第一篇：極限習題1

第一章 函數與極限寒假作業

基本功與進階訓練

一、本章內容小結

本章主要是函數、極限和連續性概念及有關運算；函數是高等數學研究的主要對象，而極限是高等數學研究問題、解決問題的主要工具和方法。高等數學中的一些的重要概念，如連續、導數、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限是變量在無限變化過程中變化的趨勢,是一個確定的值，把某些實際問題的確定結果看作一系列無限近似數值的變化趨勢,即數列或函數的極限,這是一種重要的數學思想方法極限方法貫穿于高等數學的始終．連續是高等數學研究對象的一個基本性質，也是函數研究的重點之一。往往作為討論函數問題的一個先決條件，且與后面將要學到的函數的可導性、可積性存在著不可分割的邏輯關系。

討論極限問題往往首先把自變量變化的趨勢代入函數（數列）表達式中看函數變化的趨勢.極限基本類型可以分為兩大類，一般能用連續函數定義、無窮小定義和性質及已知收斂數列的結論等方法直接求出的極限不妨稱為確定型極限.而有些極限如limx?x0(x??)f?x?分子、分母同時趨于零或無窮大,這個分式的極限可Fx能存在也可能不存在.這種極限分別稱為“

?0?”型和“”型未定式,還有五種類型：“0?”,“???”,0?“1”,“0”,“?”，在解題中一定要善于總結。

求極限的方法可以歸結很多條,常用的有

1、利用極限的四則運算法則；

2、利用數學公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）；

3、利用極限的夾逼準則求極限；

4、利用等價無窮小的代換求極限；

5、利用變量代換與兩個重要極限求極限（也常結合冪指函數極限運算公式求極限）；

6、利用洛必達法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數的連續性求極限；

9、利用導數的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；

11、先證明數列極限的存在（常用到“單調有界數列必有極限”的準則，再利用遞歸關系求極限）

12、數列極限轉化為函數極限等。要靈活運用極限的基本運算方法，如在利用洛必達法則時經常用到變量代換與等價無窮小的代換，這大大簡化計算，再者如初等變形、變量替換等，不僅是求極限的基本運算，也是微分、積分運算中經常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

以下習題包括以上求極限的基本方法，這也是第一章的主要內容，在做習題時一定要注意解題方法的總結，當然，有的題目可以靈活運用多種方法，希望以上方法的提示，能起到拋磚引玉的作用。

第一部分基本習題 00、limx?01e?

1x???x2。

2、已知lim3x?2,求a,b的值。

3、lim?x。

?1?etanx,x?0??

4、設函數f(x)??arcsin在x?0處連續,求a的值.2?2x?,x?0?ae

?x(et2?1)dt??0,x?0，5、設f(x)??（1）當a為何值時，f(x)在x?0處連續；（2）求f?(0)。2x?a,x?0?

6、證明方程x2?1至少有一個小于1的正根。第二部分中檔習題

1、設x1?2,xn?1?x1?1?xn存在并求之.x??n?,(n?1,2,?),證明limx??2?xn?

n1??f(a?)??

2、設f(x)在x?a處可導，f(a)?0，lim??。n????f(a)???

3、設函數f(x)在的(??,??)內連續,且limx???f(x)f(x)?lim?0,證明至少存在一點?,使x???xx??f(?)?0.?g?x??cosx,x?0?

4、設f?x???，其中函數g?x?具有二階連續的導數，且g?0??1，x?x?0?a,（1）確定a值使f(x)為連續函數；

（2）求f??x?；

（3）討論f??x?在x?0處的連續性.第三部分較難習題

1、limx?sinln(1?)?sinln(1?)?。x??xx2、設數列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

（1）證明limxn存在，并求該極限； n????31??

?xn?1?xn（2）計算lim??.n???xn?

?

3、設函數f(x)連續，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx

0x?f(x?t)dt.x

21?

