第一篇：ch 6 定積分的應用
高等數(shù)學教案
§6 定積分的應用
第六章
定積分的應用
教學目的
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。
3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學重點：
1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。
2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學難點：
1、截面面積為已知的立體體積。
2、引力。
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§6 定積分的應用
§6.1 定積分的元素法
回憶曲邊梯形的面積?
設y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?
A??af(x)dx
b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù)
A(x)??af(t)dt
x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?
以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分?
A??af(x)dx ?
b
一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得
U??af(x)dx?
b
用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?
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§6? 2 定積分在幾何上的應用
一、平面圖形的面積
1．直角坐標情形
設平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為
S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?
類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設平面圖形的面積為?
S??c[?右(y)??左(y)]dy?
例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?
(4)計算積分 S??0(x?x)dx?[2x2?1x3]10???333213db
例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?
2(4)計算積分?
4?18?
S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?22 例3 求橢圓x2?a2y2?1所圍成的圖形的面積?
2b 解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因為面積元素為ydx?
所以 高等數(shù)學教案
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S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?
于是
S?4?0ydx?4??bsitdn(acots)
2a0?2ab?02(1?co2st)dt?2ab???ab??
??4ab??si2ntdt02?2
2．極坐標情形
曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?
由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為
dS?1[?(?)]2d??
2曲邊扇形的面積為
?S???1[?(?)]2d??
2例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?
2??4a2?3?
解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]023322?
例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?
?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?
22232n?1si2n?]?
?a2[3??2si?0?a??
242
二、體 積
1．旋轉體的體積
旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體? 這直線叫做旋轉軸? 高等數(shù)學教案
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常見的旋轉體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體?
旋轉體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體?
設過區(qū)間[a? b]內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?
于是體積元素為
dV ? ?[f(x)]2dx ?
旋轉體的體積為
V??a?[f(x)]2dx?
例1 連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積?
解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?
hb
所求圓錐體的體積為
2hh?1?hr2?
V??0?(rx)2dx??r2[1x3]0h33h2y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)ab的體積?
解: 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓
y?ba2?x2
a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體? 體積元素為
dV? ? y 2dx ?
于是所求旋轉橢球體的體積為
22a2 V???a?b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?
33aa
例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積?
解
所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為 高等數(shù)學教案
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Vx??0?y2dx???0a2(1?cots)2?a(1?cots)dt
??a3?0(1?3cots?3co2st?co3st)dt
?5? 2a 3?
所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差? 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則
22(y)dy??0?x1(y)dy
Vy??0?x22a2a2?2?a2?t)2?asintd?t??0a2(t?sint)2?asintd t
???2?a2(t?sin??
???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?
2．平行截面面積為已知的立體的體積
設立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為
V??aA(x)dx?
例4 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積?
解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為
A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為
2R2R3tan?[R2x?1x3]???
V???R1(R2?x2)tan?dx?1tanR?2233Rb2?
例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?
解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R §6 定積分的應用 體得等腰三角形? 這截面的面積為 A(x)?h?y?hR2?x2? 于是所求正劈錐體的體積為 V???RhR?xdx?2Rh?02cos2?d??1?R2h?? 2R222? 三、平面曲線的弧長 設A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內接折線? 當分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為 i?1n曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線弧AB是可求長的? 定理 光滑曲線弧是可求長的? 1．直角坐標情形 設曲線弧由直角坐標方程 y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導數(shù)? 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度? 取橫坐標x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應的小段的長度為 (dx)2?(dy)2?1?y?2dx? 從而得弧長元素(即弧微分) ds?1?y?2dx? 以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為 s??a1?y?2dx? b 在曲率一節(jié)中? 我們已經知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此 高等數(shù)學教案 §6 定積分的應用 例1? 計算曲線y?2x2上相應于x從a到b的一段弧的長度? 3解? y??x2? 從而弧長元素 ds?1?y?2dx?1?xdx? 13因此? 所求弧長為 s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]? 3333 3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度? c 解? y??shx? 從而弧長元素為 cds?1?sh2xdx?chxdx? cc因此? 所求弧長為 bbb? s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc 2．參數(shù)方程情形 設曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導數(shù)? 因為dy??(t)? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt? ??(t)所求弧長為 s?????2(t)???2(t)dt? ? 