第一篇：高等數學極限方法總結

摘要：數列極限的求法一直是數列中一個比較重要的問題，本文通過歸納和總結，從不同 的方面羅列了它的幾種求法.關鍵詞：高等數學、數列極限、定義、洛比達法則、英文題目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等數學第二章在整個高等數學的學習中都占有相當重要的地位，特別是極限，原因就是后續章節本質上都是極限。一個經典的形容就是假如高等數學是棵樹木的話，那么極限就是它的根，函數就是它的皮。樹沒有根，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見極限的重要性。

極限一直是數學分析中的一個重點內容，而對數列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結，我們羅列出一些常用的求法。求數列極限的最基本的方法 還是利用數列極限的定義，也要注意運用兩個重要極限，其中，可以利用等量代 換,展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數列，也可以利用數列極限的 四則運算法則計算。夾逼性定理和單調有界原理是很重要的定理，在求的時候要 重點注意運用。泰勒公式、洛必達法則、黎曼引理是針對某些特殊的數列而言的。還有一些比較常 用的方法，在本文中都一一列舉了。

二.研究問題及成果

一、極限定義、運算法則和一些結果

1．定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述）。

說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：

blim(3x?1)?5lim?0(a,b為常數且a?0)；；x?2n??an?0，當|q|?1時limqn??；等等 n??

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B當|q|?1時?不存在，說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。

3．兩個重要極限

（1）limx?0sinx?x 2

(1?1)x?e

(1?x)?e ； lim（2）limxx??x?01x說明：(1)不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式.（2）一定注意兩個重要極限成立的條件。一定注意兩個重要極限 成立的條件。

sin3x3lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；等等。例如：x?0xx??x?03x1x4．洛比達法則

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。

定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價

關系成立，例如：當x?0時，e3x2?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當limx?x0f1(x)f(x)lim存在時，x?x也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)x?x0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

x?x?x00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比達法則

定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導，且g(x)的導數不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； g?(x)f(x)f?(x)=lim。g(x)g?(x)f(x)f?(x)il

則極限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續性

定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義去間內的一點，則有limf(x)?f(x0)。

x?x000??7．極限存在準則

定理7（準則1）單調有界數列必有極限。

定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxn?a。

n??n??

二、求極限方法舉例

1． 利用函數的連續性（定理6）求極限 x2e 例4 limx?2解：因為x0?2是函數f(x)?xe的一個連續點，所以

原式=22e?4e。2． 利用兩個重要極限求極限 例5 limx?01?cosx 3x2121x12xxx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達法則。

(1?3sinx)例6 limx?0(1?3sinx)解：原式=limx?01?6sinx??3sinxx2x?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinxx?e?6。

(例7 limn??n?2n)n?1n?1?3nn?1?3?3?(1?)解：原式=limn??n?1?3?3n?1?lim[(1?)]?e?3。n??n?1n?1?3n注：兩個重要的極限分別為 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，對第一個而言是 x→0 x →∞ x xX 趨近0 時候的 sinx 與 x 比值。第2 個實際上如果 x 趨近無窮大和無窮小都有 對有對應的形式。當底數是 1 的時候要特別注意可能是用第2 個重要極限。3． 利用定理2求極限 x2sin 例8 limx?01x解：原式=0（定理2的結果）。4． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限

這種方法的理論基礎主要包括：(1)有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數.(4)等價無窮小代換(當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替).設?~??、?~??且lim[3]

????lim；則：?與?是等價無窮小的充分必要條件為：??????0(?)．

常用等價無窮小：當變量x?0時，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?x)~x,1?cosx~12x,21?x?1?x~x,(1?x)??1~?x．

例1 求limx?01?cosx．

xarctanx解 ?x?0時,1?cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式?lim22?