4、lim。x22x?0cosx?esinx12n15、求lim[(1?)(1?)?(1?)]n。n??nnn

第二篇：高數極限習題

第二章 導數與微分

典型例題分析

客觀題

例 1 設f(x)在點x0可導,a,b為常數,則limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?xab?x?0?()

f?(x0)Aabf?(x0)

B(a?b)f?(x0)

C(a?b)f?(x0)

D

答案 C

解

f(x0?a?x)?f(x0?b?x)lim??x?0?x[f(x0?a?x)?f(x0)]?[f(x0?b?x)?f(x0)]?lim? ?x?0?x

f(x0?b?x)?f(x0)f(x0?a?x)?f(x0)?blim

?alim

?x?0?x?0b?xa?x

?(a?b)f?(x0)

例2（89303）設f(x)在x?a的某個鄰域內有定義,則f(x)在x?a處可導的一個充分條件是（）1????f(a?2h)?f(a?h)(A)limh?f?a???f(a)?存在(B)lim存在h?0h???hh????(C)limf(a?h)?f(a?h)2hh?0存在(D)limf(a)?f(a?h)h存在h?0答案 D

解題思路

(1)對于答案(A)，不妨設

1h??x，當h???時，?x?0，則有

?1?f(a??x)?f(a)???limh?f?a???f(a)??lim存在，這只表明f(x)在x?a處h????x?0h??x???右導數存在,它并不是可導的充分條件,故(A)不對.?(2)對于答案(B)與(C),因所給極限式子中不含點a處的函數值f(a)，因此與導數概念不相符和.例如，若取

?1,x?af(x)??

0,x?a?則(B)與(C)兩個極限均存在，其值為零，但limf(x)?0?f(a)?1，從而f(x)在x?ax?a處不連續，因而不可導，這就說明(B)與(C)成立并不能保證f?(a)存在，從而(B)與(C)也不對.(3)記?x??h,則?x?0與h?0是等價的,于是 limf(a)?f(a?h)hh?0??limf(a?h)?f(a)hh?0?limf(a?h)?f(a)?h

h?0?x所以條件D是f?(a)存在的一個充分必要條件.例3(00103)設f(0)?0,則f(x)在點x?0可導的充要條件為()?x?0?limf(a??x)?f(a)?f?(a)(A)lim1h1h2h?0f(1?cosh)存在(B)lim1h1hh?0f(1?e)存在

h(C)limh?02f(h?sinh)存在(D)limh?0?f(2h)?f(h)?存在

答案 B

解題思路

(1)當h?0時, 1?coshhh?02limf(1?cosh)h2h?0?lim2f(1?cosh)?f(0)h2?1.所以如果f?(0)存在,則必有

?limf(1?cosh)?f(0)1?coshh?0?lim1?coshh2h?0若記u?1?cosh,當h?0時,u?0,所以

f(1?cosh)?f(0)f(u)?f(0)lim?lim?f?(0)h?0h?01?coshu于是

?limf(1?cosh)h2h?0?12f?(0)

1h2這就是說由f?(0)存在能推出limh?0f(1?cosh)存在.?h0,而不是u?0,因此 但是由于當h?0時,恒有u?1?cos?1f(x)?f(0)f??(0)?limlim2f(1?cosh)存在只能推出存在,而不能推出f?(0)h?0hx?0x存在.?

(2)當h?0時, 1?e??h?o(h),于是

hlimf(1?e)hhh?0?limf(?h?o(h))?f(0)hh?0??limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)

h?0 由于當h?0時, ?h?o(h)既能取正值,又能取負值,所以極限limf(?h?o(h))?f(0)?h?o(h)h?0存在與limf(h)?f(0)hh?0?f?(0)存在是互相等價的.因而

極限lim1hh?0hf(1?e)存在與f?(0)存在互相等價.(3)當h?0時, 用洛比塔法則可以證明limlimf(h?sinh)h2h?0,所以 6hf(h?sinh)?f(0)h?sinh?lim?lim?h 3h?0h?0h?sinhhh?03h?sinh?1由于h?0,于是由極限limf(h?sinh)?f(0)h?sinhh?0?limh?sinhh3h?0?h存在未必推出h?sinh(4)f(x)在點x?0可導一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在點x?0可導.h?0limf(h?sinh)?f(0)也存在,因而f?(0)未必存在.例 4(98203)函數f(x)?(x?x?2)|x?x|有()個不可導點

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解題思路 當函數中出現絕對值號時,不可導的點就有可能出現在函數的零點,因為函數零點是分段函數的分界點.因此需要分別考察函數在點x0?0,x1?1,x2??1考察導數的存在性.解 將f(x)寫成分段函數:

23?(x2?2?(xf(x)??2?(x?(x2??x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),?x?2)x(1?x),?x?2)x(x?1),2222x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x.(1)在x0?0附近,f(x)寫成分段函數:

22?x(x?x?2)(x?1),x?0?23 f(x)?(x?x?2)|x?x|??22??x(x?x?2)(1?x),x?0容易得到

f(x)?f(0)22?f?(0)?lim?lim(x?x?2)(x?1)?2

??x?0x?0xf(x)?f(0)22f??(0)?lim?lim(x?x?2)(1?x)??2

??x?0x?0x由于f??(0)?f??(0),所以f?(0)不存在.(2)在x1?1附近,f(x)寫成分段函數:

2?x(1?x)(x?x?2)(1?x),x?1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x?1f(x)?f(1)2?f?(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1f(x)?f(1)2f??(1)?lim?limx(1?x)(x?x?2)??4

??x?1x?1x?1由于f??(1)?f??(1),所以f?(1)不存在.(3)在x2??1附近,f(x)寫成分段函數:

2?x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1?23f(x)?(x?x?2)|x?x|??

2??x(1?x)(x?x?2)(x?1),x??1f??(?1)?limf(x)?f(?1)?x??1x?0x?1由于f??(?1)?f??(?1)?0,所以f?(?1)存在.x??1??f??(?1)?limx?1f(x)?f(?1)??limx??1?x(x?1)(x22?x?2)?0

?limx(x?1)(x?x?2)?0

綜合上述分析,f(x)有兩個不可導的點.例5(95103)設f(x)具有一階連續導數,F(x)?f(x)?(1?|sinx|),則f(0)?0是F(x)在x?0處可導的()

(A)必要但非充分條件

(B)充分但非必要條件

(C)充分且必要條件

(D)既非充分也非必要條件

答案 C

分析 從F(x)在x?0的導數定義著手.將F(x)?f(x)?(1?|sinx|)?f(x)?f(x)?|sinx| 解

F(x)?F(0)f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|?lim?limF??(0)?lim

x?0x?0x?0x?0x?0x?0

?f?(0)?f(0)

f(x)?f(0)f(x)|sinx|?f(0)|sin0|F(x)?F(0)?lim?limF??(0)?lim

???x?0x?0x?0x?0x?0x?0?f?(0)?f(0)

于是推知F??(0)?F??(0)的充分必要條件是f(0)?0.??? 例6(92103)設函數f(x)?3x?x|x|,則使f32(n)(0)存在的最高階數n?().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解題思路 應先去掉f(x)中的絕對值,將f(x)改寫為分段函數

?2x3 f(x)?3x?x|x|??3?4x32x?0x?0x?0x?0

?2x3 解 由f(x)?3x?x|x|??3?4x32

?6x2得f?(x)??2?12xx?0x?0

?12x且f??(x)???24x又f??(0)?limx?0??12 f???(x)??x?0?24x?0x?0x?0

f(x)?f(0)x?0?limx?02x?0?3x?0?0,f??(0)?limf(x)?f(0)?x?0x?0?limx?04x?0?3x?02?0

所以f?(0)存在.f???(0)?limf?(x)?f?(0)?x?0x?0??limx?06x?0?x?012x??0 ?0?0 f???(0)?limf?(x)?f?(0)x?02?limx?0x?0x?0所以f??(0)存在.f????(0)?limf??(x)?f??(0)?x?0x?0??limx?012x?0?x?0??12

x?0即f????(0)?f????(0).因而使fx?0f????(0)?limf??(x)?f??(0)?24

x?0(n)(0)存在的最高階數是2.x?0?lim24x?0

例7 f(x)?cos|x|?x2|x|存在的最高階導數的階數等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解題思路 注意cos|x|?cosx,所以只需考察x|x|在點x?0的情況.例8(96203)設??0,f(x)在區間(??,?)內有定義，若當x?(??,?)時，恒有f(x)?x，則x?0必是f(x)的（）

(A)間斷點，(B)連續而不可導的點，(C)可導的點，且2f'(0)?0

(D)可導的點，且f'(0)?0

答案

C

解 由題目條件易知f(0)?0,因為

|所以由夾逼定理

f(x)?f(0)x|?|f(x)xf(x)x|?|x2x|

2lim|x?0f(x)?f(0)x|?lim|x?0|?lim|x?0xx|?0

于是f?(0)?0.?1?e?x?,x?0, 則f?(0)為（）

例9(87103)設f(x)??x?0,x?0.?

