第一篇：高等數學極限習題500道匯總

當x?x0時，設?1＝o(?)，?1?o(?)且limx?x0?存在，? ???1?求證：lim?lim．x?x0???x?x0?1 21若當x?0時，?(x)?(1?ax)3?1與?(x)?cosx?1是等價無窮小，則a?1313A．　B．　C．?　D．?． 2222 答（）當x?0時，下述無窮小中最高階的是A　x2　B1　?cosx　C　1?x2?1　D　x?sinx 答（）求極限lim(n? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nnsin(?n2?2)．n??n??n???11)ln(1?)． 2nlimx?0e x2?1?x2的值?_____________ 3xsinxan?1?an2 設有數列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及liman．n??n??n?? 設x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?2xnxn?1，xn?xn?1 1，求limyn及limxn．n??n??xn(1?2x)sinx?cosx求極限lim之值． x?0x2 設limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)v(x)?AB．x?x0 lim?ln(1?x)?x?11(x?1)2? A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(1?2x)x?0? A．1 B．e2 C．e D．2 答（）設u(x)?1?xsinf(u)?1f?u(x)??1求：lim及limu(x)之值，并討論lim的結果．u?1x?0x?0u?1u(x)?11.f(u)?u2x x2?9lim2的值等于_____________ x?3x?x?6 ex?4e?xlimx?x??3e?2e?x 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2?x)3(3?x)5lim?x??(6?x)8 1A.?1　B.1　C.5　D.不存在2?33答：（）(1?2x)10(1?3x)20xx3?3x?2lim?____________ limx的值等于____________ 求極限lim3 ．x??x?0e?e?x(1?6x2)15x?1x?x2?x?11?6x?41?2x求lim之值． x?0x(x?5)3已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問limv(x)?？為什么？x?x0 關于極限limx?053?e1x結論是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）設limf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是x?x0x?x0f(x)?0x?x0g(x)g(x)B.lim??x?x0f(x)C.limf(x)g(x)??A.limx?x0 D.limf(x)g(x)??x?x0 答（）f(x)?excosx，問當x???時，f(x)是不是無窮大量． limtanx?arctanx?01?x??　D.? 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)lim?x??x? 2 答（）A.0 B.? C.1 D.limx??2x?12x?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在? 答（）設f(x)? 32?e1x，則f(?0)?___________ limarccotx?01?x? 2 答（）A.0 B.? C.不存在.D.lima?cosx?0，則其中a?x?0ln1?xA.0 B.1 C.2 D.?3e2x?e?x?3xlim的值等于____________ 答（）x?01?cosx lim2(1?cos2x)?x?0 xA.2 B.?2 C.不存在.D.0答：（）px2?qx?5設f(x)?，其中p、q為常數．x?5問：(1)p、q各取何值時，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時，limf(x)?1．x?5(x2n?2)2?(x2n?2)2(3x2?2)3求極限lim． 求極限lim． x??(xn?1)2?(xn?1)2x??(2x3?3)2 已知limx?1x4?3?A?B(x?1)?c(x?1)2?0(x?1)2??試確定A、B、C之值． ax3?bx2?cx?d已知f(x)?，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．2x??x?1 x?x?2試確定常數a，b，c，d之值．已知limx?1(a?b)x?b3x?1?x?3?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說法是否正確？為什么？ ?(x)＂若lim?(x)?0，則limx?x0x?x0 當x?x0時，f(x)是無窮大，且limg(x)?A，x?x0證明：當x?x0時，f(x)?g(x)也為無窮大．用無窮大定義證明：limx?1 2x?1???． 用無窮大定義證明：limlnx???． x?1x?0?用無窮大定義證明：limtanx??? 用無窮大定義證明：lim?x?2?0x?1?01???． x?1 ＂當x?x0時，f(x)?A是無窮小＂是＂limx?xf(x)?A＂的：0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件 答（）若limx?xf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．0x?x0證明：limf(x)x?x)?b的充分必要條件是 0g(x limf(x)?b?g(x)x?x?0．0g(x)1用數列極限的定義證明：liman?0 用數列極限的定義證明：limann??，(其中0?a?1)．n???1用數列極限的定義證明：limn(n?2)1?52lim1?cos(sinx)2ln(1?x)的值等于___________ n??2n2?． x?02?(cosx)sinx求極限lim?1?x?0x3之值．(0?a?1)． 設limf(x)?A，試證明：x?x0對任意給定的??0，必存在正數?，使得對適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：limx?x0x?x0 f(x)?A． x2n?1?x求f(x)?lim2n的表達式 ?xn?與?yn??xn?yn?是否也必發散？若數列同發散，試問數列 n??x?1 2n??x2n?1(其中a、b為常數，0?a?2?)，設f(x)?lim(1)求f(x)的表達式；x2n?1sin?x?cos(a?bx)(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1應用等階無窮小性質，求極限limx?01?5x?1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)． ． 求極限lim2x?0xx?2x1n求極限lim(1?4x)?(1?6x)(1?ax)?1． 求極限lim(n為自然數)．a?0． x?0x?0xx(5?2x)?x?2． x?3x?3131213求極限lim 設當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，f(x)f(x)??(x)?a?1，lim?A，x?x0?(x)x?x0g(x)f(x)??(x)證明：lim?A．x?x0g(x)且lim 設當x?x0時，?(x)，?(x)是無窮小且?(x)??(x)?0證明：e?(x)?e?(x)~?(x)??(x)． 若當x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)是比?(x)高階的無窮小．則當x?x0時，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價無窮小？為什么？ 設當x?x0時，?(x)、?(x)是無窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)? 與?(x)??(x)是等價無窮小． 設當x?x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮小．證明：當x?x0時，f(x)?g(x)與g(x)是等價無窮小． 若x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小。試判定：嗎？為什么？ ?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價無窮小 sinx?x??x(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無窮大 lim 答（）1limxsin之值x??x(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無窮大 答（）已知limx?0Atanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2)?1(其中A、B、C、D是非0常數)則它們之間的關系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C 答（）xn?1設limx?0及lim?a存在，試證明：a?1． 設x?1計算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)n??nn??xn??n242n21x2x3?(a2?1)x?ax3?3x2?3x?2求lim(sin?cos)計算極限lim(a?0)計算極限lim x??x?ax?2xxx2?a2x2?x?22ex?excosx?lim(cosxcosx?cosx)? 計算極限lim 計算極限limx?0x?ln(1?x2)x?0?2222n??n????an?