例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度?? 解? 弧長元素為 ?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind?? 2所求弧長為 高等數(shù)學教案 §6 定積分的應用 2??8a? s??02asin?d??2a[?2cos?]0222? 3．極坐標情形 設曲線弧由極坐標方程 ???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導數(shù)? 由直角坐標與極坐標的關系可得 x??(?)cos??? y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為 ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d?? 從而所求弧長為 s?????2(?)???2(?)d?? 例14? 求阿基米德螺線??a?(a>0)相應于? 從0到2? 一段的弧長? 解? 弧長元素為 ds?a2?2?a2d??a1??2d?? 于是所求弧長為 2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]? 高等數(shù)學教案 §6 定積分的應用 §6.3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例1 把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為 F?kq(k是常數(shù))? r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a 例1? 電量為+q的點電荷位于r軸的坐標原點O處它所產生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a 提示: 由物理學知道? 在電量為+q的點電荷所產生的電場中? 距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為F?kq(k是常數(shù))? r 2解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時? 電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 W??abkq2qdr? r2qdr? r211dr?kq[?1]ba?kq(?)? rabr 例2? 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功? 解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即 pV?k 或p?k? V 解: 在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為 高等數(shù)學教案 §6 定積分的應用 F?p?S?k?S?k? xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx? x于是所求的功為 bbW??akdx?k[lnx]ba?kln? xa 例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內盛滿了水? 試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？ 解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為 dW?88?2??x?dx? 此即功元素? 于是所求的功為 225(kj)? xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22 5二、水壓力 從物理學知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側所受的水壓力為 P?p?A? 如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算? 例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內盛有半桶水? 設桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ? 計算桶的一個端面上所受的壓力? 解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖? 在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為 高等數(shù)學教案 §6 定積分的應用 dP?2?xR2?x2dx? 所求壓力為 P??02 ? xR2?x2dx????(R2?x2)2d(R2?x2)03222R?2rR3? ???[(R?x)2]033RR 1三、引力 從物理學知道? 質量分別為m 1、m 2? 相距為r的兩質點間的引力的大小為 F?Gm1m2? r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質點連線方向? 如果要計算一根細棒對一個質點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質點的距離是變化的? 且各點對該質點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算? 例5? 設有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m的質點M? 試計算該棒對質點M的引力? 例5?? 求長度為l、線密度為?的均勻細直棒對其中垂線上距棒a單位處質量為m的質點M的引力? 解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質量 2222為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于是在水平方向上? 引力元素為 dFx?Gm?dyam?dy?a?? ??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2引力在水平方向的分量為 Fx???l2G?l22Gm?lam?dy1???? 223/222a(a?y)4a?l 4.3.1 定積分在幾何上的應用 教材： 《高等數(shù)學》第一冊第四版，四川大學數(shù)學學院高等數(shù)學教研室，2009 第四章第三節(jié) 定積分的應用 教學目的： 1.理解掌握定積分的微元法； 2.會用微元法計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉曲面的面積。 教學重點：定積分的微元法。 教學難點： 計算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長、旋轉曲面面積時的微元如何選取和理解。 教學時數(shù)：3學時 教學過程設計：通過大量例題來理解用微元法求定積分在幾何上的各種應用。 部分例題： (1)求平面圖形的面積 由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。 例如：求曲線f?x2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。 分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。 所以該曲邊梯形的面積為 f??21x223137xdx???? 31333222(2)求旋轉體的體積 (I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a ab(Ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c cd(III)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)?0)與直線x=a、x=b(0?a abx2y2例如：求橢圓2?2?1所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉一周而成的旋ab轉體的體積。 分析：橢圓繞x軸旋轉時，旋轉體可以看作是上半橢圓b2y?a?x2(?a?x?a)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉一周而成的，因此橢圓ax2y2??1所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為 a2b2b2vy???(a?x2)?aa?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?a(a2?x2)dx 4?ab23橢圓繞y軸旋轉時，旋轉體可以看作是右半橢圓x?a2b?y2,(?b?y?b)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周而成的，因此橢圓2?2?1所圍成的圖形繞 aby軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為 a2?a22vy???(b?y)dy?2?bbb ?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?b22(b?ydy) (3)求平面曲線的弧長 (I)、設曲線弧由參數(shù)方程 {x??(t)(??t??) y??(t)給出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????'[?'(t)2?]?[t(2d)。]x()(Ⅲ)設曲線弧的極坐標方程為r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????r2(?)?[r(?)']2d(?)。 x21例如：求曲線y??lnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。 42解：y'?x1?22x，于是弧長微元為 ds?1?y'2，x111dx?1?(?)2dx?(x?)dx。 22x2x所以，所求弧長為：s?? e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224 第九章 重積分 教學目的： 1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，知道二重積分的中值定理。 2、掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。 3、掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。 4、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉動慣量、引力等）。教學重點： 1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）； 2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。 3、二、三重積分的幾何應用及物理應用。