1(A)0

(B)

(C)1

(D)?1

2答案

(C)

解題思路

因f(x)為分段函數,故它在分段點處的導數應按導數的定義，又由于是未定式,可用洛必達法則求極限.200型解

1?e f?(0)?lim?x2f(x)?f(0)x?0u?limx?0x?0xx?0?0?lim1?ex?x2x?02?x

2當u?0時,e ?1與u是等價無窮小,所以當x?0時,1?e與x是等價無窮小.因而

2lim1?ex?x2x?02?1

12,則?x?0時,f(x)在x0處的微分dy與

例10(88103)設f(x)可導且f?(x0)??x比較是()的無窮小.(A)等價(B)同階(C)低階(D)高階

答案 B

解題思路

根據y?f(x)在x?x0處的微分的定義:dy?f?(x0)?x.?x12 解 lim?lim?,可知dy與?x是同階的無窮小.?x?0?x?x?0?x21??xsin,x?0

例11(87304)函數f(x)??在x?0處（）x?x?0?0,dy

(A)連續,且可導

(B)連續,不可導

(C)不連續

(D)不僅可導,導數也連續

答案 B

解題思路

一般來說,研究分段函數在分段點處的連續性時,應當分別考察函數的左右極限;在具備連續性的條件下,為了研究分段函數在分界點處可導性,應當按照導數定義,或者分別考察左右導數來判定分段函數在分段點處的導數是否存在.因此,本題應分兩步:(1)討論連續性;(2)討論可導性.解(1)討論函數在點x?0處的連續性

1?0?f(0),可知函數f(x)在點x?0處是連續的.由于limf(x)?limxsinx?0x?0x

(2)討論函數在點x?0處的可導性

1xsin?0f(x)?f(0)1x?lim?limsin

由于lim不存在,所以,函數f(x)在點

x?0x?0x?0x?0xxx?0處不可導.??x

例12 設f(x)????p必須滿足（）p1sin01x,x?0,x?0 在點x?0可導,但是f?(x)導數在點x?0不連續,則

A0?p?1

B1?p?2

C0?p?2

D1?p?答案 B

解題思路

(1)當p?1時,下述極限不存在: x因此f?(0)不存在.當p?1時, x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1

x?0xxx所以f?(0)?0.x?0limf(x)?f(0)xsin?limx?0p1x?limxp?1sin1?0

x?0xx這就是說,只有當p?1時, f?(0)才存在,所以選項A,C可以被排除.(2)當p?1時

0,x?0?? f?(x)??11p?1p?2sin?xcos,x?0?pxxx?當且僅當p?2?0,即p?2時,limf?(x)?0?f?(0),所以當且僅當1?p?2時，x?0f(x)在點x?0可導,但是f?(x)在點x?0不連續.例13(95403)設f(x)可導，且滿足條件limf(1)?f(1?x)2x12x?0??1,則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為（）(A)2,(B)?2,(C),(D)?1

答案 B

解 記?u??x,則有

f(1)?f(1?x)1f(1??u)?f(1)1lim?lim?f?(1)x?02x2?u?0?u2

例1

4設y?ln(1?2x),則y

(A)(10)?()

9!(1?2x)10

(B)?9!(1?2x)10

(C)10!?2910(1?2x)

(D)?9!?21010(1?2x)

答案 D

解題思路

求高階導數的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導數;找出規律,即可寫出高階導數.?2y??, 1?2x?21y???(?2)(?1)?(?2)(?1)(?2)

22(1?2x)(1?2x)y????(?2)(?1)(?2)(?2)?2(1?2x)3

y(10)??9!?21010(1?2x).例17

(90103)設函數f(x)有任意階導數,且f?(x)?f(x),則f(n)(x)?(n?1),(n?2).n?1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解題思路 這是一個求高階導數的問題,涉及到求抽象函數的導數.解

由f(x)有任意階導數且f?(x)?f(x),可知

2f??(x)?f(x)3????2f(x)?f?(x)?2f(x)?f????f(x)??2f(x)??3?2f(x)?f?(x)?3!f2(n)n?12(x)?2f(x),(x)

34依此由歸納法可知 f(x)?n!f(x)

注意(1)當n?1,n?2時雖然(B)也正確,但當n?2就不正確了,所以將(B)排除之;

?222(2)在求導數f(x)時,可將函數f(x)看成是由y?t與t?f(x)復合而成的,??????(t)??f?(x)?2t?f?(x)?2f(x)?f?(x).?(初學者可能會這樣做:?f(x)??2f(x),后面丟掉一個因子f?(x).則根據復合函數的求導法則,故f(x)222

例18(91303)若曲線y?x?ax?b和2y??1?xy在點(1,?1)處相切，其中

23a,b是常數,則（）(A)a?0,b??

