第一篇：高等數學習題7-1

習題7-

11.判定下列平面點集中哪些是開集、閉集、區域、有界集、無界集？并指出集合的邊界.（1）?(x,y)x?0,y?0?；

（2）?(x,y)1?x2?y2?4?；

（3）?(x,y)y?x2?；

（4）?(x,y)x2?(y?1)2?1且x2?(y?1)2?4?.解（1）集合是開集，無界集；邊界為{(x,y)x?0或y?0}.（2）集合既非開集，又非閉集，是有界集；邊界為

{(x,y)x?y?1}?{(x,y)x?y?4}.222

2（3）集合是開集，區域，無界集；邊界為{(x,y)

（4）集合是閉集，有界集；邊界為

{(x,y)x?(y?1)?1}?{(x,y)22y?x}.2x?(y?1)?4} 22

2.已知函數f(u,v)?uv，試求f(xy,x?y).解f(xy,x?y)??xy?

3.設f(x,y)?(x?y).?2xy，證明：

f(tx,ty)?tf(x,y).2

解

f(tx,ty)?2

2txy?t22txy?t222xy ??tf(x,y).?y?4.設f???

?x?x(x?0)，求f(x).?y?解

由于f???

?

x?x?1，則f?x??.5.求下列各函數的定義域：

（1）z?x?y

x?y2222；（2）z?ln(y?x)?arcsinyx；

（3）z?ln(xy)；（4）z?；

（5）z?（6）u?arccos

.解（1）定義域為?(x,y)y??x?；

（2）定義域為?(x,y)x?y??x?；

（3）定義域為?(x,y)xy?0?，即第一、三象限（不含坐標軸）； ?

（4）定義域為?(x,y)

?

xa

2?

??1?； 2b?y

（5）定義域為?(x,y)x?0,y?0,x2?y?；

（6）定義域為?(x,y,z)x2?y2?z2?0,x2?y2?0?.6.求下列各極限：（1）

lim

x?xy?y

x?y

；（2）1xy

(x,y)?(2,0)(x,y)?(0,0)

lim

ln(x?y?1)sin(xy)y；

（3）

(x,y)?(0,0)

lim(x?y)sin

；（4）

(x,y)?(2,0)

lim；

（5）

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)x；（6）

(x,y)?(??,??)

lim(x?y)e

22?x?y

.解：（1）

(x,y)?(2,0)

lim

x?xy?y

x?y

?f(2,0)?

?2；

（2）

(x,y)?(0,0)

lim

u

1?lim?lim?； u?0u?0ln(x?y?1)ln(1?u)u2

1?cos（3）因為

(x,y)?(0,0)

limin(x?y)?0，且s

1xy

1?有界，故

(x,y)?(0,0)

lim(x?y)sin

1xy

?0；

（4）

(x,y)?(2,0)

lim

sin(xy)y

?

(x,y)?(2,0)

limx

sin(xy)xy

?2?1?2；

（5）

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)?

x

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)

xy

?y

?e?e；

（6）當x?N?0，y?N?0時，有0?

(x?y)e

x?y

?

(x?y)e

x?y，而

(x,y)?(??,??)

lim

?x?y?

e

x?y

?lim

ue

2u

u???

?lim

?x?y

2ue

u

u???

?lim

2e

u

u???

?0

按夾逼定理得

(x,y)?(??,??)

lim(x?y)e?0.7.證明下列極限不存在：（1）

lim

x?yx?y；

(x,y)?(0,0)

?x2y,?42

（2）設f(x,y)??x?y

??0,x?y?0,x?y?0,22

(x,y)?(0,0)

limf(x,y).證明（1）當(x,y)沿直線y?kx趨于(0,0)時極限

x?yx?y

x?kxx?kx

1?k1?k

(x,y)?(0,0)

lim?lim

x?0y?kx

?

與k有關，上述極限不存在.（2）當(x,y)沿直線y?x和曲線y?x2趨于(0,0)有

lim

xyx?yxyx?y

(x,y)?(0,0)

?lim

xxx?xxx

4x?0y?x

?lim

xx?1x

x?0y?x

?0，(x,y)?(0,0)

lim?lim

x?0

2y?x

x?x

?lim

x?0y?x

2x

?

12，故函數f(x,y)在點(0,0)處二重極限不存在.8.指出下列函數在何處間斷：

（1）z?ln(x?y)；（2）z?

1y?2x

.解（1）函數在(0,0)處無定義，故該點為函數z?ln(x?y)的間斷點；（2）函數在拋物線y?2x上無定義，故y?2x上的點均為函數z?點.9.用二重極限定義證明：

1y?2x的間斷

(x,y)?(0,0)

lim

2?0.證

?0?

?

2?

?

?

其中??P(x,y)，于是，???0，???2??0；當0????時，?|OP|，?0??成立，由二重極限定義知

(x,y)?(0,0lim

?0.10.設f(x,y)?sinx，證明f(x,y)是R2上的連續函數.證設P0(x0,y0)?R2.???0，由于sinx在x0處連續，故???0，當|x?x0|??時，有

|sinx?sinx0|??.以上述?作P0的?鄰域U(P0,?)，則當P(x,y)?U(P0,?)時，顯然

|x?x0|??(P,P0)??，從而

|f(x,y)?f(x0,y0)|?|sinx?sinx0|??，sinx作為x、y的二元函數在R2即f(x,y)?sinx在點P0(x0,y0)連續.由P0的任意性知，上連續.

第二篇：高等數學習題-第78章_

高等數學第七、八章練習題

1.指出下列各點所在的坐標軸、坐標面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).2.已知點M(-1，2，3)，求點M關于坐標原點、各坐標軸及各坐標面的對稱點的坐標.3.在z軸上求與兩點A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點.4.證明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.5、已知向量a=（0，3，1），b=（1，2，-1），則a?b=______；

6、過點A（1，-2，1）且以a=（1，2，3）為法向量的平面方程是_____；

7、過點（1，-2，3）且與平面7x?3y?z?6?0平行的平面方程是＿＿；

8．已知兩點M1(4,2,1)與M2(3,0,2)，求M1M2，方向余弦，方向角．

9．試確定m于n的值，使向量a?{?2,3,n}與向量b?{m,?6,2}平行．

10、已知平面?1：A1x?B1y?C1z?D1?0與平面?2：A2x?B2y?C2z?D2?0，則??????1||?2的充要條件是＿＿，而?1??2的充要條件是＿＿；

11、平面3x?y?2z?1?0的法向量為(3,?1,2)＿＿；

12、過點（1，-2，2）且以向量a=（1，-2，3）為方程向量的直線方程是＿＿；

13、指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？

22(1)x－2y=1；(2)x+y=1；

222(3)2x+3y=1；(4)y=x.14、求下列旋轉曲面的方程．

（1）將zOx面上的拋物線z?5x繞x軸旋轉一周； 2?

x2y

2??1繞y軸旋轉一周；（2）將xOy面上的橢圓9

4（3）將xOy面上的雙曲線4x2?9y2?36分別繞x軸及y軸旋轉一周；

（4）將xOy面上的直線y?2x?1繞x軸旋轉一周．

15、求下列二元函數的定義域，并繪出定義域的圖形.(1)z?z?ln(x?y)(3)z?1(4)z?ln(xy?1)ln(x?y)

16.求下列函數的定義域，并指出其在平面直角坐標系中的圖形：(1)z?sin212；

(2)z

x?y?

122(3)f(x,y)x?y)；

(4)f(x,y)17、函數z?x?y)的定義域為 ???????。

arcsinx18、函數z?的定義域為 ???????。y

?y?

19、設函數f(x,y)?x2?y2?xyln??x??，則f(kx,ky)= ???????。20、設函數f(x,y)?xy

x?y，則f(x?y,x?y)= ???????。

21、極限lim

sin(xy)

x?0y??

x

= ???????。

22、極限lim

ln(y?ex

2)x?0。

y?

1x2

=??????? ?y23、求極限limxyex

x?0

4?。

y?0

?xy

24.計算下列極限：

limex(1)?y

xy)

x?0x?y；

(2)lim

sin(;

(x,y)?(0,3)xy?

1sin(x3?y3(3)lim)；

(4)

(x,y)?(0,0)x?y

(x,ylim)?(0, 0)

.25.求下列極限：

(1)(x,limy)?(0,0)(x2?y2)sin1xy；

(2)(x,ylim)?(0, 0).limx226.極限y

x?0x4?y

2=（）

y?0

(A)等于0；(B)不存在；(C)等于

12；(D)存在且不等于0或12

?

27、設函數f(x,y)???xsin1?ysin

1xy?0，則極限lim?yx

x?0

f(x,y)=?0

xy?0

y?0

(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于228.說明下列極限不存在：

(1)limx?yx?0；(2)limx3y

6?0

x?yx?0y?0

x?y

2.y?

xy229、設函數f(x,y)??

?x2?y

2x2?y?0，則f(x,y)??

0x2?y2?0

(A)處處連續；(B)處處有極限，但不連續；

(C)僅在（0,0）點連續；(D)除（0,0）點外處處連續30、函數z?f(x,y)在點(x0,y0)處具有偏導數是它在該點存在全微分的(A)必要而非充分條件；(B)充分而非必要條件；(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件

31.下列函數在何處間斷？

（）

（）

（）

(1)z?

1；

x?y

2(2)z?

32、設z?sin(3x?y)?y，則

?z?x

x?2y?

