第一篇：第六章 定積分的應用(三峽大學高等數學教案)[范文模版]

高等數學教案

定積分的應用

教學目的 第六章

定積分的應用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數的平均值等）。教學重點：

1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數的平均值等。教學難點：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

§6? 1 定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積?

設y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?

A??af(x)dx

b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數

A(x)??af(t)dt

x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?

以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區間的定積分?

A??af(x)dx ?

b

一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區間求定積分即得

U??af(x)dx?

b

用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

§6? 2 定積分在幾何上的應用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標情形

設平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為

S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?

類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設平面圖形的面積為?

S??c[?右(y)??左(y)]dy?

例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在x軸上的投影區間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?

(4)計算積分 db1??

S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321

3例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在y軸上的投影區間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?

2(4)計算積分?4?18?

S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積?

ab 解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區間為[0? a]? 因為面積元素為ydx?

所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?

于是

S?4?0ydx?4??bsintd(acost)

2a0三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab??

2202?

2．極坐標情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?

由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為

?S???1[?(?)]2d?? 2

例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?

2?2??4a2?3?

解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332

例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?

?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?

22232

?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a??

242

二、體 積

1．旋轉體的體積

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體? 這直線叫做旋轉軸?

常見的旋轉體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體?

旋轉體都可以看作是由連續曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體?

設過區間[a? b]內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?

于是體積元素為

dV ? ?[f(x)]2dx ?

旋轉體的體積為

V??a?[f(x)]2dx?

例

1連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積?

解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?

h

所求圓錐體的體積為

三峽大學高等數學課程建設組

b高等數學教案

定積分的應用

22hr?r?1?hr2?

V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積?

ab

解: 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓 h

y?ba2?x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ?

于是所求旋轉橢球體的體積為

22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?

?a33aa

例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積?

解

所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為

Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt

??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt

?5? 2a 3?

所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差? 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則

22(y)dy??0?x1(y)dy

Vy??0?x22a2a2?2?a2?

???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt

???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設立體在x軸的投影區間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為

V??aA(x)dx?

例4 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積?

解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為

三峽大學高等數學課程建設組

b2???高等數學教案

定積分的應用

A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為

2RR2R3tan??

V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223

3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?

解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R

A(x)?h?y?hR2?x2?

于是所求正劈錐體的體積為

V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h??

02R?

三、平面曲線的弧長

設A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內接折線? 當分點的數目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的?

定理

光滑曲線弧是可求長的?

1．直角坐標情形

設曲線弧由直角坐標方程

y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區間[a? b]上具有一階連續導數? 現在來計算這曲線弧的長度?

取橫坐標x為積分變量? 它的變化區間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應于[a? b]上任一小區間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應的小段的長度為

(dx)2?(dy)2?1?y?2dx?

從而得弧長元素(即弧微分)

ds?1?y?2dx?

以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為

s??a1?y?2dx?

三峽大學高等數學課程建設組

b高等數學教案

定積分的應用

在曲率一節中? 我們已經知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此

例1? 計算曲線y?2x2上相應于x從a到b的一段弧的長度?

3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx?

因此? 所求弧長為

s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]?

3333

3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度?

c

解? y??shx? 從而弧長元素為

cds?1?sh2xdx?chxdx?

cc因此? 所求弧長為

bbb?

s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc

2．參數方程情形

設曲線弧由參數方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續導數?

dy??(t)因為? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt?

??(t)所求弧長為

s?????2(t)???2(t)dt?

?

例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度??

解? 弧長元素為

?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind??

2所求弧長為

2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a?

222?三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

3．極坐標情形

設曲線弧由極坐標方程

???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續導數? 由直角坐標與極坐標的關系可得

x??(?)cos???

y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為

ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d??

從而所求弧長為

s?????2(?)???2(?)d??

例4?

求阿基米德螺線??a?(a>0)相應于? 從0到2? 一段的弧長?

解?

弧長元素為

ds?a2?2?a2d??a1??2d??

于是所求弧長為

2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]?

作業：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

§6? 3 功

水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

例

1把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為

F?kq(k是常數)?

r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a

解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時?

電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr?

r2qdr?

r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)?

rabr

例2?

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹?

把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功?

解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數k ? 即

pV?k 或p?k?

V

在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為

F?p?S?k?S?k?

xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx?

x于是所求的功為

bbW??akdx?k[lnx]ba?kln?

xa

例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內盛滿了水? 試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？

解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區間為[0? 5]? 相應于[0? 5]上任小區間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

dW?88?2??x?dx?

此即功元素? 于是所求的功為

225(kj)?

xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22

5二、水壓力

從物理學知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側所受的水壓力為

P?p?A?

如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算?

例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內盛有半桶水? 設桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ?

計算桶的一個端面上所受的壓力?

解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖?

在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為

dP?2?xR2?x2dx?

所求壓力為

P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3?

???[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2)

三、引力

從物理學知道? 質量分別為m

1、m 2? 相距為r的兩質點間的引力的大小為

F?Gm1m2?

r2其中G為引力系數? 引力的方向沿著兩質點連線方向?

如果要計算一根細棒對一個質點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質點的距離是變化的? 且各點對該質點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算?

例5? 設有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m的質點M? 試計算該棒對質點M的引力?

解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為

dFx?Gm?dyam?dy?a??

??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

定積分的應用

引力在水平方向的分量為

Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1????

223/222a(a?y)4a?l

作業：P292：3（2），6

三峽大學高等數學課程建設組

第二篇：同濟版高等數學教案第五章 定積分

高等數學教案

第五章 定積分

第五章

定積分

教學目的：

1、理解定積分的概念。

2、掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

3、理解變上限定積分定義的函數，及其求導數定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

教學重點：

1、定積分的性質及定積分中值定理

2、定積分的換元積分法與分部積分法。

3、牛頓—萊布尼茨公式。

教學難點：

1、定積分的概念

2、積分中值定理

3、定積分的換元積分法分部積分法。

4、變上限函數的導數。§5? 1 定積分概念與性質

一、定積分問題舉例

1? 曲邊梯形的面積

曲邊梯形? 設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊?