x?0x2例2 求lim(1?x)?1．

x?0cosx?1123123解 ?x?0時,(1?x)?1~121x,1?cosx~x2,因此: 3212x23??． 原式?limx?0123x23例3 求 limx?01?3?1．

tanx1x1133解 x?0時,1?x?1~x,tanx~x，故:原式=lim?．

x?0x33 例4 求limx?0?ex?1?22xln(1?x)．

解 x?0時,ex?1~x,ln(1?x)~x,故: x21原式?lim2?．

x?02x2例5 試確定常數a與n，使得當x?0時，ax與ln(1?x3)?x3為等價無窮小．

n?3x22?3x333ln(1?x)?x?3x51?x?1 而左邊lim解 lim，?limn?1n?1x?0x?0x?0axnnaxnax?3?31?1??1?a??． 故 n?1?5即n?6 ?limx?06a6a25.利用洛比達法則求極限

利用這一法則的前提是：函數的導數要存在；為0比0型或者

?型等未定式類型.?洛必達法則分為3種情況：（1）0比0，無窮比無窮的時候直接用.（2）0乘以無窮，無窮減去無窮（無窮大與無窮小成倒數關系時）通常無窮大都寫成無窮小的倒數形式,通項之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方，對于（指數,冪函數）形式的方法主要是取指數的方法，這樣就能把冪函數指數位置的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了.洛必達法則中還有一個定理：當x?a時，函數f(x)及F(x)都趨于0；在點a的某去心鄰域內，f(x)﹑F(x)的導數都存在且F(x)的導數不等于0；limx?af?(x)存在，那么F?(x)limx?af(x)f?(x)[1]?lim.x?aF(x)F?(x)求極限有很多種方法如洛必達法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強行代入，先定型后定法.[3]例12 limx?01?cosx（例4）3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）6x6解：原式=limx?0 cos?x例13 limx?12 x?1??2sin?x解：原式=limx?1例14 limx?02???。

12x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續用洛比達法則，最后用2x?06x63x解：原式=limx?0重要極限）例15 limx?0解： sinx?xcosx

x2sinx原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2

xsinx1?lim?2x?033x11lim[?] 例18 x?0xln(1?x)11lim[解：錯誤解法：原式=x?0?]?0。

xx正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx?? x?2sinx

3x?cosx8

lim解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：x??001?2cosx，3?sinx此極限

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同時除以x）x??cosx3?x1?

=（利用定理1和定理2）

注：使用羅比達法則必須滿足使用條件，要注意分母不能為零，導數存在。羅比達法則分為三種情況（1）0 比0 和無窮比無窮時候直接分子分母求導；（2）0 乘以無窮，無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數的關系）所以無窮大都 寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的無窮次方，無窮的 0 次方，對于（指數冪數）方程，方法主要是取指數還取 對數的方法，這 樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成 0 與無窮的形式了，（這就是為什么只有 3 種形式的原因，）6.利用極限存在準則求極限 13xn 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??xn解：易證：數列{xn}單調遞增，且有界（0

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

xn?2。所以 limn??(例21 limn??1n?1n2?1n?2?12???1n?n1n?222)

1n?n2解： 易見：因為 limn??n?n2n?12?????nn?12

nn?n2?1，limn??nn?1?2?1

1???1n?n2(所以由準則2得：limn??7.直接使用求導的定義求極限

1n?12n?22)?1。

當題目中告訴你F(0)?0時，F(x)的導數等于0的時候，就是暗示你一定要用導數定義：（1）設函數y?f?x?在點x0的某個領域內有定義，當自變量x在x0處取得增量?x（點?x?x0仍在該領域內）時，相應的函數取得增量?y?f??x?x0??f?x0?；如果?y與?x之比?x?0時的極限存在，則稱函數y?f?x?在點x0處可導，并稱這個極限為函數y?f?x?在點x0處可導，并稱這個極限為函數y?f?x?在點x0處的導數，記作f??x0?，即

