第一篇：微分方程雙語教學研究論文

關鍵詞：教學研究 雙語教學 微分方程

摘要：微分方程雙語教學是微分方程教學中的一項重要環節，本文主要圍繞雙語教學主題，結合重慶科技學院目前實際情況，對常微分方程課程的雙語教學作了進一步探討，分析總結了實踐經驗中存在的問題并提出了一些意見。

保持式雙語教學是指學生剛進入學校用母語進行學習，然后逐步在部分課程上用第二種語言進行教學，其他課程仍然用母語進行教學。這種雙語教學比較適合普通高等本科院校。我校屬于新建的本科院校，用這種模式來進行雙語教學比較符合我們學校的現實情況。常微分方程課程的雙語教學的主要目的是為了加深學生對國外常微分方程課程的先進的體系、思想方法、發展趨勢的理解，以利于進行中西方比較、借鑒西方的先進成果，最終把學生培養成國際化人才。除此以外，“雙語教學”中的英語不僅僅是語言學習，而且可以為了培養學生相應的思維基礎、智能結構、文化素質，在開放的外語環境中最大限度地挖掘學生潛能，這對現行的英語教學來說，是一個突破，也是一個更高的標準。

本人曾經講授過本科的常微分方程課程而且在這方面發表過國際期刊，因此對于雙語教學有了一定的了解基礎。通過親身的講授體驗，通過和學生的交流，觀察，調查等多種途徑，我發現了在我校進行保持式雙語教學中所存在的主要問題。有如下：

一、缺乏師資

強大的師資力量是成功實施雙語教學的關鍵。要真正實現雙語教學的目標，就要求教師既要精通常微分方程專業知識，又要具備扎實的英語水平。

有研究表明：現有的高校擴招給大學英語教學帶來的巨大壓力已經遠遠超出了教師的承受能力，現有教師也很少有機會在職進修，更缺乏定期出國提高自己語言能力，改善自身知識結構的可能。許多大學雙語教師都沒有接受過系統，專門的雙語培訓。

二、教師的工作量明顯加大，課堂信息不足

有研究表明：原來用母語教學10分鐘就能完成的知識點，用“雙語”后需要40分鐘，甚至更多。而授課教師的英語應用能力高低不同，備課時間長短也不同。有教師認為雙語教學備課量是非雙語教學的三倍以上。

三、學生英語水平參差不齊，師生溝通不流暢

就目前情況來看，大學生的英語綜合能力參差不齊，不少學生對專業詞匯掌握很少，聽力和口語不是很少，這些都使得教師不得不把重點轉移到詞匯的講解，從而影響了教學進度，達不到預期目標。

四、國內外教材不統一

雙語教學需要用國外的原版教材，但是國外原版教材難以與國內相應的學科教學要求相符。并且深淺程度不一致，理論和案例各自偏向不同的特點。許多國外教材是根據當地的文化習慣和思維方式編寫的，中國學生缺乏理解發達國家經濟制度運作的常識，理解教材中的內容和案例還有很多困難。

五、教學中教育主體性缺失

常微分方程雙語教學應該是學生和教師的主體性都是個和諧和統一的過程。但是目前是主體性的發揮存在不平衡。主要表現為：教師的主體性極度膨脹，學生的主體性沒有發揮出來。很多學生收到家庭環境，傳媒信息，個性特征，知識基礎，思維方式的影響，適應雙語教學還需要一個過程。

六、教學方法需要配套改革

雖然目前，許多教師采用了多媒體來教學，但是也只是作了形式上的改變，把粉筆，黑板變成了電腦和幻燈片。以“學生為中心”的教學模式并沒有形成。

七、課程考核方式單一，缺乏專門的雙語教學質量評價指標體系

目前許多高校對雙語教學體系的評價，或者借助現有的單語教學評價指標，或者以查代評，以考代評，定性多于定量，片面代替全面，評價的科學性還不是很完善。

從前面的分析來看，常微分方程雙語教學在發展中存在許多問題，形成這些問題的原因是多種多樣的。我們對上述的問題進行簡單的歸類。發現可以歸類為：外部環境的問題(如學生的英語水平，師資的缺乏問題等)，教學內容的問題(如方法的差異問題，教材選用的問題等)，教學方式，方法的問題(如教育主體性缺失問題)，考核辦法的問題(考核方式單一)。