1?_________。

33.偏導數fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函數z=f(x,y)在點(x0,y0)連續的()A 充分條件B 必要條件

C 充要條件D 即非充分也非必要條件

34.函數f(x,y)?(0,0)處的偏導數存在的情況是().A fx(0,0)，fy(0,0)都存在B fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在C fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在D fx(0,0)，fy(0,0)都不存在35、設z?yx

ln(xy)，求?z?z

?x,?y

。36.求下列函數偏導數：

(1)z=x

3+3xy+y3

；(2)z?siny

2x

;

(3)z?ln(x?3y)；(4)z?xy?lnxy(x?0，y?0,x?1)

z(5)u?xy；

(6)u?cos(x2?y2?e?z)

37.求下列函數在指定點處的偏導數：

(1)f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2)f(x,y)?arctanx2?y2

x?y

;求fx(1,0)

(3)f(x,y)?sin(x2?1)earctan(x2

;求fx(1,2)；

(4)f(x,y,z)?ln(x?yz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1).38

．設r 2

(1)???r???x??????r???y??????r???z?

??1;(2)?2r?2r?2r?x2??y2??z

?2r;(3)

?2(lnr)?2(lnr?x2?)?2(lnr)

1?y2??z2?r

2.39.求下列函數的二階偏導數?2z?2z?2

z?x2,?y2,?y?x

：(1)z?4x3?3x2y?3xy2?x?y；(2)z?xln(x?y).40.求下列函數的全微分：

(1)z=4xy3

+5x2y6；

(2)z(3)u=ln(x－yz)；(4)u?x?sin

y

?eyz 41.計算函數z=xy

在點(3，1)處的全微分.42.求函數z=xy在點(2，3)處，關于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量與全微分.43.計算(1.04)2.02的近似值.44.設有一個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內高為20 cm，內半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.45.求下列函數的全導數：

3u+2v2

(1)設z=e，而u=t,v=cost,求導數dz；

dt3

(2)設z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x,求導數dz;

dx

t

(3)設z=xy+sint,而x=e,y=cost,求導數dz.dt

46.求下列函數的偏導數(其中f具有一階連續偏導數)：

(1)設z=uv－uv，而u=xsiny,v=xcosy，求?z和?z；

?x?y

224x+2y

(2)設z=(3x+y)，求?z和?z；

?x?yx+2y+3z2

(3)設u=f(x,y,z)=e,z=xcosy，求?u和?u；

?x?y

(4)設w=f(x，xy，xyz)，求?w,?w,?w.?x?y?z47、函數z?z(x,y)由方程x?y?z?e

?(x?y?z)

?2z

?所確定，則?x

2?z

。答：?y48、設函數z?z(x,y)由方程xy2z?x?y?z所確定，求

z

49.已知sinxy－2z+e=0,求?z和?z..?x?y

50.求下列函數的二階偏導數(其中f具有二階連續偏導數)：

2(3)z=f(xy,x－y).51.求由下列方程所確定的隱函數z=f(x,y)的偏導數?z,?z：

?x?y(1)x+y+z－4z=0；

(2)z－3xyz=1.22

52.設z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所確定,求?z,?z2,?z.?x?x?x?y

53.設函數f(x,y)?1,則下列結論正確的是()

A 點(0,0)是f(x,y)的極小值點B 點(0,0)是f(x,y)的極大值點 C 點(0,0)不是f(x,y)的駐點D f(0,0)不是f(x,y)的極值

54、函數f?x,y??x?ay

?a?0?在?0,0?處（）

A、不取極值B、取極小值C、取極大值D、是否取極值依賴于a

55、設函數z?1?

x2?y2，則點(0,0)是函數z的（）

（A）極大值點但非最大值點；（B）極大值點且是最大值點；

（C）極小值點但非最小值點；（D）極小值點且是最小值點。

56、設函數z?f(x,y)具有二階連續偏導數，在P0(x0,y0)處，有（）

fx(P0)?0,fy(P0)?0,fxx(P0)?fyy(P0)?0,fxy(P0)?fyx(P0)?2，則

（A）點P0是函數z的極大值點；（B）點P0是函數z的極小值點；（C）點P0非函數z的極值點；（D）條件不夠，無法判定。

?

57．設資本投入為K，勞動投入為L時，某產品的產出量為y，且y?AKL

?，其中A,?,?

為常數，則y對資本的偏彈性?K?，對勞動的偏彈性?L?58.求下列函數的極值：

3(1)f(x,y)=x+y－6xy+18x－39y+16；

(2)f(x,y)=3xy－x－y+1.59.求下列函數的條件極值：(1)z=xy，x+y=1；

2(2)u=x－2y+2z，x+y+z=1.60.要用鐵板做成一個體積為8m的有蓋長方體水箱，如何設計才能使用料最省？ 61.某工廠生產甲、乙兩種產品的日產量分別為x件和y件，總成本函數為

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生產這兩種產品的總量為42件，問甲、乙兩種產品的日產量為多少時，成本最低？ 62.某公司通過電視和報紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費x(單位:萬元)和報紙廣告費y(單位:萬元)之間的關系為

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，(1)若廣告費用不設限，求最佳廣告策略.(2)若廣告費用總預算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求最佳廣告策

略.63.某水泥廠生產A,B兩種標號的水泥，其日產量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求當x=4,y=3時，兩種標號水泥的邊際成本，并解釋其經濟含義.64.設某商品需求量Q與價格為p和收入y的關系為

Q=400－2p+0.03y.求當p=25,y=5000時，需求Q對價格p和收入y的偏彈性，并解釋其經濟含義.2

265.求函數f(x,y)=x(2+y)+ylny的極值.66、某工廠生產兩種產品甲和乙，出售單價分別為10元與9元，生產x單位的產品甲與生產y單位的產品乙的總費用是

400?2x?3y?0.01(3x?xy?3y)元，求取得最大利潤時，兩種產品的產量各為多少？

67．某工廠生產甲、乙兩種產品，產量各為x、y，其成本函數為c(x,y)?x2?2xy?3y2。由市場調查得知，甲、乙兩種產品的單價與產量分別有如下關系：P。1?36?3x,P2?40?5y試求甲、乙兩種產品產量各為多少時總利潤最大？并求出最大利潤。