f??x0??limf??x?x0??f?x0??y?lim；

?x?0?x?x?0?x（2）在某點處可導的充分必要條件是左右導數都存在且相等.例36 f?x???x?1??x?e??x???，求f''???.解 f??? =limx??f?x??f????lim?x?1??x?e???x?1??x?e?.x??x??'例37 若函數f?x?有連續二階導數且f?0?=0，f?0?=1，f''?0?=-2，f?x??x??則 limx?0x2?.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 f?x??xf'?x??11f'?x??f'?0?1''?f?0???1.?lim?lim解 lim2x?0x?0x?02x2x2x?0所以，答案為D.10 例38 若f(x)?x(x?1)(x?2)?.....(x?2010)，求f?(0).f(x)?f(0)

x?0xx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)?lim

x?0x解 f?(0)?lim ?limx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)

x?0 ?2010!.8.求數列極限的時候可以將其轉化為定積分[1]

例33 已知f?x??1?x ,在區間?0,1?上求lim2??0?f????x（其中將?0,1?分為n個小

iii?1n區間?xi?1,xi?,xi?1??i?xi，?為?xi中的最大值）.解 由已知得: lim??0?f??i??xi??f?x?dx

i?10n1 ??101?x2?dx

??4.（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉化為定積分,求函數f?x?在區間?0,1?上的面積）.在有的極限的計算中，需要利用到如下的一些結論、概念和方法：

（1）定積分中值定理：如果函數f?x?在積分區間?a,b?上連續，則在?a,b?上至少有一個點，使下列公式成立：?f?x?dx???x??b?a? ?a???b?ab；

（2）設函數f?x?在區間?a,???上連續，取t?a，如果極限 lim此極限為函數f?x?在無窮區間?a,???上的反常積分，記作

t???a?f?x?dx存在，則稱

t???0f(x)dx，即???af(x)dx?lim?f(x)dx；

t???at設f?x?在區間?a,b?上連續且f?x??0，求以曲線y?f?x?為曲線，底為?a,b?的曲邊梯形的面積A，把這個面積A表示為定積分：A=?f?x?dx 的步驟是：

ab首先，用任意一組的點把區間?a,b?分成長度為?xi(i?1,2,...n)的n個小區間，相應地把曲 線梯形分成n個窄曲邊梯形，第i個窄曲邊梯形的面積設為?Ai，于是有A?其次，計算?Ai的近似值 ?Ai?f然后，求和，得A的近似值 A?n??A；

ii?1n??i??xi?xi?1??i?xi?；

nii?f????x；

i?1最后，求極限，得A?lim??0?f(?i)?xi??f(x)dx.i?1ax02xb?x?t?f?t?dt???..例34 設函數f?x?連續，且f?0??0，求極限 limx?f?x?t?dtx?00解 limx?0?0?x?t?f?t?dtx?f?x?t?dt0xx =limx?0?x0xf?t?dt??tf?t?dt0xx?f?u?du0x，f?t?dt+xf?x??xf?x??由洛必達得：lim?f?u?du?xf?x?，0x?0x0x?其中f?x?t?dx,令u?x?t,得?f?u?du,0x?

再由積分中值定理得:limx?0xf???

?在0到x之間??xf????xf?x??limx?0f???f?0?1??f????f?x?f?0??f?0?2dx???1?x2.??.例35 計算反常積分: 解 ??dx????arctanx?(?)??.limarctanx?limarctanx ===?????1?x2??x???x?-?229.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限

利用如下的極限運算法則來求極限：(1)如果limf?x??A,limg?x??B，那么lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B

lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??A?B

若又有B?0，則limf(x)limf(xg(x)?)limg(x)?AB（2）如果limf(x)存在，而c為常數，則lim[cf(x)]?climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n為正整數，則lim[f(x)]n?[limf(x)]n（4）如果?(x)??(x)，而lim?(x)?a,lim?(x)?b，則a?b（5）設有數列?xn?和?yn?，如果limn???xn?yn??A?B;

