第一篇：同濟第六版《高等數學》教案WORD版-第12章 微分方程
高等數學教案
§12 微分方程
第十二章
微分方程
教學目的：
1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。
6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。
7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。
8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：
1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法
(n)
2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
3、二階常系數齊次線性微分方程；
4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；
教學難點：
1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；
3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。
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4、歐拉方程
§12? 1 微分方程的基本概念
函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?
例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?
解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)
dy?2x?
(1)
dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?
x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?
(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)
y?2xdx? 即y?x2?C?
(3)其中C是任意常數?
把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得
2?12?C?
由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?
y?x2?1?
例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?
解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式
?d2s??0.4?
(4)dt2內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?
t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?
(5)
t?0t?0dt
把(4)式兩端積分一次? 得
v?ds??0.4t?C?
(6)1dt再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2?
(7)這里C1? C2都是任意常數?
把條件v|t?0?20代入(6)得
20?C1?
把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?
把C1? C2的值代入(6)及(7)式得
v??0?4t ?20?
(8)
s??0?2t2?20t?
(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間
t?20?50(s)?
0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程
s??0?2?502?20?50?500(m)?
解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米?
s????0?4? 并且s|t?0=0? s?|t?0=20?
把等式s????0?4兩端積分一次? 得
s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常數)?
再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2(C1? C2都C1是任意常數)?
由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t ?20?
由s|t?0?0得0?C2? 于是s??0?2t2?20t?
令v?0? 得t?50(s)? 于是列車在制動階段行駛的路程
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s??0?2?502?20?50?500(m)?
幾個概念?
微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?
常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?
偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?
微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?
x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?
y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?
y(n)?1?0?
一般n階微分方程?
F(x? y? y??
? ? ? ? y(n))?0?
y(n)?f(x? y? y??
? ? ? ? y(n?1))?
微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?
F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?
那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?
通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?
初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如
x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?
一般寫成
??
yx?x0?y0? y?x?x0?y0
特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?
初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?
如求微分方程y??f(x?
y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為
?y??f(x,y)
?? yx?x0?y0?內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?
例3 驗證? 函數
x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程
d2x?k2x?0
dt2的解?
解 求所給函數的導數?
dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)
?
1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt
?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?
d2x?k2x?0
這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?
dtd2x?k2x?0
例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件
dt
x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?
解
由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得
C1?A?
再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得
C2?0?
把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得
x?Acos kt?
§12? 2 可分離變量的微分方程
觀察與分析?
1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得
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y?x2?C?
一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?
2? 求微分方程y??2xy2 的通解?
因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直
??接積分不能求出通解?
為求通解可將方程變為
?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得
y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數y??1是原方程的通解?
x2?C
一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx
形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程
G(y)?F(x)?C?
由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解
對稱形式的一階微分方程?
一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?
若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有
dyP(x,y)???
dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?
dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有
可分離變量的微分方程?
如果一個一階微分方程能寫成
g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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方程就稱為可分離變量的微分方程?
討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?
是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?
是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?
不是?
(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?
是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?
不是?
yx
可分離變量的微分方程的解法?
第一步
分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?
第二步
兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?
第三步
求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?
例1 求微分方程??dy?2xy的通解?
dx
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
1dy?2xdx?
y1兩邊積分得
?ydy??2xdx?
2即
ln|y|?x2?C1?
從而
y??ex?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解
y?Cex?
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
21dy?2xdx?
y內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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兩邊積分得
1dy?2xdx?
?y?即
ln|y|?x2?lnC? 從而
y?Cex?
例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?
解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?
dt
由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程
dM???M?
dtdM?0?
dt其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為
M|t?0?M0?
將方程分離變量得
dM???dt?
MdM?(??)dt?
?M?兩邊積分? 得即
lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?
由初始條件? 得M0?Ce0?C?
所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?
例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?
解
設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為
mdv?mg?kv?
dt內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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初始條件為
v|t?0?0?
方程分離變量? 得
dv?dt?
mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?
t?C?
m1dvdt
?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即
v?)?
kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???
k?ktmg(1?em)?
于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?
例4 求微分方程dx
解 方程可化為
dy?(1?x)(1?y2)?
dx分離變量得
1dy?(1?x)dx?
1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?
arctany??1?y2?2兩邊積分得
于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?
例4 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時容器內盛滿了水? 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規律?
解 由水力學知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算?
Q?12dV?0.62S2gh?
dt內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 其中0? 62為流量系數? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現在孔口橫截面面積S?1cm2? 故 高等數學教案
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dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?
dt
另一方面? 設在微小時間間隔[t? t?dt]內? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到
dV???r2dh?
其中r是時刻t的水面半徑? 右端置負號是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因
r?1002?(100?h)2?200h?h2?
所以
dV???(200h?h2)dh?
通過比較得到
0.622ghdt???(200h?h2)dh?
這就是未知函數h?h(t)應滿足的微分方程?
此外? 開始時容器內的水是滿的? 所以未知函數h?h(t)還應滿足下列初始條件?
h|t?0?100?
將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得
dt??兩端積分? 得
t???0.622g132(200h?h2)dh?
?0.622g?13(200h2?h2)dh?
即
t??(400h2?2h2)?C?
50.622g3其中C是任意常數?
由初始條件得
t??(400?1002?2?1002)?C?
50.622gC??35?35?(400000?200000)??14?105?
350.622g0.622g15內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 ?高等數學教案
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因此
t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?
上式表達了水從小孔流出的過程中容器內水面高度h與時間t之間的函數關系?
§12? 3 齊次方程
齊次方程?
如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?
xx
下列方程哪些是齊次方程？
dyy?y2?x2dyyy
(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?
dxxdxxx22dy1?y
2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???
?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????
(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??
(5)(2xshdy2x?y?4???
dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?
xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?
?ydxdx3xx3xchx
齊次方程的解法?
在齊次方程
ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxx內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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u?x分離變量? 得
du??(u)?
dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得
求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?
xdydy?xy?
dxdx
例
1解方程y2?x2
解
原方程可寫成
y2()dyyx??
?
dxxy?x2y?1x2因此原方程是齊次方程? 令
y?ux? 于是原方程變為
2duu?
u?x?
dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?
dxdx即
xdu?u?
dxu?1分離變量? 得
(1?)du?1udx?
x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?
或寫成ln|xu|?u?C?
以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x
ln|y|?y?C?
x內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
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例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?
解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?
因為
OA?AP?OP?PMcot??OP?而
OM?x2?y2?
于是得微分方程
y?x?
y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?
dyyydx?x?(x)2?1?
dyyy
問題歸結為解齊次方程
令即
yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?
dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?
v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?
C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?
2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為
y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?
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例3 設河邊點O的正對岸為點A? 河寬OA?h? 兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從點A游向點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點 O? 求鴨子游過的跡線的方程?
例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?
解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度
v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?
dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?
x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?
dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?
dybyy
問題歸結為解齊次方程
令
yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?
u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?
將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為
haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?
x?[()2hh內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?
yabarshx??b(lny?lnC)ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aaa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)?(Cy)a]?
2C2bbb
§12.4 線性微分方程
一、線性方程
線性方程?
方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?
dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?
方程
下列方程各是什么類型方程？
(1)(x?2)
(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?
(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?
(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?
(5)(y?1)? 不是線性方程?
dxdydx(y?1)2x
3齊次線性方程的解法?
齊次線性方程
dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?
y內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
兩邊積分? 得
ln|y|??P(x)dx?C1?
?P(x)dx(C??eC1)?
或
y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?
例
1求方程(x?2)dy?y的通解?
dx
解
這是齊次線性方程? 分離變量得
dydx??
yx?2兩邊積分得
ln|y|?ln|x?2|?lnC?
方程的通解為
y?C(x?2)?
非齊次線性方程的解法?
將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把
?P(x)dx
y?u(x)e?
設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
u?(x)e?化簡得
u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?
u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?
于是非齊次線性方程的通解為
?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]?
y?e???P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或
y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
5dy2y??(x?1)2的通解?
例2 求方程dxx?1
解
這是一個非齊次線性方程?
先求對應的齊次線性方程分離變量得
dy2y??0的通解?
dxx?1dy2dx??
yx?1兩邊積分得
ln y?2ln(x?1)?ln C?
齊次線性方程的通解為
y?C(x?1)2?
用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得
52u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?
兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?
3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32
y?(x?1)[(x?1)2?C]?
3232? Q(x)?(x?1)2??