考察、分析和解決常微分方程雙語教學中的問題都要著眼整個系統，要以合作的精神從大系統的全局出發。當我們對雙語教學實施管理的時候，就是管理著一組有特定目的和目標的相互關聯、相互制約的要素的組合體，而當要解決其中任何一部分的問題時必須考慮到對系統其它部分以及周圍環境的影響，根據輕重緩急，予以通盤考慮，逐次解決。常微分方程雙語教學是適應經濟全球化和科技革命的挑戰。但是教學能否快速，良好的發展關鍵取決于自身的基礎條件，內部教學系統的構建與運行以及外部環境的條件等。從這個意義來考慮，我們有必要構建一個常微分方程雙語教學系統，從而實現跨文化交流，把學生培養成國際化的人才。首先，構建一個常微分方程教學系統必須有系統目標。系統的目標性要求我們在確定系統的目標時，運用各種調節手段把系統導向預定的目標，達到系統整體性最優的目標。根據國家教學要求，常微分方程雙語教學的目標應該是用英語作為課堂主要語吉進行常微分方程課程的教授，向學生推進常微分方程專業理論的逐步演繹。使得學習者掌握本課程嚴密的專業知識，同時還可以培養學習者運用兩種語言進行思維的能力。

從系統論的角度，我們已經明確了系統中的子系統(教學內容，教學方式，方法和考核方法等)，外部環境(培養創新人才的需要，高等教學體制改革的重要舉措等)自身的基礎條件(師資力量。學生的英語水平)：

系統必須具備三個要素：系統的部件、系統的環境、系統的輸入與輸出。系統的部件，也就是系統下面的各個子系統，它們具有不同的屬性，又相互影響。他們組合結構從整體上影響了系統的特征和行為。系統是在一定的外界環境條件下運行的，它即受環境的影響，同時也對環境施加影響。系統與環境的交互影響就可以產生輸入與輸出的含義，輸入與輸出體現了系統與環境之間的交互影響，系統在目標與要求明確以后，其部件就可以接受一系列的外界輸入以及進行有效和高效率的處理后，提供系統所期望的實現目標的輸出，返回到環境。

概括的說，常微分方程雙語教學系統的部件主要包括以下幾個子系統：教學內容包括有課程設置和教材兩個子系統。在課程設置上，應該與國際接軌，課程設置要借鑒國際知名同類院校的經驗，但是一定要結合本校的資源狀況，有辨別，有參考，有借鑒的學習和引進。并且要循序漸進，穩步實施。應該是先從高年級到低年級，先選修到必修，在大一和大二開設基礎英語和專業基礎理論課程，構成基礎模塊。在大二下學期到大三開設常微分方程的外語課程，跨文化方面的課程。為雙語教學提供專業知識和文化環境作鋪墊。構成過渡模塊。在前兩個基礎作好的情況下，開設常微分方程雙語課程。總之，所選課程要有代表性，銜接性和外延性。在教材方面，主張采用原版英文教材，所選教材必須在國際學術界公認先進水平，要有一定適應性，比如英，美兩國的教材都可以迅速，全面反應最新的學術成果。教學方式和方法。教學方式和方法應該多樣化。包括有教學工具的多樣化和教學的互動化。除了傳統教材，多媒體以外，還應該采用視頻剪輯材料，網絡材料，模擬實物等多種形式來為學生提供豐富的教學原始材料，這樣也容易產生更為直接的正向學習遷移。由于雙語教學的特殊性，情感過濾的效應更為明顯，不同學習者可能會產生差異較大的主觀情感體驗，因此設置互動的教學情景非常重要。比如講座，討論，辯論，小組活動。模擬游戲等教學活動都可以產生比較好的效果。

在系統中，我們必須注意環境的變化。可以考慮以立項的形式來加強常微分方程雙語課程建設，樹立精品意識，以教改立項或者課程建設立項的形式來推行常微分方程雙語教學。學校明確建設目標，加大支持力度，嚴格驗收，保證建設效果。并且要注意滾動支持。這樣才能使得常微分方程雙語教學具有一定的連貫性和一致性。

在反饋機制中，我們重點要研究教學評價機制，也是考核辦法。應該通過合適的考核方式來判斷，把平時考核和最后考試有機結合起來。平時考核采用靈活的方式，如課堂提問，小測驗，作業，主體發言等。重點考核學生的學習態度，對知識的掌握，理解等。要結合筆試，口試，開卷，閉卷等多種方式，加強對知識應用能力的考查。

