第一篇：定積分的幾何應(yīng)用教案
4.3.1 定積分在幾何上的應(yīng)用
教材：
《高等數(shù)學(xué)》第一冊第四版，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室，2009 第四章第三節(jié) 定積分的應(yīng)用
教學(xué)目的：
1.理解掌握定積分的微元法；
2.會用微元法計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。
教學(xué)重點：定積分的微元法。
教學(xué)難點：
計算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長、旋轉(zhuǎn)曲面面積時的微元如何選取和理解。
教學(xué)時數(shù)：3學(xué)時
教學(xué)過程設(shè)計：通過大量例題來理解用微元法求定積分在幾何上的各種應(yīng)用。
部分例題：
(1)求平面圖形的面積
由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。
例如：求曲線f?x2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。
分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。
所以該曲邊梯形的面積為
f??21x223137xdx????
31333222(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積
(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a ab(Ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c cd(III)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)?0)與直線x=a、x=b(0?a abx2y2例如：求橢圓2?2?1所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋ab轉(zhuǎn)體的體積。 分析：橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是上半橢圓b2y?a?x2(?a?x?a)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓ax2y2??1所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 a2b2b2vy???(a?x2)?aa?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?a(a2?x2)dx 4?ab23橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體可以看作是右半橢圓x?a2b?y2,(?b?y?b)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，因此橢圓2?2?1所圍成的圖形繞 aby軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 a2?a22vy???(b?y)dy?2?bbb ?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?b22(b?ydy) (3)求平面曲線的弧長 (I)、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程 {x??(t)(??t??) y??(t)給出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????'[?'(t)2?]?[t(2d)。]x()(Ⅲ)設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????r2(?)?[r(?)']2d(?)。 x21例如：求曲線y??lnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。 42解：y'?x1?22x，于是弧長微元為 ds?1?y'2，x111dx?1?(?)2dx?(x?)dx。 22x2x所以，所求弧長為：s?? e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 第六章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。 3、掌握用定積分表達(dá)和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點： 1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。 2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點： 1、截面面積為已知的立體體積。 2、引力。 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 §6.1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積? 設(shè)y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分? A??af(x)dx b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù) A(x)??af(t)dt x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素? 以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分? A??af(x)dx ? b 一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設(shè)dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達(dá)式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得 U??af(x)dx? b 用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)? 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 §6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 1．直角坐標(biāo)情形 設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為 S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ? 類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設(shè)平面圖形的面積為? S??c[?右(y)??左(y)]dy? 例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積?? 解(1)畫圖?? (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2? (4)計算積分 S??0(x?x)dx?[2x2?1x3]10???333213db 例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積?? 解(1)畫圖?? (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4? 2(4)計算積分? 4?18? S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?22 例3 求橢圓x2?a2y2?1所圍成的圖形的面積? 2b 解 設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因為面積元素為ydx? 所以 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ? 于是 S?4?0ydx?4??bsitdn(acots) 2a0?2ab?02(1?co2st)dt?2ab???ab?? ??4ab??si2ntdt02?2 2．極坐標(biāo)情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素? 由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為 ?S???1[?(?)]2d?? 2例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應(yīng)于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積? 2??4a2?3? 