求曲邊梯形的面積的近似值?

將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替? 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區間[a? b]中任意插入若干個分點

a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?

把[a? b]分成n個小區間

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?

它們的長度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?

經過每一個分點作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形? 在每個小區間 [xi?1? xi ]上任取一點??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即

A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi?

i?1n

求曲邊梯形的面積的精確值?

顯然? 分點越多、每個小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無限地增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 記

??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當于令??0? 所以曲邊梯形的面積為

A?lim?f(?i)?xi?

??0i?1n

2? 變速直線運動的路程

設物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續函數? 且v(t)?0? 計算在這段時間內物體所經過的路程S ?

求近似路程?

我們把時間間隔[T 1? T 2]分成n 個小的時間間隔?ti ? 在每個小的時間間隔?ti內? 物體運動看成是均速的? 其速度近似為物體在時間間隔?ti內某點??i的速度v(??i)? 物體在時間間隔?ti內 運動的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時間間隔?ti內 運動的距離加起來作為物體在時間間隔[T 1 ? T 2]內所經過的路程S 的近似值? 具體做法是?

在時間間隔[T 1 ? T 2]內任意插入若干個分點

T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?

把[T 1 ? T 2]分成n個小段

[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?

各小段時間的長依次為

?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?

相應地? 在各段時間內物體經過的路程依次為

?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?

在時間間隔[t i?1? t i]上任取一個時刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時刻的速度v(? i)來代替[t i?1? t i]上各個時刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即

?S i? v(? i)??t i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S 的近似值? 即

S??v(?i)?ti?

i?1n

求精確值?

記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當??0時? 取上述和式的極限? 即得變速直線運動的路程

S?lim?v(?i)?ti?

??0i?1n

設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區間[a? b]分成n個小區間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn

(3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x? iii?1

設物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續函數?

且v(t)?0? 計算在這段時間內物體所經過的路程S ?

(1)用分點T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時間間隔[T 1 ? T 2]分成n個小時間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時間段[ti?1? ti]內物體所經過的路程可近似為v(?i)?ti

(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為

S??v(?)?tii?1nni?

(3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為

S?lim??0?v(?)?t? iii?

1二、定積分定義

拋開上述問題的具體意義? 抓住它們在數量關系上共同的本質與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義?

定義

設函數f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個分點

a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?

把區間[a? b]分成n個小區間

[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?

各小段區間的長依次為

?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?

在每個小區間[xi?1? xi]上任取一個點? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數值f(? i)與小區間長度?xi的乘積

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和

S??f(?i)?xi?

i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對[a? b]怎樣分法? 也不論在小區間[xi?1? xi]上點? i 怎樣取法? 只要當??0時? 和S 總趨于確定的極限I? 這時我們稱這個極限I為函數f(x)在區間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx?

即

lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數? f(x)dx叫做被積表達式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區間?

定義

設函數f(x)在[a? b]上有界? 用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個小區間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和

S??f(?)?xii?1ni?

記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當??0時? 上述和式的極限存在? 且極限值與區間[a? b]的分法和? i的取法無關? 則稱這個極限為函數f(x)在區間[a? b]上的定積分? 記作即

根據定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx?

變速直線運動的路程為S??T2v(t)dt?

1?baf(x)dx?

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?

??0i?1nbT

說明?

(1)定積分的值只與被積函數及積分區間有關? 而與積分變量的記法無關? 即

?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?

(2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和?

i?1nbbb

(3)如果函數f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說f(x)在區間[a? b]上可積?

函數f(x)在[a? b]上滿足什么條件時? f(x)在[a? b]上可積呢？

定理

1設f(x)在區間[a? b]上連續? 則f(x)在[a? b]上可積?

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

定理2 設f(x)在區間[a? b]上有界? 且只有有限個間斷點? 則f(x)在[a? b]上可積?

定積分的幾何意義?

在區間[a? b]上? 當f(x)?0時? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當f(x)?0時? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值?

b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?

??0i?1??0i?1nnb

當f(x)既取得正值又取得負值時? 函數f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對面積賦以正負號? 在x軸上方的圖形面積賦以正號? 在x軸下方的圖形面積賦以負號? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數和?

b用定積分的定義計算定積分?

例1.利用定義計算定積分?0x2dx?

解

把區間[0? 1]分成n等份??分點為和小區間長度為

xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

nn

取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n

1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1

ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?

3?ni?1n66nn

因為??1? 當??0時? n??? 所以?n

?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn

3利定積分的幾何意義求積分:

例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數y?1?x在區間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因為以y?1?x為曲邊??以區間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長及高均為1? 所以 1天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

??0(1?x)dx?2?1?1?2??11

1三、定積分的性質

兩點規定?

(1)當a?b時?

(2)當a?b時? ?af(x)dx?0?

?af(x)dx???bf(x)dx?

bbbab

性質

1函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即

?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?

bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi

??0i?1nnn

?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi

??0i?1b??0i?1

??af(x)dx??ag(x)dx?

性質2 被積函數的常數因子可以提到積分號外面 即

b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb

這是因為?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?

??0i?1??0i?1????????性質???如果將積分區間分成兩部分?則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和?即??

?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx?

這個性質表明定積分對于積分區間具有可加性?

值得注意的是不論a ?b ?c的相對位置如何總有等式

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx?

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 cbcbcb成立? 例如? 當a

高等數學教案

第五章 定積分

于是有

?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a?

?af(x)dx?0(a?b)?

?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)?

?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0?

?af(x)dx??ag(x)dx?