解? 這里P(x)??x?12)dx??2ln(x?1)? ?因為
?P(x)dx??(?x?1?P(x)dx?e2ln(x?1)?(x?1)2??
e?5P(x)dxdx??(x?1)2(x?1)?2dx??(x?1)2dx?2(x?1)2??
?Q(x)e?3513所以通解為?
y?e??P(x)dxP(x)dx[?Q(x)e?dx?C]?(x?1)2[2(x?1)2?C]?
33內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?
解
由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L
E?L即
di? 由回路電壓定律得出
dtdi?iR?0?
dtdi?Ri?E?
dtLLdi?Ri?Emsin? t?
dtLL
把E?Emsin? t代入上式? 得
初始條件為
i|t?0?0?
di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中
dtLLER? t?
P(t)?? Q(t)?msinLL
方程由通解公式? 得
i(t)?e??P(t)dt[?Q(t)e?P(t)dtdt?C]??Rdt?eL(RdtEm??Lsin? teLdt?C)
RttEm?RLe(?sin?teLdt?C)
?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?
?222R??L其中C為任意常數?
將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為
t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?
i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?
R2??2L
2二、伯努利方程
伯努利方程? 方程
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
叫做伯努利方程?
下列方程是什么類型方程？
(1)
(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy
1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx
(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx
伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得
y?n令z ?y1?n ? 得線性方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?
dxdyy??a(lnx)y2的通解?
例4 求方程dxx
解 以y2除方程的兩端? 得
y?2dy1?1?y?alnx?
dxxd(y?1)1?1?y?alnx?
即
?dxx令z?y?1? 則上述方程成為
dz?1z??alnx?
dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為
z?x[C?(lnx)2]?
以y?1代z ? 得所求方程的通解為
yx[C?(lnx)2]?1?
經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程? a2內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
例5 解方程dy?1?
dxx?y
解
若把所給方程變形為
dx?x?y?
dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?
令x?y?u? 則原方程化為
du?1?1? 即du?u?1?
dxudxuudu?dx?
u?1分離變量? 得
兩端積分得
u?ln|u?1|?x?ln|C|?
以u?x?y代入上式? 得
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?
§12? 5 全微分方程
全微分方程? 一個一階微分方程寫成 P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0
形式后? 如果它的左端恰好是某一個函數u?u(x, y)的全微分?
du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?
那么方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0就叫做全微分方程? 這里
?u?P(x,y)? ?u?Q(x,y)?
?y?x而方程可寫為
du(x, y)?0?
全微分方程的判定? 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內具有一階連續偏導數? 且
?P??Q?
?y?x內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 則方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 高等數學教案
§12 微分方程
全微分方程的通解?
若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 且
du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy 則
u(x, y)?C?
即
?xx0P(x,y)dx??Q(x0,y)dx?C((x0,y0)?G)?
y0y是方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的通解
例1 求解(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0?
解 這里
?P?6xy?3y2??Q?
?y?xxy所以這是全微分方程? 取(x0, y0)?(0, 0)? 有
u(x,y)??0(5x4?3xy2?y3)dx??y2dy
0
?x5?x2y2?xy3?y3?
于是? 方程的通解為
x5?x2y2?xy3?y3?C?
積分因子? 若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0不是全微分方程? 但存在一函數
???(x, y)(?(x, y)?0)? 使方程
?(x, y)P(x, y)dx??(x, y)Q(x, y)dy?0 是全微分方程? 則函數?(x, y)叫做方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的積分因子?
例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解:
(1)ydx?xdy?0?
(2)(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0?
解(1)方程ydx?xdy?0不是全微分方程?
因為
d()?32133213xyydx?xdy?
y2內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
所以1是方程ydx?xdy?0的積分因子? 于是
y2ydx?xdyx?C是全微分方程? 所給方程的通解為?
?0yy
2(2)方程(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0不是全微分方程?
將方程的各項重新合并? 得
(ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0?
再把它改寫成 d(xy)?x2y2(這時容易看出dx?dy)?0?
xy1為積分因子? 乘以該積分因子后? 方程就變為(xy)2
d(xy)dxdy???0?
2xy(xy)積分得通解
1xx
??ln||?lnC? 即?Cexy?
xyyy
我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y??P(x)y?Q(x)?
可以驗證?(x)?e?兩邊乘以?(x)?e?
y?e?即
y?e?亦即
[ye?P(x)dx1是一階線性方程y??P(x)y?Q(x)的一個積分因子? 在一階線性方程的P(x)dx得
P(x)dxP(x)dx?yP(x)e??y[e??Q(x)e?P(x)dx?
P(x)dxP(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??
P(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??
兩邊積分? 便得通解
ye?P(x)dx??Q(x)e?P(x)dxdx?C?
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§12 微分方程
?P(x)dxP(x)dx或
y?e?[Q(x)e?dx?C]? ?
例3用積分因子求dy?2xy?4x的通解?
dx
解 方程的積分因子為
?(x)?e?22xdx?ex? 2方程兩邊乘以ex得
y?ex?2xexy?4xex? 即(exy)??4xex?
于是
exy?4xexdx?2ex?C? 222222?22因此原方程的通解為y?4xexdx?2?Ce?x? ?22
§12? 6 可降階的高階微分方程
一、y(n)?f(x)型的微分方程
解法? 積分n 次
y(n?1)?f(x)dx?C1? ?
y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??
? ? ??
例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?
解 對所給方程接連積分三次? 得
y???e2x?sinx?C1?
y??e2x?cosx?C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 12141812高等數學教案
§12 微分方程
或
y???e2x?sinx?2C1?
y??e2x?cosx?2C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?
解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為
2dx
m2?F(t)?
dt121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而
F(t)?F0(1?)?
于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)?
2mTdtdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?
dtt?0
把微分方程兩邊積分? 得
dx?F0(t?t2)?C
1?
dtm2T再積分一次? 得
x?F012t3(t?)?C1t?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0? dx|?0?
dtt?0于是所求質點的運動規律為
F012t x?(t?)? 0?t?T?
m26T
解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置?
根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
mx???F(t)?
由題設? F(t)是線性函數? 且過點(0? F0)和(T? 0)?
故
F(t)t??1? 即F(t)?F0(1?t)? F0TTF0(1?t)?
mT于是質點運動的微分方程又寫為
x???其初始條件為x|t?0?0? x?|t?0?0?
把微分方程兩邊積分? 得
x??2F0(t?t)?C1? m2T再積分一次? 得
F012t3
x?(t?)?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? x?|t?0?0?
得C1?C2?0?
于是所求質點的運動規律為
x?
二、y??? f(x? y?)型的微分方程
解法? 設y??p則方程化為
p??f(x? p)?
設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則
F012t3(t?)? 0?t?T? m26Tdy??(x,C1)?
dx原方程的通解為
y??(x,C1)dx?C2?
例3 求微分方程
(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件
y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?
解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有 ?內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
dp2x?dx?
p1?x2兩邊積分? 得
ln|p|?ln(1?x2)?C?
即
p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?
由條件y?|x?0?3? 得C1?3?
所以
y??3(1?x2)?
兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?
又由條件y|x?0?1? 得C2?1?
于是所求的特解為
y?x3?3x?1?
例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?
三、y???f(y? y?)型的微分方程
解法? 設y??p?有
y???原方程化為 dpdpdydp???p?
dxdydxdydp?f(y,p)?
dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy
p
dy??(y,C1)?x?C2?
dp?
dy
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設y??p? 則y???p代入方程? 得
ypdp2?p?0?
dy
在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得
dpdy??
py兩邊積分得
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
ln|p|?ln|y|?lnc?
即
p?Cy或y??Cy(C??c)?
再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為
ln|y|?Cx?lnc1?
或
y?C1eCx(C1??c1)?
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設y??p? 則原方程化為
ypdp2?p?0?
dy當y?0、p?0時? 有
dp1?p?0?
dyy1?ydy于是
p?e?C1y?
即
y??C1y?0?
從而原方程的通解為
y?C2e?
例6 一個離地面很高的物體?受地球引力的作用由靜止開始落向地面? 求它落 到地面時的速度和所需的時間（不計空氣阻力）?
§12? 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例
例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?
給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?
設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?
又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則
R??C1dx?C2eC1x?
dx?
dt
由牛頓第二定律得
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§12 微分方程
md2x??cx??dx?
2dtdt
移項? 并記2n??c? k2??
mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為
?
dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?
如果振動物體還受到鉛直擾力
F?Hsin pt 的作用? 則有
d2x?2ndx?k2x?hsinpt
?
dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?
m
例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?