2(B)a?1,b??3

(C)a??3,b?

1(D)a??1,b??1

答案 D

解題思路

兩曲線在某點相切就是指兩曲線在此公共點處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應相等.解

曲線y?x?ax?b在點(1,?1)處的斜率是

2k1?(x?ax?b)?2x?1?(2x?a)x?13?2?a

另一條曲線是由隱函數2y??1?xy確定,該曲線在點(1,?1)處的斜率可以由隱函數求導數得到: 對于方程2y??1?xy兩邊求導得到2y??3xyy??y,解出y?得到此曲線在點(1,?1)處的斜率為

k2?y?x?1y??1323?y322?3xy?1

x?1y??12令k1?k2,立即得到a??1.再將a??1,x?1,y??1代入y?x?ax?b中得出b??1.例19設f(x),g(x)定義在(?1,1)，且都在x?0處連續，若?g(x)?x?0f(x)??x，則（）?x?0?2(A)limg(x)?0且g'(0)?0，(B)limg(x)?0且g'(0)?1

x?0x?0(C)limg(x)?1且g'(0)?0

(D)limg(x)?0且g'(0)?2

x?0x?0 答案 D

解題思路 分析函數f(x)的表達式,并運用f(x)在x?0處連續這一關鍵條件.解 既然f(x)在x?0處連續,于是必有limf(x)?limx?0g(x)xx?0?2,于是必有limg(x)?0.于是又有g?(0)?limx?0g(x)?g(0)xx?0?limg(x)xx?0?2.?1?cosx? 例 20(99103)設f(x)??x2?xg(x)?x?0x?0 其中g?(x)是有界函數,則f(x)在x?0處()(A)極限不存在(B)極限存在,但不連續

(C)連續,但不可導(D)可導

答案 D

解題思路

若能首先判定f(x)在x?0處可導,則(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f??(0)?lim21f(x)?f(0)?x?0x?0x2?limx?01?cosx?3?limx?02?3?limx?0x2?x)

2x22?0

(x?0時1?cosx~ f??(0)?lim2f(x)?f(0)?x?0xx?0由于f(x)在x?0點的左導數等于右導數,因而 f(x)在x?0處可導.x?0x?0??limxg(x)2?limxg(x)?0（g(x)是有界函數）

? 例21 設f(x)?sinx,則(f(f(x)))??()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 設f(x)是可導函數,則()A.若f(x)為奇函數,則f?(x)為偶函數B.若f(x)為單調函數C.若f(x)為奇函數,則f?(x)為奇函數D.若f(x)為非負函數 答案 A

解題思路 根據導數定義,利用函數的奇性.解 由于f(?u)??f(u),所以 ,則f?(x)為單調函數 ,則f?(x)為非負函數

f?(x)?limlimf(x??x)?f(x)?xf[?x?(??x)]?f(?x)?x?0?lim?f(?x??x)?f(?x)?x

?x?0??x因此f?(x)為偶函數.?x?0?f?(?x)例23 設y?esinsin22x,則dy?()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解題思路 運用復合函數微分法

例 24 設f?(0)存在,lim(1?x?0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1?cosf(x)sinx1)x?e,則f?(0)?()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1?x?01?cosf(x)sinx1)x?e

可以知道當x?0時,有

lim(參閱第一章1.5的例2)

x?011?cosf(x)??1 xsinxf2當x?0時,sinx與x是等價無窮小,1?cosf(x)與

(x)2是等價無窮小.于是

f(x)11?cosf(x)1lim??lim?1 2x?0xx?0sinx2x又因為f?(0)存在,所以此式又推出 f?(0)?limf(x)xx?02?2.1?,x?0?arctan 例 25 設f(x)?? 在點x?0可導,則()x?ax?b,x?0?A.a?1,b??2 B.a?1,b?0 C.a??1,b???2 D.a??1,b??2

答案D

解題思路 先考察函數在點x?0左右極限,確定連續性,再考察左右導數.由可微性最終確定a,b.解

1???,所以b??.(1)limf(x)?lim(ax?b)?b,limf(x)?limarctan??x?0x?0x22x?0x?0??于是f(0)??2.(2)f??(0)?a,f??(0)?limx?0f(x)?f(0)?arctan?limx?0?1xx??2

xarctan1xx??2: 以下需要用洛比塔法則求極限limx?0?