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx?

性質

4如果在區間[a b]上f(x)?1 則

性質

5如果在區間[a??b]上 f(x)?0? 則

推論

1如果在區間[a??b]上 f(x)? g(x)則

這是因為g(x)?f(x)?0? 從而

所以

推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)?

這是因為?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以

??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx?

即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|??

性質6 設M 及m 分別是函數f(x)在區間[a??b]上的最大值及最小值? 則

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)?

證明

因為 m? f(x)? M ? 所以

從而

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)?

性質7(定積分中值定理)

如果函數f(x)在閉區間[a??b]上連續? 則在積分區間[a??b]上至少存在一個點??? 使下式成立? bbbbbbb?

?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個公式叫做積分中值公式?

證明

由性質6

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項除以b?a

得

b

m?1?af(x)dx?M?

b?ab再由連續函數的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點? ? 使

b

f(?)?1?af(x)dx?

b?a于是兩端乘以b?a得中值公式

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b

積分中值公式的幾何解釋?

應注意? 不論ab? 積分中值公式都成立?

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

§5? 2 微積分基本公式

一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系

設物體從某定點開始作直線運動? 在t時刻所經過的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時間間隔[T1? T2]內物體所經過的路程S可表示為

S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt?

1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)?

1T

上式表明? 速度函數v(t)在區間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數S(t)在區間[T1? T2]上的增量?

這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義呢？

二、積分上限函數及其導數

設函數f(x)在區間[a? b]上連續? 并且設x為[a? b]上的一點??我們把函數f(x)在部分區間[a? x]上的定積分

?af(x)dx

xx稱為積分上限的函數? 它是區間[a? b]上的函數? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt?

定理1 如果函數f(x)在區間[a? b]上連續? 則函數

?(x)??af(x)dx

在[a? b]上具有導數? 并且它的導數為

x

??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x

dxxx

簡要證明

若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)?

????(x??x)??(x)??a

??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt

xf(t)dt??af(t)dt x天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

??xx??xf(t)dt?f(?)?x?

應用積分中值定理? 有???f(?)?x?

其中?在x 與x??x之間? ?x?0時? ??x ? 于是

??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)?

?x?0?x?x?0??x

若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)?

定理

2如果函數f(x)在區間[a? b]上連續? 則函數

?(x)??af(x)dx

就是f(x)在[a? b]上的一個原函數?

定理的重要意義? 一方面肯定了連續函數的原函數是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系?

三、牛頓??萊布尼茨公式

定理

3如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a? b]上的一個原函數? 則

x?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式?

這是因為F(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數? ?所以存在常數C? 使

F(x)??(x)?C(C為某一常數)?

由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb

證明? 已知函數F(x)是連續函數f(x)的一個原函數? 又根據定理2? 積分上限函數

?(x)??af(t)dt

也是f(x)的一個原函數? 于是有一常數C? 使

F(x)??(x)?C(a?x?b)?

當x?a時? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當x?b 時? F(b)??(b)?F(a)?

所以?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

a?F(b)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bb

進一步揭示了定積分與被積函數的原函數或不定積分之間的聯系?

例1.計算?0x2dx?

解? 由于1x3是x2的一個原函數? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333

3例2 計算??1dx2?

1?x

解 由于arctan x是12的一個原函數? 所以

1?x

??13 ??(? ?)?7??

dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2?

1例3.計算??21dx?

x

解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11

例4.計算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積?

解? 這圖形是曲邊梯形的一個特例? 它的面積

A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2??

例5.汽車以每小時36km速度行駛? 到某處需要減速停車?設汽車以等加速度a??5m/s2剎車? 問從開始剎車到停車? 汽車走了多少距離？

解

從開始剎車到停車所需的時間?

當t?0時? 汽車速度

v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s?

3600剎車后t時刻汽車的速度為

v(t)?v0?at ?10?5t ?

當汽車停止時? 速度v(t)?0? 從

v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)?

于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為

2?10(m)?

s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

即在剎車后? 汽車需走過10m才能停住?

例6.設f(x)在[0, ??)內連續且f(x)>0? 證明函數F(x)?在(0? ??)內為單調增加函數?

xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故

dxdx?0tf(t)dt

x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x?

按假設? 當0?t?x時f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以

?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0?

?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內為單調增加函數?

例7.求limx?0?

解? 這是一個零比零型未定式? 由羅必達法則?

limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1?

x?02x2e2提示? 設?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt?

dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x?

dx?1dxdudx

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

§5? 3 定積分的換元法和分部積分法

一、換元積分法

定理

假設函數f(x)在區間[a? b]上連續? 函數x??(t)滿足條件?

(1)?(??)?a ? ?(?)?b?

(2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續導數? 且其值域不越出[a? b]? 則有

?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

這個公式叫做定積分的換元公式?

證明

由假設知? f(x)在區間[a? b]上是連續? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區間[?? ?](或[?? ?])上也是連續的? 因而是可積的?

假設F(x)是f(x)的一個原函數? 則

b??af(x)dx?F(b)?F(a)?

另一方面? 因為{F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個原函數? 從而

b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)?

因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

例1 計算?0a2?x2dx(a>0)?

解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ?

?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt

20??天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

22?1?a2?

?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當x?0時t?0? 當x?a時t???? 例2 計算?02cos5xsinxdx?

解 令t?cos x? 則

???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx

011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1?

令cosx?t提示? 當x?0時t?1? 當x??時t?0?

2或

?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1?

??[1cos6x]066266

例3 計算?0sin3x?sin5xdx?

解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx

?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx

02?3

??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx

?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4?

555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|?

在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x?

4例4 計算?x?2dx?

02x?

1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt

t2312711122?

?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

2t提示? x??1? dx?tdt? 當x?0時t?1? 當x?4時t?3?