那么，limn???xn?yn??A?B;limn??xnyn?A?B

當yn?0?n?1,2,...?且b?0時，limxnAn??y? nB 例1 lim3x?1?2x?1x?1

解：原式=(3x?1)2?22lim3x?33x?1(x?1)(3x?1?2)?limx?1(x?1)(3x?1?2)?4。注：本題也可以用洛比達法則。

例2 limn??n(n?2?n?1)n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以n解：原式=limn??n?2?n?1?lim3n??1?2?32n?1?1n例3 lim(?1)n?3nn??2n?3n(?1)n?1解：原式上下同除以?3nlim3n???1。(23)n?1三，極限運算思維的培養

。極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

四.結束語

上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于平時練習中不經常使用，這里不作一一介紹了。

[參 考 文 獻] [1] 同濟大學應用數學系 高等數學 1997

[2] 吉米多維奇.數學分析[M].濟南:山東科技文獻出版社1995.[3] 陳紀修,等.數學分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同濟大學應用數學組.高等數學[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期張宏達:高

等數學中求極限的常用方法

41? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net

第二篇：高等數學極限總結

我的高等數學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數學 學我所學，想我所想

1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。

我的高等數學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

我的高等數學 學我所學，想我所想

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數消指數。簡單來說，“ ”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第三篇：高等數學極限總結

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。

【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。

此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特

別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。

（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：

這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式。

”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公第二種是取對數消指數。簡單來說，“ ”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第四篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯系本人。）

第五篇：高等數學B上冊 求極限方法總結

鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。

出自----荀子----《勸學》

求極限的幾種常用方法

1．約去零因子求極限

例1：求極限limx?1x4?1x?1

【說明】x?1表明x與1無限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

?x?1??x?1??x2?1?2【解】lim=lim?x?1??x?1?=4 x?1x?1x?1

2．分子分母同除求極限

例2：求極限limx??x3?x2 33x?1

?型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。? ?

11?32x?x?1 【解】lim?limx??3x3?1x??13?33x【說明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxn?an?1xn?1?...?a0??m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限limx???x?3?2

2x2?1? ?【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。【解】limx???x?3?x2?1??limx???x2?3?x2?1?x2?3?x2?1x2?3?x2?1?

?lim

2x?3?x?1

x???

?0

例4：求極限lim

x?0

?tanx??sinx

x3

【解】lim

x?0

?tanx??sinxtanx?sinx

= limx?0x3x3?tanx??sinx

=lim

x?0

1tanx?sinx1tanx?sinx1

=limlim?33x?0x?0x2x4?tanx??sinx

【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵

4.應用兩個重要極限求極限

兩個重要的極限（1）lim

sinx

?1

x?0x

x

n

?1??1?

（2）lim?1???lim?1???lim?1?x?x?e

x??x??x?0

?x??n?

在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可

以利用公式。

?x?1?

例5：求極限lim??

x???x?1??

【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊+

x，最后湊指數部分。x

??x?1??1???xx?2?12?2??x?1??????1?【解】lim??e2 ?=lim?1???lim??1??x???x?1x???x?1??x?1?????x????x?1?

????2??????

補：求下列函數的極限(1)lim?lim?coscos

?

n?0n??

??

?

x2

xxx??cos......cos? 22232n???

?n2?

(2)（2）lim?1?2?? m???m??

m

5.利用無窮小量的性質求極限

無窮小量的性質：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果limf?x??0，g?x?在x?0

某區間?x??,x???x,x???有界，則limf?x??g?x??0。這種方法可以處理一個函數不存

x?0

在但有界，和另一個函數的極限是零的極限的乘積的問題。

?0 x??x

【解】因為sinx?1lim

6.用等價無窮小量代換求極限

【說明】

(1)常見等價無窮小有：

當x?0時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln?1?x?~e?1，x

1?cosx~

12b

x，?1?ax??1~abx 2

(2)等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式。(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。

xln?1?x? x?01?cosx

xln?1?x?x?x

【解】lim?lim?2

x?01?cosxx?02

x2

sinx?x

例8：求極限lim

x?0tan3x

例7：lim

12x

sinx?xsinx?xcosx?1??1 【解】lim=lim?lim?limx?0tan3xx?0x?0x?03x2x33x26

?