設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道
i?qdqdi? uc?? EL??L?
Cdtdtdi?q?Ri?0?
dtC根據回路電壓定律? 得
E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?
即
LCdtdt2或寫成
d2ucducEm2?2???u?sin?t?
0cdtLCdt2R? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC
如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為
d2ucduc2?2???uc?0?
0dtdt2內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?
二、線性微分方程的解的結構
先討論二階齊次線性方程
d2ydy?Q(x)y?0?
y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx
定理1 如果函數y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?
齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?
證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??
[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???
因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有
y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?
從而
[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?
這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解
函數的線性相關與線性無關?
設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)?
? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?
判別兩個函數線性相關性的方法?
對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?
例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
關的?
定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?
例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
y1???y1??cos x?cos x?0?
y2???y2??sin x?sin x?0?
所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?
因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使
k1cos x?k2sin x?0?
只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?
因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?
例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?
(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?
所以y1?x與y2?ex都是方程的解?
因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?
因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1x?C2e x?
推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為
y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?
其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?
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§12 微分方程
二階非齊次線性方程解的結構?
我們把方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?
定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么
y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?
證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]
? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]
?0? f(x)? f(x)?
例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?
定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?
而y1*(x)與y2*(x)分別是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?
證明提示?
[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]
?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
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§12 微分方程
§12? 9 二階常系數齊次線性微分方程
二階常系數齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?
如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?
我們看看?
能否適當選取r? 使y?erx
滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程
y???py??qy?0 得
(r 2?pr?q)erx ?0?
由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?
特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式
?p??p2?4q
r 1,2?2求出?
特征方程的根與通解的關系?
(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?
這是因為?
函數y1?er1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x??e是方程的解? 又不是常數?
y2er2x因此方程的通解為
y?C1er1x?C2er2x?
(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
方程的兩個線性無關的解?
這是因為? y1?er1x是方程的解? 又
r1xr1x2r1x
(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x
2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?
y2xer1x所以y2?xe也是方程的解? 且??x不是常數?
y1er1xr1x
因此方程的通解為
y?C1er1x?C2xer1x?
(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?
函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得
y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?
21y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?
2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?
可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?
因此方程的通解為
y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?
第一步
寫出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0 第二步
求出特征方程的兩個根r1、r2?
第三步
根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?
例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
解 所給微分方程的特征方程為
r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為
y?C1e?x?C2e3x?
例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?
4、y?| x?0??2的特解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?
其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為
y?(C1?C2x)e?x?
將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而
y?(4?C2x)e?x?
將上式對x求導? 得
y??(C2?4?C2x)e?x?
再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為
x?(4?2x)e?x?
例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?5?0?
特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?
因此所求通解為
y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
n 階常系數齊次線性微分方程? 方程
y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?
稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?
p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?
二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?
引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?
L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?
分析? 令y?erx? 則
L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?
因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?
n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?
L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?
特征方程的根與通解中項的對應?
單實根r 對應于一項? Cerx ?
一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?
一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?
e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?
例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?
解
這里的特征方程為
r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?
它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?
因此所給微分方程的通解為
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?
解
這里的特征方程為
r4?? 4?0?
它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?
因此所給微分方程的通解為
y?e
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)? 高等數學教案
§12 微分方程
§12? 10 二階常系數非齊次線性微分方程
二階常系數非齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?
二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?
y?Y(x)? y*(x)?
當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?
一、f(x)?Pm(x)e?x 型
當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解
y*?Qm(x)e?x?
(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?
Q(x)?xQm(x)?
Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?
?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?
? bm? 并得所求特解
y*?xQm(x)e?x?
(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?2次多項式?
Q(x)?x2Qm(x)?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解
y*?x2Qm(x)e?x?
綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如
y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?
例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?
解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???2y??3y?0?
它的特征方程為
r2?2r?3?0?
由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?b0x?b1?
把它代入所給方程? 得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1?
比較兩端x同次冪的系數? 得
???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為
y*??x??
例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?
解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???5y??6y?0?
它的特征方程為
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 1313高等數學教案
§12 微分方程
r2?5r ?6?0?
特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為
Y?C1e2x?C2e3x ?
由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為
y*?x(b0x?b1)e2x?
把它代入所給方程? 得
?2b0x?2b0?b1?x?
比較兩端x同次冪的系數? 得
???2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 1 y*?x(?x?1)e2x?
從而所給方程的通解為
y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?
提示?
y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?
y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?
方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式
應用歐拉公式可得
e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] 1212內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案
§12 微分方程
?e?x[Pl(x)ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i
?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x
l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]
?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?
設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?
則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?
于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x
?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)
?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
綜上所述? 我們有如下結論?
如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程
y???py??qy?f(x)的特解可設為
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?
例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?
解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?
且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?
與所給方程對應的齊次方程為
y???y?0?
它的特征方程為
r2?1?0?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 12121212高等數學教案
§12 微分方程
由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
把它代入所給方程? 得
(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?
比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?
提示?
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?
?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?
y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?
y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?
91349??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0
§12? 12 微分方程的冪級數解法
當微分方程的解不能用初等函數或其積分表達時? 我們就要尋求其它解法? 常用的有冪級數解法和數值解法? 本節我們簡單地介紹微分方程的冪級數解法?
求一階微分方程的多項式?
f(x? y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)? ? ? ? ?aim(x?x0)l(y?y0)m?
這時我們可以設所求特解可展開為x?x0的冪級數?
內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 dy?f(x,y)滿足初始條件y|x?x0?y0的特解? 其中函數f(x? y)是(x?x0)、(y?y0)dx高等數學教案
§12 微分方程
y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?
其中a1? a2? ? ? ? ? an? ? ? ? ? 是待定的系數? 把所設特解代入微分方程中? 便得一恒等式? 比較這恒等式兩端x?x0的同次冪的系數? 就可定出常數a1? a2? ? ? ? ? 從而得到所求的特解?
例1 求方程dy?x?y2滿足y|x?0?0的特解?
dx
解 這時x0?0? y0?0? 故設
y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?
把y及y?的冪級數展開式代入原方程? 得
a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4? ? ? ?
?x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ?)2
?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4? ? ? ? ?
由此? 比較恒等式兩端x的同次冪的系數? 得
a1?0? a2?? a3?0? a4?0? a5?121? ? ? ? ?
20于是所求解的冪級數展開式的開始幾項為
y?x2?121x5? ? ? ? ?