2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續且為偶函數? 則

??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx?

0a

證明 因為??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而

所以

??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx?

a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx

aa

??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx?

討論?

若f(x)在[?a? a]上連續且為奇函數? 問??af(x)dx?？

提示?

若f(x)為奇函數? 則f(?x)?f(x)?0? 從而

a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0?

??aa

例6 若f(x)在[0? 1]上連續? 證明

(1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx?

證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt

2?

??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx?

002(2)令x???t? 則

?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt

????t)]dt??0(??t)f(sint)dt

??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 ??高等數學教案

第五章 定積分

???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx?

所以

???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx?

?x2?4?xe x?0

例7 設函數f(x)??1? 計算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx

解 設x?2?t? 則

?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt

?01?cost220

?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1?

22222提示? 設x?2?t? 則dx?dt? 當x?1時t??1? 當x?4時t?2?

二、分部積分法

設函數u(x)、v(x)在區間[a? b]上具有連續導數u?(x)、v?(x)? 由

(uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區間[a? b]上積分得

ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式?

分部積分過程?

ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ?

?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計算? 解 12arcsinxdx? 0

?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0

?1????02xdx

261?x21? ???021221d(1?x2)

1?x21?22???3?1?

??[1?x]012122 例2 計算?0exdx?

解 令x?t? 則

1?0e1xdx?2?0ettdt

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 1高等數學教案

第五章 定積分

?2?0tdet

?2[tet] 0 ?2?0etdt

?2e?2[et] 0 ?2?

例3 設In??02sinnxdx? 證明

(1)當n為正偶數時? In?n?1?n?3???3?1???

nn?242

2(2)當n為大于1的正奇數時? In?n?1?n?3???4?2?

nn?2

53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx

n?1 ?2x] 0?

??[cosxsin???02cosxdsinn?1x

??

?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得

In?n?1In?2?

n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0?

2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1?

2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1?

2因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1???

2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設In??02sinnxdx(n為正整數)? 證明

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 ?????高等數學教案

第五章 定積分

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx

??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx

?

?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得 In?n?1In?2? n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3

53天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

§5? 4 反常積分

一、無窮限的反常積分

定義1 設函數f(x)在區間[a? ??)上連續? 取b>a ? 如果極限

b???lim?af(x)dx

??b存在? 則稱此極限為函數f(x)在無窮區間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即

?a這時也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

如果上述極限不存在? 函數f(x)在無窮區間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒有意義? 此時稱反常積分?af(x)dx發散?

類似地? 設函數f(x)在區間(??? b ]上連續? 如果極限

a???????lim?af(x)dx(a

bb存在? 則稱此極限為函數f(x)在無窮區間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

???f(x)dx?alim?f(x)dx?

???a這時也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發散?

設函數f(x)在區間(??? ??)上連續? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx

都收斂? 則稱上述兩個反常積分的和為函數f(x)在無窮區間(??? ??)上的反常積分? 記作

0?????f(x)dx? 即

???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx

b

?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

b???這時也稱反常積分???f(x)dx收斂?

如果上式右端有一個反常積分發散? 則稱反常積分???f(x)dx發散?

定義1?

連續函數f(x)在區間[a? ??)上的反常積分定義為

?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發散?

類似地? 連續函數f(x)在區間(??? b]上和在區間(??? ??)上的反常積分定義為

???f(x)dx?lim?af(x)dx?

a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

a???b?????0b

反常積分的計算? 如果F(x)是f(x)的原函數? 則

?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba

b???b???b

?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)?

b???x???可采用如下簡記形式?

類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)?

x??????F(b)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

????limF(x)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計算反常積分???12dx?

1?x

解 ???

???1?1x2dx?[arctanx]???

?limarctanx?limarctanx

x???x???

? ??(? ?)??? 例2 計算反常積分?0te?ptdt(p是常數? 且p>0)?

解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0

p??

?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp??

?[?1te?pt?12e?pt]0pp

?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12?

t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0?

t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當p?1時?

當p<1時?

當p>1時? ??1dx(a>0)的斂散性?

xp?a??1dx???1dx?[lnx] ??????

a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ??????

a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p?

a1?pp?1xp1?p 因此? 當p>1時? 此反常積分收斂? 其值為a? 當p?1時? 此反常積分發散?

p?

1二、無界函數的反常積分

定義

2設函數f(x)在區間(a? b]上連續? 而在點a的右鄰域內無界? 取?>0? 如果極限

t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

這時也稱反常積分?af(x)dx收斂?

如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發散?

類似地? 設函數f(x)在區間[a? b)上連續? 而在點b 的左鄰域內無界? 取?>0? 如果極限

t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt這時也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發散?

設函數f(x)在區間[a? b]上除點c(a

都收斂? 則定義

cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?

否則? 就稱反常積分?af(x)dx發散?

瑕點? 如果函數f(x)在點a的任一鄰域內都無界? 那么點a稱為函數f(x)的瑕點? 也稱為無界

定義2?

設函數f(x)在區間(a? b]上連續? 點a為f(x)的瑕點? 函數f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發散?

類似地?函數f(x)在[a? b)(b為瑕點)上的反常積分定義為

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt

函數f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點)上的反常積分定義為

?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx?

??tt?cb反常積分的計算?

如果F(x)為f(x)的原函數? 則有

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt

?t?a

?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡記形式?

a?F(b)?limF(x)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有

a?limF(x)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當a為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?

a?F(b)?lim?x?ab當b為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)?

a?lim?x?bb當c(a?c?b)為瑕點時?

F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]?

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計算反常積分? 解 因為lim?x?aa01dx?

2a?x21???? 所以點a為被積函數的瑕點?

a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2

1例5 討論反常積分??112dx的收斂性?

x

解 函數12在區間[?1? 1]上除x?0外連續? 且lim12???

x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1????

