向數值較高的等值線? 梯度的模就等于函數在這個法線方向的方向導數?

梯度概念可以推廣到三元函數的情形? 設函數f(x? y? z)在空間區域G內具有一階連續偏導數? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結論? 三元函數的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向導數的方向一致? 而它的模為方向導數的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數的等量面的概念? 則可得函數f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面? 而梯度的模等于函數在這個法線方向的方向導數?

1?

x2?y2 解 這里f(x,y)?212?

x?y 例3 求grad

因為 ?f?f2y??22x22? ??222?

?x?y(x?y)(x?y)2y所以

gra d212??22x22i?222j?

x?y(x?y)(x?y)

例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數量場與向量場? 如果對于空間區域G內的任一點M? 都有一個確定的數量f(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個數量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數量場可用一個數量函數f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區域G內確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數量函數?

利用場的概念? 我們可以說向量函數grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數量場f(M)產生的? 通常稱函數f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數量函數的梯度場??

例5 試求數量場m所產生的梯度場? 其中常數m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?

解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理

?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而

gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?

rrrrr2r

上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質量為m 質點對位于點M而質量為l的質點的引力? 這引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數m稱為引力勢?

r

r§8?8

多元函數的極值及其求法

一、多元函數的極值及最大值、最小值

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統稱為極值? 使函數取得極值的點稱為極值點?

例1 函數z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極小值?

例2 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數的極大值?

例3 函數z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內? 總有使函數值為正的點? 也有使函數值為負的點?

以上關于二元函數的極值概念? 可推廣到n元函數?

設n元函數u?f(P)在點P0的某一鄰域內有定義? 如果對于該鄰域內任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數的函數的極值點必定是駐點? 但函數的駐點不一定是極值點?

?

例如? 函數z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數都是零? 函數在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

第一步 解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

求得一切實數解? 即可得一切駐點?

第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數的值A、B和C?

第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?

例4 求函數f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導數

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數的(?3? 2)處有極大值 f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數的駐點? 因此? 在考慮函數的極值問題時? 除了考慮函數的駐點外? 如果有偏導數不存在的點? 那么對這些點也應當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區域D上連續? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數在D上連續、在D內可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數在D的內部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數f(x? y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據問題的性質? 知道函數f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得? 而函數在D內只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數值就是函數f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

8解 設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為m? 此水箱所用材料的面積為

xyA?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)?

xyxyxy8)?0? 得x?2? y?2?

A?2(x?令Ax?2(y?8?)?0yy2x

2根據題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區域D?{(x? y)|x>0? y>0}內取得? 因為函數A在D內只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省?

?

2?2? 因此A在D內的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?

2?從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數? 這就是目標函數? 面求使這函數取得最大值的點(x? ?)?

令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

?12?2x?xcos??0

??

2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

?

這個問題就是求函數V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得

2(x?y)2

V?xy(a?2xy)?

2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數法?

現在我們來尋求函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內f(x? y)與?(x? y)均有連續的一階偏導數? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續且具有連續導數的函數y??(x)? 將其代入目標函數z?f(x? y)? 得一元函數

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dy?0?

dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)fy(x0,y0)

設???? 上述必要條件變為

?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

???(x0,y0)?0

拉格朗日乘數法? 要找函數z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構成輔助函數

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

???(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數V?xyz的最大值?

構成輔助函數

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?

?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?

第五篇：高等數學教案Word版第一章1

第一章函數與極限(4課時)Ⅰ 授課題目（章節）

1.1 映射與函數

Ⅱ 教學目的與要求：

1.理解集合、區間、鄰域等基本概念，掌握集合的運算及構造法

2.理解函數的概念；明確函數定義有兩個要素；依賴關系、定義域；掌握函數表達式的運用

3.了解函數的基本性質；知道判定諸性質的思路 4.掌握將復合函數由外及里分解為簡單函數的方法 Ⅲ 教學重點與難點

重點：理解集合、鄰域的概念 難點：函數的性質 Ⅳ 講授內容

一.集合

1． 集合概念

集合是指具有某種特定性質的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素（簡稱：元）

注：本課程中所有說的集合必須具有明確的界定，即對任何一個對象都可以按標準判斷其是否屬于所說的“總體”

介紹子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的運算

集合的基本運算有以下幾種：并、交、差、直積 介紹全集（基本集）與余集（補集）的概念 3.區間和鄰域

設?＞0，點X0的?領域是指滿足X?X0??的一切實數X的集合。X0稱為改鄰域的中心，?成為該鄰域的半徑

二.映射

1.定義：設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作f:X?Y、其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f(x),即y?f（x），而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像

