第一篇：極限習(xí)題1

第一章 函數(shù)與極限寒假作業(yè)

基本功與進(jìn)階訓(xùn)練

一、本章內(nèi)容小結(jié)

本章主要是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念及有關(guān)運(yùn)算；函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對象，而極限是高等數(shù)學(xué)研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數(shù)學(xué)中的一些的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限是變量在無限變化過程中變化的趨勢,是一個(gè)確定的值，把某些實(shí)際問題的確定結(jié)果看作一系列無限近似數(shù)值的變化趨勢,即數(shù)列或函數(shù)的極限,這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法極限方法貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．連續(xù)是高等數(shù)學(xué)研究對象的一個(gè)基本性質(zhì)，也是函數(shù)研究的重點(diǎn)之一。往往作為討論函數(shù)問題的一個(gè)先決條件，且與后面將要學(xué)到的函數(shù)的可導(dǎo)性、可積性存在著不可分割的邏輯關(guān)系。

討論極限問題往往首先把自變量變化的趨勢代入函數(shù)（數(shù)列）表達(dá)式中看函數(shù)變化的趨勢.極限基本類型可以分為兩大類，一般能用連續(xù)函數(shù)定義、無窮小定義和性質(zhì)及已知收斂數(shù)列的結(jié)論等方法直接求出的極限不妨稱為確定型極限.而有些極限如limx?x0(x??)f?x?分子、分母同時(shí)趨于零或無窮大,這個(gè)分式的極限可Fx能存在也可能不存在.這種極限分別稱為“

?0?”型和“”型未定式,還有五種類型：“0?”,“???”,0?“1”,“0”,“?”，在解題中一定要善于總結(jié)。

求極限的方法可以歸結(jié)很多條,常用的有

1、利用極限的四則運(yùn)算法則；

2、利用數(shù)學(xué)公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）；

3、利用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限；

4、利用等價(jià)無窮小的代換求極限；

5、利用變量代換與兩個(gè)重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運(yùn)算公式求極限）；

6、利用洛必達(dá)法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

9、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；

11、先證明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，再利用遞歸關(guān)系求極限）

12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。要靈活運(yùn)用極限的基本運(yùn)算方法，如在利用洛必達(dá)法則時(shí)經(jīng)常用到變量代換與等價(jià)無窮小的代換，這大大簡化計(jì)算，再者如初等變形、變量替換等，不僅是求極限的基本運(yùn)算，也是微分、積分運(yùn)算中經(jīng)常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

以下習(xí)題包括以上求極限的基本方法，這也是第一章的主要內(nèi)容，在做習(xí)題時(shí)一定要注意解題方法的總結(jié)，當(dāng)然，有的題目可以靈活運(yùn)用多種方法，希望以上方法的提示，能起到拋磚引玉的作用。

第一部分基本習(xí)題 00、limx?01e?

1x???x2。

2、已知lim3x?2,求a,b的值。

3、lim?x。

?1?etanx,x?0??

4、設(shè)函數(shù)f(x)??arcsin在x?0處連續(xù),求a的值.2?2x?,x?0?ae

?x(et2?1)dt??0,x?0，5、設(shè)f(x)??（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在x?0處連續(xù)；（2）求f?(0)。2x?a,x?0?

6、證明方程x2?1至少有一個(gè)小于1的正根。第二部分中檔習(xí)題

1、設(shè)x1?2,xn?1?x1?1?xn存在并求之.x??n?,(n?1,2,?),證明limx??2?xn?

n1??f(a?)??

2、設(shè)f(x)在x?a處可導(dǎo)，f(a)?0，lim??。n????f(a)???

3、設(shè)函數(shù)f(x)在的(??,??)內(nèi)連續(xù),且limx???f(x)f(x)?lim?0,證明至少存在一點(diǎn)?,使x???xx??f(?)?0.?g?x??cosx,x?0?

4、設(shè)f?x???，其中函數(shù)g?x?具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且g?0??1，x?x?0?a,（1）確定a值使f(x)為連續(xù)函數(shù)；

（2）求f??x?；

（3）討論f??x?在x?0處的連續(xù)性.第三部分較難習(xí)題

1、limx?sinln(1?)?sinln(1?)?。x??xx2、設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

（1）證明limxn存在，并求該極限； n????31??

?xn?1?xn（2）計(jì)算lim??.n???xn?

?

3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx

0x?f(x?t)dt.x

21?