arctanlimx?0?1x??2?lim?(arctan1xx???2)??limx?0??1x2xx?0于是由f??(0)?f??(0)推出a??1

?1??1

例26.(93303)若f(x)??f(?x),且在(0,??)內f?(x)?0,f??(x)?0,則f(x)在(??,0)內必有

(A)f?(x)?0,f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0

(C)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0 答案 C

解體思路 所給函數顯然是奇函數,因此f?(x)是偶函數,f??(x)是奇函數.解 由f?(x)?0,x?(0,??)知f?(x)?0,x?(??,0);由f??(x)?0,x?(0,??)知f??(x)?0,x?(??,0).

第三篇：極限緒論習題3

1． 利用有限覆蓋定理證明致密性定理。

證明：反證法：設{xn}：a?xn?b，但是沒有收斂子列。則?x?[a,b]都不是{xn}的任何子列的極限，從而對?x?[a,b]，?O(x,?x)，其中只含有{xn}的有限項。這樣[a,b]??O(x,?x)，x?[a,b]由有限覆蓋定理，有有限子覆蓋[a,b]??O(xi,?xi)。由于?O(xi,?xi)中只含有數列的有限1?i?k1?i?k

項，所以[a,b]也只含有數列的有限項，與已知矛盾。

2． 利用致密性定理證明單調有界定理。

證明：不妨設{xn}單增有界，由致密性定理，有收斂子列xnk?a，所以???0，?K,?k?K,|xnk?a|??。取N?nK?1，則當n?N時，?nk0:nk0?n?nK?1，使得xnK?1?xn?xnk，所以|xn?a|??，所以xn?a。0

3．（1）單調有界函數存在左右極限。

證明：設f(x)在[a,b]單增有界。?x0?[a,b]，要證明f(x0?0)?。下面僅證明f(x0?0)?。取??inff(x)，則對???0，?x'?(x0,b],s.t.f(x')????。取??x'?x0，則當0?x?x0??[x0,b]

時，??f(x)?f(x')????，所以|f(x)??|??，得到f(x0?0)??。

（2）單調函數的不連續點都是第一類間斷點。

證明：設f(x)在[a,b]單增有界。設x0是f(x)的間斷點，由（1）知f(x0?0)?，所以x0不是第二類間斷點。另外f(x0?0)?f(x0?0)也不可能成立，因為f(x)單增，f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)，就有f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)，這樣x0成為f(x)的連續點，矛盾。綜上可見，x0只能是f(x)的第一類間斷點。

4． 設f(x)?C(a,b)，f(a?0),f(b?0)?，則f(x)可取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值（但

可能不等于f(a?0),f(b?0)）。

?f(a?0),x?a?證明：構造輔助函數：F(x)??f(x),x?(a,b)，則F(x)?C[a,b]。由介值定理，F(x)

?f(b?0),x?b?

能取到最大值和最小值之間的一切值，因而也能取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值，從而f(x)可取到f(a?0),f(b?0)之間的一切值（但可能不等于f(a?0),f(b?0)）。

第四篇：函數極限習題

習題1—2

1．確定下列函數的定義域：

（1）y?；

x?9（4）y?2．求函數

?1?siny??x??0

(x?0)(x?0)

（2）y?logaarcsinx；

（3）y?

； sin?x

1x?1

（5）y?arccos?loga(2x?3)；?loga(4?x2)

x?22的定義域和值域。

3．下列各題中，函數f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)?

x,g(x)?x0。x

?

2；

x2?1

（3）f(x)?,g(x)?x?1；

x?1

4．設f(x)?sinx證明：

f(x??x)?f(x)?2sin

?x

?x??

cos?x?? 22??

5．設f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，試確定a,b的值。

6．下列函數中哪些是偶函數？哪些是奇函數？哪些是既非奇函數又非偶函數？

1?x22223

（1）y?x(1?x)（2）y?3x?x；（3）y?；

1?xax?a?x

（4）y?x(x?1)(x?1)；（5）y?sinx?cosx?1（6）y?。

7．設f(x)為定義在(??,??)上的任意函數，證明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x)偶函數；（2）F2(x)?f(x)?f(?x)為奇函數。

8．證明：定義在(??,??)上的任意函數可表示為一個奇函數與一個偶函數的和。9．設f(x)定義在(?L,L)上的奇函數，若f(x)在(0,L)上單增，證明：f(x)在(?L,0)上也單增。