除此以外，這個系統有個重要的支持平臺，就是師資狀況和學生的英語水平。沒有這兩個基本的平臺。其雙語教學將面臨嚴重的問題。要加強師資隊伍建設，采用各種形式加強對教師的培訓，比如將一些雙語教師送到國外進修，或者從條件好的院校聘請好的雙語專家來進行外語授課，講學等。同時提高雙語教師的待遇，給予一定的工作量補貼等。鼓勵年輕教師投身雙語教學課程的建設中。

總而言之，常微分方程雙語教學系統必須要結合我校的實際情況來構建，而影響系統的因素以及各個子系統本身都是在處于不斷變化之中的，特別是我國處于教育快速發展階段，可變量會更多也會更加復雜，技術在不斷的快速發展，相應的政策法規也會隨著形式的需要不斷完善。在對外改革開放的浪潮中，傳統的文化受到沖擊，因此系統本身就是動態變化中，要根據實際情況隨時進行調整。使系統緊緊圍繞整體總目標來協調發展。同時兼顧處理好與周圍環境的關系，系統與環境的互相影響主要依靠有效信息的反饋來爭取產生正面影響使整個系統健康協同的發展

第二篇：國際貿易專業雙語教學研究

國際貿易專業雙語教學研究

摘要:國際貿易專業推行雙語教學是順應我國高等教育與國際接軌和改革發展和培養國際化高級人才的需要。本文從國際貿易專業的性質出發，分析了該專業實施雙語教學的必要性。同時，對該專業實施雙語教學的模式、目標體系以及教學實踐環節進行探討，以期能促進國際貿易專業雙語教學工作的開展。

關鍵詞:國際貿易;雙語教學;教學方法

隨著我國對外開放日益深入, 國際貿易規模飛速發展,市場對國際貿易的從業人員提出了更高的要求。從業人員不但要熟練貿易業務, 而且還要會外語。雙語教學必須從源頭、從學校抓起。國際貿易專業開展“雙語教學”的目的不在于推進專業英文教學, 而是要培養學生成為在應用外語中更新知識、開拓視野, 在工作中更好地交流的“ 面向國際市場競爭、具備國際經營頭腦”的國際商務參與者和管理者。

自2004 年大部分開設國際貿易專業的高校多在國際貿易課程中推行雙語教學改革。在專業課程中推行雙語教學，依據專業特點，課程在學生專業知識結構中的地位與作用，具體結合課程教學大綱，設置雙語教學這種課堂組織形式的教育教學目標，從而選擇適當的教學方法與技巧，使系統的專業知識學習與學生英語語言能力提高有機結合，達到更好的教學效果，應該是可行的思路，本文結合自己的教學體會，對這一問題做初步探討。

一、國際貿易專業開展雙語教學的必要性

1.推動“雙語教學”是國際貿易專業適應我國教育教學改革的大環境的需要

2001年教育部頒發的《關于加強高等學校本科教學工作提高教學質量的意見》(教高字[2001]4號)中就提出，“本科教育要創造條件使用英語等外語進行公共課和專業課教學。對高新技術領域的生物技術、信息技術等專業,以及為適應我國加入WTO后需要的金融、貿易、法律等專業,更要先行一步,力爭3年內,外語教學課程達到所開課程的5%-10%。” 2005年1月,教育部在《關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》(教高[2005]1號)文件中再一次明確提出“要提高雙語教學課程的質量,繼續擴大雙語教學課程的數量”的要求。

2.國際貿易專業課推行雙語教學是適應WTO的要求的需要

隨著世界經濟的一體化進程的加快與世界文化的融合,要求通過提高高校國際貿易學的雙語教學,培養既有豐富專業知識,熟悉中國國情,又有較好外語水平,精通WTO規則和世界經濟的國際化的人才。從這個意義上講,國際貿易專業課雙語教學勢在必行。在國際貿易學專業推行“雙語教學”的目的不在于推進專業英文教學,其真正目的在于培養學生――未來的商務人士、創業者,應用外語在工作中交流,或應用外語在專業上學習,更新知識,自我提高能夠具備同合作伙伴、國際競爭對手溝通和對抗的能力,真正成為“面向國際市場競爭、具備國際經營頭腦”的國際商務參與者和管理者。上述人才培養目標的實現,離不開與國際先進教學模式的接軌,離不開對西方先進管理思想與方法的研究和借鑒,更離不開英語這一國際貿易通用語言的運用和英語思維能力的培養。