7.利用函數的連續性求極限

這種方法適合求復合函數的極限。如果u?g?x?在點x0處連續g?x0??u0，而

f?u?在點x0處連續，那么復合函數y?f?g?x??在點x0處連續。limf?g?x??=f?g?x0??=

x?x0

??

f?limg?x??也就說，極限號lim與f可以互換順序。

x?x0

?x?x0??1?例9：求limln?1??

x??

?x??1?

【解】令y?lnu,u??1??

?x?

?1?

因為lnu在點u0?lim?1???e處連續

x??

?x??1?

所以limln?1??

x??

?x?

x

xx

x

??1?x?

=ln?lim?1???

x?????x???

=lne

=1

8．用洛必達法則求極限

洛必達法則只能對

0?

或型才可直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，0?

f'?x?f?x?等于A時，那么lim存g'xgx然后再應用洛必達法則。洛必達法則只說明當也存在lim

在且等于A。如果lim

f'?x?f?x?不存在時，并不能斷定lim也不存在，這是不能用洛必達

g'xgxf?x?。

gx法則的，而須用其他方法討論lim

lncos2x?ln1?sin2x

例10：求極限lim

x?0x2lncos2x?ln1?sin2x

【解】lim 2x?0x

??

??

?2sin2xsin2x

?2

=limx?02x

=lim=3

sin2x??21?

???? 2x?02x?cos2x1?sinx?

9.用對數恒等式求limf?x?g?x?極限

例11：求極限lim?1?ln?1?x?

x?0

2x

【解】lim?1?ln?1?x?=lime

x?0

x?0

?

2x2

ln?1?ln?1?x??x

?e

x?0

lim

2ln?1?ln?1?x??

x

=e

x?0

lim

2ln?1?x?x

?e2

【注】對于1型未定義式，也可以用公式limf?x?因為

limf?x?

g?x?

g?x?

?1??e

?

lim?f?x??1?g?x?

?elimg?x?ln?1?f?x??1??elim?f?x??1?g?x?

10.利用兩個準則求極限

（1）夾逼準則：若一正數N。當n>N時，有xn?yn?zn且limxn?limzn?a，則有

x??

x??

limyn?a.x??

利用夾逼準則求極限關鍵在于從xn的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn。例12：xn?

1n?1

?

1n?2

?......1n?n

求xn的極限。

【解】因為xn單調遞減，所以存在最大項和最小項xn?

1n?n1n?1

?

1n?n1n?1

?......?

1n?n1n?1

?

nn?nnn?1

xn?

??......??

nn?n

n

?xn?

nn?1n

又因為lim

x??

n?n

?lim

x??

n?1

?1

所以limxn?1

x??

（2）單調有界準則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。

利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然后根據數列的 通項遞推公式求極限。

例，證明下列極限存在，并求其極限。y1?

a,y2?a?a,y3?a?a?a,......,yn?a?a?a?...?a

證明：從這個數列看yn顯然是增加的。用歸納法可證。又因為y2?

a?y1,y3?a?y2,......,yn?a?yn?1

所以得yn?a?yn?1.因為前面證明yn是單調增加的。兩端除以yn得yn?

a?1 yn

因為yn?y1?

a,則

aa

?a，從而?1?a?1 ynyn

a?yn?a?1

即yn是有界的。根據定理yn有極限且極限唯一。

令limyn?l則limy?lim?yn?1?a?

n??n??n??

則l?l?a，因為yn>0.解方程得l?

1?4a?1

所以limyn?l?

n??

1?4a?1

本文對極限的求法作了一下小結歸納了幾種求極限的基本方法。對一般的極限用上面的方法可以求出來，復雜一點的可能要綜合幾種方法才能求出，關鍵是“運用之妙，存孚一心”。