滿足an?0及lim設有數列n??an?1?r(0?r?1)，試證明liman?0． n??ann???an?滿足an?0且limnan?r，設有數列(0?r?1)，試按極限定義證明：liman?0． n??設limf(x)?A(A?0)，試用“???”語言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 1試問：當x?0時，?(x)?x2sin，是不是無窮小？ x設limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在x0的某去心鄰域，使得x?x0x?x0在該鄰域為f(x)?g(x)． ln(1?3x?2)11計算極限lim． 設f(x)?xsin，試研究極限lim 23x?2x?0f(x)arcsin(3x?4x?4)x 設數列的通項為xn?則當n??時，xn是(A)無窮大量(B)無窮小量n?1?(?1)nn2，n??(C)有界變量，但不是無窮小(D)無界變量，但不是無窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)lim(01?1x)x?e(B)xlim(??01?1x)x?e?1x??(C)lim(1?1)x?e?1(D)lim(1?1)?xx??xx??x?0 答（）設x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limn??xn． ?eax?1設f(x)???x，當x?0，且lim?xf(x)?A?b，當x?0?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?1(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a，b可取任意實數，A?a(D)a可取任意實數且A?b?a答：()?ln(1?ax)設f(x)d???x，當x?0，且limf(x)?A，??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?a(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a可取任意實數且a?b?A(D)a，b可取任意實數，而A僅取A?lna答：（?1?cosax設f(x)??x2，當?x?0，且limf(x)??b，當x?0x?0?A則a，b，A間正確的關系是(A)a，b可取任意實數A?a2(B)a，b可取任意實數A?a22(C)a可取任意實數b?A?a2(D)a可取任意實數b?A?a22 答（））設有lim?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內復合函數f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請給出證明；若判定不成立，請舉出例子，并指明應如何加強已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當x?1?設f(x)??x?1　適合limf(x)?Ax?1?a，當x?1?則以下結果正確的是(A)僅當a?4，b??3，A?4(B)僅當a?4，A?4，b可取任意實數(C)b??3，A?4，a可取任意實數(D)a，b，A都可能取任意實數 答（）?1?bx?1　當x?0?設f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a 當x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實數(D)b?6，a可取任意實數 答（）設?(x)?(1?ax)213 ex?2e?x求lim． ?1，?(x)?e?ecosx，且當x?0時?(x)~?(x)，試求a值。x??3ex?4e?x2x?2axsin設lim()?8，則a?____________． lim(1?3x)x?____________． x??x?0x?a 當x?0時，在下列無窮小中與x2不等價的是(A)1?cos2x(B)ln1?x2(C)1?x2?1?x2(D)ex?e?x?2 答（）當x?0時，下列無窮小量中，最高階的無窮小是(A)ln(x?1?x2)(B)1?x2?1(C)tanx?sinx(D)e?ex?x?2 答（）計算極限limx?01?1?x2ex?cosxx?xnn?122 lim3x?5?sin4?_____________________ x??5x?32x計算極限limx?13n(x?1)(x?1)?(x?1)???x?x?n計算極限 lim n?1x?1(x?1)x?1?x計算極限 lim(cosx??0 討論極限limarctanx)．x?11的存在性。研究極限limarccot1的存在性。x?0xx?1x2?2x?3研究極限lim． x??x?1 當x??0時，下列變量中，為無窮大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx?11?________________。lnx?1n??設an?0，且liman?0，試判定下述結論“存在一正整數N，使當n?N時，恒有an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設有數列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出極限liman存在的n??n??結論。an?1?an?滿足an?0；設有數列?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設limx?x0f(x)存在，limg(x)存在，則limf(x)是否必存在？x?x0x?x0g(x)f(x)?A?0，則是否必有limg(x)?0．x?x0g(x)若limf(x)?0，limx?x0x?x0 當x??0時，下列變量中為無窮小量的是11sinx2x2(B)ln(x?1)(A)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1 答（）設x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A是常數），試證明limx?x0g(x)?0．f(x)若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內g(x)?0，limx?x0x?x0f(x)?A，g(x)則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請予證明，若不能肯定，請舉例說明，并指出為何加強假設條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時)必不存在。n??lime?e?e1n2nn?1n?e?(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(1?2???n?1?2???(n?1))?____．n?? x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大.答（）設f(x)?1?sin，試判斷：xx(1)f(x)在(0，1)，內是否有界;(2)當x??0時，f(x)是否成為無窮大.設f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當x???時，f(x)是否成為無窮大? 設?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當x?1時（）1?x(A)?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小;(B)?(x)與?(x)是等價無窮小;(C)?(x)是比?(x)高階的無窮小;(D)?(x)是比?(x)高階的無窮小.答（）x3?ax2?x?4設lim?A，則必有x?1x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.答（）x2?1當x?1時，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;1x?1的極限(C)為?;(D)不存在但不是無窮大.答（）設當x?0，?(x)?(1?ax)232?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。3x2?2求a，b使lim(?ax?b)?1 設lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x??x?1x???設x1?1，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??設x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n???計算極限lim(x?x?x?x)計算極限limx?0x???1?xsinx?cos2x xtanx計算極限limx?04?tanx?4?sinx2?2cosax研究極限lim(a?0)的存在性。x?0xetanx?esinx2n?? ?xn?收斂，并求極限limxn．設x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數列設x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． n??2 設x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn．n??2 設a1，b1是兩個函數，令an?1?anbn，bn?1?liman存在，limbn存在，且liman?limbnn??n?bn??n??an?bn，(n?1，2，?)試證明：2 ?ecosx?e計算極限 lim?x?x?x計算極限lim 2x???x?0?xn????x?x?x 計算極限lim(1?2?12)x x??x?xn??n??若limxnyn?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及limyn?0至少有一式成立＂的結論。