二、國際貿易實務開展雙語教學的主要模式

國際貿易實務的教學內容具有國際性, 其教學目標具有外向性的特點。國際貿易實務教學目標的涉外性和教學內容的國際性,決定了該課程進行雙語教學的必要性。同時,國際貿易實務雙語教學不僅是貿易全球化發展趨勢的必然要求, 而且也是培養國際性、復合型經濟人才的需要。具體而言,在實踐中, 開展國際貿易實務存在三種模式。

1.簡單滲透型

在國際貿易教學中以中文授課為主, 用英語講授一些國際貿易術語, 并穿插使用一些常規的課堂用語, 學生的考試采用中文形式。這種模式對教師的英語水平要求不高, 適合英語基礎和接受能力相對薄弱的學生。從教學效果上看, 學生容易形成系統的以中文為媒介的知識體系,而英文掌握的只是零散的一些專業詞匯。雙語教學的最高目標是在專業文獻的使用上、專業實務具體操作上能夠做到雙語自由轉換。這種雙語教學模式由于中英兩種語言的比重十分不平衡,教學過程中英文信息量不足,所培養的學生就其專業的英文知識而言十分有限, 很難達到雙語教學的真正目標要求。這顯然是簡單滲透型的雙語教學模式的不足之處。

2.過渡型(混合型)

在雙語教學中以英語為主,采用英語板書和原版教材, 在英語授課的同時輔以中文解釋和說明,學生的作業、考試用英語出題,但用中文回答。這是目前我國國際貿易雙語教學中采用最多的一種模式,穿插過渡型雙語教學模式的優點在于雙語的比重趨向均衡,采用這種教學模式與上種模式相比,教學過程中的英語信息量有了明顯增加,但是對教師和學生要求相對提高了,特別是學生必須具備較高的英文水平,否則很難感知英文教材,更難聽懂英文講授。

3.浸入型(全英語型)

在雙語教學中基本上使用英語,采用原版專業教材,課堂板書用英文,學生的作業、考試用英文出題, 學生答題一般用英語。這種模式的特點是對教師和學生的外文水平都有較高的要求。

以上三種方式各有所長。浸沒式雙語教學讓學生有一個很好的語言環境, 因此教學效果較好, 但是對老師和學生的要求都比較高, 尤其是語言環境的創造有諸多困難。過渡式雙語教學將第二語言逐步引入教學全過程維持式雙語教學則是將第二語言作為教學語言的同時, 繼續用母語來維持學生理解的一種的教學模式, 這兩種模式比較適合雙語教學的起始階段, 但母語與非母語的比重難以把握。在我們的教學實踐中, 主要采用以英語浸沒式教學法為主, 輔以參與法的教學模式。

三、國際貿易專業雙語教學的目標體系

雙語教學的目標體系是國際貿易專業教學目標的重要組成部分, 它包括雙語教學的課程體系、雙語教學的能力體系兩大部分。雙語教學的課程體系包括國貿專業知識、國貿專業英語素養兩部分。雙語教學的能力體系包括英語應用能力和社會適應能力兩部分。

1.國際貿易專業雙語教學的總目標

通過雙語教學, 不僅要求學生掌握專業知識和英語技能, 更要重視學生對專業知識與英語技能的應用。通過本專業的學習, 學生將提高專業知識水平, 加深對國際貿易業務的理解；學會運用外語技能, 增強學生外貿業務的實踐能力和創新能力；增強學生人際交往技能和團隊意識；樹立學生的自信心, 激發學生的潛能, 增強其就業競爭能力。

2.國際貿易專業雙語教學課程目標

雙語教學課程目標是雙語教學目標體系的重要組成部分, 包括國貿專業知識、國貿專業英語素養兩大部分, 它涵蓋了國際貿易專業學生必修的全部專業知識課程。在雙語教學安排上從兩大塊來完成這兩部分的教學任務, 一部分國貿專業知識的中文講授包含了五大主干課程, 另一部分國貿專業英語素養的雙語講授包含了四大主干課程。

雙語教學課程的目標分類方法有利于教師實施課程標準, 使整個課程目標落到實處。雙語教學的實施是在國貿專業知識掌握的基礎上來開展的, 學生在學習相關專業知識的基礎上進行國貿實務的雙語學習, 將有助于學生的理解, 減少許多國貿專業詞匯帶來的學習障礙。

雙語教學課程體系目標兩大部分是互相聯系的整體,每個部分各有側重。國貿專業知識目標要求學生熟練掌握貿易理論、專業國貿知識和貿易慣例, 培養學生全球貿易觀念, 掌握基本的國際貿易技能和方法。