10．下列各函數中哪些是周期函數？對于周期函數，指出其周期：（1）y?cos(x?2)（2）y?cos4x；（3）y?1?sin?x；（4）y?xcosx；（5）y?sin2x（6）y?sin3x?tanx。11．下列各組函數中哪些不能構成復合函數？把能構成復合函數的寫成復合函數，并指出其定義域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2；（3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?,u?sinx?2（5）y?,u?x3 12．下列函數是由哪些簡單函數復合而成的？（1）y?(1?x)2?1（3）y?sin2(3x?1)

（2）y?3(x?1)；（4）y?logacos2x。

2x

（3）y?x。

2?1

13．求下列函數的反函數：（1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

14．已知函數f(x,y)?x2?y2?xytan

x，試求f(tx,ty)。y

15．已知函數f(u,v,w)?uw?wu?v。試求f(x?y,x?y,xy)。16．求下列各函數的定義域：

111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?

x?y?z?r

(R?r?0)。

習題1—3

1．利用數列極限定義證明：如果limun?A，則lim|un|?|A|，并舉例說明反之不然。

n??

n??

習題1—4

?x2(x?1)1．設f(x)??

x?1(x?1)?

（1）作函數y?f(x)的圖形；（2）根據圖形求極限lim?f(x)與lim?f(x)；

x?1

x?1

（3）當x?1時，f(x)有極限嗎？ 2．求下列函數極限：

xx

（1）lim?；（2）lim?2；

x?0|x|x?0x?|x|3．下列極限是否存在？為什么？（1）limsinx；

x???

（3）lim?

x?0

x。

x2?|x|

（2）limarctanx；

x??

（3）limcos；

x?0x

（4）lim(1?e?x)；

x??

（5）lim

|x?1|；

x?1x?1

（6）lime?x。

x???

習題1—5

求下列極限

?111?2n??1

?????1．lim?； 2.； lim??????22?x???1?2x???n22?3n(n?1)nn???x2?2x?1

4．lim；

x?1x2?1

x2?5

3.lim； x?2x?3

(x?h)2?x2

5.lim；h?0h

6.lim

x?1x?1

x?1。

習題1—6

1．求下列極限：

sinax

（1）lim(b?0)；

x?0sinbx2x?tanx

（4）lim；

x?0sinx

（2）lim

tanx?sinx；

x?0x3

（3）lim

1?cosx；

x?0xsinx

2??； x?

x

arcsinx

（5）lim；

x?0x

?

（6）lim?1?

x???

?1?

（7）lim?1??；

t???t?

x

t

?1?

（8）lim?1??

x???x?

x?3；

x2?1

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?

（10）lim??；

x???x?a?

?x2?2?

?（11）lim?

x???x2?1???

1??

；（12）lim?1??。

x???n?

n

2．利用極限存在準則證明：

11??1

（1）limn?2?2???2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）數列,2?2,2?2?2，?的極限存在；（3）lim

x2?1

?1。x?1

x???

習題1—7

1．當n無限增加時，下列整標函數哪些是無窮小？

(?1)n12n?11?cosn?

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n?1nnn

2．已知函數

xsinx,2，ln(1?x),ex,e?x

xx

（1）當x?0時，上述各函數中哪些是無窮小？哪些是無窮大？（2）當x???時，上述各函數中哪些是無窮小？哪些是無窮大？

（3）“是無窮小”，這種說法確切嗎？

x

3．函數y?xcosx在(??,??)是是否有界？又當x???地，這個函數是否為無窮大？為什么？

4．求下列極限

n2?n1?a?a2???an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|?1,|b|?1)

x??n?2x??1?b?b2???bnx??n?1

4x2?1(?2)n?2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x?5x?1x??(?2)?3x??1x?1x?

5．求下列極限：

sinx??

（1）lim?ex??；

x????x?