(元)。

第三篇：高等數學極限習題500道

當x?x0時，設?1＝o(?)，?1?o(?)且lim求證：lim x?x0?存在，????1???1x?x0?limx?x0?．?1 若當x?0時，?(x)?(1?ax)23?1與?(x)?cosx?1是等價無窮小，則a? 1313A．　B．　C．?　D．?．2222 答（）階的是2當x?0時，下述無窮小中最高A　x　B1　?cosx　C　1?x n??2?1　D　x?sinx（）n 答n??? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nsin(?n?2)．2e?1?x11求極限lim(n?)ln(1?)． lim3x?0n??2nxsinx x22的值?_____________ 設有數列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及liman．n??n??n??an?1?an2 設x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?sinx2xnxn?1xn?xn?1，1，求limyn及limxn．n??n??xn求極限limx?0(1?2x)?cosxx2之值． 設limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)x?x0v(x)?A．B lim?ln(1?x)?(x?1)2?x?11A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(1?2x)x?0sinxx? A．1 B．e C．e D．2 2 答（）設u(x)?1?xsin求：lim212.f(u)?ux及limu(x)之值，并討論x?0f(u)?1u?1u?1limf?u(x)??1u(x)?1 的結果．x?0limx?9x?x?6 xx?32的值等于_____________ lime?4ex?x?xx??3e?2e? 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2?x)(3?x)(6?x)835x??? A.?1　B.1　C.12?32053　D.不存在答：（）lim(1?2x)(1?3x)(1?6x)321510x???__________3__ limxe?e1?2xx?xx?0的值等于____________ 求極限lim x?3x?2x?x?x?132 求lim．1?6x?4x?1x?0x(x?5)之值． 已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問limv(x)?？為什么？x?x0 關于極限lim5351結論是：54x?03?exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）設limx?xf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是0x?x0A.limf(x)x?xg(x)?00B.limg(x)x?xf(x)??0C.limx?xf(x)g(x)??0D.limf(xg(x)x?x)??0 答（）f(x)?excosx，問當x???時，f(x)是不是無窮大量． limtanx?1x?0arctanx?A.0 B.不存在.C.?2　D.??2 答（）limarctan(x2)x??x?A.0 B.? C.1 D.?2 答（）lim2x?1?x??x2?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答（）設f(x)?31，則f(?0)?___________ 2?ex limarccot1x?0x?A.0 B.? C.不存在.D.?2 答（）lima?cosx?0，則其中x?0ln1?xa?A.0　　B.1　　C.2　　D.?3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx?0?e?3x的值等于__________1?cosx2(1?cos2x)x?x__ limx?0? A.2　　B.?2　　C.不存在.D.0答：（）設f(x)?px?qx?5x?52，其中p、q為常數． 問：(1)p、q各取何值時，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時，limf(x)?1．x?5求極限limx??(x2nn?2)?(x222nn?2)22(x?1)?(x?1)4． 求極限lim(3x?2)(2x?3)3232x??． 已知limx?3?A?B(x?1)?c(x?1)(x?1)2?2?x?1?0 試確定A、B、C之值． 已知f(x)?試確定常數ax3?bx22?cx?dx?x?2a，b，c，d之值．，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．x??x?1 已知lim(a?b)x?b3x?1?x?3x?x0x?1?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說法是否正確？?(x)為什么？ ＂若lim?(x)?0，則limx?x0 當x?x0時，f(x)是無窮大，且limg(x)?A，x?x0 證明：當x?x0時，f(x)?g(x)也為無窮大．用無窮大定義證明：用無窮大定義證明：limx?12x?1???． 用無窮大定義證明：x?1tanx??? 用無窮大定義證明：3x?0 lim?lnx???．limx???02x?1?0lim1x?1???． 用無窮大定義證明：用無窮大定義證明：x??? lim(x?4x)???．limlogx???a x???(其中0?a?1)． 若當x?x0時，?(x)、?(x)都是無窮小，則當x?x0時，下列表示式哪一個不一定是無窮小.(A)?(x)??(x)(B)?(x)??(x)(C)ln?1??(x)??(x)?(D)22 ?(x)?(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂當x?x0，?(x)是無窮小量＂是＂當x?x0時，?(x)是無窮小量＂的(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）＂當x?x0時，f(x)?A是無窮小＂是＂limf(x)?A＂的：x?x0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．x?x0x?x0證明：lim　　　limf(x)g(x)x?x0?b的充分必要條件是?0．n f(x)?b?g(x)g(x)x?x0用數列極限的定義證明用數列極限的定義證明：liman?? ?0，(其中0?a?1)． ?1(0?a?1)．：liman??1n用數列極限的定義證明lim1?cos(sinx)2ln(1?x)2：limn(n?2)2n?52n???1． 2x?0的值等于___________ 求極限lim?(cosx)xsinx3?1?之值． x?0(1?xsinx)?求極限limx?0x?1x3?之值． lim(cosx?sinx)xx22x2x?1x?0?__________ __ lim(1?2x)x(cosx)23x?1x?0?_____________ lim(1?sinx)?1x?0?__________2sinx3limx?0x?x?11?x?1求極限limx()?1??之值． ?______________ x???x?1?0??(x)?u(x)??(x)，且當x?x0時，?(x)~?(x)． 設在x0的某去心鄰域內試證明：當 x?x0時　?(x)~u(x)．設當x?x0時，?(x)?0，?(x)?o??(x)?，?1(x)~?(x)．lim求證：lim?(x)??(x)u(x)?A．x?x0存在(?A?0)?1(x)??(x)u(x)572x?x0求limx?0(1?3x)?(1?2x)(2x?1)?1之值． 設當x?x0，?(x)，?1(x)，?(x)，?1(x)均為無窮小，且?(x)~?1(x)；?(x)~?1(x)，如果lim1?(x)?(x)1x?x0?A 試證明：lim?1??(x)??(x)?lim?1??1(x)??1(x)．x?x0x?x0 設當x?x0，?(x)，?(x)都是無窮小，且?(x)?0，?(x)?0試證明：?1??(x)? ?(x)~?(x)?(x)． 設當x?x0時，?(x)與?1(x)均為無窮小，且試證明：lim?(x)~?1(x)；如果lim?1．?(x)?(x)x?x0?A?1??(x)?a?(x)?1x?x0?lim?1??1(x)?a?(x)x?x0(式中a是正常數)用數列極限的定義證明 limn??1?0． n!設limxn?A，且B?A?C．n??試證必有正整數N存在，使當 B?AA?Cn?N時恒有　?xn?成立．22 設有兩個數列?xn?，?yn?滿足(1)limxn?0；n??(2)yn?M(M為定數)．試證明：lim(xn?yn)?0．n?? xsin設limf(x)?A，求證：limf(x)?A． 求極限limx?0x?x0x?x021x sinxx1?sin求極限lim?cosln(1?x)?coslnx? 求極限limx?0x???1x． 1x求極限limx??2x1?x2arctan1x． 求極限lim1x(1?e)xx?? 求極限limarctanx?arcsinx?? 求極限limx?02?11x2?2x ． 求數列的極限lim(sinn??n?1?sinn)設lim?(x)?u0，且?(x)?u0，又limf(u)?Ax?x0u?u0試證：limf??(x)??Ax?x0 設f(x)?x?1lnx試確定實數a，b之值，使得： 當x?a時，f(x)為無窮小；當x?b時，f(x)為無窮大。設f(x)?xtanx2，問：當x趨于何值時，f(x)為無窮小。若limf(x)?A，limg(x)?B，且B?Ax?x0x?x0 證明：存在點 x0的某去心鄰域，使得在該鄰域內　g(x)?f(x)．設limf(x)?A，試證明：x?x0對任意給定的??0，必存在正數?，使得對適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：x?x0x?x0limf(x)?A． 若數列?xn?與?yn?同發散，試問數列?xn?yn?是否也必發散？求f(x)?lim x2n?1?x?12n?1n??x2n的表達式 x設f(x)?limn??sin?x?cos(a?bx)22nx?1(其中a、b為常數，0?a?2?)，(1)求f(x)的表達式；(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1求f(x)?lim211?(lnx)22n?1n??的表達式 求f(x)?lim2xn?2n?x?n?1?nn??x?xn的表達式． 設?(x)?x?3x?3，fn(x)?1??(x)??(x)????(x)，求f(x)?limfn(x)．n????xxx求f(x)?lim?x?????的表達式． 2222n?1?n??1?x(1?x)(1?x)??求f(x)?limxnnnn??1?x的表達式． 設Sn??k?1k，其中bk?(k?1)!，求limSn． n??bk22nn?x(1?x)x(1?x)x(1?x)求f(x)?lim?1?????2nn??222???的表達式。?求f(x)?limx(1?(1?limx)?nnnx?1nn?1的表達式，其中n??x)?13a?2(?b)n?1 x?0．求數列的極限n??3a?2(?b)n．(其中a?b?0)． n求數列的極限limn??5?3?3?(?2)32n． 求數列的極限lim(n??12?34?53???2n?12n)． 求數列的極限 lim(1?2q?3q???nqn??n?1)，其中q?1．求數列的極限111??lim?????? n??a(a?1)(a?2)(a?1)(a?2)(a?3)(a?n?1)(a?n)(a?n?1)??其中a?0．求數列的極限求數列的極限?1?11lim?????? n??1?33?5(2n?1)(2n?1)???1111lim??????n??2?33?4n(n?1)?1?2? ?．?求數列的極限求數列的極限liman23n???12?2?3???(n?1)(其中a?0)222?2?1n?lim(1?2?3???(n?1)? ?．n??n?2?2??求數列的極限limn??n(n?2?n?1)． 求數列的極限limn???n?4n?5?(n?1)． n?3n?6?(n?1)(n?1)n432?求數列的極限limn??． 求數列的極限求數列的極限limannn??2?a2 ．(其中a?1)．lim(1?n??12)(1?132)?(1?1n2)． 求數列的極限lim10000nn?12n??． 求數列的極限limn??n?4n?33n?5n?1nnn22． 求數列的極限lim(n?1?n??n)． 求數列的極限limn??1?2?3． 求數列的極限lim2n?a?n?b?2n2n2n?1n?2n??．(a?0，b?0且b?2)3　求數列的極限limn(1?n??n2n?1)． 求數列的極限limn(n??n?1n?2?1)． 求極限lim． n?12n?13?10?2?10若在x0的某鄰域內f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B．n??x?x0x?x02?10?3?10試判定是否可得：若lim?(x)?0，limx?x0x?x0A?B． 1?b?0，則lim?(x)?(x)?0是否成立？為什么？x?x0?(x)確定a，b之值，使limx????3x?4x?7?(ax?b)?0，2?并在確定好a，b后求極限limxx????3x?4x?7?(ax?b)2? 求極限lim(xx??x?1x?12?x)． 求極限limx??2x?cosx3x?sinx2． 2求極限limx??(x?1)?(2x?1)?(3x?1)???(10x?1)(10x?1)(11x?1)2 2求極限limxx????2x?2x?5?(x?1)． 求極限lim(4x?8x?5?2x?1)． x????討論極限limx??2e3x3x?3e?e2?2x4e?2x． 求極限lim22(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(2x?3)(3x?2)22232x??． 求極限limx??(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(5x?3)?2(4x?3)(3x?2)(6x?7)25234335x2x22． 求極限limx??． 求極限limx???a1?a(a?0，a?1)． 求極限limtan2x?tan(x??4??x)． 4確定a，b之值，使當x???時，f(x)?x?4x?5?(ax?b)為無窮小． 2求極限limx?1x?3x?2x?4x?35x?1?234． 求極限limx?2x?5x?6x?4x?0223． 求極限limx?23x?2?2x?2． 求極限limx?22x?53x?42． 求極限lim52xx?5?253． 24求極限limx?0(1?2x)?(1?x)3(1?4x)?(1?3x)?2(2x?a)n4m 求極限limx?0(1?x)?(1?x)x2． 53求極限lim?anmx?ax?ax2axax22(m，n為自然數)． 求極限lim(1?2x)?(1?4x)x x?0求極限limx?0(1?3x)?1． 設f(x)??(a?2)x?12?(a?1)x?ax?1問：(1)當a為何值時，limf(x)??；(2)當a為何值時，limf(x)?x?1112；(3)當a為何值時，limf(x)?0，并求出此極限值。x?2求極限limx?0cscx?cotxx1?tanx?x3． 求極限limx?01?cosaxx2． 求極限limx?0sinx?1． 求極限limx??tanx?tan??(0???)x??22?2cosxxx?0求極限limx?01?sinx?cosx1?sinpx?cospx(p為常數，p?0)． 討論極限lim． 求極限limx?0ln(1?3x)1?xsinx?cosx． ． 求極限limx?0xtanxxen?1?2求數列的極限limnsin． lim(arctan?)n?1． n??n??n4n??n2lim2sin． 求數列的極限limn(1?cos)． n?1n??n??2n求數列的極限求數列的極限 設f(x)是定義在x0?(a，b)，則?a，b?上的單調增函數，(A)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(B)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(C)f(x0?0)，f(x0?0)都存在，而(D)limf(x)存在x?x0x?x0 limf(x)不一定存在 設x1?a?0，且xn?1?　答（）axn，證明：limxn存在，并求出此極限值n?? ．設x1?2，且xn?1?2?xn，證明limxn存在，并求出此極限值n??。設x1?0，且xn?1?12(xn?axn)(其中a?0)，證明極限limxn存在，并求出此極限值．n?? 設x0?1，x1?1?x01?x0，?，xn?1?1?xn1?xn． 證明極限limxn存在，并求出此極限值。n??n??3n1111設xn???2???n，求證：limxn存在.n??1?13?13?13?1設xn?1?122?12???12，(n為正整數)求證：limxn存在． 