4、lim。x22x?0cosx?esinx12n15、求lim[(1?)(1?)?(1?)]n。n??nnn

第二篇：高數(shù)極限習(xí)題

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),a,b為常數(shù),則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設(shè)f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對于答案(A)，不妨設(shè)

1h??x，當(dāng)h???時(shí)，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故(A)不對.?(2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點(diǎn)a處的函數(shù)值f(a)，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個(gè)極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價(jià)的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個(gè)充分必要條件.例3(00103)設(shè)f(0)?0,則f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當(dāng)h?0時(shí), 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當(dāng)h?0時(shí),u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當(dāng)h?0時(shí),恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當(dāng)h?0時(shí), 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當(dāng)h?0時(shí), ?h?o(h)既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價(jià)的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價(jià).(3)當(dāng)h?0時(shí), 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo)一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo).h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數(shù)f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號(hào)時(shí),不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)零點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)x0?0,x1?1,x2??1考察導(dǎo)數(shù)的存在性.解 將f(x)寫成分段函數(shù):

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數(shù):

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數(shù):

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個(gè)不可導(dǎo)的點(diǎn).例5(95103)設(shè)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導(dǎo)的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導(dǎo)數(shù)定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設(shè)函數(shù)f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數(shù)n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應(yīng)先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫為分段函數(shù)

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數(shù)是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點(diǎn)x?0的情況.例8(96203)設(shè)??0,f(x)在區(qū)間(??,?)內(nèi)有定義，若當(dāng)x?(??,?)時(shí)，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點(diǎn)，(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)，(C)可導(dǎo)的點(diǎn)，且2f'(0)?0

(D)可導(dǎo)的點(diǎn)，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因?yàn)?/p>

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設(shè)f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數(shù),故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義，又由于是未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當(dāng)u?0時(shí),e ?1與u是等價(jià)無窮小,所以當(dāng)x?0時(shí),1?e與x是等價(jià)無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時(shí),f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設(shè)f(x)可導(dǎo)且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(jià)(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據(jù)y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數(shù)f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續(xù),且可導(dǎo)

(B)連續(xù),不可導(dǎo)

(C)不連續(xù)

(D)不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù)

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步:(1)討論連續(xù)性;(2)討論可導(dǎo)性.解(1)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的連續(xù)性

1?0?f(0),可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?0處是連續(xù)的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數(shù)在點(diǎn)x?0處的可導(dǎo)性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導(dǎo).??x

例12 設(shè)f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x?0不連續(xù),則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當(dāng)p?1時(shí),下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當(dāng)p?1時(shí), x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當(dāng)p?1時(shí), f?(0)才存在,所以選項(xiàng)A,C可以被排除.(2)當(dāng)p?1時(shí)

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當(dāng)且僅當(dāng)p?2?0,即p?2時(shí),limf?(x)?0?f?(0),所以當(dāng)且僅當(dāng)1?p?2時(shí)，x?0f(x)在點(diǎn)x?0可導(dǎo),但是f?(x)在點(diǎn)x?0不連續(xù).例13(95403)設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設(shè)y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導(dǎo)數(shù).?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù),且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個(gè)求高階導(dǎo)數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

由f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當(dāng)n?1,n?2時(shí)雖然(B)也正確,但當(dāng)n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導(dǎo)數(shù)f(x)時(shí),可將函數(shù)f(x)看成是由y?t與t?f(x)復(fù)合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學(xué)者可能會(huì)這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個(gè)因子f?(x).則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(diǎn)(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數(shù),則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等.解

曲線y?x?ax?b在點(diǎn)(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數(shù)2y??1?xy確定,該曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導(dǎo)得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(diǎn)(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設(shè)f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續(xù)，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并運(yùn)用f(x)在x?0處連續(xù)這一關(guān)鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續(xù),于是必有l(wèi)imf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有l(wèi)img(x)?0.于是又有g(shù)?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設(shè)f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g(shù)?(x)是有界函數(shù),則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續(xù)

(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導(dǎo),則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時(shí)1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 f(x)在x?0處可導(dǎo).x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數(shù)）

? 例21 設(shè)f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),則()A.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為偶函數(shù)B.若f(x)為單調(diào)函數(shù)C.若f(x)為奇函數(shù),則f?(x)為奇函數(shù)D.若f(x)為非負(fù)函數(shù) 答案 A

解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調(diào)函數(shù) ,則f?(x)為非負(fù)函數(shù)

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數(shù).?x?0?f?(?x)例23 設(shè)y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法