設數列?xn??，yn?都是無界數列，zn?xnyn，?zn?是否也必是無界數列。試判定：31??計算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1 如肯定結論請給出證明，如否定結論則需舉出反例。極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）?12 ex?e?x極限lim的值為（）x?0x(1?x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）極限lim1?cos3x的值為（）x?0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列極限中不正確的是 xtan3x3?2A．lim?；　B．lim??；x?0sin2xx??1x?122 x2?1arctanxC．lim?2；D．lim?0．x?1sin(x?1)x??x 答（）cos? ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)極限lim?x?0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 極限lim(cosx)?x?0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）12?12 當x?0時，與x為等價無窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當x?1時，無窮小量1－x是無窮小量x?1的1?2xA．等價無窮小量；B．同階但非等價無窮小量； C．高階無窮小量；D．低階無窮小量． 答（）當x?0時，無窮小量2sinx?sin2x與mxn等價，其中m，n為常數，則數組（m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1?kx)x?0x?e，則k的值為1A．1；　B．?1；　C．；　D．2． 2 答（）1極限lim(1?)2的值為x??2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e?14?14x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1?)2x?e2；　B．lim(1?)2x?e2；x??x??xx 11C．lim(1?)x?2?e2；D．lim(1?)x?1?e2．x??x??xx 答（）1極限lim(1?2x)xx?0?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1x?4x??x?1)的值為（）A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 答（）2x?1極限lim?2x?1?x????2x?1??的值是A．1；　B．e；　C．e?12；　D．e?2． 答（）下列極限中存在的是A．limx2?111x??x；　B．limx?01?e1；C．limxsin；　xx??x 答（）極限limtanx?sinxx?0x3的值為A．0；B．1b　C．12　D．?． 答（）極限limsinxx??x???A．1；　B．0；　C．?1；　D．?． 答（）已知lima?cosxx?0xsinx?12，則a的值為A．0；　B．1；　C．2；　D．?1． 答（）已知limsinkxx?0x(x?2)??3，則k的值為A．?3；　B．?32；　C．6；　D．?6． 答（）D．lim1x?02x?1 x2?1設lim(?ax?b)?0，則常數a，b的值所組成的數組(a，b)為x??x?1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）4x2?3設f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數組（a，b）可表示為A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）極限limx2?6x?8x?2x2?8x?12的值為A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列極限計算正確的是A．limx2nx?n??1?x2n?1；　B．xlimsinx???x?sinx?1；C．limx?sinxx?0x3?0；　D．lim(n??1?12n)n?e2． 答（）極限lim(x3x2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 答（）數列極限lim(n??n2?n?n)的值為A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim?3x?cx?1x?1??1，則C的值為A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2?ax?6x?11?x?5，則a的值為A．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（）?ex?2，x?0?設函數f(x)??1，x?0，則limf(x)?x?0?x?cosx，x?0?A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx，x?0設f(x)????x?x?1，則 ?，x?0?1?e1xA．limx?0f(x)?0；B．xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)；C．xlim?0?f(x)存在，xlim?0?f(x)不存在； D．xlim?0?f(x)不存在，xlim?0?f(x)存在． 答（）?tankx設f(x)???x，x?0，且lim?x?3，x?0x?0f(x)存在，則k的值為 A．1；　B?．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim(x?1xx?3?)?4；B．xlim?0?e?0；1C．limsin(x?1)x?0(12)x?0；D．limx?1x?0． 答（）若limf(x)x?0xk?0，limg(x)x?0xk?1?c?0(k?0)． 則當x?0，無窮小f(x)與g(x)的關系是A．f(x)為g(x)的高階無窮小；B．g(x)為f(x)的高階無窮小；C．f(x)為g(x)的同階無窮小； D．f(x)與g(x)比較無肯定結論． 答（）當x?0時，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）當x?0時，sinx(1?cosx)是x3的 A．岡階無窮小，但不是等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）設有兩命題： ?xn?必收斂；命題“a”，若數列?xn?單調且有下界，則命題“b”，若數列?xn??、yn??、zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn??，zn?都有收斂，則?xn?必收斂 數列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設有兩命題： 命題甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，則lim?f(x)?g(x)?必不存在；x?x0x?x0x?x0x?x0命題乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。x?x0x?x0則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）設有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0f(x)?0；g(x)命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。答（）若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)x?x9x?x0x?x0A．必為無窮大量;B．必為無窮小量;C．必為非零常數;D．極限值不能確定 ．設有兩個數列?an??，bn?，且lim(bn?an)?0，則 n?? 答（）?an??A．，bn?必都收斂，且極限相等;?an??B．，bn?必都收斂，但極限未必相等;?an?收斂，而?bn?發散;C．?an?和?bn?可能都發散，也可能都D．收斂． 答（）下列敘述不正確的是 A．無窮小量與無窮大量的商為無窮小量； B．無窮小量與有界量的積是無窮小量；C．無窮大量與有界量的積是無窮大量；D．無窮大量與無窮大量的積是無窮大量。答（）下列敘述不正確的是 A．無窮大量的倒數是無窮小量；B．無窮小量的倒數是無窮大量；C．無窮小量與有界量的乘積是無窮小量；D．無窮大量與無窮大量的乘積是無窮大量。答（）若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的是 A．lim?f(x)?g(x)???;B．lim?f(x)?g(x)??0;x?x0x?x0x?x0x?x0C．limx?x0f(x)?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0g(x)答（）設函數f(x)?xcos1，則當x??時，f(x)是 xA．有界變量； B．無界，但非無窮大量； C．無窮小量； D．無窮大量． 答（）若limf(x)?A(A為常數），則當x?x0時，函數f(x)?A是 x?x0A．無窮大量;B．無界，但非無窮大量;C．無窮小量;D．有界，而未必為無窮小量 ． 答（）設函數f(x)?xsin1，則當x?0時，f(x)為 xA．無界變量;B．無窮大量;C．有界，但非無窮小量;D．無窮小量． 答（）f(x)在點x0處有定義是極限limf(x)存在的 x?x0A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條件． 答（）

