第一篇：2016考研數(shù)學(xué)：定積分的證明

2016考研數(shù)學(xué)：定積分的證明

定積分及其應(yīng)用這部分內(nèi)容在歷年真題的考察中形式多樣，是考試的重點(diǎn)內(nèi)容。啟航考研龍騰網(wǎng)校老師希望同學(xué)們要加以重視！

定積分的證明是指證明題目中出現(xiàn)積分符號(hào)的一類題目，一般的解題思路和常見的證明題大同小異，但是由于積分符號(hào)的出現(xiàn)，往往使得同學(xué)們有這樣那樣的不適應(yīng)，在這里呢，和同學(xué)們一起總結(jié)下關(guān)于這類題目的一般解題思路。常見的關(guān)于定積分的證明，主要包括以下幾

類

問

題。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續(xù)函數(shù)的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。①利用被積函數(shù)的單調(diào)性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數(shù)不等式，再用微分學(xué)方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續(xù)性和一階可導(dǎo)性)與泰勒公式(適用于題設(shè)中有二階以上可導(dǎo)性)。

第二篇：2014考研數(shù)學(xué)備考重點(diǎn)解析——定積分的計(jì)算和證明

2014考研數(shù)學(xué)備考重點(diǎn)解析——定積分的計(jì)算和證明

1.定義：?b

af(x)dx?lim?f(?k)?xk ??0k?1n

2.可積性：

1）必要條件：f(x)有界；

2）充分條件:f(x)連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

3.計(jì)算1）?b

af(x)dx?F(b)?F(a)

2）換元法

3）分部積分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 ?n?1n?31????,n偶?nnnn?222(1)?2sinxdx??2cosxdx?? 00n?1n?32????,n奇?nn?23??

(2)

4.變上限積分：?π0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx ?x

af(t)dt

1)連續(xù)性：設(shè)f(x)在[a,b]上可積，則

2）可導(dǎo)性：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則

變上限求導(dǎo)的三個(gè)類型： ?xaxaf(t)dt在[a,b]上連續(xù)。f(t)dt醫(yī)學(xué)考研論壇在[a,b]上可導(dǎo)且(?f(t)dt)??f(x).ax?

??(x)??(1)??f(t)dt??f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)??(x)?

??(x)x??(2)??f(x,t)dt?例1:F(x)??(t?x)f(t)dx 0??(x)?

?bdx2??(3)??f(x,t)dt?例2:sin(x?t)dt?0?a?dx

3）奇偶性：i）若f(x)為奇函數(shù)，則?x

0f(t)dt為偶函數(shù)。

ii）若f(x)為偶函數(shù)，則5.性質(zhì)：

?

x0

f(t)dt為奇函數(shù)。

1)不等式：i)若f(x)?g(x), 則

?

ba

f(x)dx??g(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則m(b?a)?iii)

?

ba

f(x)dx?M(b?a).?

ba

f(x)dx??|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則

?

ba

f(x)dx?f(c)(b?a),a?c?b

g(x)不變號(hào)，則

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)醫(yī)學(xué)考研論壇，?

ba

f(x)g(x)dx?f(c)?g(x)dx,a?c?b.a

b

【例1】I?

?

n?0

?x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n

?

?

?sin2

??

?

?

(cos?sin)2 cosx?sinx

(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)?22n.?

?40

?

【解法2】原式=n

5?4

??

5?4

?sin2xdx

=n

?

?

(cosx?sinx)2dx

45?4

=n

?

??

(sinx?cosx)dx?2.ex4

sinxdx;【例2】 I???

?1?ex2

?x?t

ee44

sinxdx??2?sintdt【解析】I??2?

x?t?1?e?1?e22

?

(x??t)

?

sin???1?ettdt

?

??

?1?2ex1442sinxdx???sinxdx?????

?1?ex2??21?ex

2?

??2?sinxdx

2?2

?

?

?

?

sin4xdx?

31?3?

海文考研鉆石卡 ???

42216

【例3】 已知f(x)連續(xù)，【解析】令x?t?u得

?

x0

?

tf(x?t)dt?1?cosx,求?2f(x)dx的值.?

x

tf(x?t)dt??(x?u)f(u)du?x?f(u)du??uf(u)du，xxx

xxxdx，從而有tf(x?t)dt?f(u)du?xf(x)?xf(x)?f(u)duf(u)du?sinx ????0000dx

令x?

?

?

得

?

f(u)du?sin

?

?1.1n

??1??2??n??

【例4】 求 lim??1?2?????1?n2?????1?n2???n???n????????

?1?1222n2?12n?