1?xxx?0x01即反常積分??112dx發散? 所以反常積分??112dx發散?

xx

例6 討論反常積分?a

解 當q?1時?

當q?1時? bbbdx的斂散性?

(x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b????

a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b????

a?a(x?a)q1?q天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

當q?1時? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q?

a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當q<1時? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當q?1時? 此反常積分發散?

1?q

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案

第五章 定積分

天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室

第三篇：第七章 微分方程(三峽大學高等數學教案)

高等數學教案

微分方程

第七章

微分方程

教學目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；

教學難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；

3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

§7? 1 微分方程的基本概念

函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數的導數?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?

dt三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業：P298：4

d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變為

? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案

微分方程

可以驗證函數y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

dM???dt?

M三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

兩邊積分? 得dM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?

t?C?

m1dvdt

?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即

v?)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxx三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyyx??

?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變為

u?x即

xy?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdxdu?u2?

dxu?1du?u?

dxu?1分離變量? 得

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或寫成ln|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?

解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?而

OM?x2?y2?

于是得微分方程

y?x?

y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?

例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學高等數學課程建設組

aa高等數學教案

微分方程

以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]?

2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

32齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程 a2dy?1?

dxx?y三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案

微分方程

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxu分離變量? 得

udu?dx?

u?1兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

三峽大學高等數學課程建設組

12高等數學教案

微分方程

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?

解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為

2dx

m2?F(t)?

dt141812121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

三峽大學高等數學課程建設組

dx|?0?

dtt?0高等數學教案

微分方程

于是所求質點的運動規律為

x?

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

F012t3(t?)? 0?t?T?

m26Tdy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設y??p?有

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?

設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?

又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

md2x??cx??dx?

2dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?

設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdt三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

根據回路電壓定律? 得

E?Ldi?q?Ri?0?

dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LC2dtdt或寫成

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結構

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?

齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數的線性相關與線性無關?

設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?

判別兩個函數線性相關性的方法?

對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的?

定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?

二階非齊次線性方程解的結構?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?

定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?

定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?

如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2求出?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

特征方程的根與通解的關系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?

這是因為?

函數y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?

y1er1x(r1?r2)x不是常數?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?

函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

r2?2r?5?0?

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?

二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應?

單實根r 對應于一項? Cerx ?

一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程

二階常系數非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?

二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???2y??3y?0?

三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?b0x?b1?

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學高等數學課程建設組

高等數學教案

微分方程

由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 121 y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

三峽大學高等數學課程建設組

12121212高等數學教案

微分方程

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)的特解可設為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

三峽大學高等數學課程建設組

134?

91349高等數學教案

微分方程

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

三峽大學高等數學課程建設組

第四篇：第十章____重積分(高等數學教案)

高等數學教案

重積分

重積分

【教學目標與要求】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。

3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。

4.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。

【教學重點】

1.二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；

2.三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3.二、三重積分的幾何應用及物理應用。

【教學難點】

1.利用極坐標計算二重積分； 2.利用球坐標計算三重積分； 3.物理應用中的引力問題。

【教學課時分配】(10學時)第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

習題課

【參考書】

[1]同濟大學數學系.《高等數學（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學數學系.《高等數學學習輔導與習題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟大學數學系.《高等數學習題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等數學教案

重積分

§10? 1 二重積分的概念與性質

【回顧】定積分

設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)分割：用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區間[a? b]分成n個小區間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x?

iii?1則

?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質

一、引例

1? 曲頂柱體的體積V 設有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區域D? 其側面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負連續? 稱為曲頂柱體?

若立體的頂是平行于xoy面的平面。

體積=底面積?高

現在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積?

（i）分割：用任意曲線網把D分成n個小區域 ：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 高等數學教案

重積分

（ii）代替：在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（iii）近似和： 整個曲頂柱體體積V

V??f(?i,?i)??i?

i?1n分割得越細, 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無限細”, 則右端近似值會無限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n

其中??i的直徑是指??i中相距最遠的兩點的距離。則

V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i

??0i?1n2?平面薄片的質量?

當平面薄板的質量是均勻分布時，質量 = 面密度×面積.若平面薄板的質量不是均勻分布的.這時, 薄板的質量不能用上述公式算, 應如何算該薄板的質量M? 設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負連續? 現在要計算該薄片的質量M?

（i）分割：用任意一組曲線網把D分成n個小區域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

（ii）代替：把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量?

mi??(? i ? ? i)?? i ?

（iii）近似和： 各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值?

M???(?i,?i)??i?

i?1n高等數學教案

重積分

將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質量（iv）取極限：

記 ??max{?的直徑},i1?i?n

則

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1n兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：

“分割, 代替,近似和,取極限”

(2)所求量的結構式相同

曲頂柱體體積:

V?lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n平面薄片的質量:

M?lim??(?i,?i)??i

??0i?1n二、二重積分的定義及可積性

定義： 設f(x? y)是有界閉區域D上的有界函數? 將閉區域D任意分成n個小閉區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個小區域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果當各小閉區域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在閉區域D上的二重積分? 記作

??f(x,y)d?? 即

D

lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區域? 積分和?

直角坐標系中的面積元素?

如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區域外? 其余的小閉區域都是矩形閉區域? 設矩形閉區域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數學教案

重積分

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的?

說明：當函數f(x? y)在閉區域D上連續時? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數f(x? y)在閉區域D上連續，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計算：三.二重積分的性質

設D為有界閉區域，以下涉及的積分均存在。性質1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。

D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??

DDD性質2 設k為常數，則性質3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?

DD性質4 設D?D1?D2，且D1,D2無公共內點，則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2性質5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則

??f(x,y)d????g(x,y)d??

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則

??f(x,y)d??0

D

（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

這是因為?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|

性質6 設M、m分別是f(x? y)在閉區域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則

高等數學教案

重積分

m|D|???f(x,y)d??M|D|?