第二篇：高等數學極限習題500道

當x?x0時，設?1＝o(?)，?1?o(?)且lim求證：lim x?x0?存在，????1???1x?x0?limx?x0?．?1 若當x?0時，?(x)?(1?ax)23?1與?(x)?cosx?1是等價無窮小，則a? 1313A．　B．　C．?　D．?．2222 答（）階的是2當x?0時，下述無窮小中最高A　x　B1　?cosx　C　1?x n??2?1　D　x?sinx（）n 答n??? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nsin(?n?2)．2e?1?x11求極限lim(n?)ln(1?)． lim3x?0n??2nxsinx x22的值?_____________ 設有數列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及liman．n??n??n??an?1?an2 設x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?sinx2xnxn?1xn?xn?1，1，求limyn及limxn．n??n??xn求極限limx?0(1?2x)?cosxx2之值． 設limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)x?x0v(x)?A．B lim?ln(1?x)?(x?1)2?x?11A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(1?2x)x?0sinxx? A．1 B．e C．e D．2 2 答（）設u(x)?1?xsin求：lim212.f(u)?ux及limu(x)之值，并討論x?0f(u)?1u?1u?1limf?u(x)??1u(x)?1 的結果．x?0limx?9x?x?6 xx?32的值等于_____________ lime?4ex?x?xx??3e?2e? 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2?x)(3?x)(6?x)835x??? A.?1　B.1　C.12?32053　D.不存在答：（）lim(1?2x)(1?3x)(1?6x)321510x???__________3__ limxe?e1?2xx?xx?0的值等于____________ 求極限lim x?3x?2x?x?x?132 求lim．1?6x?4x?1x?0x(x?5)之值． 已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問limv(x)?？為什么？x?x0 關于極限lim5351結論是：54x?03?exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）設limx?xf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是0x?x0A.limf(x)x?xg(x)?00B.limg(x)x?xf(x)??0C.limx?xf(x)g(x)??0D.limf(xg(x)x?x)??0 答（）f(x)?excosx，問當x???時，f(x)是不是無窮大量． limtanx?1x?0arctanx?A.0 B.不存在.C.?2　D.??2 答（）limarctan(x2)x??x?A.0 B.? C.1 D.?2 答（）lim2x?1?x??x2?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答（）設f(x)?31，則f(?0)?___________ 2?ex limarccot1x?0x?A.0 B.? C.不存在.D.?2 答（）lima?cosx?0，則其中x?0ln1?xa?A.0　　B.1　　C.2　　D.?3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx?0?e?3x的值等于__________1?cosx2(1?cos2x)x?x__ limx?0? A.2　　B.?2　　C.不存在.D.0答：（）設f(x)?px?qx?5x?52，其中p、q為常數． 問：(1)p、q各取何值時，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時，limf(x)?1．x?5求極限limx??(x2nn?2)?(x222nn?2)22(x?1)?(x?1)4． 求極限lim(3x?2)(2x?3)3232x??． 已知limx?3?A?B(x?1)?c(x?1)(x?1)2?2?x?1?0 試確定A、B、C之值． 已知f(x)?試確定常數ax3?bx22?cx?dx?x?2a，b，c，d之值．，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．x??x?1 已知lim(a?b)x?b3x?1?x?3x?x0x?1?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說法是否正確？?(x)為什么？ ＂若lim?(x)?0，則limx?x0 當x?x0時，f(x)是無窮大，且limg(x)?A，x?x0 證明：當x?x0時，f(x)?g(x)也為無窮大．用無窮大定義證明：用無窮大定義證明：limx?12x?1???． 用無窮大定義證明：x?1tanx??? 用無窮大定義證明：3x?0 lim?lnx???．limx???02x?1?0lim1x?1???． 用無窮大定義證明：用無窮大定義證明：x??? lim(x?4x)???．limlogx???a x???(其中0?a?1)． 若當x?x0時，?(x)、?(x)都是無窮小，則當x?x0時，下列表示式哪一個不一定是無窮小.(A)?(x)??(x)(B)?(x)??(x)(C)ln?1??(x)??(x)?(D)22 ?(x)?(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂當x?x0，?(x)是無窮小量＂是＂當x?x0時，?(x)是無窮小量＂的(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）＂當x?x0時，f(x)?A是無窮小＂是＂limf(x)?A＂的：x?x0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．x?x0x?x0證明：lim　　　limf(x)g(x)x?x0?b的充分必要條件是?0．n f(x)?b?g(x)g(x)x?x0用數列極限的定義證明用數列極限的定義證明：liman?? ?0，(其中0?a?1)． ?1(0?a?1)．：liman??1n用數列極限的定義證明lim1?cos(sinx)2ln(1?x)2：limn(n?2)2n?52n???1． 2x?0的值等于___________ 求極限lim?(cosx)xsinx3?1?之值． x?0(1?xsinx)?求極限limx?0x?1x3?之值． lim(cosx?sinx)xx22x2x?1x?0?__________ __ lim(1?2x)x(cosx)23x?1x?0?_____________ lim(1?sinx)?1x?0?__________2sinx3limx?0x?x?11?x?1求極限limx()?1??之值． ?______________ x???x?1?0??(x)?u(x)??(x)，且當x?x0時，?(x)~?(x)． 設在x0的某去心鄰域內試證明：當 x?x0時　?(x)~u(x)．設當x?x0時，?(x)?0，?(x)?o??(x)?，?1(x)~?(x)．lim求證：lim?(x)??(x)u(x)?A．x?x0存在(?A?0)?1(x)??(x)u(x)572x?x0求limx?0(1?3x)?(1?2x)(2x?1)?1之值． 設當x?x0，?(x)，?1(x)，?(x)，?1(x)均為無窮小，且?(x)~?1(x)；?(x)~?1(x)，如果lim1?(x)?(x)1x?x0?A 試證明：lim?1??(x)??(x)?lim?1??1(x)??1(x)．x?x0x?x0 設當x?x0，?(x)，?(x)都是無窮小，且?(x)?0，?(x)?0試證明：?1??(x)? ?(x)~?(x)?(x)． 設當x?x0時，?(x)與?1(x)均為無窮小，且試證明：lim?(x)~?1(x)；如果lim?1．?(x)?(x)x?x0?A?1??(x)?a?(x)?1x?x0?lim?1??1(x)?a?(x)x?x0(式中a是正常數)用數列極限的定義證明 limn??1?0． n!設limxn?A，且B?A?C．n??試證必有正整數N存在，使當 B?AA?Cn?N時恒有　?xn?成立．22 設有兩個數列?xn?，?yn?滿足(1)limxn?0；n??(2)yn?M(M為定數)．試證明：lim(xn?yn)?0．n?? xsin設limf(x)?A，求證：limf(x)?A． 求極限limx?0x?x0x?x021x sinxx1?sin求極限lim?cosln(1?x)?coslnx? 求極限limx?0x???1x． 1x求極限limx??2x1?x2arctan1x． 求極限lim1x(1?e)xx?? 求極限limarctanx?arcsinx?? 求極限limx?02?11x2?2x ． 求數列的極限lim(sinn??n?1?sinn)設lim?(x)?u0，且?(x)?u0，又limf(u)?Ax?x0u?u0試證：limf??(x)??Ax?x0 設f(x)?x?1lnx試確定實數a，b之值，使得： 當x?a時，f(x)為無窮小；當x?b時，f(x)為無窮大。設f(x)?xtanx2，問：當x趨于何值時，f(x)為無窮小。若limf(x)?A，limg(x)?B，且B?Ax?x0x?x0 證明：存在點 x0的某去心鄰域，使得在該鄰域內　g(x)?f(x)．設limf(x)?A，試證明：x?x0對任意給定的??0，必存在正數?，使得對適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：x?x0x?x0limf(x)?A． 若數列?xn?與?yn?同發散，試問數列?xn?yn?是否也必發散？求f(x)?lim x2n?1?x?12n?1n??x2n的表達式 x設f(x)?limn??sin?x?cos(a?bx)22nx?1(其中a、b為常數，0?a?2?)，(1)求f(x)的表達式；(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1求f(x)?lim211?(lnx)22n?1n??