教學難點： 1、利用極坐標計算二重積分； 2、利用球坐標計算三重積分； 3、物理應用中的引力問題。 §9? 1 二重積分的概念與性質 一、二重積分的概念 1? 曲頂柱體的體積 設有一立體? 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D? 它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積? 首先? 用一組曲線網把D分成n個小區(qū)域： ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 這個平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i? i?1n可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i? ??0i?1n其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值? 2?平面薄片的質量? 設有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要計算該薄片的質量M? 用一組曲線網把D分成n個小區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 把各小塊的質量近似地看作均勻薄片的質量? ?(? i ? ? i)?? i ? 各小塊質量的和作為平面薄片的質量的近似值? M???(?i,?i)??i? i?1nn 將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質量M?lim??(?i,?i)??i? ??0i?1其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值? 定義 設f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 其中?? i表示第i個小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和 n?i?1f(?i,?i)??i? 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即 D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i? nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和? 直角坐標系中的面積元素? 如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 ??Df(x,y)dxdy 其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素? 二重積分的存在性? 當f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時? 積分和的極限是存在的? 也就是說函數(shù)f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的? 二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的? 二? 二重積分的性質 性質1 設c1、c2為常數(shù)? 則 ??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD? 性質2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如D分為兩個閉區(qū)域D1與D2? 則 ??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?? D1D 2性質3 ??1?d????d???(?為D的面積)? DD 性質4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式 ??Df(x,y)d????g(x,y)d?D? 特殊地 |??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?? DD 性質5 設M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有 m????Df(x,y)d??M?? 性質6(二重積分的中值定理)設函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?? ?)使得 ??Df(x,y)d??f(?,?)?? §9? 2 二重積分的計算法 一、利用直角坐標計算二重積分 X??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型區(qū)域? 設f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 此時二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的D曲頂柱體的體積? 對于x0?[a? b]? 曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為 A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy? 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為 V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx? 即 V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx? 可記為 ??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy? 類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域? D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 則有 ??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx? 例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y? 1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域? D 解? 畫出區(qū)域D? 解法1? 可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是 ??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x? 注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy? D1111 2解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是 ??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288? 例2? 計算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y? 1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)D域? 解 畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是 ??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1? 301 2也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x ??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx? 例3 計算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區(qū)域? D 解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2? 其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy? 積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是 ??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy 4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368? 討論積分次序的選擇? 例 4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積? 解 設這兩個圓柱面的方程分別為 x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 利用立體關于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了? 第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是 V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx D ?8?(R2?x2)dx?16R3? 0R3 二? 利用極坐標計算二重積分 有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標變量?、? 表達比較簡單? 這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分??f(x,y)d?? Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i? 下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式? 以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構成的網將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為? ??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i? 其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值? 在??i內取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)? 則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i? nn于是 lim即 ??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i? ??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d?? ??f(?co?D若積分區(qū)域D可表示為 ? 