例 24 設(shè)f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當(dāng)x?0時(shí),有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當(dāng)x?0時(shí),sinx與x是等價(jià)無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價(jià)無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因?yàn)閒?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設(shè)f(x)?? 在點(diǎn)x?0可導(dǎo),則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數(shù)在點(diǎn)x?0左右極限,確定連續(xù)性,再考察左右導(dǎo)數(shù).由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內(nèi)f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內(nèi)必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數(shù)顯然是奇函數(shù),因此f?(x)是偶函數(shù),f??(x)是奇函數(shù).解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

第三篇：極限緒論習(xí)題3

1． 利用有限覆蓋定理證明致密性定理。

證明：反證法：設(shè){xn}：a?xn?b，但是沒有收斂子列。則?x?[a,b]都不是{xn}的任何子列的極限，從而對?x?[a,b]，?O(x,?x)，其中只含有{xn}的有限項(xiàng)。這樣[a,b]??O(x,?x)，x?[a,b]由有限覆蓋定理，有有限子覆蓋[a,b]??O(xi,?xi)。由于?O(xi,?xi)中只含有數(shù)列的有限1?i?k1?i?k

項(xiàng)，所以[a,b]也只含有數(shù)列的有限項(xiàng)，與已知矛盾。

2． 利用致密性定理證明單調(diào)有界定理。

證明：不妨設(shè){xn}單增有界，由致密性定理，有收斂子列xnk?a，所以???0，?K,?k?K,|xnk?a|??。取N?nK?1，則當(dāng)n?N時(shí)，?nk0:nk0?n?nK?1，使得xnK?1?xn?xnk，所以|xn?a|??，所以xn?a。0

3．（1）單調(diào)有界函數(shù)存在左右極限。

證明：設(shè)f(x)在[a,b]單增有界。?x0?[a,b]，要證明f(x0?0)?。下面僅證明f(x0?0)?。取??inff(x)，則對???0，?x'?(x0,b],s.t.f(x')????。取??x'?x0，則當(dāng)0?x?x0??[x0,b]

時(shí)，??f(x)?f(x')????，所以|f(x)??|??，得到f(x0?0)??。

（2）單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類間斷點(diǎn)。

證明：設(shè)f(x)在[a,b]單增有界。設(shè)x0是f(x)的間斷點(diǎn)，由（1）知f(x0?0)?，所以x0不是第二類間斷點(diǎn)。另外f(x0?0)?f(x0?0)也不可能成立，因?yàn)閒(x)單增，f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)，就有f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)，這樣x0成為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，矛盾。綜上可見，x0只能是f(x)的第一類間斷點(diǎn)。

4． 設(shè)f(x)?C(a,b)，f(a?0),f(b?0)?，則f(x)可取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值（但

可能不等于f(a?0),f(b?0)）。

?f(a?0),x?a?證明：構(gòu)造輔助函數(shù)：F(x)??f(x),x?(a,b)，則F(x)?C[a,b]。由介值定理，F(xiàn)(x)

?f(b?0),x?b?

能取到最大值和最小值之間的一切值，因而也能取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值，從而f(x)可取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值（但可能不等于f(a?0),f(b?0)）。

第四篇：函數(shù)極限習(xí)題

習(xí)題1—2

1．確定下列函數(shù)的定義域：

（1）y?；

x?9（4）y?2．求函數(shù)

?1?siny??x??0

(x?0)(x?0)

（2）y?logaarcsinx；

（3）y?

； sin?x

1x?1

（5）y?arccos?loga(2x?3)；?loga(4?x2)

x?22的定義域和值域。

3．下列各題中，函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)?

x,g(x)?x0。x

?

2；

x2?1

（3）f(x)?,g(x)?x?1；

x?1

4．設(shè)f(x)?sinx證明：

f(x??x)?f(x)?2sin

?x

?x??

cos?x?? 22??

5．設(shè)f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，試確定a,b的值。

6．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？

1?x22223

（1）y?x(1?x)（2）y?3x?x；（3）y?；

1?xax?a?x

（4）y?x(x?1)(x?1)；（5）y?sinx?cosx?1（6）y?。

7．設(shè)f(x)為定義在(??,??)上的任意函數(shù)，證明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x)偶函數(shù)；（2）F2(x)?f(x)?f(?x)為奇函數(shù)。

8．證明：定義在(??,??)上的任意函數(shù)可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。9．設(shè)f(x)定義在(?L,L)上的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)上單增，證明：f(x)在(?L,0)上也單增。