的表達式 求f(x)?lim2xn?2n?x?n?1?nn??x?xn的表達式． 設?(x)?x?3x?3，fn(x)?1??(x)??(x)????(x)，求f(x)?limfn(x)．n????xxx求f(x)?lim?x?????的表達式． 2222n?1?n??1?x(1?x)(1?x)??求f(x)?limxnnnn??1?x的表達式． 設Sn??k?1k，其中bk?(k?1)!，求limSn． n??bk22nn?x(1?x)x(1?x)x(1?x)求f(x)?lim?1?????2nn??222???的表達式。?求f(x)?limx(1?(1?limx)?nnnx?1nn?1的表達式，其中n??x)?13a?2(?b)n?1 x?0．求數列的極限n??3a?2(?b)n．(其中a?b?0)． n求數列的極限limn??5?3?3?(?2)32n． 求數列的極限lim(n??12?34?53???2n?12n)． 求數列的極限 lim(1?2q?3q???nqn??n?1)，其中q?1．求數列的極限111??lim?????? n??a(a?1)(a?2)(a?1)(a?2)(a?3)(a?n?1)(a?n)(a?n?1)??其中a?0．求數列的極限求數列的極限?1?11lim?????? n??1?33?5(2n?1)(2n?1)???1111lim??????n??2?33?4n(n?1)?1?2? ?．?求數列的極限求數列的極限liman23n???12?2?3???(n?1)(其中a?0)222?2?1n?lim(1?2?3???(n?1)? ?．n??n?2?2??求數列的極限limn??n(n?2?n?1)． 求數列的極限limn???n?4n?5?(n?1)． n?3n?6?(n?1)(n?1)n432?求數列的極限limn??． 求數列的極限求數列的極限limannn??2?a2 ．(其中a?1)．lim(1?n??12)(1?132)?(1?1n2)． 求數列的極限lim10000nn?12n??． 求數列的極限limn??n?4n?33n?5n?1nnn22． 求數列的極限lim(n?1?n??n)． 求數列的極限limn??1?2?3． 求數列的極限lim2n?a?n?b?2n2n2n?1n?2n??．(a?0，b?0且b?2)3　求數列的極限limn(1?n??n2n?1)． 求數列的極限limn(n??n?1n?2?1)． 求極限lim． n?12n?13?10?2?10若在x0的某鄰域內f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B．n??x?x0x?x02?10?3?10試判定是否可得：若lim?(x)?0，limx?x0x?x0A?B． 1?b?0，則lim?(x)?(x)?0是否成立？為什么？x?x0?(x)確定a，b之值，使limx????3x?4x?7?(ax?b)?0，2?并在確定好a，b后求極限limxx????3x?4x?7?(ax?b)2? 求極限lim(xx??x?1x?12?x)． 求極限limx??2x?cosx3x?sinx2． 2求極限limx??(x?1)?(2x?1)?(3x?1)???(10x?1)(10x?1)(11x?1)2 2求極限limxx????2x?2x?5?(x?1)． 求極限lim(4x?8x?5?2x?1)． x????討論極限limx??2e3x3x?3e?e2?2x4e?2x． 求極限lim22(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(2x?3)(3x?2)22232x??． 求極限limx??(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(5x?3)?2(4x?3)(3x?2)(6x?7)25234335x2x22． 求極限limx??． 求極限limx???a1?a(a?0，a?1)． 求極限limtan2x?tan(x??4??x)． 4確定a，b之值，使當x???時，f(x)?x?4x?5?(ax?b)為無窮小． 2求極限limx?1x?3x?2x?4x?35x?1?234． 求極限limx?2x?5x?6x?4x?0223． 求極限limx?23x?2?2x?2． 求極限limx?22x?53x?42． 求極限lim52xx?5?253． 24求極限limx?0(1?2x)?(1?x)3(1?4x)?(1?3x)?2(2x?a)n4m 求極限limx?0(1?x)?(1?x)x2． 53求極限lim?anmx?ax?ax2axax22(m，n為自然數)． 求極限lim(1?2x)?(1?4x)x x?0求極限limx?0(1?3x)?1． 設f(x)??(a?2)x?12?(a?1)x?ax?1問：(1)當a為何值時，limf(x)??；(2)當a為何值時，limf(x)?x?1112；(3)當a為何值時，limf(x)?0，并求出此極限值。x?2求極限limx?0cscx?cotxx1?tanx?x3． 求極限limx?01?cosaxx2． 求極限limx?0sinx?1． 求極限limx??tanx?tan??(0???)x??22?2cosxxx?0求極限limx?01?sinx?cosx1?sinpx?cospx(p為常數，p?0)． 討論極限lim． 求極限limx?0ln(1?3x)1?xsinx?cosx． ． 求極限limx?0xtanxxen?1?2求數列的極限limnsin． lim(arctan?)n?1． n??n??n4n??n2lim2sin． 求數列的極限limn(1?cos)． n?1n??n??2n求數列的極限求數列的極限 設f(x)是定義在x0?(a，b)，則?a，b?上的單調增函數，(A)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(B)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(C)f(x0?0)，f(x0?0)都存在，而(D)limf(x)存在x?x0x?x0 limf(x)不一定存在 設x1?a?0，且xn?1?　答（）axn，證明：limxn存在，并求出此極限值n?? ．設x1?2，且xn?1?2?xn，證明limxn存在，并求出此極限值n??。設x1?0，且xn?1?12(xn?axn)(其中a?0)，證明極限limxn存在，并求出此極限值．n?? 設x0?1，x1?1?x01?x0，?，xn?1?1?xn1?xn． 證明極限limxn存在，并求出此極限值。n??n??3n1111設xn???2???n，求證：limxn存在.n??1?13?13?13?1設xn?1?122?12???12，(n為正整數)求證：limxn存在． 設x1?12，x2?1?32?41，?，xn?；1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)，(1)證明：xn?2n?1(2)求極限limxn．n??求極限limx??100x?10x?1x?0.1x?0.01x?0.001xn?1xn322． 設數列?xn?適合3?r?1,(r為定數）證明：limxn?0． n??求極限limx?tanx?3tanxcos(x???6． 3)求數列的極限limn??2nn!． n?0．)．用極限存在的＂夾逼準求數列的極限lim(n??則＂證明數列的極限1n?12limn???1n?22??212nn?n3求數列的極限求數列的極限limnn??sinn!． n?122x??111ln(2?3e)lim?????．． 222?求極限lim3xn??x???(n?1)(n?2)(2n)ln(3?2e)??63求極限limx??ln(x?5x?7)ln(x?3x?4)2． 求極限limx???x?x?xx?x． ??x?，當x?0??2設f(x)?sin2x，g(x)???x??，當x?0 ??2討論limg(x)及limf?g(x)?．x?0x?0設lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0), 證明：limf??(x)??f(u0)。x?x0u?u0x?x0無限循環小數0.9?的值(A)不確定(B)小于1(C)等于1求極限limxm?xnD)無限接近1x?1xm?xn?2(m、n為正整數)．(答（若數列?an?適合an?1?an?r(an?an?1)(0?r?1)求證：limaa2?ra1．n??n?1?rn設x?n!其中, 求極限limxn＋1n?anna?0是常數，n為正整數 n??x n求數列的極限lim(sec?2n??n)n． 設x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小且lim?(x)?f(x)?A x?x0證明：lim?(x)?f(x)?Ax?x0 設lim0f(x)?A，且A?0，x?x試證明必有x0的某個去心鄰域存在，使得 在該鄰域內1f(x)有界.下述結論：＂若當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，則當x?x0時，ln?1??(x)?與ln?1??(x)?也 是等價無窮小＂是否正確？為什么？）應用等階無窮小性質，1?5x?2求極限lim1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)x1x?0． 1求極限limx?0x?2x1． 求極限lim(1?4x)2?(1?6x)3xx?0． 1求極限limx?0(1?ax)n?1x(n為自然數)．a?0． 求極限lim(5?2x)3?x?3x?2x?3． 設當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，且limf(x)x?x0?(x)x?x0?a?1，limf(x)??(x)g(x)f(x)??(x)g(x)x?x0?A，證明：lim ?A．設當x?x0時，?(x)，?(x)是無窮小且?(x)??(x)?0證明：e ?(x)?e?(x)~?(x)??(x)．若當x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)是比?(x)高階的無窮小．則當x?x0時，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價無窮小？為什么？ 設當x?x0時，?(x)、?(x)是無窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)?　　　與?(x)??(x)是等價無窮小． 設當x?x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮小．