1(?)???? 2(?)? ?????? 則 ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d?? 討論?如何確定積分限? ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? ??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d?? 例5? 計算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域? 解 在極坐標系中? 閉區(qū)域D可表示為 0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)? 02 注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy? 利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計算廣義積分??? 0e?xdx? 2設D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}? S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}? 顯然D1?S?D2? 由于e?x ?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy? 因為 ?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2? 000R2R2R2又應用上面已得的結果有 ?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2? ?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)? 2于是上面的不等式可寫成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)? 2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限 ?4? 從而?e?xdx??? ??2 02 例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內的部分）立體的體積? 解 由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍? V?4??4a2?x2?y2dxdy? D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域? 在極坐標系中D可表示為 0???2a cos? ? 0??? ?? 2?于是 V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d? ?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)? 0332?§9?3 三重積分 一、三重積分的概念 定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個小閉區(qū)域 ?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn 其中?vi表示第i個小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區(qū)域的直徑 i?1n中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv? 即 ? ????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi? n 三重積分中的有關術語? ???——積分號? f(x? y? z)——被積函數(shù)? f(x? y? z)dv ?——被積表達式? dv體積元素? x? y? z——積分變量? ?——積分區(qū)域? 在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作 ???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z?? 當函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的? ??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的? 三重積分的性質? 與二重積分類似? 比如 ???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?? ???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv? ?1?2?1??2dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計算 1? 利用直角坐標計算三重積分 三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d? ??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dz? ??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 提示? 設空間閉區(qū)域?可表為 z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b? 計算????f(x,y,z)dv? 基本思想? 對于平面區(qū)域D? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)? z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數(shù)F(x? y)? F(x,y)??三重積分? z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 然后計算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy? 則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d? ??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz? ??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz? 其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域? 例1 計算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區(qū)域? 解 作圖? 區(qū)域?可表示為: 0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1? 2于是 ???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz ??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2 ?14?0(x?2x1?x3)dx?1? 討論? 其它類型區(qū)域呢? 有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個平面閉區(qū)域? 則有 ????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy? c1Dzc 2例2 計算三重積分???zdxdydz? 2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空 abc間閉區(qū)域? 解 空間區(qū)域?可表為: 22y2 x2?2?1?z2? ?c? z?c? abc于是 ????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3? ?2?cDz?cc1 5練習 1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中 ? (1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? (2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域? (3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域? 2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式? ?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域? 2? 利用柱面坐標計算三重積分 設M(x? y? z)為空間內一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數(shù)?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 0?? 坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義? 點M 的直角坐標與柱面坐標的關系? x??cos?? y??sin?? z?z ? ?x??cos???y??sin???z?z 柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz? 簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz? 柱面坐標系中的三重積分? ???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz? ?? 例3 利用柱面坐標計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區(qū)域? 解 閉區(qū)域?可表示為? ?2?z?4? 0???2? 0???2?? 于是 ????zdxdydz?????z?d?d?dz2 42? 2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d? 002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2??? 026 33? 利用球面坐標計算三重積分 設M(x? y? z)為空間內一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中 r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數(shù)r、?、? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為 0?r 坐標面r?r0? ???0? ???0的意義? 點M的直角坐標與球面坐標的關系? x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos??? 