定理 如果方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 中的系數P(x)與Q(x)可在?R y??anxn n?0?的解? 例2 求微分方程y???xy ?0的滿足初始條件y|x?0?0? y?|x?0?1的特解? 解 這里P(x)?0? Q(x)??x在整個數軸上滿足定理的條件? 因此所求的解可在整個數軸上展開成x的冪級數 y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ??anxn? n?0?由條件y|x?0?0? 得a0?0? 由y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3? ? ? ?及y?|x?0?1? 得a1?1? 于是 y?x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?x??anxn n?2?內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 高等數學教案 §12 微分方程 y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ? ?1??nanxn?1? n?223? y???2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? n?2? y?x?a2x?a3x?a4x? ? ? ??x??anxn 234 ?n?2 y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ??1??nanxn?1? 23 ?n?2 y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? 2 ?n?2 把y及y??代入方程y???xy ?0? 得 2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ?n(n?1)anxn?2?? ? ? ?x(x?a2x2?a3x3?a4x4?? ? ??anxn?? ? ?)?0? 即 2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a 2)x3? ?(6?5a6?a3)x4? ? ? ? ?[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn? ? ? ? ?0? 于是有 a2?0, a3?0, a4?一般地 an?2?1, a?0, a?0, ? ? ? ? 64?35an?1(n?3? 4? ? ? ?)? (n?2)(n?1)由遞推公式可得 aa41?1, a8?0, a9?0, a10?7?, ? ? ? ? 7?67?6?4?310?910?9?7?6?4?31一般地 a3m?1?(m?1? 2? ? ? ?)? (3m?1)(3m)? ? ? 7?6?4?3 a7?所求的特解為 y?x? 1x4?1x7?1x10? ? ? ? ? 4?37?6?4?310?9?7?6?4?3內蒙古財經大學統計與數學學院公共數學教研室 習題課 I 教學目的與要求： 1.掌握好導數的定義，會用導數的定義解決函數的可導性;2.熟練掌握復合函數的求導，熟練掌握隱函數的求導方法;3.熟練掌握參數方程的求導方法.II 典型方法與例題: 1.用導數的定義求極限 例1 設 f(x)在x?a的某個鄰域內有定義，則f(x)在x?a處可導的一個充分條件是（） 1h???hf(a?2h)?f(a?h)（B）lim h?0hf(a?h)?f(a?h)（C）lim h?02hf(a)?f(a?h)（D）lim h?0h（A）limh[f(a?)?f(a)] 分析 （D） 2.用導數定義解函數在某點處的導數 例2 設f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中的?(x)在x?a處可導，求f?(0)解 知f(0)??(a)??(a)?0 因為只說明的?(x)在x?a處可導，沒說明的?(x)在x?0處是否可導，解f?(0)時必須用導數的定義 f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)?limx?0x?0x?0x?0[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)]?limx?0x?(a?bx)??(a) ?lim ?b?x?0bx?(a?bx)??(a)lim?bx?0?bx?b??(a)?b??(a)?2b??(a)f?(0)?lim3.用導數定義解函數方程 設f(x)在(0,??)的上有定義，且f?(1)?a(?0)，又?x,y?(0,??)，有f(xy)?f(x)?f(y)，解f(x) 解 在f(xy)?f(x)?f(y)讓y?1，得 f(x)?f(x)?f(1) f(1)?0 f(x?xy)?f(x)f(x)?f(1?y)?f(x)?limy?0y?0xyxy f(1?y)f(1?y)?f(1)11?lim?lim??f?(1)?y?0y?0xyyxxf?(x)?lim即 f?(x)?a(?f?(1)?a)xf(x)?alnx?C 讓x?1，得 f(1)?aln1?C 因此 f(x)?alnx 復合函數的導數 復合函數求導的關鍵是分析復合函數的復合關系，從處層到里層一層一層地求導，既不重復，又不遺漏 1??xsin,x?0,例4 討論函數f(x)?? x??0,x?0在x?0處的連續性與可導性 解 知 limxsinx?01?0?f(0)x函數xsin又有 1在x?0的處連續的 xf?(0)?limx?0f(x)?f(0)x?0 1xsin?01x?lim?limsinx?0x?0xx而 limsinx?01不存在 x函數f(x)在x?0處不可導 函數f(x)在x?0處連續，不可導 3??x?acos?,例5 求函數? 3??y?asin?;dyd2y的一階導數及二階導數2 dxdx解 函數的一階導數dy??tan? dxd2y1sec4?csc? 函數的二階導數2?3adxIII 課外作業： P124 9（1）11 12 15 高等數學教案 微分方程 第七章 微分方程 教學目的： 1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?) 5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。 6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。 7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。 8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點： 1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法 (n) 2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?) 3、二階常系數齊次線性微分方程； 4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程； 教學難點： 1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、線性微分方程解的性質及解的結構定理； 3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 §7? 1 微分方程的基本概念 函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程? 例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程? 解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程) dy?2x? (1) dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件? x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2? (2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解) y?2xdx? 即y?x2?C? (3)其中C是任意常數? 把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得 2?12?C? 由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)? y?x2?1? 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程? 解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.? (4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20? (5) t?0t?0dt 把(4)式兩端積分一次? 得 v?ds??0.4t?C? (6)1dt再積分一次? 得 s??0?2t2 ?C1t ?C2? (7)這里C1? C2都是任意常數? 把條件v|t?0?20代入(6)得 20?C1? 把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1? C2的值代入(6)及(7)式得 v??0?4t ?20? (8) s??0?2t2?20t? (9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間 t?20?50(s)? 0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 幾個概念? 微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程? 常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程? 偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程? 微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階? x3 y????x2 y???4xy??3x2 ? y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x? y(n)?1?0? 一般n階微分方程? F(x? y? y?? ? ? ? ? y(n))?0? y(n)?f(x? y? y?? ? ? ? ? y(n?1))? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上? F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0? 那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解? 通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解? 初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如 x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ? 一般寫成 ?? yx?x0?y0? y?x?x0?y0 特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解? 初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題? 如求微分方程y??f(x? y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為 ?y??f(x,y) ?? yx?x0?y0? 積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線? d2x?k2x?0 例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程 的解? dt 2解 求所給函數的導數? dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt) ? 1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt ?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0? d2x?k2x?0 這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解? dt三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程 x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解? 解 由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得 C1?A? 再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得 C2?0? 把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得 x?Acos kt? 作業：P298：4 d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt §7? 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析? 1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C? 一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)? 2? 求微分方程y??2xy2 的通解? 因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直 ??接積分不能求出通解? 為求通解可將方程變為 ? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得 y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 可以驗證函數y??1是原方程的通解? x2?C 一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx 形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程 G(y)?F(x)?C? 由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解 對稱形式的一階微分方程? 一階微分方程有時也寫成如下對稱形式? P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的? 若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有 dyP(x,y)??? dxQ(x,y)dx??Q(x,y)? dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有 可分離變量的微分方程? 如果一個一階微分方程能寫成 g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程? 討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy? 是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0? 是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0? 不是? (4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y? 是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y? 不是? yx三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 可分離變量的微分方程的解法? 第一步 分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式? 第二步 兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C? 第三步 求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? 例1 求微分方程??dy?2xy的通解? dx 解 此方程為可分離變量方程? 分離變量后得 1dy?2xdx? y1dy?2xdx? ?y?兩邊積分得 即 ln|y|?x2?C1? 從而 y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解 y?Cex? 例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律? 解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM? dtdM???M? dtdM?0? dt 由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0? 將方程分離變量得 dM???dt? M三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 兩邊積分? 得dM?(??)dt? ?M?即 lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t? 由初始條件? 得M0?Ce0?C? 所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ? 例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系? 解 設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為 mdv?mg?kv? dt初始條件為 v|t?0?0? 方程分離變量? 得 dv?dt? mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m? t?C? m1dvdt ?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即 v?)? kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C??? k?ktmg(1?em)? 于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解? 例4 求微分方程dx 解 方程可化為 dy?(1?x)(1?y2)? dx分離變量得 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 1dy?(1?x)dx? 1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C? arctany??1?y2?2兩邊積分得 于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)? 作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 §7? 3 齊次方程 齊次方程? 如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程? xx 下列方程哪些是齊次方程？ dyy?y2?x2dyyy (1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1? dxxdxxx22dy1?y 2(2)1?xy??1?y不是齊次方程??? ?dx1?x222dyx2?y2dyxy????? (3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22 (4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程?? (5)(2xshdy2x?y?4??? dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程? xxx三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ? ?ydxdx3xx3xchx 齊次方程的解法? 在齊次方程 u?x分離變量? 得 ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)? dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得 求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解? xdydy?xy? dxdx 例1 解方程y2?x2 解 原方程可寫成 y2()dyyx?? ? 2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令 y?ux? 于是原方程變為 u?x即 xy?u? 則 xdy?u?xdu? dxdxdu?u2? dxu?1du?u? dxu?1分離變量? 得 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 (1?)du?1udx? x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|? 或寫成ln|xu|?u?C? 以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x ln|y|?y?C? x 例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程? 解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM? 因為 OA?AP?OP?PMcot??OP?而 OM?x2?y2? 于是得微分方程 y?x? y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程? dyyydx?x?