證明：當x?x0時，f(x)?g(x)與g(x)是等價無窮小． 若x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是無窮小。試判定：?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價無窮小嗎？為什么？等價 確定A及n，使當x?0時，f(x)?ln(x?21?x)與g(x)?Ax，2n是等價無窮小． 設f(x)?sinx?2sin3x?sin5x，g(x)?Ax，求A及n，使當x?0時，f(x)~g(x)． n 設f(x)?eg(x)?Ax(a?x)2?e(a?x)2?2ea2，(a為常數)n求A及n，使當x?0時，f(x)~g(x).設f(x)?　g(x)?xx?2?2Akx?1?x，確定k及A，使當x???時，f(x)~g(x)． 設?(x)?x?3x?2，?(x)?c(x?1)，確定c及n，使當x?1時，?(x)~?(x)n3 證明不等式：ln(1?求極限lim(ax?ex?0bx1n1)?1n．(其中n為正整數)ax)x，(a，b為正的常數)求極限lim(x?0?bx1求極限limx?1x?1x?1axan，(n為任意實數)． 求極限xlim?x，(a?0，a?1)求極限lim3x2lnx?lnx0x?x0)x，(a?0，b?0)(x0?0)0求極限limx?a?aa3x?1x?ax?0?x2x?2(a?0，a?1)． e5x求極限limx?0etanx?exxsinx1?xa1?xb12x1． 求極限limx?02e?exx． 求極限lim?1xx?0． 求極限lim(x?0)x(a?0，b?0且a?1，b?1，a?b)1求極限limx(ax????aaxx?1)(a?0，a?1)． 求極限limx?0ln(secx?tanx)sinx． 求極限limln(1?ex???求極限limxln(x0?x)?ln(x0?x)?2lnx0xcosxcos?1)ln(1?b)(a，b為常數，且a?0).(x0?0)．xx?02求極限lim(x??)x??(??k???2，k?z)． 求極限limcosx????x． 1求極限lim(1?2x)x 求極限lim(x?02x?12x?1)3xx??． 求極限lim(x??12x?x?12x?x?122)． cotxx求極限lim(sinx)x?tanx2? 2???求極限limtan(?x)x求極限lim(sinx?cosx)． ?x?0?4??x?012x?0． 1求極限lim(cosx??0x)． 求極限lim(1?xx?x)x． 求極限lim?(x?2)ln(x?2)?2(x?1)ln(x?1)?xlnx?x 求極限limx???x?0lncosxx2． 求極限lim 求極限lim?ln(1?x)?ln(x?1)?x．x?－1lnxx???x?12． 11?en).求數列的極限limn?ln(n?1)?lnn?． 求數列的極限lim(nnn??n??求數列的極限limn(en??an?ebn)，其中a，b為正整數． 求數列的極限limnn??211??ln(a?)?ln(a?)?2lna;其中a?0是常數 ??nn??求數列的極限lim(n??2n?1n?121)． 求數列的極限limn(an??nn?1)，其中a?0． 求數列的極限?(2?limn?en???n1)n?en(2?1)n2??2e?． ?求數列的極限lim(n??a?2nb)，其中a?0，b?0． 求數列的極限lim(n??n(n?1)2n?12n?1)． n求數列的極限 ?3n2?2?lim??2n??3n?4??1x1x 計算極限：limsin(n?a??)． n??22設f(x)?xsin?sinx，limf(x)?a，limf(x)?b，則有x?0x??(A)a?1，b?1(B)a?1，b?2(C)a?2，b?1(D)a?2，b?2　　　　　　　　　　　　　　答（）計算極限limx?01xlne?ex2x???enxn 計算極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)secx?cosx1?x?1?x222 x?0求極限limx?0tanmxsinnx(m，n為非零常數)計算極限limx?0a?21?x?1 計算極限limx?a?0x?x?a2計算極限在limx?0x?aln(a?x)?ln(a?x)?2lna(a?0)計算極限limx?01?cosx1?cosx2． 1(1?1tanx)xsinx422(a?0)計算極限limx?0xsinx計算極限limx?0(e?1)?1?x2(1?cosx)ln(1?x)limsinxxx???(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無窮大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx??1x之值(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無窮大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2x?0?1(其中A、B、C、D是非0常數))則它們之間的關系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n設x?1計算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242)設limxn?0及limn??xn?1xn22n??2?a存在，試證明：a?1． 求lim(sin22?cos1)x x??xx計算極限limx?ax?(a?1)x?ax?a23(a?0)計算極限limx?2x?3x?3x?2x?x?2232 計算極限limx?0e?exxcosx2x?ln(1?x)計算極限xxx??limlim(coscos2?cosn)?x?0?222?n????r(0?r?1)，試證明liman?0． n??設有數列?an?滿足an?0及liman?1annn??n??設有數列liman?0． n???an?滿足an?0且liman?r，(0?r?1)，試按極限定義證明：設limf(x)?A(A?0)，試用“???”語言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 試問：當x?0時，?(x)?x?x0x?x0xsin21x，是不是無窮小？ x0的某去心鄰域，使得設limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在在該鄰域為f(x)?g(x)． 設f(x)?xsin1x，試研究極限lim1f(x)x?0 計算極限limx?2ln(1?332x?2)． arcsin(3x?4x?4)n?1?(?1)n?n?2設數列的通項為xn?n，則當n??時，xn是(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量，但不是無窮小(D)無界變量，但不是無窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)1xlim??0(1?x)x?e(B)xlim??0(1?1x)x?e?1(C)limx??(1?1x)x?e?1(D)limx??(1?1x)?x?0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）設x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limx??n． n ?eax?1設f(x)???x，當x?0，且limf(x)?A??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?1(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a，b可取任意實數，A?a(D)a可取任意實數且A?b?a答：()?ln(1?ax)設f(x)d??x，當?x?0，且limf(x)?A，??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?a(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a可取任意實數且a?b?A(D)a，b可取任意實數，而A僅取A?lna答：（）?1?cosax，當x?0?2設f(x)??，且limf(x)?Axx?0?b，當x?0?則a，b，A間正確的關系是(A)a，b可取任意實數(B)a，b可取任意實數(C)a可取任意實數(D)a可取任意實數A?a22aA?2a2 b?A?ab?A?22 答（）設有lim?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內復合函數f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請給出證明；若判定不成立，請舉出例子，并指明應如何加強已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當x?1?設f(x)??　適合limf(x)?Ax?1x?1?a，當x?1?則以下結果正確的是(A)僅當a?4，b??3，A?4(B)僅當a?4，A?4，b可取任意實數(C)b??3，A?4，a可取任意實數(D)a，b，A都可能取任意實數　　　　　　　　　　　　　　　答（）?1?bx?1　當x?0?設f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a　　　　　當x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實數(D)b?6，a可取任意實數　　　　　　　　　　　答（）設?(x)?(1?ax)213 ?1，?(x)?e?ecosx，且當x?0時?(x)~?(x)，試求a值。求limx??e?2ex2sinxx?x?x3e?4e． 設lim(x??x?2ax)?8，則a?__________x?a __．__． lim(1?3x)x?0?__________ 當x?0時，在下列無窮小中與x不等價的是(A)1?cos2x(B)ln1?x(C)1?x222 ?x?1?x(D)e?e2x?2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）當x?0時，下列無窮小量中，最高階的無窮小是(A)ln(x?1?x)(B)1?xx?x22?1(C)tanx?sinx(D)e?e?2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）計算極限limx?01?ex21?xn?12?cosx limx??3x?54?sin?