設x1?12，x2?1?32?41，?，xn?；1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)，(1)證明：xn?2n?1(2)求極限limxn．n??求極限limx??100x?10x?1x?0.1x?0.01x?0.001xn?1xn322． 設數列?xn?適合3?r?1,(r為定數）證明：limxn?0． n??求極限limx?tanx?3tanxcos(x???6． 3)求數列的極限limn??2nn!． n?0．)．用極限存在的＂夾逼準求數列的極限lim(n??則＂證明數列的極限1n?12limn???1n?22??212nn?n3求數列的極限求數列的極限limnn??sinn!． n?122x??111ln(2?3e)lim?????．． 222?求極限lim3xn??x???(n?1)(n?2)(2n)ln(3?2e)??63求極限limx??ln(x?5x?7)ln(x?3x?4)2． 求極限limx???x?x?xx?x． ??x?，當x?0??2設f(x)?sin2x，g(x)???x??，當x?0 ??2討論limg(x)及limf?g(x)?．x?0x?0設lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0), 證明：limf??(x)??f(u0)。x?x0u?u0x?x0無限循環小數0.9?的值(A)不確定(B)小于1(C)等于1求極限limxm?xnD)無限接近1x?1xm?xn?2(m、n為正整數)．(答（若數列?an?適合an?1?an?r(an?an?1)(0?r?1)求證：limaa2?ra1．n??n?1?rn設x?n!其中, 求極限limxn＋1n?anna?0是常數，n為正整數 n??x n求數列的極限lim(sec?2n??n)n． 設x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小且lim?(x)?f(x)?A x?x0證明：lim?(x)?f(x)?Ax?x0 設lim0f(x)?A，且A?0，x?x試證明必有x0的某個去心鄰域存在，使得 在該鄰域內1f(x)有界.下述結論：＂若當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，則當x?x0時，ln?1??(x)?與ln?1??(x)?也 是等價無窮小＂是否正確？為什么？）應用等階無窮小性質，1?5x?2求極限lim1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)x1x?0． 1求極限limx?0x?2x1． 求極限lim(1?4x)2?(1?6x)3xx?0． 1求極限limx?0(1?ax)n?1x(n為自然數)．a?0． 求極限lim(5?2x)3?x?3x?2x?3． 設當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，且limf(x)x?x0?(x)x?x0?a?1，limf(x)??(x)g(x)f(x)??(x)g(x)x?x0?A，證明：lim ?A．設當x?x0時，?(x)，?(x)是無窮小且?(x)??(x)?0證明：e ?(x)?e?(x)~?(x)??(x)．若當x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)是比?(x)高階的無窮小．則當x?x0時，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價無窮小？為什么？ 設當x?x0時，?(x)、?(x)是無窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)?　　　與?(x)??(x)是等價無窮小． 設當x?x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮小．證明：當x?x0時，f(x)?g(x)與g(x)是等價無窮小． 若x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是無窮小。試判定：?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價無窮小嗎？為什么？等價 確定A及n，使當x?0時，f(x)?ln(x?21?x)與g(x)?Ax，2n是等價無窮小． 設f(x)?sinx?2sin3x?sin5x，g(x)?Ax，求A及n，使當x?0時，f(x)~g(x)． n 設f(x)?eg(x)?Ax(a?x)2?e(a?x)2?2ea2，(a為常數)n求A及n，使當x?0時，f(x)~g(x).設f(x)?　g(x)?xx?2?2Akx?1?x，確定k及A，使當x???時，f(x)~g(x)． 設?(x)?x?3x?2，?(x)?c(x?1)，確定c及n，使當x?1時，?(x)~?(x)n3 證明不等式：ln(1?求極限lim(ax?ex?0bx1n1)?1n．(其中n為正整數)ax)x，(a，b為正的常數)求極限lim(x?0?bx1求極限limx?1x?1x?1axan，(n為任意實數)． 求極限xlim?x，(a?0，a?1)求極限lim3x2lnx?lnx0x?x0)x，(a?0，b?0)(x0?0)0求極限limx?a?aa3x?1x?ax?0?x2x?2(a?0，a?1)． e5x求極限limx?0etanx?exxsinx1?xa1?xb12x1． 求極限limx?02e?exx． 求極限lim?1xx?0． 求極限lim(x?0)x(a?0，b?0且a?1，b?1，a?b)1求極限limx(ax????aaxx?1)(a?0，a?1)． 求極限limx?0ln(secx?tanx)sinx． 求極限limln(1?ex???求極限limxln(x0?x)?ln(x0?x)?2lnx0xcosxcos?1)ln(1?b)(a，b為常數，且a?0).(x0?0)．xx?02求極限lim(x??)x??(??k???2，k?z)． 求極限limcosx????x． 1求極限lim(1?2x)x 求極限lim(x?02x?12x?1)3xx??． 求極限lim(x??12x?x?12x?x?122)． cotxx求極限lim(sinx)x?tanx2? 2???求極限limtan(?x)x求極限lim(sinx?cosx)． ?x?0?4??x?012x?0． 1求極限lim(cosx??0x)． 求極限lim(1?xx?x)x． 求極限lim?(x?2)ln(x?2)?2(x?1)ln(x?1)?xlnx?x 求極限limx???x?0lncosxx2． 求極限lim 求極限lim?ln(1?x)?ln(x?1)?x．x?－1lnxx???x?12． 11?en).求數列的極限limn?ln(n?1)?lnn?． 求數列的極限lim(nnn??n??求數列的極限limn(en??an?ebn)，其中a，b為正整數． 求數列的極限limnn??211??ln(a?)?ln(a?)?2lna;其中a?0是常數 ??nn??求數列的極限lim(n??2n?1n?121)． 求數列的極限limn(an??nn?1)，其中a?0． 求數列的極限?(2?limn?en???n1)n?en(2?1)n2??2e?． ?求數列的極限lim(n??a?2nb)，其中a?0，b?0． 求數列的極限lim(n??n(n?1)2n?12n?1)． n求數列的極限 ?3n2?2?lim??2n??3n?4??1x1x 計算極限：limsin(n?a??)． n??22設f(x)?xsin?sinx，limf(x)?a，limf(x)?b，則有x?0x??(A)a?1，b?1(B)a?1，b?2(C)a?2，b?1(D)a?2，b?2　　　　　　　　　　　　　　答（）計算極限limx?01xlne?ex2x???enxn 計算極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)secx?cosx1?x?1?x222 x?0求極限limx?0tanmxsinnx(m，n為非零常數)計算極限limx?0a?21?x?1 計算極限limx?a?0x?x?a2計算極限在limx?0x?aln(a?x)?ln(a?x)?2lna(a?0)計算極限limx?01?cosx1?cosx2． 1(1?1tanx)xsinx422(a?0)計算極限limx?0xsinx計算極限limx?0(e?1)?1?x2(1?cosx)ln(1?x)limsinxxx???(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無窮大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx??1x之值(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無窮大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2x?0?1(其中A、B、C、D是非0常數))則它們之間的關系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n設x?1計算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242)設limxn?0及limn??xn?1xn22n??2?a存在，試證明：a?1． 求lim(sin22?cos1)x x??xx計算極限limx?ax?(a?1)x?ax?a23(a?0)計算極限limx?2x?3x?3x?2x?x?2232 計算極限limx?0e?exxcosx2x?ln(1?x)計算極限xxx??limlim(coscos2?cosn)?x?0?222?n????r(0?r?1)，試證明liman?0． n??設有數列?an?滿足an?0及liman?1annn??n??設有數列liman?0． n???an?滿足an?0且liman?r，(0?r?1)，試按極限定義證明：設limf(x)?A(A?0)，試用“???”語言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 試問：當x?0時，?(x)?x?x0x?x0xsin21x，是不是無窮小？ x0的某去心鄰域，使得設limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在在該鄰域為f(x)?g(x)． 設f(x)?xsin1x，試研究極限lim1f(x)x?0 計算極限limx?2ln(1?332x?2)． arcsin(3x?4x?4)n?1?(?1)n?n?2設數列的通項為xn?n，則當n??時，xn是(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量，但不是無窮小(D)無界變量，但不是無窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)1xlim??0(1?x)x?e(B)xlim??0(1?1x)x?e?1(C)limx??(1?1x)x?e?1(D)limx??(1?1x)?x?0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）設x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limx??n． n ?eax?1設f(x)???x，當x?0，且limf(x)?A??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?1(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a，b可取任意實數，A?a(D)a可取任意實數且A?b?a答：()?ln(1?ax)設f(x)d??x，當?x?0，且limf(x)?A，??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?a(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a可取任意實數且a?b?A(D)a，b可取任意實數，而A僅取A?lna答：（）?1?cosax，當x?0?2設f(x)??，且limf(x)?Axx?0?b，當x?0?則a，b，A間正確的關系是(A)a，b可取任意實數(B)a，b可取任意實數(C)a可取任意實數(D)a可取任意實數A?a22aA?2a2 b?A?ab?A?22 答（）設有lim?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內復合函數f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請給出證明；若判定不成立，請舉出例子，并指明應如何加強已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當x?1?設f(x)??　適合limf(x)?Ax?1x?1?a，當x?1?則以下結果正確的是(A)僅當a?4，b??3，A?4(B)僅當a?4，A?4，b可取任意實數(C)b??3，A?4，a可取任意實數(D)a，b，A都可能取任意實數　　　　　　　　　　　　　　　答（）?1?bx?1　當x?0?設f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a　　　　　當x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實數(D)b?6，a可取任意實數　　　　　　　　　　　答（）設?(x)?(1?ax)213 ?1，?(x)?e?ecosx，且當x?0時?(x)~?(x)，試求a值。求limx??e?2ex2sinxx?x?x3e?4e． 設lim(x??x?2ax)?8，則a?__________x?a __．__． lim(1?3x)x?0?__________ 當x?0時，在下列無窮小中與x不等價的是(A)1?cos2x(B)ln1?x(C)1?x222 ?x?1?x(D)e?e2x?2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）當x?0時，下列無窮小量中，最高階的無窮小是(A)ln(x?1?x)(B)1?xx?x22?1(C)tanx?sinx(D)e?e?2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）計算極限limx?01?ex21?xn?12?cosx limx??3x?54?sin?_____________________ 5x?3x22計算極限limx?xnx?1???x?x?n x?1(x?1)n?1計算極限 lim(x?1)(3x?1)?(nx?1)x?1計算極限 lim(cosx??0x)?x ．討論極限limarctanx?11x?1的存在性。研究極限limarccotx?01的存在性。x研究極限limx??x?2x?3x?12． 當x??0時，下列變量中，為無(A)sinxx(B)lnx(C)arctan窮大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx?1x?1?________________。“存在一正整數N，使當n?N時，恒有設an?0，且liman?0，試判定下述結論n??an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設有數列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出n??極限liman存在的n??結論。設有數列?an?滿足ana?0；n?1?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設limf(x)g(x)x?x0存在，limg(x)存在，則x?x0x?x0limf(x)是否必存在？ limg(x)?0．若limf(x)?0，limx?x0f(x)g(x)x?x0?A?0，則是否必有x?x0 當x??0時，下列變量中為無窮(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x?1)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1答（）x?x0 設x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A是常數），試證明 limg(x)f(x)f(x)g(x)?0．若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內g(x)?0，limx?x0x?x0?A，則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請予證明，若不能肯定，請舉例說明，并指出為何加強假設條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時)必不存在。若limf(x)??，limg(x)?A，試判定limf(x)?g(x)是否為無窮大？x?x0x?x0x?x0 設x?x0，f(x)??