(x)2?1? dyyy 問題歸結為解齊次方程 令即 yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y? dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy? v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 y22yv??1? C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)? 2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為 y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程? 例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程? 解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度 v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx? dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)? x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x? dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x? dybyy 問題歸結為解齊次方程 令 yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady? u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]? 將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學高等數學課程建設組 aa高等數學教案 微分方程 以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h? x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程? yaarshx??b(lny?lnC) ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]? 2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2 §7.4 線性微分方程 一、線性方程 線性方程? 方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程? dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程? 方程 下列方程各是什么類型方程？ (1)(x?2) (2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程? (3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程? (4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或? (5)(y?1)? 不是線性方程? dxdydx(y?1)2x 32齊次線性方程的解法? 齊次線性方程 dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx? y兩邊積分? 得 ln|y|??P(x)dx?C1? ?P(x)dx(C??eC1)? 或 y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）? 例 1求方程(x?2)dy?y的通解? dx 解 這是齊次線性方程? 分離變量得 dydx?? yx?2兩邊積分得 ln|y|?ln|x?2|?lnC? 方程的通解為 y?C(x?2)? 非齊次線性方程的解法? 將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把 ?P(x)dx y?u(x)e? 設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得 ?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)? u?(x)e?化簡得 u?(x)?Q(x)e?P(x)dx? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C? 于是非齊次線性方程的通解為 ?P(x)dxP(x)dx y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或 y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和? 5dy2y??(x?1)2的通解? 例2 求方程dxx?1 解 這是一個非齊次線性方程? 先求對應的齊次線性方程分離變量得 dy2y??0的通解? dxx?1dy2dx?? yx?1兩邊積分得 ln y?2ln(x?1)?ln C? 齊次線性方程的通解為 y?C(x?1)2? 用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得 52u?(x?1)2?(x?1)2 u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12 1u??(x?1)2? 兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C? 3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32 y?(x?1)[(x?1)2?C]? 323 例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 解 由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L E?L即 di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0? dtdi?Ri?E? dtLLdi?Ri?Emsin? t? dtLL 把E?Emsin? t代入上式? 得 初始條件為 i|t?0?0? di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER? t? P(t)?? Q(t)?msinLL 方程由通解公式? 得 i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C) LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C) ?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL? ?222R??L其中C為任意常數? 將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為 t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)? i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm? R2??2L 2二、伯努利方程 伯努利方程? 方程 dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 下列方程是什么類型方程？ (1) (2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy 1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx (4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx 伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得 y?n令z ?y1?n ? 得線性方程 dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)? dxdyy??a(lnx)y2的通解? 例4 求方程dxx 解 以y2除方程的兩端? 得 y?2dy1?1?y?alnx? dxxd(y?1)1?1?y?alnx? 即 ?dxx令z?y?1? 則上述方程成為 dz?1z??alnx? dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為 z?x[C?(lnx)2]? 以y?1代z ? 得所求方程的通解為 yx[C?(lnx)2]?1? 經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程? 例 5解方程 a2dy?1? dxx?y三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 解 若把所給方程變形為 dx?x?y? dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程? 令x?y?u? 則原方程化為 du?1?1? 即du?u?1? dxudxu分離變量? 得 udu?dx? u?1兩端積分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|? 以u?x?y代入上式? 得 y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1? 作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2） §7? 5可降階的高階微分方程 一、y(n)?f(x)型的微分方程 解法? 積分n 次 y(n?1)?f(x)dx?C1? ? y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ?? ? ? ?? 例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解? 解 對所給方程接連積分三次? 得 y???e2x?sinx?C1? 三峽大學高等數學課程建設組 12高等數學教案 微分方程 y??e2x?cosx?C1x?C2? y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3? 這就是所給方程的通解? 或 y???e2x?sinx?2C1? y??e2x?cosx?2C1x?C2? y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3? 這就是所給方程的通解? 例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律? 解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為 2dx m2?F(t)? dt141812121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而 F(t)?F0(1?)? 于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t) ? Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0? dtt?0 把微分方程兩邊積分? 得 dx?F0(t?t2)?C 1? dtm2T再積分一次? 得 F012t x?(t?)?C1t?C2? m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0? 三峽大學高等數學課程建設組 dx|?0? dtt?0高等數學教案 微分方程 于是所求質點的運動規律為 x? 二、y??? f(x? y?)型的微分方程 解法? 設y??p則方程化為 p??f(x? p)? 設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則 F012t3(t?)? 0?t?T? m26Tdy??(x,C1)? dx原方程的通解為 y??(x,C1)dx?C2? 例3 求微分方程 (1?x2)y???2xy? 滿足初始條件 y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解? 解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有 ?dp2x?dx? p1?x2兩邊積分? 得 ln|p|?ln(1?x2)?C? 即 p?y??C1(1?x2)(C1??eC)? 由條件y?|x?0?3? 得C1?3? 所以 y??3(1?x2)? 兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2? 又由條件y|x?0?1? 得C2?1? 于是所求的特解為 y?x3?3x?1? 例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線? 三、y???f(y? y?)型的微分方程 解法? 設y??p?有 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 y???原方程化為 dpdpdydp???p? dxdydxdydp?f(y,p)? dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy p dy??(y,C1)?x?C2? dp? dy 例5 求微分yy???y?2?0的通解? 解 設y??p? 則y???p代入方程? 得 ypdp2?p?0? dy 在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得 dpdy?? py兩邊積分得 ln|p|?ln|y|?lnc? 即 p?Cy或y??Cy(C??c)? 再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為 ln|y|?Cx?lnc1? 或 y?C1eCx(C1??c1)? 作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5） 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 §7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點? 給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)? 設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx? 又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則 R??dx? dt 由牛頓第二定律得 md2x??cx??dx? 2dtdt 移項? 并記2n??c? k2?? mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為 ? dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程? 如果振動物體還受到鉛直擾力 F?Hsin pt 的作用? 則有 d2x?2ndx?k2x?hsinpt ? dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程? m 例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數? 設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道 i?qdqdi? uc?? EL??L? Cdtdt三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 根據回路電壓定律? 得 E?Ldi?q?Ri?0? dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t? 即 LC2dtdt或寫成 d2ucducEm2?2???u?sin?t? 0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC 如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為 d2ucduc2?2???0uc?0? 2dtdt 二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)? 若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的? 二、線性微分方程的解的結構 先討論二階齊次線性方程 d2ydy?Q(x)y?0? y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx 定理 1如果函數y1(x)與y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數? 齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理? 證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2?? [C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2??? 因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有 y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0? 從而 [C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2] 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 ?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0? 這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解 函數的線性相關與線性無關? 設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式 k1y1(x)?k2y2(x)? ? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關? 判別兩個函數線性相關性的方法? 對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關? 例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的? 定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解? 例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解? 解 因為 y1???y1??cos x?cos x?0? y2???y2??sin x?sin x?0? 所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解? 因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使 k1cos x?k2sin x?0? 只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的? 因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 方程的通解為y?C1cos x?C2sin x? 例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解? 解 因為 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 (x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0? (x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0? 所以y1?x與y2?ex都是方程的解? 因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的? 因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 方程的通解為y?C1x?C2e x? 推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程 y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為 y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)? 其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數? 二階非齊次線性方程解的結構? 我們把方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程? 定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么 y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解? 證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)] ? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*] ?0? f(x)? f(x)? 例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此 y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解? 定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)? 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解? 