10．下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：（1）y?cos(x?2)（2）y?cos4x；（3）y?1?sin?x；（4）y?xcosx；（5）y?sin2x（6）y?sin3x?tanx。11．下列各組函數(shù)中哪些不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)？把能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的寫成復(fù)合函數(shù)，并指出其定義域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2；（3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?,u?sinx?2（5）y?,u?x3 12．下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的？（1）y?(1?x)2?1（3）y?sin2(3x?1)

（2）y?3(x?1)；（4）y?logacos2x。

2x

（3）y?x。

2?1

13．求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

14．已知函數(shù)f(x,y)?x2?y2?xytan

x，試求f(tx,ty)。y

15．已知函數(shù)f(u,v,w)?uw?wu?v。試求f(x?y,x?y,xy)。16．求下列各函數(shù)的定義域：

111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?

x?y?z?r

(R?r?0)。

習(xí)題1—3

1．利用數(shù)列極限定義證明：如果limun?A，則lim|un|?|A|，并舉例說明反之不然。

n??

n??

習(xí)題1—4

?x2(x?1)1．設(shè)f(x)??

x?1(x?1)?

（1）作函數(shù)y?f(x)的圖形；（2）根據(jù)圖形求極限lim?f(x)與lim?f(x)；

x?1

x?1

（3）當(dāng)x?1時(shí)，f(x)有極限嗎？ 2．求下列函數(shù)極限：

xx

（1）lim?；（2）lim?2；

x?0|x|x?0x?|x|3．下列極限是否存在？為什么？（1）limsinx；

x???

（3）lim?

x?0

x。

x2?|x|

（2）limarctanx；

x??

（3）limcos；

x?0x

（4）lim(1?e?x)；

x??

（5）lim

|x?1|；

x?1x?1

（6）lime?x。

x???

習(xí)題1—5

求下列極限

?111?2n??1

?????1．lim?； 2.； lim??????22?x???1?2x???n22?3n(n?1)nn???x2?2x?1

4．lim；

x?1x2?1

x2?5

3.lim； x?2x?3

(x?h)2?x2

5.lim；h?0h

6.lim

x?1x?1

x?1。

習(xí)題1—6

1．求下列極限：

sinax

（1）lim(b?0)；

x?0sinbx2x?tanx

（4）lim；

x?0sinx

（2）lim

tanx?sinx；

x?0x3

（3）lim

1?cosx；

x?0xsinx

2??； x?

x

arcsinx

（5）lim；

x?0x

?

（6）lim?1?

x???

?1?

（7）lim?1??；

t???t?

x

t

?1?

（8）lim?1??

x???x?

x?3；

x2?1

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?

（10）lim??；

x???x?a?

?x2?2?

?（11）lim?

x???x2?1???

1??

；（12）lim?1??。

x???n?

n

2．利用極限存在準(zhǔn)則證明：

11??1

（1）limn?2?2???2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）數(shù)列,2?2,2?2?2，?的極限存在；（3）lim

x2?1

?1。x?1

x???

習(xí)題1—7

1．當(dāng)n無限增加時(shí)，下列整標(biāo)函數(shù)哪些是無窮?。?/p>

(?1)n12n?11?cosn?

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n?1nnn

2．已知函數(shù)

xsinx,2，ln(1?x),ex,e?x

xx

（1）當(dāng)x?0時(shí)，上述各函數(shù)中哪些是無窮?。磕男┦菬o窮大？（2）當(dāng)x???時(shí)，上述各函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是無窮大？

（3）“是無窮小”，這種說法確切嗎？

x

3．函數(shù)y?xcosx在(??,??)是是否有界？又當(dāng)x???地，這個(gè)函數(shù)是否為無窮大？為什么？

4．求下列極限

n2?n1?a?a2???an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|?1,|b|?1)

x??n?2x??1?b?b2???bnx??n?1

4x2?1(?2)n?2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x?5x?1x??(?2)?3x??1x?1x?

5．求下列極限：

sinx??

（1）lim?ex??；

x????x?

（2）limx?cos；

x?0x

（3）lim

?

n

n??

sinn?；

e?xarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）lime?xarctanx。

x???x??arctanxx??x

6．下列各題的做法是否正確？為什么？

（1）lim

x?9x?9

???

x?9x?9lim(x?9)

x?9

lim(x2?9)

1111

?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1

cosx1

（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x

7．證明：當(dāng)x?0時(shí)，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下極限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x?0sin3xx?0arctanx

sinxnx

（3）lim（為正整數(shù)）；（4）。limm,n

x?0(sinx)mx?0??cosx

（1）lim

9．當(dāng)x?1時(shí)，x3?3x?2是x?1是多少階無窮小？

x?11

10．當(dāng)x???時(shí)，4是是多少階無窮??？

x?1x111

11．當(dāng)x??時(shí)，sin是是多少階無窮??？

xxx

習(xí)題1—8

1．研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形： x

（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)

（2）f(x)??；

?2?x(1?x?2)

?x2(|x|?1)?|x|(x?0)

（3）f(x)??；（4）?(x)??。

1(x?0)x(|x|?1)??