解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]023322? 例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積? ?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d? 22232n?1si2n?]? ?a2[3??2si?0?a?? 242 二、體 積 1．旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸? 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體? 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 設(shè)過區(qū)間[a? b]內(nèi)點x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)? 當(dāng)平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ? 于是體積元素為 dV ? ?[f(x)]2dx ? 旋轉(zhuǎn)體的體積為 V??a?[f(x)]2dx? 例1 連接坐標(biāo)原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積? 解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx? hb 所求圓錐體的體積為 2hh?1?hr2? V??0?(rx)2dx??r2[1x3]0h33h2y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)ab的體積? 解: 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓 y?ba2?x2 a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為 dV? ? y 2dx ? 于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 22a2 V???a?b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab? 33aa 例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積? 解 所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 Vx??0?y2dx???0a2(1?cots)2?a(1?cots)dt ??a3?0(1?3cots?3co2st?co3st)dt ?5? 2a 3? 所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差? 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則 22(y)dy??0?x1(y)dy Vy??0?x22a2a2?2?a2?t)2?asintd?t??0a2(t?sint)2?asintd t ???2?a2(t?sin?? ???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ? 2．平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為 V??aA(x)dx? 例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積? 解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為 A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為 2R2R3tan?[R2x?1x3]??? V???R1(R2?x2)tan?dx?1tanR?2233Rb2? 例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積? 解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R §6 定積分的應(yīng)用 體得等腰三角形? 這截面的面積為 A(x)?h?y?hR2?x2? 于是所求正劈錐體的體積為 V???RhR?xdx?2Rh?02cos2?d??1?R2h?? 2R222? 三、平面曲線的弧長 設(shè)A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線? 當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為 i?1n曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線弧AB是可求長的? 定理 光滑曲線弧是可求長的? 1．直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程 y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度? 取橫坐標(biāo)x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應(yīng)于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應(yīng)的小段的長度為 (dx)2?(dy)2?1?y?2dx? 從而得弧長元素(即弧微分) ds?1?y?2dx? 以1?y?2dx為被積表達(dá)式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為 s??a1?y?2dx? b 在曲率一節(jié)中? 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 例1? 計算曲線y?2x2上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度? 3解? y??x2? 從而弧長元素 ds?1?y?2dx?1?xdx? 13因此? 所求弧長為 s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]? 3333 3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度? c 解? y??shx? 從而弧長元素為 cds?1?sh2xdx?chxdx? cc因此? 所求弧長為 bbb? s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc 2．參數(shù)方程情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 因為dy??(t)? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt? ??(t)所求弧長為 s?????2(t)???2(t)dt? ? 例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度?? 解? 弧長元素為 ?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind?? 2所求弧長為 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 2??8a? s??02asin?d??2a[?2cos?]0222? 3．極坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程 ???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得 x??(?)cos??? y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為 ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d?? 從而所求弧長為 s?????2(?)???2(?)d?? 例14? 求阿基米德螺線??a?(a>0)相應(yīng)于? 從0到2? 一段的弧長? 解? 弧長元素為 ds?a2?2?a2d??a1??2d?? 于是所求弧長為 2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]? 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 §6.3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例1 把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標(biāo)原點O處? 它產(chǎn)生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學(xué)知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為 F?kq(k是常數(shù))? r2當(dāng)這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a 例1? 