證明提示? [y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*] ?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*] ?f1(x)?f2(x)? 作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5） §7? 7 二階常系數齊次線性微分方程 二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數? 如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解? 我們看看? 能否適當選取r? 使y?erx 滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程 y???py??qy?0 得 (r 2?pr?q)erx ?0? 由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解? 特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式 ?p??p2?4q r 1,2?2求出? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 特征方程的根與通解的關系? (1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解? 這是因為? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為 y?C1er1x?C2er2x? (2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解? 這是因為? y1?er1x是方程的解? 又 r1xr1x2r1x (xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x 2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? y1er1x(r1?r2)x不是常數? ??ey2er2xy2xer1x??x不是常數? 所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x 因此方程的通解為 y?C1er1x?C2xer1x? (3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解? 函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得 y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)? y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)? 1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)? 2三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)? 2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解? 可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解? 因此方程的通解為 y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)? 求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為? 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2?pr?q?0 第二步 求出特征方程的兩個根r1、r2? 第三步 根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解? 例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解? 解 所給微分方程的特征方程為 r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0? 其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為 y?C1e?x?C2e3x? 例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0? 4、y?| x?0??2的特解? 解 所給方程的特征方程為 r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0? 其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為 y?(C1?C2x)e?x? 將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而 y?(4?C2x)e?x? 將上式對x求導? 得 y??(C2?4?C2x)e?x? 再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為 x?(4?2x)e?x? 例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解? 解 所給方程的特征方程為 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 r2?2r?5?0? 特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根? 因此所求通解為 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)? n 階常系數齊次線性微分方程? 方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0? 稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1? p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數? 二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去? 引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式? L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作 (Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)? 分析? 令y?erx? 則 L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx? 因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解? n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程? L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程? 特征方程的根與通解中項的對應? 單實根r 對應于一項? Cerx ? 一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)? k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)? 一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項? e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]? 例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解? 解 這里的特征方程為 r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i? 因此所給微分方程的通解為 y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)? 例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0? 解 這里的特征方程為 r4?? 4?0? 它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)? 因此所給微分方程的通解為 y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)? 作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6） §7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程 二階常系數非齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數? 二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和? y?Y(x)? y*(x)? 當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法? 一、f(x)?Pm(x)e?x 型 當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? (1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式? Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解 y*?Qm(x)e?x? (2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? 成立? Q(x)應設為m?1 次多項式? Q(x)?xQm(x)? Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解 y*?xQm(x)e?x? (3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? 成立? Q(x)應設為m?2次多項式? Q(x)?x2Qm(x)? Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解 y*?x2Qm(x)e?x? 綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如 y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2? 例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解? 解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)? 與所給方程對應的齊次方程為 y???2y??3y?0? 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 它的特征方程為 r2?2r?3?0? 由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為 y*?b0x?b1? 把它代入所給方程? 得 ?3b0x?2b0?3b1?3x?1? 比較兩端x同次冪的系數? 得 ???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為 y*??x?? 例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解? 解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)? 與所給方程對應的齊次方程為 y???5y??6y?0? 它的特征方程為 r2?5r ?6?0? 特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為 Y?C1e2x?C2e3x ? 由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為 y*?x(b0x?b1)e2x? 把它代入所給方程? 得 ?2b0x?2b0?b1?x? 比較兩端x同次冪的系數? 得 ?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 微分方程 由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 121 y*?x(?x?1)e2x? 從而所給方程的通解為 y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 提示? y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x? [(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x? [(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x? y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x? 方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式 應用歐拉公式可得 e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] ?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i ?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)] ?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x? 其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}? 設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x? 則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解? 其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1? 于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為 三峽大學高等數學課程建設組 12121212高等數學教案 微分方程 y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x ?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x) ?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]? 綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程 y???py??qy?f(x)的特解可設為 y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]? 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1? 例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解? 解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）? 與所給方程對應的齊次方程為 y???y?0? 它的特征方程為 r2?1?0? 由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為 y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x? 把它代入所給方程? 得 (?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x? 比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x? 提示? y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x? y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x? 三峽大學高等數學課程建設組 134? 91349高等數學教案 微分方程 ?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x? y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x ?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x? y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? ??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4） 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 第五章 定積分 第五章 定積分 教學目的： 1、理解定積分的概念。 2、掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。 3、理解變上限定積分定義的函數，及其求導數定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。 4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。 教學重點： 1、定積分的性質及定積分中值定理 2、定積分的換元積分法與分部積分法。 3、牛頓—萊布尼茨公式。 教學難點： 1、定積分的概念 2、積分中值定理 3、定積分的換元積分法分部積分法。 4、變上限函數的導數。§5? 1 定積分概念與性質 一、定積分問題舉例 1? 曲邊梯形的面積 曲邊梯形? 設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊? 求曲邊梯形的面積的近似值? 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替? 每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區間[a? b]中任意插入若干個分點 a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b? 把[a? b]分成n個小區間 [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 它們的長度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ? 經過每一個分點作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形? 在每個小區間 [xi?1? xi ]上任取一點??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即 A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi? i?1n 求曲邊梯形的面積的精確值? 顯然? 分點越多、每個小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無限地增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 記 ??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點? 使每個小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當于令??0? 所以曲邊梯形的面積為 A?lim?f(?i)?xi? ??0i?1n 2? 變速直線運動的路程 設物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續函數? 且v(t)?0? 計算在這段時間內物體所經過的路程S ? 求近似路程? 我們把時間間隔[T 1? T 2]分成n 個小的時間間隔?ti ? 在每個小的時間間隔?ti內? 物體運動看成是均速的? 其速度近似為物體在時間間隔?ti內某點??i的速度v(??i)? 物體在時間間隔?ti內 運動的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時間間隔?ti內 運動的距離加起來作為物體在時間間隔[T 1 ? T 2]內所經過的路程S 的近似值? 具體做法是? 在時間間隔[T 1 ? T 2]內任意插入若干個分點 T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2? 把[T 1 ? T 2]分成n個小段 [t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ? 各小段時間的長依次為 ?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1? 相應地? 在各段時間內物體經過的路程依次為 ?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n? 在時間間隔[t i?1? t i]上任取一個時刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時刻的速度v(? i)來代替[t i?1? t i]上各個時刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即 ?S i? v(? i)??t i (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S 的近似值? 即 S??v(?i)?ti? i?1n 求精確值? 記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當??0時? 取上述和式的極限? 