(?2)?ln1(?2)???ln1(?2)? 【解析】令yn??(1?2)(1?2)?(1?2)?，則lnyn??ln1nnnn?nnn???

n

2x2?

?ln2?2(1?)limlnyn??ln(1?x)dx?xln(1?x)0??01?x20n??4

原式?e

ln2?2(1?

?)

?

?2e

?2

.【例5】 求證:【解析】

?

sinx2dx?0.2?

?

2?

sinxdx =?

?

sint20

（令x2?t）

?

?

sint2t

??

2?

sint2t

?

而

??

2?

2?

??sinusint

=?du（令t???u）

2?u

則

?

sinxdx??

?0

sint?11?

??dt?0.2??t??

【例6】 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，單調(diào)增。求證:【證法1】令F(x)?

b?ab

?axf(x)dx?2?af(x)dx

b

?

xa

tf(t)?

x?ax

f(t)dt ?a2

只要證明F(b)?0，顯然F(a)?0

2?a1x

f(x)??f(t)dt 22a

x1

=?(x?a)f(x)??f(t)dt?

?a??2?

=?(x?a)f(x)?(x?a)f(c)?(a?c?x)

而F?(x)?xf(x)??0 則F(b)?F(a)?0 原式得證.【證法2】由于f(x)在[a,b]上單調(diào)海文考研鉆石卡增，則

(x?

a?ba?b)(f(x)?f())?0 22

從而有即又則即

b

?

ba

(x?

a?b?a?b?)?f(x)?f()?dx?0 2?2?

a?ba?bba?b

(x?)f(x)dx?f()(x?)dx?0 ?a

22?a2ba?b(x?)dx?0 ?a

2ba?b(x?)f(x)dx?0 ?a

2ba?bbxf(x)dx?f(x)dx.?a?a2

第三篇：2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)之定積分解析篇

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)之定積分解析篇

2018考研數(shù)學(xué)大綱已發(fā)布，對(duì)于定積分部分，整體要求沒有什么出入，下面主要是根據(jù)2017年對(duì)定積分這一塊的考查，并結(jié)合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學(xué)們來聊聊，接下來這三個(gè)月，我們?cè)?018年的考研備考中所要注意的問題：

首先，我們要結(jié)合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識(shí)體系。

定積分這章包括：定積分的定義，性質(zhì);微積分基本定理;反常積分以及定積分的應(yīng)用這幾個(gè)部分。這幾個(gè)部分各有各的側(cè)重點(diǎn)。而其中有關(guān)定積分的定義是要求我們掌握的重點(diǎn)，我們要充分理解微積分基本定理以及還要掌握定積分在幾何和物理上面的應(yīng)用。至于反常積分這一塊，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的反常積分，了解反常積分的概念就好了。

接下來，我們要挖掘考試大綱，以幫助我們更深刻理解這一章的知識(shí)點(diǎn)。

一、定積分

關(guān)于定積分的定義及性質(zhì)。這里要求同學(xué)們一定要理解分割，近似以及求和還有取極限這幾個(gè)步驟。與此同時(shí)還要求同學(xué)們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對(duì)定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內(nèi)容。因此希望這一部分能引起同學(xué)們的一定的重視。關(guān)于定積分的性質(zhì)這一塊，同學(xué)們關(guān)鍵主要在于理解。定積分中的區(qū)間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個(gè)是同學(xué)要掌握的。而對(duì)于微積分基本定理這一塊的知識(shí)點(diǎn)是非常重要的。這里面有一個(gè)新的函數(shù)叫做變上限積分函數(shù)。關(guān)于變上限積分函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)是我們一定要掌握的。關(guān)于切線與法線;以及單調(diào)性;極值;凹凸性的應(yīng)用與變上限積分函數(shù)是可以相關(guān)聯(lián)的。有了變上限積分函數(shù)的定義后，我們就要注意變限積分求導(dǎo)問題了，有關(guān)變上限積分的求導(dǎo)，希望同學(xué)們能夠會(huì)證明，以前考研真題中也出現(xiàn)過此類問題。所以，應(yīng)當(dāng)值得我們重視。

二、反常積分

對(duì)反常積分這一塊內(nèi)容，要求同學(xué)們了解反常積分的基本定義，會(huì)利用用定積分來判斷其收斂性，會(huì)計(jì)算反常積分就夠了。而關(guān)于反常積分的計(jì)算，同學(xué)們就當(dāng)作定積分來求就可以了。