3.國際貿易專業雙語教學能力目標

雙語教學能力體系目標主要指學生通過雙語的學習所獲得的用英語處理國貿實務的技能, 它包括英語應用能力和社會適應能力兩大部分。實現雙語教學能力體系目標, 一方面可通過校內實驗室模擬國貿實務操作環境的測評、模擬國貿場景交易的測評、單證制作及審核測試、函電寫作測試等來反映學生雙語學習所獲得的能力水平；另一方面也可通過校外的實訓實習基地參與國貿實際業務各環節的實踐來測評學生的社會適應能力。

四、國際貿易專業課堂雙語教學的探討

1.在教學組織中貫徹教育目標

涉外經濟活動人才經常從事國際經濟業務，有更多的時間和機會接觸英語國家的思想觀念，行為方式等。我門常常把培養國際性人才作為國際貿易專業人才培養的高境界，這是因為我們深知，在經濟全球化日益形成的今天，以開放的心態面向世界的重要性。因此，在雙語課教學中，我們應該首先樹立學生“民族性最鮮明的，也最富有國際性”的觀念，把我們國家處理國際經濟、外交關系的基本原則貫穿于教學中，講清楚社會、經濟、文化進步中的開放與保持民族意識，民族認同感，民族自尊、自豪的關系，使我們的專業教育目標通過教學實現。

2.正確設立課堂教學目標，以專業知識為主線組織英文書面信息呈現，以母語為主，闡釋復雜深奧觀點

我們知道，課堂教學是實現課程教育教學目標的一個環節。專業課的雙語教學不同于大學英語等公共英語課教學，語言只是工具。依據課程教學大綱，每一次課堂教學時間內，基本教學目標是掌握系統的專業知識，而不是形成英語的聽說讀寫譯等語言能力。為此，宜采用英文呈現有關專業知識的書面信息。

3.注意調動學生的積極性，破除學生害怕出錯、不敢自由表達的畏懼心理，樹立學生表達思想的信心

在第二語言不熟練，或者沒有經常性使用時，每要表達一定意思，總會出現先出考慮語法對不對的現象，這樣反而妨礙了思想的表達。為此，課堂上要鼓勵學生大膽開口，不怕出錯，凡不涉及基本概念，基本理論思想被曲解，就不糾正學生，盡量避免使用試錯、負強化等教學手段，而是通過正強化，總結等方式來傳達正確信息。

4.嚴格使用學習評估方法

蘭伯特(Lambert)的態度/動機模式(attitude/motivation model)認為，在雙語學習方面，性向和態度是兩個重要的、相對獨立的影響因素；雙語學習不僅需要某種認知能力，而且需要一種積極的態度；態度關系到動機。因此，雙語能力基于性向、態度、動機的程度以及態度與動機之間的關系。依據這種理論，雙語教學應該采用英文試題進行考試，這樣不僅能夠使學生明確學習要求的嚴肅性，而且可以利用學生重視考試的心理，強化課堂學習的直接動機。

課堂教學組織技巧是教師使有組織的教育形式在明確的教學目標，有重點的內容組織，系統并賦予連貫性的師生互動下收到實際效果的主要途徑，也是教師“教育藝術”的展示平臺，各個教師可能有自己的獨特做法和經驗，但是，從整體上把握專業培養目標，把其作為處理教學中語言能力形成與系統專業知識講述的大原則，有助于組織起知識傳授與技能形成相融合的課堂教學環境。

參考文獻：

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第三篇：系統工程學雙語教學研究與實踐論文

摘要：雙語教學是當前高等院校教育教學改革的一個熱點問題。文章針對系統工程課程內容，進行了該課程雙語教學研究。首先分析該課程在雙語教學中遇到的問題，然后提出相應的對策和建議，最后，對該課程新的教學模式進行探索。

關鍵詞：系統工程；雙語教學；教學模式

雙語教學是時代發展的需要，也是改革開放的必然結果。為了適應經濟全球化、世界一體化的潮流，必須實施雙語教學，培養雙語人才，使他們成為受社會歡迎的復合型人才。只有這樣，才有利于學生吸收國外先進的知識和技術，才能在國際交流與合作中，維護自己的利益，平等地參與國際事務。

雙語教學的英文是“Bilingual Education”，根據英國的《朗文語言教學及應用語言學辭典》(Longman Dictionary of languageTeaching&Applied Linguistics)對“雙語教學”的定義是：“The useDf a second or foreign language in school for the teaching ofcontent suhject，”即在學校里使用第二語言或外語進行學科教學的運作方式。