D

性質7(二重積分的中值定理)設函數f(x? y)在閉區域D上連續? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?,?)?D，使

例2.比較下列積分的大小：??f(x,y)d??f(?,?)??

D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}

小結

1.二重積分的定義：

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質（與定積分性質相似）

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意二重積分的定義，性質以及應用，并且要與定積分的定義、性質進行比較，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.比較下列積分值的大小關系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy

22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書設計

作業 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10? 2 二重積分的計算法 高等數學教案

重積分

一、利用直角坐標計算二重積分

X??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區域? D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區域?

設f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時二重積分柱體的體積?

對于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?

根據平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V?即

V?可記為

?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區域D為Y ??型區域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區域?

D

解? 畫出區域D?

方法一?

可把D看成是X??型區域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]??

?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x高等數學教案

重積分

解法2? 也可把D看成是Y??型區域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D

例2? 計算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區域?

解

畫出區域D? 可把D看成是X??型區域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??

302

也可D看成是Y??型區域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?

例3 計算

2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區域?

??

解 積分區域可以表示為D?D1+D2?

其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1

??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

積分區域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy

?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設這兩個圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數學教案

重積分

利用立體關于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂的曲頂柱體?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

16R3?

22(R?x)dx??03 二?

利用極坐標計算二重積分

?8R

有些二重積分? 積分區域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數用極坐標變量?、? 表達比較簡單?

這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分

lim?f(?i,?i)??i?

??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi?

1下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式?

以從極點O出發的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區域D分為n個小閉區域? 小閉區域的面積為?

111222??(?i???i)???i???i??i??i??i?

?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)?

則有

??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i

?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若積分區域D可表示為? 1(?)???? 2(?)?

?????? 高等數學教案

重積分

則

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區

解

在極坐標系中? 閉區域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?

0002D22?a22??(1?e?a)

注? 此處積分

122?022?d???(1?e?a)?

dxdy?

2??e?xD22?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2??e?x?y2

利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計算廣義積分?e?xdx?

02??2

設D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

2?y2?0? 從則在這些閉區域上的二重積分之間有不等式

2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因為

??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應用上面已得的結果有 高等數學教案

重積分

??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?

42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?

42于是上面的不等式可寫成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?

?404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?? 從而??e?x2dx???

?4 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積?

解

由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區域?

在極坐標系中D可表示為

0???2a cos? ? 0???于是

V?4 ??

22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?

3232?2

?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?

03323

小結

1.二重積分化為累次積分的方法；

2.積分計算要注意的事項。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標和極坐標，以及在計算時要注意事項，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.設f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。

00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0)

講課提綱、板書設計 高等數學教案

重積分

作業 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§10?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區域?上的有界函數? 將?任意分成n個小閉區域：

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個小閉區域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和

?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數f(x? y? z)在閉區域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?高等數學教案

重積分

lim?f(?i,?i,?i)?vi?

???f(x,y,z)dv???0i?1?n

三重積分中的有關術語? ???——積分號?

f(x? y? z)——被積函數?

f(x? y? z)dv——被?積表達式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區域?

在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?

??

當函數f(x? y? z)在閉區域?上連續時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區域?上是連續的?

三重積分的性質? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

???

?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?

???dv?V? 其中V為區域?的體積? 二、三重積分的計算

1? 利用直角坐標計算三重積分

三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數學教案

重積分

即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

提示? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

對于平面區域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數? 在區間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數F(x? y)?

F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計算F(x? y)在閉區域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區域?上的三重積分?

??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

z2(x,y)

1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

?dx即

?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

例1 計算三重積分域?

解 作圖? 區域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區?12高等數學教案

重積分

于是

???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00?

??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0

111?

??(x?2x2?x3)dx?4048

討論? 其它類型區域呢?

有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區域?所得到的一個平面閉區域? 則有

???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy?

?1c2Dz2y2z2x

例2 計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc?2區域?

解 空間區域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c?

ab2c2于是

????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?

?c?c15cD2?c2??zc

練習：

例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區域?

例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進行二重積分再進行定積分的形式?

其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

2? 利用柱面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規定?、?、z的變化范圍為? 高等數學教案

重積分

0??

坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點M 的直角坐標與柱面坐標的關系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例5利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區域?

解 閉區域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所

2????zdxdydz????z?d?d?dz

??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164??

??2?[8?2??6]2?026

3?2422?2?

3? 利用球面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數r、?、? 來確定? 其中 r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數r、?、??? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標面r?r0? ???0? ???0的意義，點M的直角坐標與球面坐標的關系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?高等數學教案

重積分

球面坐標系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

??

例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

316?a

?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)?

3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

小結

1.三重積分的定義和計算； 2.換元積分公式。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意三重積分的定義和計算以及換元積分公式的應用，要結合實例，反復講解。

師生活動設計

1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。

2.設?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計算講課提綱、板書設計

作業 P164: 4，5，7，9（1）高等數學教案

重積分

§10? 4 重積分的應用

一、曲面的面積

設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區域? 函數f(x? y)在D上具有連續偏導數fx(x? y)和fy(x? y)? 現求曲面的面積A ?

在區域D內任取一點P(x? y)? 并在區域D內取一包含點P(x? y)的小閉區域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d??

xycos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數學教案

重積分

或

A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?y

設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?

?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?

?z?x或

A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

提示?

?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2??

222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?y?z??x?z?? ?

222222?x?yR?x?yR?x?y所以

A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2

?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0

?22x?y2?R2??

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設有一顆地球同步軌道通訊衛星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與高等數學教案

重積分

地球自轉的角速度相同? 試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

二、質心

設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片的質心坐標?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數? 則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd??

y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質心?

解 因為閉區域D對稱于y軸? 所以質心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數學教案

重積分

因為

2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??