電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點O處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a 提示: 由物理學(xué)知道? 在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中? 距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為F?kq(k是常數(shù))? r 2解: 在r軸上? 當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時? 電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 W??abkq2qdr? r2qdr? r211dr?kq[?1]ba?kq(?)? rabr 例2? 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功? 解? 取坐標(biāo)系如圖? 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示? 由物理學(xué)知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即 pV?k 或p?k? V 解: 在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 F?p?S?k?S?k? xSx當(dāng)活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx? x于是所求的功為 bbW??akdx?k[lnx]ba?kln? xa 例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿了水? 試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？ 解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應(yīng)于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為 dW?88?2??x?dx? 此即功元素? 于是所求的功為 225(kj)? xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22 5二、水壓力 從物理學(xué)知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側(cè)所受的水壓力為 P?p?A? 如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算? 例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 設(shè)桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ? 計算桶的一個端面上所受的壓力? 解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標(biāo)系如圖? 在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為 高等數(shù)學(xué)教案 §6 定積分的應(yīng)用 dP?2?xR2?x2dx? 所求壓力為 P??02 ? xR2?x2dx????(R2?x2)2d(R2?x2)03222R?2rR3? ???[(R?x)2]033RR 1三、引力 從物理學(xué)知道? 質(zhì)量分別為m 1、m 2? 相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為 F?Gm1m2? r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向? 如果要計算一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力? 那么? 由于細(xì)棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的? 且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算? 例5? 設(shè)有一長度為l、線密度為?的均勻細(xì)直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M? 試計算該棒對質(zhì)點M的引力? 例5?? 求長度為l、線密度為?的均勻細(xì)直棒對其中垂線上距棒a單位處質(zhì)量為m的質(zhì)點M的引力? 解? 取坐標(biāo)系如圖? 使棒位于y軸上? 質(zhì)點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質(zhì)量 2222為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于是在水平方向上? 引力元素為 dFx?Gm?dyam?dy?a?? ??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2引力在水平方向的分量為 Fx???l2G?l22Gm?lam?dy1???? 223/222a(a?y)4a?l 四川工商學(xué)院 授 課 計 劃（教 案） 課程名稱：高等數(shù)學(xué) 章節(jié)名稱：第六章 第一節(jié) 定積分的概念 使用教材：趙樹媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國人民大學(xué)出版社，2016.8 教學(xué)目的：掌握定積分的概念，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問題的方法，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維。 教學(xué)重點：定積分的概念 教學(xué)難點：定積分概念建立、分割的思想方法及應(yīng)用 教學(xué)方法：教學(xué)采用啟發(fā)式、數(shù)形結(jié)合，用多媒體輔助教學(xué)。適用層次：應(yīng)用型本科。教學(xué)時間：45分鐘。 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計 引言 介紹牛頓和萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家以及在微積分方面的研究成果，重點展示在積分方面的成果。（簡單提及積分產(chǎn)生背景） （PPT展示肖像，簡歷和成就。2分鐘） 一、引例 已經(jīng)會用公式求長方形、梯形、三角形面積。但對一些不規(guī)則平面圖形的面積計算，需要尋求其他方法計算。 （PPT展示封閉的圖形及分塊，特別強調(diào)曲邊梯形。2分鐘） （一）求曲邊梯形的面積（板書） 由x?a,x?b,y?0與y?f?x??0圍成平面圖形，求面積A=?（如圖）（PPT展示） 1.分析問題 （1）用小曲邊梯形的面積相加就是A；（PPT展示） （2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計算表達(dá)式（PPT放大圖形） （3）分的越細(xì)，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很細(xì)，或最大的都很小（PPT） （PPT展示，4分鐘） 2.分割 （1）在?a,b?內(nèi)任意插入n?1個分點： a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b 這樣，把?a,b?分成了n個小區(qū)間?x0,x1?,?,?xi?1,xi?,?,?xn?1,xn?，并記小區(qū)間的長度為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?（PPT演示，重點說明其目的是準(zhǔn)備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘） （2）過每一個分點作平行于y軸的直線，這樣一來，大的曲邊梯形被分成n個小曲邊梯形?Ai（小范圍）。 3.近似代替 f(在第i 個小曲邊梯形上任取??i?[xi-1,xi]，作以 [ x i, x 為底，? i)為高的小矩形, ?1i]并用此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積 ? A i , 得 ?Ai?f(?i)?xi?xi?xi?xi?1，i?1,2,....,n （PPT演示，重點說明乘積的量表示什么。2分鐘） （1）求和 把n個小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值 ???A???Ai??f??i??xi（板書） i?1i?1nn（PPT演示，重點說明，兩個量的區(qū)別，讓學(xué)生記住后一個表達(dá)式，這是將來應(yīng)用的核心部 分。