（2）limx?cos；

x?0x

（3）lim

?

n

n??

sinn?；

e?xarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）lime?xarctanx。

x???x??arctanxx??x

6．下列各題的做法是否正確？為什么？

（1）lim

x?9x?9

???

x?9x?9lim(x?9)

x?9

lim(x2?9)

1111

?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1

cosx1

（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x

7．證明：當x?0時，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等價無窮小的性質，求下極限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x?0sin3xx?0arctanx

sinxnx

（3）lim（為正整數）；（4）。limm,n

x?0(sinx)mx?0??cosx

（1）lim

9．當x?1時，x3?3x?2是x?1是多少階無窮小？

x?11

10．當x???時，4是是多少階無窮小？

x?1x111

11．當x??時，sin是是多少階無窮小？

xxx

習題1—8

1．研究下列函數的連續性，并畫出函數的圖形： x

（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)

（2）f(x)??；

?2?x(1?x?2)

?x2(|x|?1)?|x|(x?0)

（3）f(x)??；（4）?(x)??。

1(x?0)x(|x|?1)??

2．指出下列函數的間斷點，說明這些間斷點屬于哪一類？如果是可去間斷點，則補充或改變函數的定義使它連續。

x2?1n21（1）y?2；（2）y?；（3）y?cos。

tanxxx?3x?2

?ex(0?x?1)

3．a為何值時函數f(x)??在[0，2]上連續？

?a?x(1?x?2)1?x2n

x的連續性，若有間斷點，判斷共類型。4．討論函數f(x)?lim

n??1?x2n

5．函數z?

y2?2xy2?2x

在何上是間斷的？

習題1—9

1．設f(x)連續，證明|f(x)|也是連續的。

2．若f(x)在[a,b]上連續，且在[a,b]上f(x)恒為正，證明：續。

3．求下列極限：

（1）lim

x?0

在[a,b]上跡連f(x)

(sin2x)3；（3）limx2?2x?5；（2）lim?

x?

sin5x?sin3x；

x?0sinx

（6）lim

ax?absinx?sina

(a?0)；（4）lim；（5）lim

x?bx?ax?bx?a

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

x???x?0x?x

ln(1?3x)；

x?0x

（9）lim(x?2x?1)；

x???

（10）lim?

x?2

x?2?x?2；

x?4

ln(a?x)?lna

（12）lim。

x?0x

（11）lim

x?x?x

x?1

x???

習題1—10

1．證明：方程x?3x?1在區間（1，2）上至少有一個根。

x1,x2,?,xn是[a，2．設f(x)在閉區間[a，b]上連續，b]內的n個點，證明：???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n

附件習題

1．用數列極限的定義證明：

(?1)n?11

（1）lim（2）lim(1?n)?1； ?0；

n??n??n10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n2?4

n??

?3；

n??9n?73

2．用數列極限的定義證明數列{(?1)n}發散。

n??

n??

?0；（5）lim

2n?1

?0；

（6）limqn?0(|q|?1)。

n??

3．設a?0，用數列極限的定義證明極限lima?1。

4．用數列極限的定義證明數列極限的夾逼準則。

5．下述幾種說法與數列{un}極限是A的定義是否等價，并說明理由。

（1）對于任意給定的??0，存在正整數N，使得當n?N時，有|un?A|??；（2）存在正整數N，對任意給定的??0，使得當n?N時，有|un?A|??；（3）對于任意給定??0，存在實數M，使得當n?M時，有|un?A|??；（4）對于0???1，存在正整數N，使得當n?N時，有|un?A|??；

（5）對于任意給定的??0，有正整數N使得當n?N時，有|un?A|?K??，其中K是與?無關的常數；

（6）對于任意給定的正整數m，都有正整數N，使得當n?N時，有|un?A|?。

m

習題18—2

2x?12

（1）lim?；

x??3x?13

x2?1x?1

（2）lim

x??

?1；（3）limx?a(a?0)；

x?a

x4?1

（4）limcosx?cos?；（5）lim（6）limex?0。?4；

x???x??x?1x?1

3．用函數極限的定義證明下列命題：

（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，則lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0

x?x0

x?x0

（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，則

x??

x??

x??

lim

f(x)A

?。g(x)B

4．用Hine定理證明函數極限的四則運算法則。5．證明極限limxsinx不存在。

x???

6．若f(x)在[a,??)上連續，且limf(x)存在，證明：f(x)在[a,??)上有界。

x???

7．設f(x)在(a,b)上連續，又lim?f(x)?A,lim?f(x)?B，且A?B，則???(A,B)，x?a

x?b

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

8．設f(x)在[a,b]上連續，如果xn?[a,b]，數列{xn}收斂，且limf(xn)??，證明：

x???

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

第五篇：函數極限與連續習題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續 f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續f(x)在x?x0點不連續，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數f(x)有limf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數值，它在這點連續嗎？(3)求出的連續區間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續（3）（0，1）（1，2）