??d????22???12?3??

D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?

3??d?3?

3類似地? 占有空間閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續)的物體的質心坐標是

x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質心?

提示?

?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a?

00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2???

0002420a2?

三、轉動慣量

設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD高等數學教案

重積分

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉動慣量?

解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

??

?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?

4031?a4???1Ma2?

4241?a2?為半圓薄片的質量?

2類似地? 占有空間有界閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉動慣量為

Ix?

Iy?

Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量?

解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉動慣量即球體對于z軸的轉動慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

??8?a5??2a2M?

4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力問題? 高等數學教案

重積分

設物體占有空間有界閉區域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續?

在物體內任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF

dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

在三個坐標軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設半徑為R的勻質球占有空間閉區域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質量的質點的引力?

解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

[x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22

?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R32R

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R3??1??GM

??G?? 023aa2

?2?G?0[?2R?高等數學教案

重積分

其中M?4?R3?0為球的質量?

3上述結果表明? 勻質球對球外一質點的引力如同球的質量集中于球心時兩質點間的引力?

小結

1.曲面面積的計算；

2.質心的計算；

3.轉動慣量的定義和求解。

教學方式及教學過程中應注意的問題

在教學過程中要注意曲面面積的計算，質心的計算，轉動慣量的定義和求解，要結合實例，反復講解。

師生活動設計 1.設有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程2(x2?y2)，設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 已知體積減少的速率與側z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數 0.9), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)講課提綱、板書設計 作業 P175: 1，2，4（1），7（1）

高等數學教案

重積分

習題課

一、重積分計算的基本方法

—— 累次積分法

1.選擇合適的坐標系

使積分域多為坐標面(線)圍成;被積函數用此坐標表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序

積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法

圖示法；列不等式法(從內到外: 面、線、點)

二、重積分計算的基本技巧 1.交換積分順序的方法

2.利用對稱性或重心公式簡化計算 3.消去被積函數絕對值符號 4.利用重積分換元公式

三、重積分的應用 1.幾何方面

面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面

質量, 轉動慣量, 質心, 引力

3.其它方面

四、例題分析

1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個薄片的重心恰好落在圓心上 ,問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長 高等數學教案

重積分

度應為多少? 2.計算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。

計算二重積分

DI???(x?xye)dxdy, 其中

（1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3)

第五篇：高等數學教案ch 9 重積分

第九章

重積分

教學目的：

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。

2、掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。

3、掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。

4、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。教學重點：

1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；

2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。

3、二、三重積分的幾何應用及物理應用。教學難點：

1、利用極坐標計算二重積分；

2、利用球坐標計算三重積分；

3、物理應用中的引力問題。

§9? 1 二重積分的概念與性質 一、二重積分的概念

1? 曲頂柱體的體積

設有一立體? 它的底是xOy面上的閉區域D? 它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續? 這種立體叫做曲頂柱體? 現在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積?

首先? 用一組曲線網把D分成n個小區域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

這個平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i?

i?1n可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i?

??0i?1n其中?是個小區域的直徑中的最大值?

2?平面薄片的質量?

設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續? 現在要計算該薄片的質量M?

用一組曲線網把D分成n個小區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量?

?(? i ? ? i)?? i ?

各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值? M???(?i,?i)??i?

i?1nn

將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質量M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個小區域的直徑中的最大值?

定義 設f(x? y)是有界閉區域D上的有界函數? 將閉區域D任意分成n個小閉區域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個小區域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和

n?i?1f(?i,?i)??i?

如果當各小閉區域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數f(x? y)在閉區域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即

D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i?

nf(x? y)被積函數? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區域? 積分和?

直角坐標系中的面積元素?

如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區域外? 其余的小閉區域都是矩形閉區域? 設矩形閉區域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作

??Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素?

二重積分的存在性? 當f(x? y)在閉區域D上連續時? 積分和的極限是存在的?

也就是說函數f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數f(x? y)在閉區域D上連續? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的?

二?

二重積分的性質

性質1 設c1、c2為常數? 則

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD?

性質2如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和? 例如D分為兩個閉區域D1與D2? 則

??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

D1D

2性質3 ??1?d????d???(?為D的面積)?

DD

性質4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式

??Df(x,y)d????g(x,y)d?D?

特殊地

|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

性質5 設M、m分別是f(x? y)在閉區域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有

m????Df(x,y)d??M??

性質6(二重積分的中值定理)設函數f(x? y)在閉區域D上連續? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?? ?)使得

??Df(x,y)d??f(?,?)??

§9? 2 二重積分的計算法

一、利用直角坐標計算二重積分

X??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區域?

設f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區域D為底的D曲頂柱體的體積?

對于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根據平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

即

V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

可記為

??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區域D為Y ??型區域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區域?

D

解? 畫出區域D?

解法1?

可把D看成是X??型區域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x?

注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D1111

2解法2? 也可把D看成是Y??型區域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288?

例2? 計算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區D域?

解

畫出區域D? 可把D看成是X??型區域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1?

301

2也可D看成是Y??型區域：?1?y?1? ?1?x

??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx?

例3 計算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區域?

D

解 積分區域可以表示為D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy?

積分區域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy

4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368?

討論積分次序的選擇?

例

4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設這兩個圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立體關于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂的曲頂柱體? 于是

V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

D

?8?(R2?x2)dx?16R3?

0R3

二?

利用極坐標計算二重積分

有些二重積分? 積分區域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數用極坐標變量?、? 表達比較簡單?

這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分??f(x,y)d??

Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i?

下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式?

以從極點O出發的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區域D分為n個小閉區域? 小閉區域的面積為?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i?

其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)?

則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

nn于是 lim即

??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d??

??f(?co?D若積分區域D可表示為

? 1(?)???? 2(?)?

??????

則

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區域?