，g(x)?A，試證明lim?f(x)?g(x)???． x?x0設當x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A?0)，試證明limf(x)g(x)??． x?x0 設??lnx?1x，??arcctgx，則當x???時(A)?~?(B)?與?是同階無窮小，但不是等價無窮小(C)?是比?高階的無窮小(D)?與?不全是無窮小 答：（）f(x)?1x?sin1x(0?x???)(A)當x???時為無窮小(B)當x??0時為無窮大(C)當x?(0，??)時f(x)有界(D)當x??0時f(x)不是無窮大，但無界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)?x2x?1?ax?b，當x??時為無窮小，則(A)a?1，b??1(B)a?1，b?1(C)a??1，b??1(D)a??1，b?1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?112n3?x?2???2)求lim()2 求lim(2n??nx??6?x?n?1n?n?2n?n?nn?2nlim()?____ n??n?1 1n??2n?1nlimen?en?e?e?2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(1?2???n?n?? 1?2???(n?1))?____． x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大 答（）設f(x)?1?sin，試判斷：xx;.(1)f(x)在(0，1)，內是否有界(2)當x??0時，f(x)是否成為無窮大 設f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當x???時，f(x)是否成為無窮大? 試證明limcosx?01x不存在。f(x)??(x)，且lim?(x)?0，試證明limf(x)?0 x?x0x?x0若在x0的某去心鄰域內若在x0的某去心鄰域內 f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B;試證明A?B． x?x0x?x0sinlimx?01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大.答（）設?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當x?1時（）1?x等價無窮小;(A)?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是(B)?(x)與?(x)是等價無窮小;;.(C)?(x)是比?(x)高階的無窮小(D)?(x)是比?(x)高階的無窮小 32 答（）設limx?1x?ax?x?4?A，則必有x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.2 答（）1x?1x?1當x?1時，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;的極限(C)為?;(D)不存在但不是無窮大 設當x?0，?(x)?(1?ax)23.）答（2?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。求a，b使lim(x??23x?2x?12?ax?b)?1 設lim(3x?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x???設x1?1，xn?1?設x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n????1??計算數列極限lim?tan(?)? 計算極限limn(arctann??4n?n???設當x?0，?(x)?設?(x)?x?2?x)a3nn?1?arctannn)n?11?x3?1?x33~Ax，試確定A及k． kx?2x?1，求A與K使limbx?(x)xkx????A(A?0)極限lim(1?x?0(a?0，b?0)的值為 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）設limx?0xa222?212(a?0)，試確定a，b之值。?x(b?cosx)設lim(3x?x???ax?bx?1)?2，試確定a，b之值。2設limx?1x?ax?x?bx?1x???23?3，試確定a，b之值。計算極限lim(x?x?x?x)計算極限lim 研究極限limx?01?xsinx?cos2x xtanx2?2cosaxx(a?0)的存在性。limxn．n??計算極限limx?04?tanx?etanx4?sinxsinx?ex?0設x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數列22?xn?收斂，并求極限n??設x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． 設x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限 2 limxn．n??設a1，b1是兩個函數，令n??n?ban?1?n??anbn，bn?1?n??an?bn2，(n?1，2，?)試證明： liman存在，limbn存在，且liman?limbn計算極限limecosx?e2x?0x 計算極限 lim?x?????x?x?x?x?x??x ?計算極限lim(1?x??若limxnynn??21x?2)xx?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及limyn?0至少有一n??n??式成立＂的結論。設數列?xn?，?yn?都是無界數列，zn試判定：?zn?是否也必是無界數列。?xnyn，如肯定結論請給出證明，如否定結論則需舉出反例。31??計算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B．　　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　答（）極限lime?ex?x2x?0x(1?x)的值為（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）極限limx?01?cos3x的值為（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列極限中不正確的是tan3xsin2x2A．limC．limx?0?32cos；　B．limx??1?2x?1xx???2； x?1sin(x?1)x?1?2；D．limarctanxx???0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)x222x?0? A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1極限lim(cosx)x?x?01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）當x?0時，與x為等價無窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當x?1時，無窮小量A．等價無窮小量；C．高階無窮小量； 當x?0時，無窮小量1－x是無窮小量1?2xB．同階但非等價無窮小D．低階無窮小量．x?1的量； 答（n）m，n為常數，則數組2sinx?sin2x與mx等價，其中m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1?kx1x?x?0)e，則k的值為A．1；　B．?1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x極限lim(1?12x??2x)的值為A．e；　B．e?1；　C．e4；　D．e?14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(1?2x??x)2x?e2；　B．lim1xx??(1?x)2?e2；1 C．lim(1?x?221x?1x??x)?e；D．limx??(1?x)?e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1極限limx?0(1?2x)x?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1?4值為（）x??x?1)x的A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（?2x?1?極限lim??x???2x?1?2x?1的值是?12?2A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限中存在的是A．limx?1x2x??；　B．lim11?e1xx?0；C．limxsinx??1x；　D．lim12?1xx?0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limtanx?sinxx1b3的值為12　D．?． x?0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）極限limx??sinxx??? A．1；　B．0；　C．?1；　D．?．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知lima?cosxxsinxx?0?12，則a的值為 A．0；　B．1；　C．2；　D．?1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x?2)x?0??3，則k的值為32；　C．6；　D．?6． A．?3；　B．?　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?1設lim(?ax?b)?0，則常數a，b的值所組成的數組x??x?1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）2(a，b)為 4x?3設f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數組（a，b）可表示為 2A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）2極限limx?6x?8x2?8x?12的值為x?2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限計算正確的是A．limx2n；　n??1?x2n?1B．xlimx?sinx???x?sinx?1；C．limx?sinx　12x32n)n．x?0?0；D．limn??(1??e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3極限lim(xx2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）數列極限lim?(n2?n?n)的值為n?A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?3x?cx???1，則C的值為x?11A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?ax?61?x?的值為x?15，則aA．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（））?ex?2，x?0設函數f(x)???1，x?0，則lim?x?0f(x)??x?cosx，x?0A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx?，設f(x)??xx?0??x?1，則，?x?0?1?e1xA．lim?0f(x)?0；xB．lim?f(x)?lim?f(x)；x?0x?0C．lim?f(x)存在，lim?f(x)不存在； x?0x?0D．lim?f(x)不存在，limx?0x?0?f(x)存在． 答（）?tankx設f(x)???x，x?0，且limf(x)存在，則k的值為 ?x?x?3，x?0?0A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim1)?4；B．limx?(x??0；x?3x?0?e1C．lim(1)x?0；D．limsin(x?1)?0．x?02x?1x 答（）若limf(x)?0，limg(x)?c?0(k?0)．x?0xkx?0xk?1 則當x?0，無窮小f(x)與g(x)的關系是A．f(x)為g(x)的高階無窮小；B．g(x)為f(x)的高階無窮小； C．f(x)為g(x)的同階無窮小；D．f(x)與g(x)比較無肯定結論． 答（）當x?0時，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）當x?0時，sinx(1?cosx)是x的 A．岡階無窮小，但不是等價無窮小； B．等價無窮小； 3C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）設有兩命題： ?xn?單調且有下界，則?xn?必收斂；?yn?、?zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn?，?zn?都有收斂，則命題“b”，若數列?xn?、數列?xn?必收斂命題“a”，若數列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設有兩命題： 命題甲：若命題乙：若則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)x?x0limf(x)、limg(x)都不存在，則x?x0x?x0lim?f(x)?x?x0g(x)?必不存在；x?x0limf(x)存在，而x?x0limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。設有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0?0；命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則x?x0x?x0x?x0lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。x?x9x?x0 答（）x?x0若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)A．必為無窮大量C．必為非零常數;B．必為無窮小量;D．極限值不能確定 答（n??;．）設有兩個數列?an?，?bn?，且lim(bn?an)?0，則;相等;?an?，?bn?必都收斂，且極限相等A．?an?，?bn?必都收斂，但極限未必B．?an?收斂，而C．?bn?發散;?an?和?bn?可能都發散，也可能都D． 收斂．）答（下列敘述不正確的是A．無窮小量與無窮大量B．無窮小量與有界量的C．無窮大量與有界量的D．無窮大量與無窮大量 的商為無窮小量；積是無窮小量；積是無窮大量；的積是無窮大量。答（）下列敘述不正確的是A．無窮大量的倒數是無B．無窮小量的倒數是無C．無窮小量與有界量的D．無窮大量與無窮大量 x?x0x?x0窮小量；窮大量；乘積是無窮小量；的乘積是無窮大量。答（）是 若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的A．limC．limx?x0?f(x)?f(x)g(x)g(x)???;B．limx?x0?f(x)?g(x)??0;x?x0?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0 答（）1設函數f(x)?xcos，則當x??時，f(x)是 xA．有界變量； C．無窮小量； x?x0B．無界，但非無窮大量D．無窮大量． 答（；）若limf(x)?A(A為常數），則當x?x0時，函數f(x)?A是 A．無窮大量;B．無界，但非無窮大量C．無窮小量;D．有界，而未必為無窮 設函數f(x)?xsin1，則當x?0時，f(x)為 xA．無界變量;B．無窮大量;C．有界，但非無窮小量 f(x)在點x0處有定義是極限;小量 ． 答（）;D．無窮小量． 答（x?x0）limf(x)存在的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條 答（件．）設正項數列?an?滿足liman?1ann???0，則 A．liman?0;B．liman?C?0;n??n???an?的收放性不能確定．C．liman不存在;D．n?? 答（）若liman?A(A?0)，則當n充分大時，必有n??A．an?A； B．an?A；C．aAn?2； D．aAn?2． 答（）數列?an?無界是數列發散的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非充分又非必要條 答（下列敘述正確的是 A．有界數列一定有極限；B．無界數列一定是無窮大量；C．無窮大數列必為無界數列； D．無界數列未必發散 　答（）件．）