即得變速直線運動的路程 S?lim?v(?i)?ti? ??0i?1n 設函數y?f(x)在區間[a? b]上非負、連續? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積? (1)用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區間[a? b]分成n個小區間? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為 A??f(?)?x? iii?1nn (3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為 A?lim??0?f(?)?x? iii?1 設物體作直線運動? 已知速度v?v(t)是時間間隔[T 1? T 2]上t的連續函數? 且v(t)?0? 計算在這段時間內物體所經過的路程S ? (1)用分點T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時間間隔[T 1 ? T 2]分成n個小時間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時間段[ti?1? ti]內物體所經過的路程可近似為v(?i)?ti (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為 S??v(?)?tii?1nni? (3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為 S?lim??0?v(?)?t? iii? 1二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義? 抓住它們在數量關系上共同的本質與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義? 定義 設函數f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個分點 a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b? 把區間[a? b]分成n個小區間 [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 各小段區間的長依次為 ?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1? 在每個小區間[xi?1? xi]上任取一個點? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數值f(? i)與小區間長度?xi的乘積 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和 S??f(?i)?xi? i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對[a? b]怎樣分法? 也不論在小區間[xi?1? xi]上點? i 怎樣取法? 只要當??0時? 和S 總趨于確定的極限I? 這時我們稱這個極限I為函數f(x)在區間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx? 即 lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數? f(x)dx叫做被積表達式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區間? 定義 設函數f(x)在[a? b]上有界? 用分點a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個小區間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)? 任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和 S??f(?)?xii?1ni? 記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當??0時? 上述和式的極限存在? 且極限值與區間[a? b]的分法和? i的取法無關? 則稱這個極限為函數f(x)在區間[a? b]上的定積分? 記作即 根據定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx? 變速直線運動的路程為S??T2v(t)dt? 1?baf(x)dx? ?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi? ??0i?1nbT 說明? (1)定積分的值只與被積函數及積分區間有關? 而與積分變量的記法無關? 即 ?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du? (2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和? i?1nbbb (3)如果函數f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說f(x)在區間[a? b]上可積? 函數f(x)在[a? b]上滿足什么條件時? f(x)在[a? b]上可積呢？ 定理 1設f(x)在區間[a? b]上連續? 則f(x)在[a? b]上可積? 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 定理2 設f(x)在區間[a? b]上有界? 且只有有限個間斷點? 則f(x)在[a? b]上可積? 定積分的幾何意義? 在區間[a? b]上? 當f(x)?0時? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當f(x)?0時? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值? b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx? ??0i?1??0i?1nnb 當f(x)既取得正值又取得負值時? 函數f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對面積賦以正負號? 在x軸上方的圖形面積賦以正號? 在x軸下方的圖形面積賦以負號? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數和? b用定積分的定義計算定積分? 例1.利用定義計算定積分?0x2dx? 解 把區間[0? 1]分成n等份??分點為和小區間長度為 xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)? nn 取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n 1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1 ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)? 3?ni?1n66nn 因為??1? 當??0時? n??? 所以?n ?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn 3利定積分的幾何意義求積分: 例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數y?1?x在區間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因為以y?1?x為曲邊??以區間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長及高均為1? 所以 1天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ??0(1?x)dx?2?1?1?2??11 1三、定積分的性質 兩點規定? (1)當a?b時? (2)當a?b時? ?af(x)dx?0? ?af(x)dx???bf(x)dx? bbbab 性質 1函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即 ?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx? bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi ??0i?1nnn ?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi ??0i?1b??0i?1 ??af(x)dx??ag(x)dx? 性質2 被積函數的常數因子可以提到積分號外面 即 b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb 這是因為?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx? ??0i?1??0i?1????????性質???如果將積分區間分成兩部分?則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和?即?? ?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx? 這個性質表明定積分對于積分區間具有可加性? 值得注意的是不論a ?b ?c的相對位置如何總有等式 ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx? 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 cbcbcb成立? 例如? 當a 高等數學教案 第五章 定積分 于是有 ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a? ?af(x)dx?0(a?b)? ?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)? ?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0? ?af(x)dx??ag(x)dx? bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx? 性質 4如果在區間[a b]上f(x)?1 則 性質 5如果在區間[a??b]上 f(x)?0? 則 推論 1如果在區間[a??b]上 f(x)? g(x)則 這是因為g(x)?f(x)?0? 從而 所以 推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)? 這是因為?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以 ??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx? 即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|?? 性質6 設M 及m 分別是函數f(x)在區間[a??b]上的最大值及最小值? 則 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)? 證明 因為 m? f(x)? M ? 所以 從而 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 性質7(定積分中值定理) 如果函數f(x)在閉區間[a??b]上連續? 則在積分區間[a??b]上至少存在一個點??? 使下式成立? bbbbbbb? ?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個公式叫做積分中值公式? 證明 由性質6 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項除以b?a 得 b m?1?af(x)dx?M? b?ab再由連續函數的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點? ? 使 b f(?)?1?af(x)dx? b?a于是兩端乘以b?a得中值公式 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b 積分中值公式的幾何解釋? 應注意? 不論a 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 §5? 2 微積分基本公式 一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系 設物體從某定點開始作直線運動? 在t時刻所經過的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時間間隔[T1? T2]內物體所經過的路程S可表示為 S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt? 1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)? 1T 上式表明? 速度函數v(t)在區間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數S(t)在區間[T1? T2]上的增量? 這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數及其導數 設函數f(x)在區間[a? b]上連續? 并且設x為[a? b]上的一點??我們把函數f(x)在部分區間[a? x]上的定積分 ?af(x)dx xx稱為積分上限的函數? 它是區間[a? b]上的函數? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt? 定理1 如果函數f(x)在區間[a? b]上連續? 則函數 ?(x)??af(x)dx 在[a? b]上具有導數? 并且它的導數為 x ??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x dxxx 簡要證明 若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)? ????(x??x)??(x)??a ??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt xf(t)dt??af(t)dt x天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ??xx??xf(t)dt?f(?)?x? 應用積分中值定理? 有???f(?)?x? 其中?在x 與x??x之間? ?x?0時? ??x ? 于是 ??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)? ?x?0?x?x?0??x 若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)? 定理 2如果函數f(x)在區間[a? b]上連續? 則函數 ?(x)??af(x)dx 就是f(x)在[a? b]上的一個原函數? 定理的重要意義? 一方面肯定了連續函數的原函數是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系? 三、牛頓??萊布尼茨公式 定理 3如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a? b]上的一個原函數? 則 x?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式? 這是因為F(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數? ?所以存在常數C? 使 F(x)??(x)?C(C為某一常數)? 由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb 證明? 已知函數F(x)是連續函數f(x)的一個原函數? 又根據定理2? 積分上限函數 ?(x)??af(t)dt 也是f(x)的一個原函數? 于是有一常數C? 使 F(x)??(x)?C(a?x?b)? 當x?a時? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當x?b 時? F(b)??(b)?F(a)? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 a?F(b)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bb 進一步揭示了定積分與被積函數的原函數或不定積分之間的聯系? 例1.計算?0x2dx? 解? 由于1x3是x2的一個原函數? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333 3例2 計算??1dx2? 1?x 解 由于arctan x是12的一個原函數? 所以 1?x ??13 ??(? ?)?7?? dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2? 1例3.計算??21dx? x 解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11 例4.計算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積? 解? 這圖形是曲邊梯形的一個特例? 它的面積 A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2?? 例5.汽車以每小時36km速度行駛? 到某處需要減速停車?設汽車以等加速度a??5m/s2剎車? 問從開始剎車到停車? 汽車走了多少距離？ 解 從開始剎車到停車所需的時間? 當t?0時? 汽車速度 v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s? 3600剎車后t時刻汽車的速度為 v(t)?v0?at ?10?5t ? 當汽車停止時? 速度v(t)?0? 從 v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)? 于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為 2?10(m)? s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 即在剎車后? 汽車需走過10m才能停住? 例6.設f(x)在[0, ??)內連續且f(x)>0? 證明函數F(x)?在(0? ??)內為單調增加函數? xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故 dxdx?0tf(t)dt x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x? 按假設? 當0?t?x時f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以 ?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0? ?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內為單調增加函數? 例7.求limx?0? 解? 這是一個零比零型未定式? 由羅必達法則? limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1? x?02x2e2提示? 設?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt? dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x? dx?1dxdudx 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 §5? 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設函數f(x)在區間[a? b]上連續? 函數x??(t)滿足條件? (1)?(??)?a ? ?(?)?b? (2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續導數? 且其值域不越出[a? b]? 則有 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 這個公式叫做定積分的換元公式? 證明 由假設知? f(x)在區間[a? b]上是連續? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區間[?? ?](或[?? ?])上也是連續的? 因而是可積的? 假設F(x)是f(x)的一個原函數? 則 b??af(x)dx?F(b)?F(a)? 另一方面? 因為{F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個原函數? 從而 b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)? 因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 例1 計算?0a2?x2dx(a>0)? 解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ? ?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt 20??天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 22?1?a2? ?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當x?0時t?0? 當x?a時t???? 例2 計算?02cos5xsinxdx? 解 令t?cos x? 則 ???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx 011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1? 令cosx?t提示? 當x?0時t?1? 當x??時t?0? 2或 ?