“雙語教學”是指學習的引導者與學習者圍繞某一門非語言學科的知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，遵循一定的學科標準，在思維水平上運用兩種語言媒介，通過傳授、仿效與內化等過程而進行的學校活動。因此，雙語教學只是一種形式，它的實質是研究型教學模式，旨在全面培養學生的自學和交際能力，目的是在不影響甚至促進專業學習和認知發展的同時，提高單語學習者運用目標語的水平，尤其是認知學術語言的能力。

系統工程學是一門跨學科的工程技術，為現代科學技術的發展提供了新思路和新方法，是在較為系統地介紹系統工程的基本理論、基本方法，培養學生的系統觀念，培養學生進行實際系統建模、分析和綜合的能力。為了讓學生能夠更好地了解和掌握系統工程技術，能夠直接查閱英文參考文獻，有必要采用雙語教學教授本門課程。從而培養學生利用英語學習專業知識和進行技術交流的能力，使學生在學習專業知識的同時，能夠自然地提高英語語言應用的能力，有利于學生學業深造和就業，同時促進本門課程雙語教學的發展。雙語教學中存在的問題

1.1 對系統工程學雙語教學的意義理解不到位

高校最初開展雙語教學只是為了配合高等院校的教學改革，缺乏主動性和積極性。教師對雙語教學的概念理解不準確。認為只要在課堂上說了外語就算是雙語教學，在授課內容上也只停留在語言的改革上。而沒有在教學模式上跟進，其效果是學生多記了幾個專業方面的英語單詞，并未達到雙語教學的真正目的。

1.2 教師的專業知識和“雙語”能力亟需提升

教師素質和雙語能力是制約雙語教學的瓶頸問題，也是開展雙語教學的先決條件。系統工程學雙語教學對教師的要求更高，不僅要求專業知識精深，還要求用英語表述專業知識、解析專業詞匯的能力要強。

1.3 學生的接受能力有限

目前我國的大學英語趨向于應試教育，忽視對聽說能力的培養，不利于培養真實環境中學生的口頭交際能力，導致學生實際應用水平的降低，從而影響學生對專業知識的掌握程度和學習進度。

1.4 缺乏雙語教學的優秀教材

目前，雙語教學教材的選擇十分有限，本門課英文原版教材匱乏，不利于學生對相關的專業術語，相關的英語表達的掌握，導致學生課堂學習的難度增加。對策和建議

2.1 轉變認識

教師可以通過專業知識講座、主題班會等形式做好學生的思想工作，使他們意識到本門課程開展雙語教學的重要性與必要性。

2.2 教師素質提升

師資的培養是順利開展雙語教學的基礎。首先挑選出具有教學經驗和英文基礎好的青年教師參加由外籍教師任教的英語培訓班。強化訓練口語、聽力及寫作；其次，指派教師在國內開展雙語教學的高校間訪問與交流，取長補短，共同提高；將優秀的雙語教師送到國外進修，提高英語應用和交流的能力以及本學科最新技術、學術動態的掌握。

2.3 學生素質提升

首先，加大宣傳，調動學生學習的主動性。學校應該加強對雙語教學的宣傳，使學生明確學習目標，提高對雙語課程開設的認識，調動學生學習興趣；其次，可以先通過小班教學，積累教學經驗，樹立學習典型，讓多數學生看到雙語教學的良好效果；再次，優化雙語教學內容，新穎的雙語教學內容能夠大大激發學生們的興趣，使他們積極主動地參與到教學的實踐活動中來。

2.4 教材選用

教材的選擇可通過引進原版英文教材、在原版英文教材基礎上改編和編著自己的教材3種方式進行選擇。引進原版英文教材，價格高，解題思路與方法多有不同，內容不完全適合教學要求；改編教材既可以吸收國外先進的學科知識，又能符合教學大綱內容。逐漸向原版教材過渡，易于與國際化接軌；編著教材既需要通曉學科知識，又要熟練應用英語的專家來編著，難度較大。根據實際情況，選擇改編教材切實可行。探索新的教學模式

系統工程是一門專業課，它的雙語教學既不同于傳統的課程教學也不同于專業英語教學。既要介紹專業知識還要兼顧中英文的使用。因此，必須結合實際積極探索適宜的教學模式。

3.1 靈活的授課方式將班級的學生分成若干小組，每個小組圍繞某個主題用英語進行討論，自由發揮，廣泛交流，每個人都能得到專業英語口語鍛煉的機會。還可以對某一專業問題用英語進行分析，并形成書面報告，教師進行修改，并提出修改意見，這樣不僅培養了學生應用英語分析問題和解決問題的能力，同時也提高了學生英語書面表達的能力。靈活的雙語教學形式能夠活躍課堂氣氛，培養學生的綜合能力。