3分鐘） （2）取極限 當(dāng)分點的個數(shù)無限增加，且小區(qū)間長度的最大值?，即趨近于零時，上述和式極限就是梯形面積的精確值。 nn A?lim?Ai=limf??i??xi即 ??max{?xi},（板書）??0??01?i?ni?1i?1 （PPT演示，重點說明三個符號構(gòu)成一個新的記號，重點。3分鐘） （二）變速直線運動的路程（板書） ??求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s。 n設(shè)某物體作直線運動，已知速度v?v(t)是時間間隔?T1，T2?上t的連續(xù)函數(shù)，且 v(t)?0,S=lim?v??i??ti（板書） ??0i?1（PPT展示上述結(jié)論，與 （一）對比，只是將符號變更，另一方面乘積的量發(fā)生了變化。 3分鐘） 二、定積分的定義 定義：設(shè)函數(shù)f?x?在?a,b?上有定義，任意取分點 a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b 把?a,b?分成n個小區(qū)間，?xi-1，xi?稱為子區(qū)間，其長度記為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?。在每個子區(qū)間?xi-1，xi?上，任取一點?i??xi-1，xi?，得函數(shù)值fnf(?)?x。??i?，作乘積 ii f(?i)?xi。把所有的乘積加起來，得和式 ?i?1當(dāng)n無限增大，且子區(qū)間長度的最大長度趨近于零時，如果上述和式的極限存在，則稱f?x?在子區(qū)間?a,b?上可積，并將此極限值稱為函數(shù)f?x?在?a,b?上的定積分。記作： ?f?x?dx ab即 ?f????x （板書）?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn （PPT展示定義，重點說明：記號和等號，左邊是新的符號，右邊是其表達(dá)式，即如果可以建立右邊表達(dá)式，就立即將其用左邊符號表示，換言之，看見左邊符號，立即聯(lián)想到右邊的表達(dá)式。4分鐘） （板書）?f?x?dx，變速直線運動的路程可以表示為：S=?v?t?dt（板書）曲邊梯形的面積可以表示為：A?abT2T1定理 1設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，則f?x?在?a,b?上可積。 定理2 設(shè)f?x?在?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f?x?在?a,b?上可積。 （PPT展示定理。解釋：只要滿足條件，lim??0?f????x 就可以與定積分符號劃等號。 iii?1n2分鐘） 三、例題 利用定義計算定積分 ?10x2dx （PPT展示全部計算過程及答案，說明幾何意義。特別強調(diào)，以后用牛-萊公式計算，即簡單又快捷，但要用到不定積分的知識，提醒學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過的相關(guān)知識。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘） 四、總結(jié)（板書） （PPT展示定義-符號、定理，提示復(fù)習(xí)不定積分，核心表達(dá)式板書。1分鐘） 五、作業(yè)（板書） 板書設(shè)計框架 第五章 第一節(jié) 定積分的概念 一、引例 （一）求曲邊梯形的面積 （二）變速直線運動的路程 二、定積分定義 ?f????x ?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn 三、例題 ?10x2dx= 四、總結(jié) 五、習(xí)題與提示 《數(shù)學(xué)分析》教案 第十章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)要求： 1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分； 2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。 教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等 教學(xué)時數(shù)：10學(xué)時 § 1平面圖形的面積（2 時） 教學(xué)要求： 1.理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分； 2.熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積 一、組織教學(xué)： 二、講授新課： （一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡單圖形： 型和 型平面圖形.型和 《數(shù)學(xué)分析》教案 例 5求由雙紐線 所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線之間).以 軸對稱;以 或 .(可見圖形夾在過極點，代 方程不變，圖形關(guān)于 代 , 方程不變, 圖形關(guān)于 軸對稱.參閱P242 圖10-6 因此.三、小結(jié)： § 2 由平行截面面積求體積（2 時） 教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計算體積。教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計算體積 （一）已知截面面積的立體的體積: 設(shè)立體之截面面積為 推導(dǎo)出該立體之體積 ..祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初)例1 求由兩個圓柱面 和 所圍立體體積.P244 例1() 《數(shù)學(xué)分析》教案 和 在區(qū)間 上連續(xù)可導(dǎo)且 ..則 上以 和 為端點的弧段的弧長為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對 , ,有 Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點 超過第三邊.事實上，和 為頂點的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長公式, 在折線總長表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項進(jìn)行估計.如果曲線方程為極坐標(biāo)形式 出其參數(shù)方程 .于是 連續(xù)可導(dǎo), 則可寫.§ 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積(1 時)教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 教學(xué)重點：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計算旋轉(zhuǎn)曲面的面積 教學(xué)準(zhǔn)備 1.教學(xué)目標(biāo) （1）知識與技能：解決一些在幾何中用初等數(shù)學(xué)方法難以解決的平面圖形面積問題（2）過程與方法：在解決問題中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對定積分幾何意義的理解 （3）情感態(tài)度與價值觀：體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力． 2.教學(xué)重點/難點 【教學(xué)重點】： （1）應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積問題，使學(xué)生在解決問題的過程中體驗定積分的價值以及由淺入深的解決問題的方法。 （2）數(shù)形結(jié)合的思想方法 【教學(xué)難點】： 利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿瑥亩亚笃矫鎴D形面積的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問題． 3.教學(xué)用具 多媒體 4.標(biāo)簽 1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 教學(xué)過程 課堂小結(jié)第二篇：ch 6 定積分的應(yīng)用
第三篇：定積分概念教案(修改)
第四篇：數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用
第五篇：1.7定積分的簡單應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計 教案
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