解

在極坐標系中? 閉區域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)?

02

注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy?

利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計算廣義積分??? 0e?xdx?

2設D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}?

D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?

S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區域上的二重積分之間有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因為

?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應用上面已得的結果有

?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2?

?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)?

2于是上面的不等式可寫成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)?

2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?4? 從而?e?xdx???

??2 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積?

解

由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??4a2?x2?y2dxdy?

D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區域?

在極坐標系中D可表示為

0???2a cos? ? 0??? ??

2?于是

V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d?

?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)?

0332?§9?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區域?上的有界函數? 將?任意分成n個小閉區域

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個小閉區域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區域的直徑

i?1n中的最大值?趨于零時?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數f(x? y? z)在閉區域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?

????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi?

n

三重積分中的有關術語?

???——積分號?

f(x? y? z)——被積函數?

f(x? y? z)dv

?——被積表達式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區域?

在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z??

當函數f(x? y? z)在閉區域?上連續時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區域?上是連續的?

三重積分的性質? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv??

???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?1??2dv?V? 其中V為區域?的體積? 二、三重積分的計算

1? 利用直角坐標計算三重積分

三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

提示?

設空間閉區域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計算????f(x,y,z)dv?

基本思想?

對于平面區域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數? 在區間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數F(x? y)?

F(x,y)??三重積分?

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計算F(x? y)在閉區域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即

???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區域?在xOy面上的投影區域?

例1 計算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區域?

解 作圖? 區域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1?

2于是

???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz

??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2

?14?0(x?2x1?x3)dx?1?

討論? 其它類型區域呢?

有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區域?所得到的一個平面閉區域? 則有

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?

c1Dzc

2例2 計算三重積分???zdxdydz?

2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空

abc間閉區域?

解 空間區域?可表為: 22y2

x2?2?1?z2? ?c? z?c?

abc于是

????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3?

?2?cDz?cc1

5練習

1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中

?

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區域?

2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式?

?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區域?

2? 利用柱面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規定?、?、z的變化范圍為?

0??

坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點M 的直角坐標與柱面坐標的關系?

x??cos?? y??sin?? z?z ?

?x??cos???y??sin???z?z

柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例3 利用柱面坐標計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區域?

解 閉區域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

????zdxdydz?????z?d?d?dz2

42?

2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d?

002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2???

026

33? 利用球面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數r、?、? 來確定? 其中

r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數r、?、? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標面r?r0? ???0? ???0的意義?

點M的直角坐標與球面坐標的關系?

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ?

?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos???

球面坐標系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標系中的三重積分?

????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d???

例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr

?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr

16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)?

提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

§9? 4 重積分的應用

元素法的推廣?

有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應用中? 如果所要計算的某個量U對于閉區域D具有可加性(就是說? 當閉區域D分成許多小閉區域時? 所求量U相應地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區域D內任取一個直徑很小的閉區域d?時? 相應的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達式? 在閉區域D上積分?

U???f(x,y)d??

D這就是所求量的積分表達式?

一、曲面的面積

設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區域? 函數f(x? y)在D上具有連續偏導數fx(x? y)和fy(x? y)? 現求曲面的面積A ?

在區域D內任取一點P(x? y)? 并在區域D內取一包含點P(x? y)的小閉區域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

dA?cos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

D或

A???1?(?z)2?(?z)2dxdy?

D?x?y

設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x

或

A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx?

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2?

因為z對x和對y的偏導數在D? x2?y2?R2上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限?

x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220

?2?R(R?R2?a2)?

于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?

a?R整個球面面積為

A?2A1?4?R2?

提示?

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222?

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222?

所以

A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R

?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設有一顆地球同步軌道通訊衛星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與地球自轉的角速度相同? 試計算該通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

解 取地心為坐標原點? 地心到通訊衛星中心的連線為z軸? 建立坐標系?

通訊衛星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為

z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2??

于是通訊衛星的覆蓋面積為

A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy?

其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區域?

利用極坐標? 得

A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)?

由于cos??R? 代入上式得

R?h

A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h?

由此得這顆通訊衛星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106

???42.5%?

4?R22(R?h)2(36?6.4)?106

由以上結果可知? 衛星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛星就可以覆蓋幾乎地球全部表面?

二、質心

設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片的質心坐標?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

在閉區域D上任取包含點P(x? y)小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則

平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數? 則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質心?

解 因為閉區域D對稱于y軸? 所以質心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0?

因為

??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7??

22d????2???1?3???D?

??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)?

3?3

3類似地? 占有空間閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續)的物體的質心坐標是

x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質心?

解 取半球體的對稱軸為z軸? 原點取在球心上? 又設球半徑為a? 則半球體所占空間閉區可表示為

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0}

顯然? 質心在z軸上? 故x?y?0?

???z?dv???zdv

z??????dv??????dv??3a8?

故質心為(0, 0, 3a)?

8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?

????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32?

????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123?

rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202?

三、轉動慣量

設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續? 現在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量?

在閉區域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉動慣量?

解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d?

2?

?1?a4???1Ma2?

424其中M?1?a2?為半圓薄片的質量?

2類似地? 占有空間有界閉區域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉動慣量為

Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

?

Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv?

?

Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量?

解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉動慣量即球體對于z軸的轉動慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d?

?????(r2sin?2??a82

3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M?

?000155其中M?4?a3?為球體的質量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力問題?

設物體占有空間有界閉區域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續?

在物體內任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設半徑為R的勻質球占有空間閉區域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質量的質點的引力?

解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2

?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22

?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20

R

?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz

?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2]

a?RR

2R3?2G??0(?2R?2R?)

3a24?R31M??G??0?2??G23aa

?

4?R3其中M??03為球的質量?

上述結果表明? 勻質球對球外一質點的引力如同球的質量集中于球心時兩質點間的引力?