最后，就是有關(guān)定積分的應(yīng)用部分了。這一塊應(yīng)用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應(yīng)用，對(duì)于數(shù)一和數(shù)二的同學(xué)還要求掌握物理上面的應(yīng)用。而這里，同學(xué)們一定要知道數(shù)學(xué)一、二、三的區(qū)別。數(shù)學(xué)三的同學(xué)要掌握用定積分求面積及簡(jiǎn)單的體積。而對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二還要求掌握用定積分求曲線弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面面積。而數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二也要掌握物理方面的應(yīng)用，這里主要要求數(shù)一數(shù)二的同學(xué)掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質(zhì)心問題。而這里最要的是同學(xué)們一定要掌握微元法這種思想方法。

凱程考研輔導(dǎo)班，中國最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

因此，關(guān)于定積分這一塊，希望同學(xué)們能夠結(jié)合上篇和下篇的全部?jī)?nèi)容，來完整的明晰有關(guān)定積分的知識(shí)。

總之，今天考研大綱剛出來，我們通過對(duì)2016年考研大綱的整體分析以及單塊知識(shí)點(diǎn)的分析，這里我希望同學(xué)們能夠全面掌握住相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，為三個(gè)月后的2016考試做好充足的準(zhǔn)備，希望同學(xué)們能夠?qū)W習(xí)好定積分這一部分內(nèi)容，這樣可以為以后的高等數(shù)學(xué)的整體復(fù)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，最后，還有幾個(gè)月，希望每個(gè)同學(xué)都能認(rèn)認(rèn)真真的學(xué)，希望每一位同學(xué)都能考出一個(gè)好的成績(jī)。

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第四篇：探討定積分不等式的證明方法

探討定積分不等式的證明方法

摘要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效證明方法。

關(guān)鍵詞：定積分

不等式

證法

不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見，但關(guān)于定積分不等式的證明卻一直是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證法。

1．運(yùn)用定積分中值定理證明

定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來證明不等式。

例1：設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)不增，證明?a∈[0,1]有

?a0f(x)dx≥a?f(x)dx．

01證明：由原不等式變形得即是要證：(1?a)?a0f(x)dx≥a（?f(x)dx??f(x)dx)，0010a1?a0f(x)dx≥a?f(x)dx, 對(duì)左式，f(x)在[0,1]上連續(xù)，故a由定積分中值定理知：

??1??0，a?使

（1?a)?f(x)dx?a(1?a)f(?1), 0同理對(duì)右式：??2??a，1?使a?0f(x)dx?a(1?a)f(?2)，1顯然，?1＜?2又f(x)在[0,1]上單調(diào)不增，∴f(?1)≥f(?2)故原不等式?a0f(x)dx≥a?f(x)dx成立.01定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡(jiǎn)單，易于掌握。2．運(yùn)用輔助函數(shù)證明

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再求F’(x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。

例2：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù),且f(x)>0.試證：?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2 f(x)xxaa證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)??f(t)dt?則F(x)?f(x)?a

='x1dt?(x?a)2（將b換成x），f(t)11xdt?f(t)dt?2(x?a)?af(t)f(x)?xaxf(t)xf(x)dt??dt??2dt

aaf(t)f(x)f(x)f(t)??2)dt

=?a(f(t)f(x)xf(x)f(t)??2?0，∵f(x)＞0，∴

f(t)f(x)'又a

?0，∴F(b)?F(a)?0，?baf(x)dx?ba1dx?(b?a)2． f(x)該題構(gòu)造出積分上限函數(shù)，其目的是用單調(diào)性來證明不等式。這種方法開門見山、直截了當(dāng)。3．運(yùn)用定積分的性質(zhì)和幾何意義證明

與定積分的概念相聯(lián)系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡(jiǎn)捷。

例３：證明不等式?13sinx?dx?．

ex(1?x2)12esinx1?，兩端積分得：

ex(1?x2)e(1?x2)證明：因?yàn)??x?3時(shí)

?31sinx131?dx???x221e(1?x)e1?x12e

a?1例４：設(shè)a,b?1時(shí)，證明不等式ab?e證明：blnb??lnxdx?b?1，e1ba?1?blnb．

a?10??exdx?1，根據(jù)定積分的幾何意義知：

（a?1)b??lnxdx??1ba?10exdx?blnb?ea?1?b，a?1ab?e?blnb.即本題關(guān)鍵在于深刻領(lǐng)悟定積分概念的由來，即求曲邊梯形的面積問題推導(dǎo)的四個(gè)步驟：分割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似代替”的幾何直觀來加以證明。

4．運(yùn)用拉格朗日中值定理證明

利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構(gòu)造滿足中值定理?xiàng)l件的函數(shù)和區(qū)間，然后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等。