第四篇：高等數學極限習題500道匯總

當x?x0時，設?1＝o(?)，?1?o(?)且limx?x0?存在，? ???1?求證：lim?lim．x?x0???x?x0?1 21若當x?0時，?(x)?(1?ax)3?1與?(x)?cosx?1是等價無窮小，則a?1313A．　B．　C．?　D．?． 2222 答（）當x?0時，下述無窮小中最高階的是A　x2　B1　?cosx　C　1?x2?1　D　x?sinx 答（）求極限lim(n? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nnsin(?n2?2)．n??n??n???11)ln(1?)． 2nlimx?0e x2?1?x2的值?_____________ 3xsinxan?1?an2 設有數列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及liman．n??n??n?? 設x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?2xnxn?1，xn?xn?1 1，求limyn及limxn．n??n??xn(1?2x)sinx?cosx求極限lim之值． x?0x2 設limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)v(x)?AB．x?x0 lim?ln(1?x)?x?11(x?1)2? A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(1?2x)x?0? A．1 B．e2 C．e D．2 答（）設u(x)?1?xsinf(u)?1f?u(x)??1求：lim及limu(x)之值，并討論lim的結果．u?1x?0x?0u?1u(x)?11.f(u)?u2x x2?9lim2的值等于_____________ x?3x?x?6 ex?4e?xlimx?x??3e?2e?x 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2?x)3(3?x)5lim?x??(6?x)8 1A.?1　B.1　C.5　D.不存在2?33答：（）(1?2x)10(1?3x)20xx3?3x?2lim?____________ limx的值等于____________ 求極限lim3 ．x??x?0e?e?x(1?6x2)15x?1x?x2?x?11?6x?41?2x求lim之值． x?0x(x?5)3已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問limv(x)?？為什么？x?x0 關于極限limx?053?e1x結論是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）設limf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是x?x0x?x0f(x)?0x?x0g(x)g(x)B.lim??x?x0f(x)C.limf(x)g(x)??A.limx?x0 D.limf(x)g(x)??x?x0 答（）f(x)?excosx，問當x???時，f(x)是不是無窮大量． limtanx?arctanx?01?x??　D.? 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)lim?x??x? 2 答（）A.0 B.? C.1 D.limx??2x?12x?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在? 答（）設f(x)? 32?e1x，則f(?0)?___________ limarccotx?01?x? 2 答（）A.0 B.? C.不存在.D.lima?cosx?0，則其中a?x?0ln1?xA.0 B.1 C.2 D.?3e2x?e?x?3xlim的值等于____________ 答（）x?01?cosx lim2(1?cos2x)?x?0 xA.2 B.?2 C.不存在.D.0答：（）px2?qx?5設f(x)?，其中p、q為常數．x?5問：(1)p、q各取何值時，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時，limf(x)?1．x?5(x2n?2)2?(x2n?2)2(3x2?2)3求極限lim． 求極限lim． x??(xn?1)2?(xn?1)2x??(2x3?3)2 已知limx?1x4?3?A?B(x?1)?c(x?1)2?0(x?1)2??試確定A、B、C之值． ax3?bx2?cx?d已知f(x)?，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．2x??x?1 x?x?2試確定常數a，b，c，d之值．已知limx?1(a?b)x?b3x?1?x?3?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說法是否正確？為什么？ ?(x)＂若lim?(x)?0，則limx?x0x?x0 當x?x0時，f(x)是無窮大，且limg(x)?A，x?x0證明：當x?x0時，f(x)?g(x)也為無窮大．用無窮大定義證明：limx?1 2x?1???． 用無窮大定義證明：limlnx???． x?1x?0?用無窮大定義證明：limtanx??? 用無窮大定義證明：lim?x?2?0x?1?01???． x?1 ＂當x?x0時，f(x)?A是無窮小＂是＂limx?xf(x)?A＂的：0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件 答（）若limx?xf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．0x?x0證明：limf(x)x?x)?b的充分必要條件是 0g(x limf(x)?b?g(x)x?x?0．0g(x)1用數列極限的定義證明：liman?0 用數列極限的定義證明：limann??，(其中0?a?1)．n???1用數列極限的定義證明：limn(n?2)1?52lim1?cos(sinx)2ln(1?x)的值等于___________ n??2n2?． x?02?(cosx)sinx求極限lim?1?x?0x3之值．(0?a?1)． 設limf(x)?A，試證明：x?x0對任意給定的??0，必存在正數?，使得對適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：limx?x0x?x0 f(x)?A． x2n?1?x求f(x)?lim2n的表達式 ?xn?與?yn??xn?yn?是否也必發散？若數列同發散，試問數列 n??x?1 2n??x2n?1(其中a、b為常數，0?a?2?)，設f(x)?lim(1)求f(x)的表達式；x2n?1sin?x?cos(a?bx)(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1應用等階無窮小性質，求極限limx?01?5x?1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)． ． 求極限lim2x?0xx?2x1n求極限lim(1?4x)?(1?6x)(1?ax)?1． 求極限lim(n為自然數)．a?0． x?0x?0xx(5?2x)?x?2． x?3x?3131213求極限lim 設當x?x0時，?(x)與?(x)是等價無窮小，f(x)f(x)??(x)?a?1，lim?A，x?x0?(x)x?x0g(x)f(x)??(x)證明：lim?A．x?x0g(x)且lim 設當x?x0時，?(x)，?(x)是無窮小且?(x)??(x)?0證明：e?(x)?e?(x)~?(x)??(x)． 若當x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)是比?(x)高階的無窮小．則當x?x0時，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價無窮小？為什么？ 設當x?x0時，?(x)、?(x)是無窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)? 與?(x)??(x)是等價無窮小． 設當x?x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮小．證明：當x?x0時，f(x)?g(x)與g(x)是等價無窮小． 若x?x0時，?(x)與?1(x)是等價無窮小，?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小。試判定：嗎？為什么？ ?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價無窮小 sinx?x??x(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無窮大 lim 答（）1limxsin之值x??x(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無窮大 答（）已知limx?0Atanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2)?1(其中A、B、C、D是非0常數)則它們之間的關系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C 答（）xn?1設limx?0及lim?a存在，試證明：a?1． 設x?1計算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)n??nn??xn??n242n21x2x3?(a2?1)x?ax3?3x2?3x?2求lim(sin?cos)計算極限lim(a?0)計算極限lim x??x?ax?2xxx2?a2x2?x?22ex?excosx?lim(cosxcosx?cosx)? 計算極限lim 計算極限limx?0x?ln(1?x2)x?0?2222n??n????an?滿足an?0及lim設有數列n??an?1?r(0?r?1)，試證明liman?0． n??ann???an?滿足an?0且limnan?r，設有數列(0?r?1)，試按極限定義證明：liman?0． n??設limf(x)?A(A?0)，試用“???”語言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 1試問：當x?0時，?(x)?x2sin，是不是無窮小？ x設limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在x0的某去心鄰域，使得x?x0x?x0在該鄰域為f(x)?g(x)． ln(1?3x?2)11計算極限lim． 設f(x)?xsin，試研究極限lim 23x?2x?0f(x)arcsin(3x?4x?4)x 設數列的通項為xn?則當n??時，xn是(A)無窮大量(B)無窮小量n?1?(?1)nn2，n??(C)有界變量，但不是無窮小(D)無界變量，但不是無窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)lim(01?1x)x?e(B)xlim(??01?1x)x?e?1x??(C)lim(1?1)x?e?1(D)lim(1?1)?xx??xx??x?0 答（）設x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limn??xn． ?eax?1設f(x)???x，當x?0，且lim?xf(x)?A?b，當x?0?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?1(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a，b可取任意實數，A?a(D)a可取任意實數且A?b?a答：()?ln(1?ax)設f(x)d???x，當x?0，且limf(x)?A，??b，當x?0x?0則a，b，A之間的關系為(A)a，b可取任意實數，A?a(B)a，b可取任意實數，A?b(C)a可取任意實數且a?b?A(D)a，b可取任意實數，而A僅取A?lna答：（?1?cosax設f(x)??x2，當?x?0，且limf(x)??b，當x?0x?0?A則a，b，A間正確的關系是(A)a，b可取任意實數A?a2(B)a，b可取任意實數A?a22(C)a可取任意實數b?A?a2(D)a可取任意實數b?A?a22 答（））設有lim?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內復合函數f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請給出證明；若判定不成立，請舉出例子，并指明應如何加強已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當x?1?設f(x)??x?1　適合limf(x)?Ax?1?a，當x?1?則以下結果正確的是(A)僅當a?4，b??3，A?4(B)僅當a?4，A?4，b可取任意實數(C)b??3，A?4，a可取任意實數(D)a，b，A都可能取任意實數 答（）?1?bx?1　當x?0?設f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a 當x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實數(D)b?6，a可取任意實數 答（）設?(x)?(1?ax)213 ex?2e?x求lim． ?1，?(x)?e?ecosx，且當x?0時?(x)~?(x)，試求a值。x??3ex?4e?x2x?2axsin設lim()?8，則a?____________． lim(1?3x)x?____________． x??x?0x?a 當x?0時，在下列無窮小中與x2不等價的是(A)1?cos2x(B)ln1?x2(C)1?x2?1?x2(D)ex?e?x?2 答（）當x?0時，下列無窮小量中，最高階的無窮小是(A)ln(x?1?x2)(B)1?x2?1(C)tanx?sinx(D)e?ex?x?2 答（）計算極限limx?01?1?x2ex?cosxx?xnn?122 lim3x?5?sin4?_____________________ x??5x?32x計算極限limx?13n(x?1)(x?1)?(x?1)???x?x?n計算極限 lim n?1x?1(x?1)x?1?x計算極限 lim(cosx??0 討論極限limarctanx)．x?11的存在性。研究極限limarccot1的存在性。x?0xx?1x2?2x?3研究極限lim． x??x?1 當x??0時，下列變量中，為無窮大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx?11?________________。lnx?1n??