球面坐標系中的體積元素? dv?r2sin?drd?d? ? 球面坐標系中的三重積分? ????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??? 例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內接錐面所圍成的立體的體積? 解 該立體所占區(qū)域?可表示為? 0?r?2acos?? 0????? 0???2?? 于是所求立體的體積為 V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr ?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr 16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)? 提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos?? §9? 4 重積分的應用 元素法的推廣? 有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應用中? 如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(就是說? 當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時? 所求量U相應地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區(qū)域D內任取一個直徑很小的閉區(qū)域d?時? 相應的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達式? 在閉區(qū)域D上積分? U???f(x,y)d?? D這就是所求量的積分表達式? 一、曲面的面積 設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ? 在區(qū)域D內任取一點P(x? y)? 并在區(qū)域D內取一包含點P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內的小塊切平面的面積作為含于柱面內的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則 d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? dA?cos?這就是曲面S的面積元素? 于是曲面S 的面積為 A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? D或 A???1?(?z)2?(?z)2dxdy? D?x?y 設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d?? n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1? 討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？ A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x 或 A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx? 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域? Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域? 例1 求半徑為R的球的表面積? 解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2? 因為z對x和對y的偏導數(shù)在D? x2?y2?R2上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區(qū)域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限? x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220 ?2?R(R?R2?a2)? 于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2? a?R整個球面面積為 A?2A1?4?R2? 提示? ?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222? 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍? 上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而 ?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 所以 A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R ?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220 ??4?RR2??2 ?4?R2? 例2設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與地球自轉的角速度相同? 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)? 解 取地心為坐標原點? 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸? 建立坐標系? 通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為 z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2?? 于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為 A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy? 其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區(qū)域? 利用極坐標? 得 A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)? 由于cos??R? 代入上式得 R?h A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h? 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106 ???42.5%? 4?R22(R?h)2(36?6.4)?106 由以上結果可知? 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面? 二、質心 設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質心坐標? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D? 在閉區(qū)域D上任取包含點P(x? y)小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則 平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為 dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d?? 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d?? DD 設平面薄片的質心坐標為(x, y)?平面薄片的質量為M? 則有 x?M?My? y?M?Mx ? 于是 x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D? 提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 ??xd? x?D??yd?? y?D??d?D??d?D? 例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質心? 解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸? 所以質心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 因為 ??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7?? 22d????2???1?3???D? ??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)? 3?3 3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質心坐標是 x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv? ? 其中M?????(x,y,z)dv? ? 例4 求均勻半球體的質心? 解 取半球體的對稱軸為z軸? 原點取在球心上? 又設球半徑為a? 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0} 顯然? 質心在z軸上? 故x?y?0? ???z?dv???zdv z??????dv??????dv??3a8? 故質心為(0, 0, 3a)? 8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2?? 2? ????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32? ????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123? rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202? 三、轉動慣量 設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量? 在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量的元素分別為 dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ? 整片平面薄片對于x軸的轉動慣量和y軸的轉動慣量分別為 Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d?? DD 例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉動慣量? 解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量Ix ? Ix????y2d??????2sin2???d?d? DD ???