注：映射是指兩個集合之間的一種對應關系。判斷兩集合之間的對應關系是否構成一個映射，關鍵是抓住兩個要點：第一，對于第一個集合中的每一個元素，按照規則能否在另一個集合中找到一個與之對應的元素；第二，對于第一個集合中的每一個元素，第二個集合與之對應的元素是不是唯一的 2.逆映射

定義：設fX到Y的單射，則由定義，對每個y?Rf，有唯一的x?X,適合f（x）?y。于是，我們可定義一個從Rf到X的新映射g，即?x，這x滿足f（x）?y。這個映g：Rf?X，對每個y?Rf，規定g（y）射g稱為f的逆映射，記作f2． 復合映射：

定義：設有兩個映射g:X?Y1,f:Y2?Z，其中Y1?Y2，則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則，它將每個x?X映成f?g（x）??Z。顯然，這個對應法則確定了一個從X到Z的映射，這個映射稱為映射g和f構成的復合映射，記作f?g,即f?g：X?Z，（f?g）（x）?，x?X ?f?g（x）三.函數

1.函數的概念

定義：設數集D?R，則稱映射f：D?R為定義在D上的函數，通常簡記為 y?f（x），x?D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df?D

函數定義中，對每個x?D，按對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數f在x出的函數值，記作f（x），即y?f（x）。因變量y與自變量x之間的這種依賴關系，通常稱為函數關系。函數值y?f（x）的全體所構成的集合稱為函數 f的值域，記作Rf或f（D)，即 Rf?f(D)?yy?f(x),x?D

注：函數的概念中涉及五個因素：（1）自變量（2）定義域（3）應變量（4）對應規律（5）值域；在這五個因素中最重要的是定義域和因變量關于自變量的對應規律，這兩者常稱為函數的二要素

介紹單值函數與多值函數的概念

例.判斷下列各對函數是否相同

（1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2

?1,其定義域Df?1?Rf，值域Rf?1?X

??解：（2）中的f（x）與g（x)相同，（3）中的f（x）與g（x)相同 例.求下列函數的定義域

（1）f(x)?x?13?4x?1 2x?5x?6x(2)f(x)?log2log4log7

(3)f(x)?1x?2?1 x解：（1）Df?xx?2且x?3

（2）Df?xx?7

（3）Df?xx?0且x??2 2.函數的幾種特性

（1）函數的有界性（2）函數的單調性(3)函數的奇偶性

定義：教材P12?P13 例：判斷f(x)?ln???????x2?1?x的奇偶性

1x?1?x2?解：f(?x)?ln((?x)2?1?x?ln ?f(x)為奇函數（4）數的周期性

3．反函數于復合函數

??f(x)

（5）反函數定義：設函數f:D?f(D)是單射，則它存在逆映射f?1:f(D)?D，稱此映射f?1為函數f的反函數。

按此定義，對每個y?f(D),有唯一的x?D，使得f（x）=y，于

1是有f?（y）?x。這就是說，反函數f?1的對應法則是完全由函數f的對應法則所確定的

與反函數問題有關的題型主要有兩類：判斷給定函數是否存在反函數或求給定函數的反函數

對嚴格單調函數有以下結論 嚴格單調函數必存在反函數（6）復合函數有關的問題大致可分為兩類：一是判斷若干個函數能否構成復合函數;二是將一個復合函數分解為若干個簡單函數

復合函數的定義：設函數y?f(u)的定義域為D1，函數u?g（x）在D上有定義，且g（D）?D1，則由下式確定的函數

構成的復合函數，它的?，x?D稱為由函數u?g（x）和函數y?f（u）y?f?g（x）定義域為D，變量u稱為中間變量。函數g與函數f構成的復合函數通常記為

? f?g,即（f?g）（x）?f?g（x）3.函數的運算

4.初等函數 定義：由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數 5.雙曲函數與反雙曲函數

Ⅴ小結與提問：

小結：本講內容十分重要，特別是缺點函數的兩個要素務必弄懂；分段函數也須引起重視；函數的幾種特性直接通過論證來判斷；函數的反函數的存在性需重視。復合函數是本講重點之一，掌握它，對學好微分與積分有很大的作用；要善于分析一個初等函數的結構

提問：是否y?f（u），u?g（x）一定能復合成y為x的函數？ Ⅴ 課外作業

P21 6(4)(6)7(3)8.12.14（3）17