3.2 充分利用多媒體

選擇英文原版教材，自制中英文結合的多媒體課件，多媒體板書中凡是涉及到專業術語和詞匯以及部分不易理解的科技英語句式結構和主要的知識點，采用英中文對照，對于不易理解的專業術語要用母語進行注釋。教學方法上，采用循序漸進法。開始時可以采用20％英語，80％母語，語速要放慢，耐心講解，使學生盡快進入狀態，待學生逐漸適應課堂節奏和部分專業詞匯后，可提高英語授課的比例，最后達到全部用英語授課，難點用漢語補充。另外。在多媒體課件制作上，畫面要生動，師生要互動，這樣，可以使教學過程變得生動，從而調動學生學習的興趣和飽滿的學習熱情。

3.3 充分利用網絡教輔資源

充分利用本校的網絡教學平臺，建立系統工程的網絡課程。學生可以通過學號登錄本門課程，自學課堂上沒有完全消化的教學內容，教師還可以針對部分章節，收集和整理了一些課外讀物幫助學生開擴視野；通過相關網頁鏈接幫助學生快速準確的查閱資料；學生可以通過學習論壇、習題庫、聊天室、電子郵件反映教學中的問題，與教師交流，形成互動式教學。

3.4 教學考核改革

課程考核由平時成績和課程論文成績構成。平時成績包括出勤、課堂作業和參與討論問題情況；期末考試時要求學生獨立下載并翻譯一篇與系統工程相關英文文章作為課程論文成績。通過口頭和書面能力的鍛煉，促進學生真正掌握原理，同時提高專業英語聽、說、讀、寫能力。結束語

系統工程的雙語教學的實踐還在探索中，雖然摸索出一些實用的方法，取得了一定的教學效果。在今后的教學中仍要不斷提高教師的外語和專業水平、多媒體課件內容體系與多元化教學的相容性以及網絡教學的多層次化，并且，不斷將最新的科研成果和發展動態補充到教學內容中。

第四篇：微分方程教案

高等數學教案

第七章

微分方程

教學目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；

教學難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；

3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。

高等數學教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數學教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?

高等數學教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數的導數?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數學教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變為

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程

高等數學教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數學教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運

高等數學教案

動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數學教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

高等數學教案

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變為

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或寫成ln|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?

解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數學教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?

例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數學教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2

高等數學教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數學教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數學教案

y?C(x?1)2?

用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數學教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數學教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數學教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?

解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數學教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質點的運動規律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數學教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數學教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?

設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?

又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數學教案

數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?

設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或寫成

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結構

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?

齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數學教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數的線性相關與線性無關?

設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?

判別兩個函數線性相關性的方法?

對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的?

定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?

高等數學教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?

二階非齊次線性方程解的結構?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?

定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數學教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?

如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數學教案

求出?

特征方程的根與通解的關系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?

這是因為?

函數y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?

函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數學教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數學教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?

二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應?

單實根r 對應于一項? Cerx ?

一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數學教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程

二階常系數非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?

二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?

高等數學教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?b0x?b1?

高等數學教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數學教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程 12121212高等數學教案

y???py??qy?f(x)的特解可設為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數學教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第五篇：高職院校蒙漢雙語教育教學研究論文

摘要：內蒙古地區的少數民族雙語教育應該蒙漢語并重，以蒙漢兼通為教育目的，在教學中，注重蒙漢互通，相互轉換能力的培養。本文簡要闡述了國外的雙語教育模式，并與自治區少數民族雙語教育模式進行對比與分析，從而闡明了我區少數民族雙語教育應該采取的教育模式。

關鍵詞：教育模式；雙語教育；雙語教學；互通式教材

一、引言

我國的內蒙古地區屬于少數民族地區，這些地區大多擁有自己的語言。但為了使得各民族能夠更加融合，團結奮進，也必須在少數民族的語言教育中加入漢語教育，使得兩種語言共同發展，學生既具備民族語言的能力，也擁有漢語能力，這才有利于學生的發展。所以，必須要實施雙語教育，促使民族和民族之間更好的進行溝通、交流。