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d? 2? ?1?a4???1Ma2? 424其中M?1?a2?為半圓薄片的質量? 2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉動慣量為 Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv? ? Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv? ? Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv? ? 例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉動慣量? 解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域 ??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}? 所求轉動慣量即球體對于z軸的轉動慣量Iz ? Iz????(x2?y2)? dv ?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d? ?????(r2sin?2??a82 3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M? ?000155其中M?4?a3?為球體的質量? 3提示? x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2?? 四、引力 我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力問題? 設物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)? 在物體內任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質量的質點的引力近似地為 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)? 其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量? r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)? 例7設半徑為R的勻質球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質量的質點的引力? 解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2 ?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22 ?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20 R ?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz ?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2] a?RR 2R3?2G??0(?2R?2R?) 3a24?R31M??G??0?2??G23aa ? 4?R3其中M??03為球的質量? 上述結果表明? 勻質球對球外一質點的引力如同球的質量集中于球心時兩質點間的引力? 定積分的概念說課稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本節(jié)課選自二十一世紀普通高等教育系列教材《高等數(shù)學》第三章第二節(jié)定積分的概念與性質，是上承導數(shù)、不定積分，下接定積分在水力學、電工學、采油等其他學科中的應用。定積分的應用在高職院校理工類各專業(yè)課程中十分普遍。 2、教學目標 根據(jù)教材內容及教學大綱要求，參照學生現(xiàn)有的知識水平和理解能力，確定本節(jié)課的教學目標為： （1）知識目標：掌握定積分的概念，幾何意義和性質 （2）能力目標：掌握“分割、近似代替、求和、取極限”的方法，培養(yǎng)邏輯思維能力和進行知識遷移的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。 （3）思想目標：激發(fā)學習熱情，強化參與意識，培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。 3、教學重點和難點 教學重點：定積分的概念和思想 教學難點：理解定積分的概念，領會定積分的思想 二、學情分析 一般來說，學生從知識結構上來說屬于好壞差別很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本聽不懂，基于這些特點，綜合教材內容，我以板書教學為主，多媒體課件為輔，把概念性較強的課本知識直觀化、形象化，引導學生探究性學習。 三、教法和學法 1、教法方面 以講授為主：案例教學法（引入概念）問題驅動法（加深理解）練習法（鞏固知識） 直觀性教學法（變抽象為具體） 2、學法方面： 板書教學為主，多媒體課件為輔（化解難點、保證重點） （1）發(fā)現(xiàn)法解決第一個案例 （2）模仿法解決第二個案例 （3）歸納法總結出概念（4）練習法鞏固加深理解 四、教學程序 1、組織教學 2、導入新課： 我們前面剛剛學習了不定積分的一些基本知識，我們知道不定積分的概念、幾何意義和性質，今天我們要學習定積分的概念、幾何意義和性質。 3、講授新課（分為三個時段） 第一時段講授 概念： 案例1：曲邊梯形的面積如何求？ 首先用多媒體演示一個曲邊梯形，然后提出問題 （1）什么是曲邊梯形？ （2）有關歷史：簡單介紹割圓術及微積分背景 （3）探究：提出幾個問題（注意啟發(fā)與探究） a、能否直接求出面積的準確值？ b、用什么圖形的面積來代替曲邊梯形的面積呢？三角形、矩形、梯形？采用一個矩形的面積來近似與二個矩形的面積來近似，一般來說哪個值更接近？二個矩形與三個相比呢？……探究階段、概念引入階段、創(chuàng)設情境、拋磚引玉 （4）猜想:讓學生大膽設想，使用什么方法，可使誤差越來越小，直到為零？ （5）論證：多媒體圖像演示，直觀形象模擬,讓學生逐步觀察到求出面積的方法.（6）教師講解分析:“分割成塊、近似代替、積累求和、無窮累加”的微積分思想方法。思解階段、概念探索階段、啟發(fā)探究、引人入勝 （7）總結: 總結出求該平面圖形面積的極限式公式 案例2.如何求變速直線運動物體的路程？ （1）提問: 通過類似方法解決，注意啟發(fā)引導。 （2）歸納：用數(shù)學表達式表示。 案例1和案例2的共同點：特殊的和式極限，并寫出模型。 方法：化整為零細劃分,不變代變得微分, 積零為整微分和,無限累加得積分。 歸結階段、提煉概念階段、類比探究、數(shù)學建模 （1）定義: 寫出定積分的概念。 （2）疑問:不同的分割方法，不同的矩形的高度計算，對曲邊梯形的面積有何影響？ （3）定義說明 （4）簡單應用 曲邊梯形面積 直線運動路程 定義階段、抓本質建立概念、深化概念 例 1、根據(jù)定積分的幾何意義，求??20sinxdx例 2、比較?20?xdx與?20sin?xdx的積分值的大小分析并解題解題示范、鞏固理解概念階段 練習1 定義計算 dxex?10練習2 將由曲線及直線y=0,x=0,x=1圍成的平面圖形的面積用定積分表示。學生練習，教師點評練習、訓練鞏固階段意義：意義應用概念階段、概念具體化1.幾何意義分f(x)>0, f(x)<0和f(x)符號不定三種情況。利用圖形直觀即可得出（關鍵要說明代數(shù)和的含義及原因）。2.范例(1)將幾個平面圖形的面積用定積分表示(題目略)。(2)利用幾何意義求定積分??20)32(dxx的值。第二時段指導練習題 4、歸納總結: 總結：梳理知識、鞏固重點（1）、回顧四個步驟：①分割②近似③求和④取極限（2）、回顧定積分作為和式極限的概念（3）、加深概念理解的幾個注意點（4）、幾何意義 第三時段測驗 5、作業(yè)布置 《數(shù)學分析》教案 第十章 定積分的應用 教學要求： 1.理解微元法的思想，并能夠應用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分； 2.熟練地應用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉體的體積和它的側面積、變力作功等。 教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長，用截面面積計算體積、旋轉體的體積和它的側面積、變力作功等 教學時數(shù)：10學時 § 1平面圖形的面積（2 時） 教學要求： 1.理解微元法的思想，并能夠應用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實際問題化成定積分； 2.熟練地應用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積。教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算平面區(qū)域的面積 一、組織教學： 二、講授新課： （一）直角坐標系下平面圖形的面積 ： 1.簡單圖形： 型和 型平面圖形.型和 《數(shù)學分析》教案 例 5求由雙紐線 所圍平面圖形的面積.解 傾角為 的兩條直線之間).以 軸對稱;以 或 .(可見圖形夾在過極點，代 方程不變，圖形關于 代 , 方程不變, 圖形關于 軸對稱.參閱P242 圖10-6 因此.三、小結： § 2 由平行截面面積求體積（2 時） 教學要求：熟練地應用本章給出的公式，用截面面積計算體積。教學重點：熟練地應用本章給出的公式，用截面面積計算體積 （一）已知截面面積的立體的體積: 設立體之截面面積為 推導出該立體之體積 ..祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異.(祖暅系祖沖之之子 齊梁時人 , 大約在五世紀下半葉到六世紀初)例1 求由兩個圓柱面 和 所圍立體體積.P244 例1() 《數(shù)學分析》教案 和 在區(qū)間 上連續(xù)可導且 ..則 上以 和 為端點的弧段的弧長為為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對 , ,有 Ch 1 §1 Ex 第5題(P4).其幾何意義是: 在以點 超過第三邊.事實上，和 為頂點的三角形中,兩邊之差不.為證求弧長公式, 在折線總長表達式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項進行估計.如果曲線方程為極坐標形式 出其參數(shù)方程 .于是 連續(xù)可導, 則可寫.§ 4 旋轉曲面的面積(1 時)教學要求：旋轉曲面的面積。 教學重點：熟練地應用本章給出的公式，計算旋轉曲面的面積第二篇：定積分的幾何應用教案
第三篇：高等數(shù)學教案ch 9 重積分
第四篇：定積分概念說課稿
第五篇：數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十章定積分的應用
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