第一篇：極限歲月

極限歲月

我是一個平凡的人，我的故事也是平凡的故事。

很小的時候，我不知道什么叫優秀和平庸。

但我，卻打心里認為我跟別人不同。我不用努力學習，每次總是第一名。

連我的嗅覺，我很遠就能聞到媽媽為我炒的辣椒炒肉。

我甚至以為，我是龍的傳人，我有一次皮膚

病，有些地方脫了皮。

但我以為那是龍在換鱗。

我盲目的認為自己是一個優秀的人

換來的是自己的放縱和不羈。

我足足用了幾年來弄明白我和別人都是一樣的只不過是智商稍高一點而已

當我意識到這一點后，我開始努力做到和別人不同

抽煙，喝酒，打群架，在學校做老大

經歷過兩次教訓之后，我的目標沒有變

我依然要做到和別人不同，但方向變了。

我總是渴望更高的目標，不管會不會“孤獨的飛鷹總是愈來愈高”

我以為人生就是要實現自己的精彩。不管是高的好的還是低的壞的目標

所以，當我有了一次重大的決定自己的權利時，我選了軍校......

二

我踏進學校的第一天我就想退學

但是懶慣了的我也懶的去退學

于是我就不得不去習慣這兒的一切

我是太懶了，懶得去掙拖束縛

懶得去擺拖每天的早操，軍姿和正步

懶得去卸下學員干部的重任

好多事懶得去想，只有去做

好多故事懶得以后回憶，只好現在寫下來

三

“為什么要這樣??？”征已經在哭嚎了。

他們在一班的宿舍里，阿偉，凌云，小源，阿好都在，在桌上凌亂的擺著幾個空飯盒，里面裝著不知什么樣的殘羹剩汁，飯盒旁是幾個空空的“紅星二鍋頭”的瓶子和幾袋花生。此外，每個人的手上還拿著一瓶。

“大家別這樣，如果要開我的話，讓我開開心心地走，不要為我留淚”凌云抬起了頭，自己的眼淚卻已經掛在眼角。

“大家不要再喝了，我們還有很多事要做的?！卑ピ诎参縿⒄?。征把頭埋進自己的懷里，好象也要把自己的悲傷埋進心里一樣。阿偉伸出手去，撫摩著征的頭，卻驚愕地發現這個鐵漢子的淚水已經留出來了。

小源嘴里也罵著什么，但眼水一樣不爭氣的留了下來。

阿偉也不知道是在跟誰說了，“凌云不會走的，凌云不會走的，大家怎么了，不要留這種不值錢的眼淚。”他走來走去的，說了一句，“我去買包煙?！?/P>

他走出房門，順手把門拉上，卻發現自己的眼淚已經不爭氣的留了下來，他擦了擦臉，強迫自己的面部肌肉做了一個笑的動作，義無返顧的朝著小賣部走去，他走的有點壯烈，因為他去買煙，口袋里卻一分錢也沒有。

四

當全隊要重新整編的消息傳來的時候，所有的人的木了。

有誰愿意跟以前拳腳相見的人同住一間房子，有誰愿意離開自己朝夕相處的弟兄?？墒?，有兩個人還是邪邪的笑。

一個是阿偉，他對他的好兄弟凌云邊說邊笑邊動手，“以后見了你，見一次打你一次，現在是各為其主了，不要怪我心狠手辣！”

另一個人是英侃，他居然在中隊長面前口出狂言，“媽個*，又跟于雷一個班，真討厭”。

所有的人都顫抖了，他欺負人家還不夠，他們班的暗號就是“于雷吃屎！”可是中隊長只是笑了笑，因為英侃實在是太可愛了。

然后大家就聚在一塊談論英侃的壯舉：他82天不洗澡的隊記錄，他用來洗腳的牙膏的品牌，他怎樣一個下午花掉一千元，他能壓垮床的體重。

大家都樂著，好象都忘了整編一樣，沒有人去提，沒有人愿意去提！

五

英侃喝多了，他跟著劉征和志平一塊兒在五班喝的，三人都喝的暈頭了，劉征和志平躺在自己的床上就睡了，英侃也不行了，于是，他只有趴在阿堅的床上睡了，哎喲！阿堅的床沒有枕頭，好不舒服！天花板怎么在動啊，我沒有喝多吧？

沒有枕頭好不爽啊，偷別人一個，拿誰的，劉哥不能惹，小源也不行，他發火了不借給我錢吃飯怎么辦，小寒吧，他丫整天笑的跟他媽賣*似的?？隙ú粫l火。我偷，我拿，我抽……

啊，枕頭拿過來了，小寒呢？

英侃看上去有些迷茫，剛才還在這的，怎么一眨眼就沒了，不管了，我睡覺，先。

他回過頭來，要上床睡覺，卻好象忘了一點，兔子也有咬人的時候。小寒就站在他的身后。

英侃不知道，他只是看見七，八個小寒

第二篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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三． 等價無窮小：

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第三篇：生命極限

誰為孩子的生命買單?