2．指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類？如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。

x2?1n21（1）y?2；（2）y?；（3）y?cos。

tanxxx?3x?2

?ex(0?x?1)

3．a(chǎn)為何值時(shí)函數(shù)f(x)??在[0，2]上連續(xù)？

?a?x(1?x?2)1?x2n

x的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷共類型。4．討論函數(shù)f(x)?lim

n??1?x2n

5．函數(shù)z?

y2?2xy2?2x

在何上是間斷的？

習(xí)題1—9

1．設(shè)f(x)連續(xù)，證明|f(x)|也是連續(xù)的。

2．若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上f(x)恒為正，證明：續(xù)。

3．求下列極限：

（1）lim

x?0

在[a,b]上跡連f(x)

(sin2x)3；（3）limx2?2x?5；（2）lim?

x?

sin5x?sin3x；

x?0sinx

（6）lim

ax?absinx?sina

(a?0)；（4）lim；（5）lim

x?bx?ax?bx?a

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

x???x?0x?x

ln(1?3x)；

x?0x

（9）lim(x?2x?1)；

x???

（10）lim?

x?2

x?2?x?2；

x?4

ln(a?x)?lna

（12）lim。

x?0x

（11）lim

x?x?x

x?1

x???

習(xí)題1—10

1．證明：方程x?3x?1在區(qū)間（1，2）上至少有一個(gè)根。

x1,x2,?,xn是[a，2．設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，b]內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，證明：???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n

附件習(xí)題

1．用數(shù)列極限的定義證明：

(?1)n?11

（1）lim（2）lim(1?n)?1； ?0；

n??n??n10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n2?4

n??

?3；

n??9n?73

2．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列{(?1)n}發(fā)散。

n??

n??

?0；（5）lim

2n?1

?0；

（6）limqn?0(|q|?1)。

n??

3．設(shè)a?0，用數(shù)列極限的定義證明極限lima?1。

4．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則。

5．下述幾種說法與數(shù)列{un}極限是A的定義是否等價(jià)，并說明理由。

（1）對于任意給定的??0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有|un?A|??；（2）存在正整數(shù)N，對任意給定的??0，使得當(dāng)n?N時(shí)，有|un?A|??；（3）對于任意給定??0，存在實(shí)數(shù)M，使得當(dāng)n?M時(shí)，有|un?A|??；（4）對于0???1，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有|un?A|??；

（5）對于任意給定的??0，有正整數(shù)N使得當(dāng)n?N時(shí)，有|un?A|?K??，其中K是與?無關(guān)的常數(shù)；

（6）對于任意給定的正整數(shù)m，都有正整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，有|un?A|?。

m

習(xí)題18—2

2x?12

（1）lim?；

x??3x?13

x2?1x?1

（2）lim

x??

?1；（3）limx?a(a?0)；

x?a

x4?1

（4）limcosx?cos?；（5）lim（6）limex?0。?4；

x???x??x?1x?1

3．用函數(shù)極限的定義證明下列命題：

（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，則lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0

x?x0

x?x0

（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，則

x??

x??

x??

lim

f(x)A

?。g(x)B

4．用Hine定理證明函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則。5．證明極限limxsinx不存在。

x???

6．若f(x)在[a,??)上連續(xù)，且limf(x)存在，證明：f(x)在[a,??)上有界。

x???

7．設(shè)f(x)在(a,b)上連續(xù)，又lim?f(x)?A,lim?f(x)?B，且A?B，則???(A,B)，x?a

x?b

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

8．設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，如果xn?[a,b]，數(shù)列{xn}收斂，且limf(xn)??，證明：

x???

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

第五篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)

1、已知四個(gè)命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在x?x0點(diǎn)必有極限 f(x)在x?x0點(diǎn)有極限，則f(x)在x0點(diǎn)必連續(xù) f(x)在x?x0點(diǎn)無極限，則f(x)在x?x0點(diǎn)一定不連續(xù)f(x)在x?x0點(diǎn)不連續(xù)，則f(x)在x?x0點(diǎn)一定無極限。其中正確的命題個(gè)數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯(cuò)誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當(dāng)定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(shè)(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時(shí)，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點(diǎn)連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）