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1? ??[1cos6x]066266 例3 計算?0sin3x?sin5xdx? 解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx ?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx 02?3 ??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx ?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4? 555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|? 在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x? 4例4 計算?x?2dx? 02x? 1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt t2312711122? ?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 2t提示? x??1? dx?tdt? 當x?0時t?1? 當x?4時t?3? 2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續且為偶函數? 則 ??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx? 0a 證明 因為??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而 所以 ??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx? a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx aa ??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx? 討論? 若f(x)在[?a? a]上連續且為奇函數? 問??af(x)dx?？ 提示? 若f(x)為奇函數? 則f(?x)?f(x)?0? 從而 a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0? ??aa 例6 若f(x)在[0? 1]上連續? 證明 (1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx? 證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt 2? ??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx? 002(2)令x???t? 則 ?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt ????t)]dt??0(??t)f(sint)dt ??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 ??高等數學教案 第五章 定積分 ???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx? 所以 ???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx? ?x2?4?xe x?0 例7 設函數f(x)??1? 計算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx 解 設x?2?t? 則 ?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt ?01?cost220 ?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1? 22222提示? 設x?2?t? 則dx?dt? 當x?1時t??1? 當x?4時t?2? 二、分部積分法 設函數u(x)、v(x)在區間[a? b]上具有連續導數u?(x)、v?(x)? 由 (uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區間[a? b]上積分得 ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式? 分部積分過程? ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計算? 解 12arcsinxdx? 0 ?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0 ?1????02xdx 261?x21? ???021221d(1?x2) 1?x21?22???3?1? ??[1?x]012122 例2 計算?0exdx? 解 令x?t? 則 1?0e1xdx?2?0ettdt 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 1高等數學教案 第五章 定積分 ?2?0tdet ?2[tet] 0 ?2?0etdt ?2e?2[et] 0 ?2? 例3 設In??02sinnxdx? 證明 (1)當n為正偶數時? In?n?1?n?3???3?1??? nn?242 2(2)當n為大于1的正奇數時? In?n?1?n?3???4?2? nn?2 53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx n?1 ?2x] 0? ??[cosxsin???02cosxdsinn?1x ?? ?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1? 2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1? 2因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設In??02sinnxdx(n為正整數)? 證明 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 ?????高等數學教案 第五章 定積分 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx ??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx ? ?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3 53天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 §5? 4 反常積分 一、無窮限的反常積分 定義1 設函數f(x)在區間[a? ??)上連續? 取b>a ? 如果極限 b???lim?af(x)dx ??b存在? 則稱此極限為函數f(x)在無窮區間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即 ?a這時也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 如果上述極限不存在? 函數f(x)在無窮區間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒有意義? 此時稱反常積分?af(x)dx發散? 類似地? 設函數f(x)在區間(??? b ]上連續? 如果極限 a???????lim?af(x)dx(a bb存在? 則稱此極限為函數f(x)在無窮區間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ???f(x)dx?alim?f(x)dx? ???a這時也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發散? 設函數f(x)在區間(??? ??)上連續? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx 都收斂? 則稱上述兩個反常積分的和為函數f(x)在無窮區間(??? ??)上的反常積分? 記作 0?????f(x)dx? 即 ???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx b ?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? b???這時也稱反常積分???f(x)dx收斂? 如果上式右端有一個反常積分發散? 則稱反常積分???f(x)dx發散? 定義1? 連續函數f(x)在區間[a? ??)上的反常積分定義為 ?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發散? 類似地? 連續函數f(x)在區間(??? b]上和在區間(??? ??)上的反常積分定義為 ???f(x)dx?lim?af(x)dx? a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? a???b?????0b 反常積分的計算? 如果F(x)是f(x)的原函數? 則 ?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba b???b???b ?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)? b???x???可采用如下簡記形式? 類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)? x??????F(b)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ????limF(x)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計算反常積分???12dx? 1?x 解 ??? ???1?1x2dx?[arctanx]??? ?limarctanx?limarctanx x???x??? ? ??(? ?)??? 例2 計算反常積分?0te?ptdt(p是常數? 且p>0)? 解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0 p?? ?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp?? ?[?1te?pt?12e?pt]0pp ?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12? t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0? t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當p?1時? 當p<1時? 當p>1時? ??1dx(a>0)的斂散性? xp?a??1dx???1dx?[lnx] ?????? a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ?????? a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p? a1?pp?1xp1?p 因此? 當p>1時? 此反常積分收斂? 其值為a? 當p?1時? 此反常積分發散? p? 1二、無界函數的反常積分 定義 2設函數f(x)在區間(a? b]上連續? 而在點a的右鄰域內無界? 取?>0? 如果極限 t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 這時也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發散? 類似地? 設函數f(x)在區間[a? b)上連續? 而在點b 的左鄰域內無界? 取?>0? 如果極限 t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt這時也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發散? 設函數f(x)在區間[a? b]上除點c(a 都收斂? 則定義 cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx? 否則? 就稱反常積分?af(x)dx發散? 瑕點? 如果函數f(x)在點a的任一鄰域內都無界? 那么點a稱為函數f(x)的瑕點? 也稱為無界 定義2? 設函數f(x)在區間(a? b]上連續? 點a為f(x)的瑕點? 函數f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發散? 類似地?函數f(x)在[a? b)(b為瑕點)上的反常積分定義為 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt 函數f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點)上的反常積分定義為 ?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx? ??tt?cb反常積分的計算? 如果F(x)為f(x)的原函數? 則有 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt ?t?a ?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡記形式? a?F(b)?limF(x)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有 a?limF(x)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當a為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)? a?F(b)?lim?x?ab當b為瑕點時??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)? a?lim?x?bb當c(a?c?b)為瑕點時? F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]? ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計算反常積分? 解 因為lim?x?aa01dx? 2a?x21???? 所以點a為被積函數的瑕點? a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2 1例5 討論反常積分??112dx的收斂性? x 解 函數12在區間[?1? 1]上除x?0外連續? 且lim12??? x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1???? 1?xxx?0x01即反常積分??112dx發散? 所以反常積分??112dx發散? xx 例6 討論反常積分?a 解 當q?1時? 當q?1時? bbbdx的斂散性? (x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b???? a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b???? a?a(x?a)q1?q天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 當q?1時? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q? a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當q<1時? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當q?1時? 此反常積分發散? 1?q 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 高等數學教案 第五章 定積分 天津工業大學理學院基礎數學系高等數學、經濟數學教研室 第一章函數與極限(4課時)Ⅰ 授課題目（章節） 1.1 映射與函數 Ⅱ 教學目的與要求： 1.理解集合、區間、鄰域等基本概念，掌握集合的運算及構造法 2.理解函數的概念；明確函數定義有兩個要素；依賴關系、定義域；掌握函數表達式的運用 3.了解函數的基本性質；知道判定諸性質的思路 4.掌握將復合函數由外及里分解為簡單函數的方法 Ⅲ 教學重點與難點 重點：理解集合、鄰域的概念 難點：函數的性質 Ⅳ 講授內容 一.集合 1． 集合概念 集合是指具有某種特定性質的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素（簡稱：元） 注：本課程中所有說的集合必須具有明確的界定，即對任何一個對象都可以按標準判斷其是否屬于所說的“總體” 介紹子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的運算 集合的基本運算有以下幾種：并、交、差、直積 介紹全集（基本集）與余集（補集）的概念 3.區間和鄰域 設?＞0，點X0的?領域是指滿足X?X0??的一切實數X的集合。X0稱為改鄰域的中心，?成為該鄰域的半徑 二.映射 1.定義：設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的映射，記作f:X?Y、其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f(x),即y?f（x），而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像 注：映射是指兩個集合之間的一種對應關系。判斷兩集合之間的對應關系是否構成一個映射，關鍵是抓住兩個要點：第一，對于第一個集合中的每一個元素，按照規則能否在另一個集合中找到一個與之對應的元素；第二，對于第一個集合中的每一個元素，第二個集合與之對應的元素是不是唯一的 2.逆映射 定義：設fX到Y的單射，則由定義，對每個y?Rf，有唯一的x?X,適合f（x）?y。于是，我們可定義一個從Rf到X的新映射g，即?x，這x滿足f（x）?y。這個映g：Rf?X，對每個y?Rf，規定g（y）射g稱為f的逆映射，記作f2． 復合映射： 定義：設有兩個映射g:X?Y1,f:Y2?Z，其中Y1?Y2，則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應法則，它將每個x?X映成f?g（x）??Z。顯然，這個對應法則確定了一個從X到Z的映射，這個映射稱為映射g和f構成的復合映射，記作f?g,即f?g：X?Z，（f?g）（x）?，x?X ?f?g（x）三.函數 1.函數的概念 定義：設數集D?R，則稱映射f：D?R為定義在D上的函數，通常簡記為 y?f（x），x?D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df?D 函數定義中，對每個x?D，按對應法則f，總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數f在x出的函數值，記作f（x），即y?f（x）。因變量y與自變量x之間的這種依賴關系，通常稱為函數關系。函數值y?f（x）的全體所構成的集合稱為函數 f的值域，記作Rf或f（D)，即 Rf?f(D)?yy?f(x),x?D 注：函數的概念中涉及五個因素：（1）自變量（2）定義域（3）應變量（4）對應規律（5）值域；在這五個因素中最重要的是定義域和因變量關于自變量的對應規律，這兩者常稱為函數的二要素 介紹單值函數與多值函數的概念 例.判斷下列各對函數是否相同 （1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2 ?1,其定義域Df?1?Rf，值域Rf?1?X ??解：（2）中的f（x）與g（x)相同，（3）中的f（x）與g（x)相同 例.求下列函數的定義域 （1）f(x)?x?13?4x?1 2x?5x?6x(2)f(x)?log2log4log7 (3)f(x)?1x?2?1 x解：（1）Df?xx?2且x?3 （2）Df?xx?7 （3）Df?xx?0且x??2 2.函數的幾種特性 （1）函數的有界性（2）函數的單調性(3)函數的奇偶性 定義：教材P12?P13 例：判斷f(x)?ln???????x2?1?x的奇偶性 1x?1?x2?解：f(?x)?ln((?x)2?1?x?ln ?f(x)為奇函數（4）數的周期性 3．反函數于復合函數 ??f(x) （5）反函數定義：設函數f:D?f(D)是單射，則它存在逆映射f?1:f(D)?D，稱此映射f?1為函數f的反函數。 按此定義，對每個y?f(D),有唯一的x?D，使得f（x）=y，于 1是有f?（y）?x。這就是說，反函數f?1的對應法則是完全由函數f的對應法則所確定的 與反函數問題有關的題型主要有兩類：判斷給定函數是否存在反函數或求給定函數的反函數 對嚴格單調函數有以下結論 嚴格單調函數必存在反函數（6）復合函數有關的問題大致可分為兩類：一是判斷若干個函數能否構成復合函數;二是將一個復合函數分解為若干個簡單函數 復合函數的定義：設函數y?f(u)的定義域為D1，函數u?g（x）在D上有定義，且g（D）?D1，則由下式確定的函數 構成的復合函數，它的?，x?D稱為由函數u?g（x）和函數y?f（u）y?f?g（x）定義域為D，變量u稱為中間變量。函數g與函數f構成的復合函數通常記為 ? f?g,即（f?g）（x）?f?g（x）3.函數的運算 4.初等函數 定義：由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數 5.雙曲函數與反雙曲函數 Ⅴ小結與提問： 小結：本講內容十分重要，特別是缺點函數的兩個要素務必弄懂；分段函數也須引起重視；函數的幾種特性直接通過論證來判斷；函數的反函數的存在性需重視。復合函數是本講重點之一，掌握它，對學好微分與積分有很大的作用；要善于分析一個初等函數的結構 提問：是否y?f（u），u?g（x）一定能復合成y為x的函數？ Ⅴ 課外作業 P21 6(4)(6)7(3)8.12.14（3）17第二篇：高等數學教案Word版(同濟)第二章8
第三篇：第七章 微分方程(三峽大學高等數學教案)
第四篇：同濟版高等數學教案第五章 定積分
第五篇：高等數學教案Word版第一章1
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