少年兒童是這個社會的弱勢群體，他們周圍處處暗藏著危機!孩子是嬌嫩的花苞，是祖國的未來，是早上初升起的太陽。有了孩子，家才算完整，有了孩子，家才更有生機，有了孩子，生活才更有奔頭。然而，就在這些嬌小的身軀周圍暗藏著危機!拐賣兒童防不勝防，孩子掉進深井、跌落夾縫、溺水而亡、電擊致殘等等一幕幕悲慘地畫面時常出現在生活中，播放在熒幕上，父母傷心欲絕，泣不成聲。

最近木木男性保健社區報上刊登了一則為生命極限——拯救孩子的文章例舉了近年來的一些案例。2013年4月21日下午，河北黃驊市閆莊子村一男童墜入8米深機井，幸好路人及時發現下井進行救援，落井男童才被救出。

2013年4月18日下午，唐山遵化新店子鎮康各莊村一名兩歲的兒童掉入30米深井中，被卡在5米處，經遵化消防奮力營救，孩子才被成功救出。

2013年4月13日平鄉縣賈周章村一名5歲男童落入深井，經過三個小時消防隊員、村民的合力營救，終于將男童救出。

2012年10月30日下午，蘭州七里河區林家莊一待建工地突發意外，一名10歲男童在工地玩耍時落入一處深32米的樁基井中。經七里河公安分局下西園派出所、七里河消防中隊救援人員近半小時的努力，男孩才成功獲救。

2012年7月16日，在漯河火車站，一位2歲多女童在火車發動前夕掉入火車車體與站臺之間的夾縫中難以脫身，千鈞一發之際，一位消防戰士將身體探入夾縫，費力將其救起。

2012年7月2日下午，在南寧市濟南路桂登商場，一名9歲的男孩在玩耍時，不小心從商場二樓的手扶電梯掉進電梯夾縫中，墜落到一樓。事發后，男孩被送往附近醫院救治。

2011年10月17日下午，位于220國道菏澤市牡丹區王浩屯鎮觀音王村的田地里，一名三歲男孩和同伴玩耍時不慎落入廢棄的機井內，幸好井中水不深，經當地村民和消防隊員的奮力營救，男童才得以脫險。2011年8月13日下午，在白銀區四龍鎮黃河岸邊，3個小孩玩耍時在黃河中遇險，其中僅有一名小孩獲救，另兩名小孩溺水身亡。

2011年7月14日，地鐵南京南站發生一名5歲小女孩在上車時失足踏空，跌入列車與站臺之間的縫隙中，幸虧被及時拉出，只是受了皮外傷。

2011年6月3日晚，通州區馬駒橋鎮南堤村一名11歲男童不慎落入這口15米深的廢棄豎井中，經過3個多小時的緊張救援，孩子最終被消防員拉出豎井。但遺憾的是，男孩不幸夭折。

2010年4月25日，九江市九湖公路第三水廠旁一名8歲小女孩在玩耍時，不幸被卡在兩房之間一個僅有20厘米寬的墻縫中。經消防官兵三個小時的奮力營救，終于救出女童。

2009年1月27日晚上4歲多的男孩徑直掉進居民樓外墻和樓下院壩之間一段3米深、寬不足1米的夾縫中，進過群眾齊力營救，才將孩子安全救出。

2007年6月10日中午，平谷區黃松峪鎮大東溝村，一名8歲男童游玩時，不慎落入村口路邊的大口井中，溺水身亡。

2003年1月27日下午，廣州市黃埔區南崗鎮一名5歲兒童玩耍時，不幸被夾在兩墻之間的夾縫中。經干警和消防人員經過1小時的共同努力，兒童才得以救出。

2002年6月7日下午，家住6樓的一名三歲半男童獨自在家時，掉進陽臺防盜網的空隙，小腦袋被卡在鐵欄間，身體懸在半空中，痛苦掙扎，哇哇直哭。被居民發現后立刻通知小區保安隊，幾名保安人員及時趕到，將懸在半空長達20分鐘的孩子救起。

2001年2月27日晚，一名小男孩夾在40米高樓頂樓樓梯間，經過消防官兵近50分鐘的拼死努力，小男孩才被成功營救。

這些案例觸目驚心，孩子父母撕心裂肺的痛哭，我們在同情之余可否想過為什么意外會頻頻發生?父母大意，社會安全隱患的存在，使孩子的安全處處受到威脅。為人父母，切不可因工作而忽略對孩子的照顧，孩子沒了安全感，掙再多的錢又有什么用呢?社會也應加強安全隱患的排除，對廢棄的礦井、水井、廢坑等要及時的處理掉，該掩埋，該加蓋的都要做到位。對水域加護，豎立警告牌，父母、學校要加強對孩子的安全教育，特別是加深對危險的認識，讓孩子分清善與惡，好與壞，安全與危險。最大限度保證孩子的人身安全，讓他們在安全的環境下，快樂健康的成長起來。誰為孩子的生命買單?請記住孩子的生命是無價的!

第四篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助?！娟P鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個?？?，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯系本人。）

第五篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x