_____________________ 5x?3x22計算極限limx?xnx?1???x?x?n x?1(x?1)n?1計算極限 lim(x?1)(3x?1)?(nx?1)x?1計算極限 lim(cosx??0x)?x ．討論極限limarctanx?11x?1的存在性。研究極限limarccotx?01的存在性。x研究極限limx??x?2x?3x?12． 當x??0時，下列變量中，為無(A)sinxx(B)lnx(C)arctan窮大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx?1x?1?________________。“存在一正整數N，使當n?N時，恒有設an?0，且liman?0，試判定下述結論n??an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設有數列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出n??極限liman存在的n??結論。設有數列?an?滿足ana?0；n?1?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設limf(x)g(x)x?x0存在，limg(x)存在，則x?x0x?x0limf(x)是否必存在？ limg(x)?0．若limf(x)?0，limx?x0f(x)g(x)x?x0?A?0，則是否必有x?x0 當x??0時，下列變量中為無窮(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x?1)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1答（）x?x0 設x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A是常數），試證明 limg(x)f(x)f(x)g(x)?0．若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內g(x)?0，limx?x0x?x0?A，則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請予證明，若不能肯定，請舉例說明，并指出為何加強假設條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時)必不存在。若limf(x)??，limg(x)?A，試判定limf(x)?g(x)是否為無窮大？x?x0x?x0x?x0 設x?x0，f(x)??，g(x)?A，試證明lim?f(x)?g(x)???． x?x0設當x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A?0)，試證明limf(x)g(x)??． x?x0 設??lnx?1x，??arcctgx，則當x???時(A)?~?(B)?與?是同階無窮小，但不是等價無窮小(C)?是比?高階的無窮小(D)?與?不全是無窮小 答：（）f(x)?1x?sin1x(0?x???)(A)當x???時為無窮小(B)當x??0時為無窮大(C)當x?(0，??)時f(x)有界(D)當x??0時f(x)不是無窮大，但無界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)?x2x?1?ax?b，當x??時為無窮小，則(A)a?1，b??1(B)a?1，b?1(C)a??1，b??1(D)a??1，b?1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?112n3?x?2???2)求lim()2 求lim(2n??nx??6?x?n?1n?n?2n?n?nn?2nlim()?____ n??n?1 1n??2n?1nlimen?en?e?e?2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(1?2???n?n?? 1?2???(n?1))?____． x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大 答（）設f(x)?1?sin，試判斷：xx;.(1)f(x)在(0，1)，內是否有界(2)當x??0時，f(x)是否成為無窮大 設f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當x???時，f(x)是否成為無窮大? 試證明limcosx?01x不存在。f(x)??(x)，且lim?(x)?0，試證明limf(x)?0 x?x0x?x0若在x0的某去心鄰域內若在x0的某去心鄰域內 f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B;試證明A?B． x?x0x?x0sinlimx?01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大.答（）設?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當x?1時（）1?x等價無窮小;(A)?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是(B)?(x)與?(x)是等價無窮小;;.(C)?(x)是比?(x)高階的無窮小(D)?(x)是比?(x)高階的無窮小 32 答（）設limx?1x?ax?x?4?A，則必有x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.2 答（）1x?1x?1當x?1時，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;的極限(C)為?;(D)不存在但不是無窮大 設當x?0，?(x)?(1?ax)23.）答（2?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。求a，b使lim(x??23x?2x?12?ax?b)?1 設lim(3x?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x???設x1?1，xn?1?設x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n????1??計算數列極限lim?tan(?)? 計算極限limn(arctann??4n?n???設當x?0，?(x)?設?(x)?x?2?x)a3nn?1?arctannn)n?11?x3?1?x33~Ax，試確定A及k． kx?2x?1，求A與K使limbx?(x)xkx????A(A?0)極限lim(1?x?0(a?0，b?0)的值為 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）設limx?0xa222?212(a?0)，試確定a，b之值。?x(b?cosx)設lim(3x?x???ax?bx?1)?2，試確定a，b之值。2設limx?1x?ax?x?bx?1x???23?3，試確定a，b之值。計算極限lim(x?x?x?x)計算極限lim 研究極限limx?01?xsinx?cos2x xtanx2?2cosaxx(a?0)的存在性。limxn．n??計算極限limx?04?tanx?etanx4?sinxsinx?ex?0設x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數列22?xn?收斂，并求極限n??設x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． 設x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限 2 limxn．n??設a1，b1是兩個函數，令n??n?ban?1?n??anbn，bn?1?n??an?bn2，(n?1，2，?)試證明： liman存在，limbn存在，且liman?limbn計算極限limecosx?e2x?0x 計算極限 lim?x?????x?x?x?x?x??x ?計算極限lim(1?x??若limxnynn??21x?2)xx?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及limyn?0至少有一n??n??式成立＂的結論。設數列?xn?，?yn?都是無界數列，zn試判定：?zn?是否也必是無界數列。?xnyn，如肯定結論請給出證明，如否定結論則需舉出反例。31??計算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B．　　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　答（）極限lime?ex?x2x?0x(1?x)的值為（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）極限limx?01?cos3x的值為（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列極限中不正確的是tan3xsin2x2A．limC．limx?0?32cos；　B．limx??1?2x?1xx???2； x?1sin(x?1)x?1?2；D．limarctanxx???0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)x222x?0? A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1極限lim(cosx)x?x?01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）當x?0時，與x為等價無窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當x?1時，無窮小量A．等價無窮小量；C．高階無窮小量； 當x?0時，無窮小量1－x是無窮小量1?2xB．同階但非等價無窮小D．低階無窮小量．x?1的量； 答（n）m，n為常數，則數組2sinx?sin2x與mx等價，其中m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1?kx1x?x?0)e，則k的值為A．