二、關于少數民族雙語教育的模式

這里所說的雙語教育，指的是促使學生既了解第一語言，也會運用第二語言，在這樣的形式下來接受教育。分析其教學意義，雙語教學所涵蓋的范圍，比雙語教育更加廣泛，這是實現雙語教育的最好方式。此外，其還包括了雙語教學方法，以及非雙語教學方法。通過調查后發現，采取這樣的形式所教育出來的學生，比起過渡式方法所教育出來的學生，語言運用能夠更強。然而這樣也有一個不足之處，那就是學生的母語能力會受到一定的限制，甚至不能進一步的發展。所以，該種教育模式不利于內蒙古地區的學生。

三、針對內蒙古地區的雙語教學問題進行分析

第一，雙語教學應注重、加強基礎教育。內蒙古地區的語言教育中，關于大專院校的教學是重點。因為學生在大學時期，屬于素質教育的關鍵時期。通過實驗后發現，在學生的幼兒時期，便要開始實施雙語方面的教育。到了中學的時候，更是對學生進行塑造的重點時期。這個時期，必須要樹立學生的民族觀念和愛國思想，因此雙語教學是非常重要的。所以，教學工作者必須改變陳舊的思想，將重點放在中學時期和小學時期，制定出科學合理的雙語教學計劃，這才有利于學生的發展。中學和小學時期打好了基礎，才能促使雙語教學起到一定的效果。若是到了大學再實施雙語教育，那么可能會起到適得其反的效果，甚至引發學生的反感。正因為這樣，所以在筆者看來，要使得大專院校的雙語教育更好的開展和進行，就必須在中學和小學時期便打好基礎。第二，科學合理的選擇和使用教材。在進行雙語教學的時候，教材是非常關鍵的一個部分，同時也是教學的基礎。因此必須選擇好的教材，使得教學質量也得到提高。在筆者看來，蒙古地區的雙語教育教材在大學這個階段，可以盡量使用關于該民族的優秀語言材料，使學生更好的了解民族語言的特色和風格，另外也要在其中加入少量的漢語材料，漢語和蒙語的結合，幫助學生更好的了解和學習語言，形成自豪的民族觀念和愛國思想，為將來的學習奠定堅實的基礎。蒙古地區大中院校的雙語教材，開始必須要使得富有特色的蒙語占大多數，之后逐漸轉變為漢語占大多數，以及兩種語言的譯文占相同比例。在這個過程里，也需要增加一些語法、語音還有翻譯方面的內容和知識，促使漢語和蒙語能夠形成良好的互動和參照。不僅如此，也必須考慮到學生所學習的專業，在其中加入關于專業的內容。需要注意的是，教學大綱和教材的參考書都需要依照教材來設定，使得教學能夠獲得相應的指導。所編撰和使用的教材，也必須得到相關專家和權威人士的審核。第三，教學的過程中采用科技手段。如今，隨著社會的發展，科學技術也在不斷進步。涌現出了很多先進技術和設備，比如網絡技術、視聽技術、多媒體技術等等。很多地區在教育的時候，都采用了這些先進設備。所以，在內蒙古地區進行雙語教育的時候，也要用到這些先進技術和設備。使得語言教育能夠更好的進行，同時也使得課堂效率得到提高。另外，在西部貧困地區使用這些設備和儀器，能夠減少經濟發達地區和貧困地區之間在教育方面的差異，為當地學生的學習提供更好的條件和環境。第四，構建科學合理的考試制度。內蒙古地區在對學生進行雙語教育的時候，必須采取措施提高當地教師的能力和素質，使其具備一定的語言能力。大部分教育工作者研究的重點都在于如何提高偏遠地區教師的語言能力、教學能力。在筆者看來，除了必須要對教師進行培訓、改進教學方式以外，另外也需要設置科學合理的考試制度，使得雙語教師接受一定的考核。考核的內容和形式由權威人士和教育工作者來制定。而且考試的結果還要和教師的薪資待遇進行掛鉤，這才有利于少數民族的雙語教學更好的開展和進行，提高教師的雙語應用能力、教學能力。

四、結束語

綜上所述，內蒙古少數民族地區的語言教學非常復雜，涉及的面也廣，必須要長期開展和進行。因此，教師必須要付出一定的努力，同時政府也要進行扶持，這樣才有利于當地語言教育的進行和實施。同時，開展雙語教學，也能夠促進民族和民族之間更好的進行溝通和交流，為社會的穩定以及民族的團結奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]王斌華.雙語教育與雙語教學[M].上海教育出版社,2008.[2]趙慧.雙語教學縱橫談[M].天津教育出版社,2007.[3]劉紅,熊麗萍.雙語教學現狀調查與對策思考[J].江西教育科研.2006(4).