設an?0，且liman?0，試判定下述結論“存在一正整數N，使當n?N時，恒有an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設有數列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出極限liman存在的n??n??結論。an?1?an?滿足an?0；設有數列?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設limx?x0f(x)存在，limg(x)存在，則limf(x)是否必存在？x?x0x?x0g(x)f(x)?A?0，則是否必有limg(x)?0．x?x0g(x)若limf(x)?0，limx?x0x?x0 當x??0時，下列變量中為無窮小量的是11sinx2x2(B)ln(x?1)(A)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1 答（）設x?x0時，f(x)??，g(x)?A(A是常數），試證明limx?x0g(x)?0．f(x)若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內g(x)?0，limx?x0x?x0f(x)?A，g(x)則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請予證明，若不能肯定，請舉例說明，并指出為何加強假設條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時)必不存在。n??lime?e?e1n2nn?1n?e?(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(1?2???n?1?2???(n?1))?____．n?? x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)為無窮大;(D)不存在，但不是無窮大.答（）設f(x)?1?sin，試判斷：xx(1)f(x)在(0，1)，內是否有界;(2)當x??0時，f(x)是否成為無窮大.設f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當x???時，f(x)是否成為無窮大? 設?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當x?1時（）1?x(A)?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小;(B)?(x)與?(x)是等價無窮小;(C)?(x)是比?(x)高階的無窮小;(D)?(x)是比?(x)高階的無窮小.答（）x3?ax2?x?4設lim?A，則必有x?1x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.答（）x2?1當x?1時，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;1x?1的極限(C)為?;(D)不存在但不是無窮大.答（）設當x?0，?(x)?(1?ax)232?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。3x2?2求a，b使lim(?ax?b)?1 設lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x??x?1x???設x1?1，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??設x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n???計算極限lim(x?x?x?x)計算極限limx?0x???1?xsinx?cos2x xtanx計算極限limx?04?tanx?4?sinx2?2cosax研究極限lim(a?0)的存在性。x?0xetanx?esinx2n?? ?xn?收斂，并求極限limxn．設x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數列設x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． n??2 設x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn．n??2 設a1，b1是兩個函數，令an?1?anbn，bn?1?liman存在，limbn存在，且liman?limbnn??n?bn??n??an?bn，(n?1，2，?)試證明：2 ?ecosx?e計算極限 lim?x?x?x計算極限lim 2x???x?0?xn????x?x?x 計算極限lim(1?2?12)x x??x?xn??n??若limxnyn?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及limyn?0至少有一式成立＂的結論。設數列?xn??，yn?都是無界數列，zn?xnyn，?zn?是否也必是無界數列。試判定：31??計算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1 如肯定結論請給出證明，如否定結論則需舉出反例。極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）?12 ex?e?x極限lim的值為（）x?0x(1?x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）極限lim1?cos3x的值為（）x?0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列極限中不正確的是 xtan3x3?2A．lim?；　B．lim??；x?0sin2xx??1x?122 x2?1arctanxC．lim?2；D．lim?0．x?1sin(x?1)x??x 答（）cos? ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)極限lim?x?0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 極限lim(cosx)?x?0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）12?12 當x?0時，與x為等價無窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當x?1時，無窮小量1－x是無窮小量x?1的1?2xA．等價無窮小量；B．同階但非等價無窮小量； C．高階無窮小量；D．低階無窮小量． 答（）當x?0時，無窮小量2sinx?sin2x與mxn等價，其中m，n為常數，則數組（m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1?kx)x?0x?e，則k的值為1A．1；　B．?1；　C．；　D．2． 2 答（）1極限lim(1?)2的值為x??2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e?14?14x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1?)2x?e2；　B．lim(1?)2x?e2；x??x??xx 11C．lim(1?)x?2?e2；D．lim(1?)x?1?e2．x??x??xx 答（）1極限lim(1?2x)xx?0?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1x?4x??x?1)的值為（）A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 答（）2x?1極限lim?2x?1?x????2x?1??的值是A．1；　B．e；　C．e?12；　D．e?2． 答（）下列極限中存在的是A．limx2?111x??x；　B．limx?01?e1；C．limxsin；　xx??x 答（）極限limtanx?sinxx?0x3的值為A．0；B．1b　C．12　D．?． 答（）極限limsinxx??x???A．1；　B．0；　C．?1；　D．?． 答（）已知lima?cosxx?0xsinx?12，則a的值為A．0；　B．1；　C．2；　D．?1． 答（）已知limsinkxx?0x(x?2)??3，則k的值為A．?3；　B．?32；　C．6；　D．?6． 答（）D．lim1x?02x?1 x2?1設lim(?ax?b)?0，則常數a，b的值所組成的數組(a，b)為x??x?1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）4x2?3設f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數組（a，b）可表示為A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）極限limx2?6x?8x?2x2?8x?12的值為A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列極限計算正確的是A．limx2nx?n??1?x2n?1；　B．xlimsinx???x?sinx?1；C．limx?sinxx?0x3?0；　D．lim(n??1?12n)n?e2． 答（）極限lim(x3x2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 答（）數列極限lim(n??n2?n?n)的值為A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim?3x?cx?1x?1??1，則C的值為A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2?ax?6x?11?x?5，則a的值為A．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（）?ex?2，x?0?設函數f(x)??1，x?0，則limf(x)?x?0?x?cosx，x?0?A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx，x?0設f(x)????x?x?1，則 ?，x?0?1?e1xA．limx?0f(x)?0；B．xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)；C．xlim?0?f(x)存在，xlim?0?f(x)不存在； D．xlim?0?f(x)不存在，xlim?0?f(x)存在． 答（）?tankx設f(x)???x，x?0，且lim?x?3，x?0x?0f(x)存在，則k的值為 A．1；　B?．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim(x?1xx?3?)?4；B．xlim?0?e?0；1C．limsin(x?1)x?0(12)x?0；D．limx?1x?0． 答（）若limf(x)x?0xk?0，limg(x)x?0xk?1?c?0(k?0)． 則當x?0，無窮小f(x)與g(x)的關系是A．f(x)為g(x)的高階無窮小；B．g(x)為f(x)的高階無窮小；C．f(x)為g(x)的同階無窮小； D．f(x)與g(x)比較無肯定結論． 答（）當x?0時，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）當x?0時，sinx(1?cosx)是x3的 A．岡階無窮小，但不是等價無窮小； B．等價無窮小；C．高階無窮小； D．低階無窮小． 答（）設有兩命題： ?xn?必收斂；命題“a”，若數列?xn?單調且有下界，則命題“b”，若數列?xn??、yn??、zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn??，zn?都有收斂，則?xn?必收斂 數列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設有兩命題： 命題甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，則lim?f(x)?g(x)?必不存在；x?x0x?x0x?x0x?x0命題乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。x?x0x?x0則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）設有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0f(x)?0；g(x)命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。答（）若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)x?x9x?x0x?x0A．必為無窮大量;B．必為無窮小量;C．必為非零常數;D．極限值不能確定 ．設有兩個數列?an??，bn?，且lim(bn?an)?0，則 n?? 答（）?an??A．，bn?必都收斂，且極限相等;?an??B．，bn?必都收斂，但極限未必相等;?an?收斂，而?bn?發散;C．?an?和?bn?可能都發散，也可能都D．收斂． 答（）下列敘述不正確的是 A．無窮小量與無窮大量的商為無窮小量； B．無窮小量與有界量的積是無窮小量；C．無窮大量與有界量的積是無窮大量；D．無窮大量與無窮大量的積是無窮大量。答（）下列敘述不正確的是 A．無窮大量的倒數是無窮小量；B．無窮小量的倒數是無窮大量；C．無窮小量與有界量的乘積是無窮小量；D．無窮大量與無窮大量的乘積是無窮大量。答（）若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的是 A．lim?f(x)?g(x)???;B．lim?f(x)?g(x)??0;x?x0x?x0x?x0x?x0C．limx?x0f(x)?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0g(x)答（）設函數f(x)?xcos1，則當x??時，f(x)是 xA．有界變量； B．無界，但非無窮大量； C．無窮小量； D．無窮大量． 答（）若limf(x)?A(A為常數），則當x?x0時，函數f(x)?A是 x?x0A．無窮大量;B．無界，但非無窮大量;C．無窮小量;D．有界，而未必為無窮小量 ． 答（）設函數f(x)?xsin1，則當x?0時，f(x)為 xA．無界變量;B．無窮大量;C．有界，但非無窮小量;D．無窮小量． 答（）f(x)在點x0處有定義是極限limf(x)存在的 x?x0A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條件． 答（）