1；　B．?1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x極限lim(1?12x??2x)的值為A．e；　B．e?1；　C．e4；　D．e?14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(1?2x??x)2x?e2；　B．lim1xx??(1?x)2?e2；1 C．lim(1?x?221x?1x??x)?e；D．limx??(1?x)?e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1極限limx?0(1?2x)x?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1?4值為（）x??x?1)x的A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（?2x?1?極限lim??x???2x?1?2x?1的值是?12?2A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限中存在的是A．limx?1x2x??；　B．lim11?e1xx?0；C．limxsinx??1x；　D．lim12?1xx?0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limtanx?sinxx1b3的值為12　D．?． x?0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）極限limx??sinxx??? A．1；　B．0；　C．?1；　D．?．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知lima?cosxxsinxx?0?12，則a的值為 A．0；　B．1；　C．2；　D．?1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x?2)x?0??3，則k的值為32；　C．6；　D．?6． A．?3；　B．?　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?1設lim(?ax?b)?0，則常數a，b的值所組成的數組x??x?1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）2(a，b)為 4x?3設f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數組（a，b）可表示為 2A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）2極限limx?6x?8x2?8x?12的值為x?2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限計算正確的是A．limx2n；　n??1?x2n?1B．xlimx?sinx???x?sinx?1；C．limx?sinx　12x32n)n．x?0?0；D．limn??(1??e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3極限lim(xx2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）數列極限lim?(n2?n?n)的值為n?A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?3x?cx???1，則C的值為x?11A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?ax?61?x?的值為x?15，則aA．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（））?ex?2，x?0設函數f(x)???1，x?0，則lim?x?0f(x)??x?cosx，x?0A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx?，設f(x)??xx?0??x?1，則，?x?0?1?e1xA．lim?0f(x)?0；xB．lim?f(x)?lim?f(x)；x?0x?0C．lim?f(x)存在，lim?f(x)不存在； x?0x?0D．lim?f(x)不存在，limx?0x?0?f(x)存在． 答（）?tankx設f(x)???x，x?0，且limf(x)存在，則k的值為 ?x?x?3，x?0?0A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim1)?4；B．limx?(x??0；x?3x?0?e1C．lim(1)x?0；D．limsin(x?1)?0．x?02x?1x 答（）若limf(x)?0，limg(x)?c?0(k?0)．x?0xkx?0xk?1 則當x?0，無窮小f(x)與g(x)的關系是A．f(x)為g(x)的高階無窮小；B．g(x)為f(x)的高階無窮小； C．f(x)為g(x)的同階無窮小；D．f(x)與g(x)比較無肯定結論． 答（）當x?0時，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）當x?0時，sinx(1?cosx)是x的 A．岡階無窮小，但不是等價無窮小； B．等價無窮小； 3C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）設有兩命題： ?xn?單調且有下界，則?xn?必收斂；?yn?、?zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn?，?zn?都有收斂，則命題“b”，若數列?xn?、數列?xn?必收斂命題“a”，若數列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設有兩命題： 命題甲：若命題乙：若則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)x?x0limf(x)、limg(x)都不存在，則x?x0x?x0lim?f(x)?x?x0g(x)?必不存在；x?x0limf(x)存在，而x?x0limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。設有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0?0；命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則x?x0x?x0x?x0lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。x?x9x?x0 答（）x?x0若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)A．必為無窮大量C．必為非零常數;B．必為無窮小量;D．極限值不能確定 答（n??;．）設有兩個數列?an?，?bn?，且lim(bn?an)?0，則;相等;?an?，?bn?必都收斂，且極限相等A．?an?，?bn?必都收斂，但極限未必B．?an?收斂，而C．?bn?發散;?an?和?bn?可能都發散，也可能都D． 收斂．）答（下列敘述不正確的是A．無窮小量與無窮大量B．無窮小量與有界量的C．無窮大量與有界量的D．無窮大量與無窮大量 的商為無窮小量；積是無窮小量；積是無窮大量；的積是無窮大量。答（）下列敘述不正確的是A．無窮大量的倒數是無B．無窮小量的倒數是無C．無窮小量與有界量的D．無窮大量與無窮大量 x?x0x?x0窮小量；窮大量；乘積是無窮小量；的乘積是無窮大量。答（）是 若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的A．limC．limx?x0?f(x)?f(x)g(x)g(x)???;B．limx?x0?f(x)?g(x)??0;x?x0?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0 答（）1設函數f(x)?xcos，則當x??時，f(x)是 xA．有界變量； C．無窮小量； x?x0B．無界，但非無窮大量D．無窮大量． 答（；）若limf(x)?A(A為常數），則當x?x0時，函數f(x)?A是 A．無窮大量;B．無界，但非無窮大量C．無窮小量;D．有界，而未必為無窮 設函數f(x)?xsin1，則當x?0時，f(x)為 xA．無界變量;B．無窮大量;C．有界，但非無窮小量 f(x)在點x0處有定義是極限;小量 ． 答（）;D．無窮小量． 答（x?x0）limf(x)存在的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條 答（件．）設正項數列?an?滿足liman?1ann???0，則 A．liman?0;B．liman?C?0;n??n???an?的收放性不能確定．C．liman不存在;D．n?? 答（）若liman?A(A?0)，則當n充分大時，必有n??A．an?A； B．an?A；C．aAn?2； D．aAn?2． 答（）數列?an?無界是數列發散的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非充分又非必要條 答（下列敘述正確的是 A．有界數列一定有極限；B．無界數列一定是無窮大量；C．無窮大數列必為無界數列； D．無界數列未必發散 　答（）件．）

第三篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯系本人。）

第四篇：高等數學極限復習題

高等數學復習資料二

川汽院專升本極限復習題

一 極限計算

二 兩個重要極限

三 用無窮小量和等價

第五篇：高等數學極限總結

我的高等數學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數學 學我所學，想我所想

1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。

我的高等數學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

我的高等數學 學我所學，想我所想

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數消指數。簡單來說，“ ”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。