?M，f(a)?0，例5：設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x）試證：?abf(x)dx?M(b?a)2.2證明：由題設(shè)?x?[a,b]，f(x)在[a，b]上都滿足拉氏中值定理的條件，于是有：

f(x)?f(x)?f(a)?f'(?)(x?a)，??(a,x)，?M，∵f'(x）∴f(x)?M(x?a)兩邊在[a，b]上定積分得：

?baMf(x)dx??M(b?a)dx?(b?a)2.a2b此題運(yùn)用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。

5．運(yùn)用Taylor公式證明

當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，通常采用泰勒展開式來證明。首先要寫出f(x)的泰勒展開式，然后根據(jù)題意寫出某些點(diǎn)的泰勒展開式，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s以變成不等式，最后用定積分的性質(zhì)進(jìn)行處理。

例6：設(shè)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加，且f“(x)＞0，證明

(b?a)f(a)＜?abf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)

2證明：先證左不等號(hào)：(b?a)f(a)＜

?baf(x)dx，?x?[a,b]，x＞a，f(x)單調(diào)增加，所以f(x)＞f(a)

故?baf(x)dx＞(b?a)f(a)?（1）再證右不等號(hào)：?baf(x)dx＜(b?a)f(a)?f(b)，2?t?[a,b]，f(t)在點(diǎn)x處的Taylor展式為：

f(t)?f(x)?f'(x)(t?x)?因

1f”(?)(t?x)2,其中?在t與x之間，2!f"(?)＞0，f(t)＞f(x)?f'(x)(t?x)，所以將t?b,t?a分別代入上式并相加得：

f(a)?f(b)＞2f(x)?(a?b)f'(x)?2xf(x)，將此式在[a,b]上積分得：

?f(a)?f(b)?(b?a)＞2?af(x)dx?(a?b)?af'(x)dx?2?axf(x)dx，有2[f(a)?f(b)](b?a)＞4故

bbb?baf(x)dx，?baf(a)?f(b)f(x)dx＜(b?a)?（2）

2綜合（1）、（2），原不等式得證.Taylor公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，往往很難掌握。一個(gè)題目在你用其他方式很難解決時(shí)，Taylor公式常會(huì)給你意想不到的突破。

6．運(yùn)用柯西—斯瓦茲不等式證明 柯西—斯瓦茲不等式：

例7：設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)?f(0)?1，試證：0[f'(x)]dx?1.證明：∵f(1)?f(0)??12?10f'(x)dx，又f(1)?f(0)?1，所以?0f'(x)dx?1，因f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，所以f(x)在[0,1]上連續(xù)，2dx[f'(x)]dx?(f'(x)dx)?1，由柯西—斯瓦茲不等式得：?0?0?011211即是0[f'(x)]dx?1.柯西—斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來并不困難，但應(yīng)用是靈活多變的。

7．運(yùn)用重積分證明

重積分要化為定積分來計(jì)算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來證明，也是一種常見的方法。

例8：設(shè)f(x)是在[0，1]上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，?12?試證：?xf0101xf(x)dx23?(x)dx13??101f3(x)dxf(x)dx122.1102I?xf(x)dxf(x)dx?f(x)dxxf證明：設(shè)????(x)dx

00003232xf(x)f(y)dxdy?f(x)f(y)ydxdy

=????DD3

=??DDf3(x)f2(y)(x?y)dxdy?（1）

23I?f(x)f(y)(y?x)dxdy?（2）同樣

??232I?(x?y)f(x)f(y)(f(x)?f(y))dxdy，（1）+（2）可得??D由于f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，故(x?∴I1y)(f(x)?f(y))?0，13100?0，從而?0xfxf(x)dx2313(x)dx?f(x)dx??f(x)dx?xf2(x)dx

012?即?xf010?(x)dx??101f3(x)dxf(x)dx2

0總的來說，證明不等式是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的技術(shù)手法。在此，我研究了上述7種方法來證明不等式，使一些復(fù)雜不等式的證明變得更加簡(jiǎn)潔，也會(huì)使一些不等式的證明變得一題多解。

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)必看重點(diǎn)：定積分證明三大解題思路_斃考題

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2018考研數(shù)學(xué)必看重點(diǎn)：定積分證明三大解題思路

在考研數(shù)學(xué)中，定積分及其應(yīng)用這部分知識(shí)點(diǎn)考察形式多樣，是每年考察的重點(diǎn)，而定積分證明就是常見形式之一，大家需要加以重視，下面一起來看看這類題目的解題思路吧。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續(xù)函數(shù)的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。

①利用被積函數(shù)的單調(diào)性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數(shù)不等式，再用微分學(xué)方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續(xù)性和一階可導(dǎo)性)與泰勒公式(適用于題設(shè)中有二階以上可導(dǎo)性)。

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