第五篇：高等數學難點總結及課后習題解讀

前面的話：

這三篇總結文章，來自于我五一給學生的幾堂總結課，當時沒有做書面材料，后來才想到把它們整理成文。

考慮到現在大多數人都還在進行第一輪，也就是基礎階段的復習，所以先把自己對高數知識點的總結奉上，希望對大家能有幫助。可能以后也會有關于線代和概率的總結。

上冊除了空間解析幾何基本都涉及了，這是數一數二數三數四的共通內容。下冊

（一）是關于多元微積分和級數的，其中數二數四的就不用看級數了。下冊

（二）是關于線面積分的，數一專題。

上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性??應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系

連續：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的。

下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

下冊

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平面區域、立體區域、曲線段、曲面區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數 場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯系起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環量為零，這相當于一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

習題解讀

基礎階段的復習是以課本為主，主要任務兩個，一是學習知識點（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習題以檢驗自己對知識點的掌握程度。

很多人在學習中都容易忽視課本，覺得比起那些專門的參考資料，課本上的習題實際上是沒什么值得關注的，但其實不然，一套經典的教材，它所配的習題很多都有值得我們去挖掘的地方。

那么接下來我就說說我對我們用的教材上課后習題的解讀，希望能給同學們提示。因為高數的題目比較多，而我感覺每章的總習題有著更好的總結性，所以主要就說說總習題一到十二里我感覺值得注意的一些題目吧。

總習題一：

1是填空題，是考察與極限有關的一些概念，這個是很重要的，要掌握好。而且幾乎每章的總習題都設了填空題，均與這些章節的重要概念有關。所以每章的總習題里的填空題所涉及的知識點，比如誰是誰的什么條件之類，務必要搞清楚。

2是無窮小的階的比較 3、4、5、6是與函數有關的題目，這個是學好高數的基礎，但卻不是高數側重的內容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來說能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個小題各代表一種類型，其實求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數，使函數連續，用連續的定義即可

10典型題，判斷函數的間斷點類型，按間斷點的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強，體會一下即可

12證明零點存在的問題，要用到連續函數介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個知識點來掌握，重要

綜上，第一章總習題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導數有關的一些說法，其中的干擾項（B）（C）設置的比較巧妙，因為平時我們一般只注意到導數在某點存在的條件是左右導數都存在且相等，容易忽視另一個重要條件：函數必須要在該點連續，否則何來可導？而（B）（C）項的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數在該點連續，因為根本就沒出現f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項來說只能保證右導數存在。只有（D）項是能確實的推出可導的

3物理應用現在基本不要求了

4按定義求導數，不難，應該掌握

5常見題型，判斷函數在間斷點處的導數情況，按定義即可

6典型題，討論函數在間斷點處的連續性和可導性，均按定義即可

7求函數的導數，計算層面的考察，第二章學習的主要內容

8求二階導數，同上題

9求高階導數，需注意總結規律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數的導數，重要，常考題型 11求參數方程的導數，同樣是常考題型

12導數的幾何應用，重要題型 13、14、15不作要求

綜上，第二章總習題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習題都比較難，需要多總結和體會解題思路

總習題三

1零點個數的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導的符號來判斷函數增量與導數、微分的大小關系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數即可

4中值定理和極限的綜合應用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數的單調區間即可，此題非典型題 6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構造適當的輔助函數，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達法則應用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導數推征，典型題 12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數的這類問題更重要些 14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設計的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導，故不能連用兩次洛必達法則，只能用一次洛必達法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數泰勒展開，都能得到結果，此題考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應用的一個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數，使得函數為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧??

積分的題目是做不完的。

當然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的??因為這有效的鍛煉了思維。

總習題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應的積分式，積分區間和被積函數如何定，這個是需要適當的練習才能把握好的，后2題涉及積分上限函數求導，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現的錯誤，需細心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設計巧妙的重點題目

9同樣是利用導數證明不等式，只不過對象變得比一般函數復雜，是積分上限函數，但本質和第三章的類似題目無區別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續函數的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質的練習

綜上，總習題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應用一塊的考察，現在更偏重的是幾何應用

1物理應用，跳過

2所涉及到的圖形較為復雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個提高性質的練習

3重點題，積分的幾何應用和極值問題相結合，常考題型之一

4旋轉體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉體，所繞的軸不同的話，結果不同

5求弧長，非典型題，了解即可 6、7、8均為物理應用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習題六實際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數一的同學有要求，數二三四的就直接pass吧

總習題七

1填空，向量代數的基本練習，必不可少 2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過適當練習可以培養起用向量的方式來思考問題的習慣 7、8、9、10、11都是與向量有關的運算，包括加（減），數乘、點積（相應的意義是一個向量在另一個向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應的意義是平行四邊形的面積），要通過這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點的軌跡方程，解析幾何中的常見題，了解基本做法即可

14旋轉曲面相關題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉后的旋轉曲面寫法 15、16求平面的方程，順帶可復習近平面方程的類型，這類問題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語言，重在思路的考察，需多加練習

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問題，也是一類典型題 19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識是多重積分計算的基礎，要重點掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習題七需重點掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下冊的內容有很多數二數三數四不考，因此我在解讀習題時盡量標注出是數一要求的，大家平時也多查查考綱或者翻翻計劃，這樣對于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說法，偏導數存在未必可微，這個是無論數幾都需要的，還有就是偏導數的幾何應用，這個只數一要求

3基本題，求二元函數的定義域和極限，因為是初等函數，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個二元函數的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導數，注意在連續區間內按求導法則求，在間斷點處只能按定義求

6求高階偏導數，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點題型，對一個二元函數，考察其在某點的連續性、偏導存在情況和可微性，務必熟練此類題目 9、10、11、12復合函數求偏導的鏈式法則，重點題型，要多加練習的一類題目，復合函數中哪些自變量是獨立的，哪些是不獨立的，還有各自對應關系，判斷好這些是解題的關鍵 13、14分別是極坐標和直角坐標情形下偏導數的幾何應用，數一要求 15、16方向導數相關題目，該知識點與第十一章聯系密切，重要，數一要求 17、18多元函數的極值問題，典型題，且通常都是結合條件極值來考，這類題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見對課本要重新重視。

綜上，總習題八需要重點掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數一）、14（數一）、15（數一）、16（數一）、17、18

第九章的內容中，二重積分以外的內容是數二三四不要求的，就不在題號后一一寫明了

總習題九

1選擇題，實際是考察多重積分的對稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對稱性的應用比定積分要復雜，重要，第（1）小問是三重積分，只數一要求，第（2）小問是二重積分 2、3基本題型，計算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會一下方法即可

5基本題型，利用極坐標計算二重積分，實際上在計算多重積分時本就要求根據不同的積分區域選擇合適的坐標系，這是一個基本能力，重要

6確定三重積分的積分區域，比較鍛煉空間想象能力的一類題，重要

7計算三重積分，基本題型，仍然要注意區域不同，所選坐標系不同

8重積分的幾何應用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數二三四考生也掌握 9、10、11是重積分的物理應用，不作要求

綜上，總習題九需要重點掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內容全部針對數一

總習題十

1填空，相關知識點是兩類線、面積分之間的聯系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對稱性，與重積分的對稱性類同，重點題型。需要注意，第二類線、面積分與第一類會有所不同，因為第二類線、面積分的被積元也有符號，這是和第一類線、面積分的區別

3計算曲線積分，基本題型，需要多加練習，六個小題基本覆蓋了曲線積分計算題的類型

4計算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計算線、面積分時，方法很多，常用的有直接轉化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個定理時又要注意其成立的條件是所圍區域不能有奇點，甚至不是閉區域要先補線或者補面，此類題目一定要熟練掌握

5全微分的相關等價說法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關的一系列等價命題 6、7線面積分的物理應用，不作要求

8證明，涉及的知識點多，覆蓋面廣，通過此題的練習可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知識點（把梯度和方向導數包括進來了），推薦掌握

9從流量的角度出發理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習題十需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數，數二數四不要求，其中傅立葉級數對數三無要求

總習題十一

1填空，涉及級數斂散性的相關說法，重要

2判斷正項級數的收斂性，典型題，綜合應用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時實際就是比較兩個通項是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數的概念題，重點題型之一，要利用級數收斂的相關性質判斷

4設置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數成立，也是重點題型之一

5判斷級數的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習來加強對這類題目的熟練度

6利用收斂級數的通項趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求冪級數的收斂域，典型題，要多加練習，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區域的區別

8求冪級數的和函數，典型題，重要，一般求和函數都不用直接法而用間接法，即通過對通項作變形（逐項積分或求導等），再利用已知的常見函數的展開式得到結果，注意求出和函數不要忘記相應的收斂域。

9利用構造冪級數來求數項級數的和，也是一類重要題型

10將函數展開為冪級數，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域 11、12傅立葉級數的相關題目，基本題，此類題目記得相應的系數表達式就可解決，一般來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數展開的系數公式難記，只能平時多加回顧，還有不要忽略了在非連續點展開后的傅氏級數的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習題十一需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對數四不作要求，下面不再詳細說明

總習題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數一要求

2通過解的形式觀察出相應的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要 3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習，基本對各種方程的解法有一定了解，同時也培養了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個小題只數一有要求

5微分方程的幾何應用，基本題

6微分方程的物理應用，不作要求

7由積分方程推導微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對應關系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習，數一要求