第一篇：高等數(shù)學(xué)思想

高等數(shù)學(xué)思想方法 第一章 函數(shù)與極限 主要的思想方法:(1)函數(shù)的思想

高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是微積分,而函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象。我 們?cè)谶\(yùn)用微積分解決實(shí)際問題時(shí), 首先就要從實(shí)際問題中抽象出變量與變量之間 的函數(shù)關(guān)系, 這是一個(gè)通過現(xiàn)象抽象出本質(zhì)特征的思維過程, 體現(xiàn)的是科學(xué)的抽 象是數(shù)學(xué)的一個(gè)思維方法和主要特征。

(2)極限的思想

極限的思想方法是微積分的基礎(chǔ)。極限是變量在無限變化過程中的變 化趨勢(shì), 是一個(gè)確定的數(shù)值。把一些實(shí)際問題的確定結(jié)果視為一系列的無限近似 數(shù)值的變化趨勢(shì),即函數(shù)或者數(shù)列的極限,這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 主要的思想方法:(1)微分的思想

微分表示自變量有微小變化時(shí)函數(shù)的近似變化, 一般地, 求導(dǎo)的過程就 稱為微分;導(dǎo)數(shù)則反映函數(shù)相對(duì)于自變量的瞬時(shí)變化率。從導(dǎo)數(shù)與微分的概念中 可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的體現(xiàn),而這也是微積分 的一個(gè)基本思想。

(2)數(shù)形結(jié)合的思想

書本中在引入導(dǎo)數(shù)與微分概念時(shí), 也討論了它們的幾何意義, 這顯然更 好地幫助我們理解這兩個(gè)概念。通過幾何圖形來直觀地理解概念以及定理的證明 等等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)中常用的方法, 這是抽象思維與現(xiàn)象思維有機(jī)結(jié)合的典型體 現(xiàn)。

(3)極限的思想

不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念的引入與定義深刻地體現(xiàn)了極限的思想。(4)邏輯思維方法

在本章中,歸納法(從特殊到一般),分類(整合)法等邏輯思維方法 都得到了充分的體現(xiàn),理解與掌握此類思維方法有助于良好的理性思維的形成。

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 主要的思想方法: 導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一種刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化率的數(shù)學(xué)模型, 它實(shí)質(zhì)上反 映了函數(shù)在該點(diǎn)處的局部變化性態(tài);而中值定理則是聯(lián)系函數(shù)局部性質(zhì)與整體性 質(zhì)的 “橋梁”, 利用中值定理我們就能夠從函數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì), 具體表現(xiàn)為在理論和實(shí)際問題中可利用中值定理把握函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)處的 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在該區(qū)間整體性質(zhì)的關(guān)系。

導(dǎo)數(shù)是一種工具, 而中值定理(微分基本定理)則是微分學(xué)的理論基礎(chǔ), 它更加深刻地揭示了可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。一方面, 在中值定理及其推導(dǎo)過程中, 不 僅用到了演繹, 分析, 分類等數(shù)理邏輯方法(鍛煉提升邏輯思維能力), 而且包含 了一些具體的數(shù)學(xué)方法,如輔助函數(shù)的構(gòu)造(湊導(dǎo)數(shù)法,幾何直觀解題法,常數(shù) 替代法,倒推法,乘積因子法),這就要求我們要培養(yǎng)直覺思維,發(fā)散思維等創(chuàng) 新思維;另一方面, 導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用廣泛, 這要求我們要有 應(yīng)用數(shù) 學(xué) 的意識(shí)。

第四章 不定積分 主要的思想方法: 積分法是微分法的逆運(yùn)算,即已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原函數(shù)問題(由一個(gè) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求這個(gè)函數(shù))。

不定積分的積分法 :(1)直接積分法:直接或?qū)⒈环e函數(shù)恒等變形后利用基本積分公式和不 定積分的性質(zhì)求積分;(2)換元積分法 :1.第一類換元法(湊微分法);2.第二類換元法(主要 有三角代換,根代換,倒代換);(3)分部積分法;(4)幾種特殊類型函數(shù)的積分:有理函數(shù)的積分, 三角函數(shù)有理式的積 分,簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分;(5)其它常見的積分方法:拆項(xiàng)法,加減項(xiàng)法,同乘以(或除以)一因式 法,降次法,先湊微分后化為同名函數(shù)法等。

第五章 定積分 主要的思想方法 : 定積分的幾何意義是函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]的圖形與 x 軸所界定區(qū)域的 面積。定積分完整地體現(xiàn)了積分思想——一種認(rèn)識(shí)問題, 分析問題, 解決問題的 思想方法, 定積分的概念借助極限工具, 以一種結(jié)構(gòu)式的形式嚴(yán)格定義, 理解掌 握這種通過“分割” , “近似”。“求和” , “取極限”的數(shù)學(xué)思想對(duì)后面重積分,曲 線積分與曲面積分的學(xué)習(xí)有重要作用。定積分與微分學(xué)不僅是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi) 容,也是研究科學(xué)技術(shù)問題的數(shù)學(xué)工具。

“分割” , “近似” , “求和” , “取極限”所反映出來的積分思想是微積分 的核心思想。第六章 定積分的應(yīng)用 主要的思想方法: 定積分的應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用定積分理論來分析與解決一些幾何與物理 學(xué)中的問題。定積分解決實(shí)際問題的方法 :(1)根據(jù)定積分的定義,利用分割,近似替代,求和,取極限這四個(gè)步 驟來推導(dǎo)出所求量的積分表達(dá)式;(2)“元素法” :將實(shí)際問題(幾何,物理)轉(zhuǎn)化為定積分,如計(jì)算平面 區(qū)域的面積,平面曲線的弧長,用截面面積計(jì)算體積,計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積,計(jì)算 變力做功等。

在本章的學(xué)習(xí)中可以增強(qiáng)我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)并且有助于我們提高 我們應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的能力。

第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 主要的思想方法: 空間解析幾何借助于空間坐標(biāo), 建立空間的曲面曲線方程, 利用代數(shù)方 法研究圖形的幾何性質(zhì);向量代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中為空間解析幾何服務(wù), 它實(shí)質(zhì)是 作為一種研究空間圖形性質(zhì)的重要工具。空間解析幾何與向量代數(shù)是學(xué)習(xí)多元函 數(shù)微積分的基礎(chǔ), 學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的主要目的是為研究多元函數(shù)微積分理論提供 一個(gè)直觀的空間幾何圖形。

借助向量研究空間圖形的性質(zhì), 建立空間圖形的方程, 這是本章中體現(xiàn) 的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法, 我們要樹立應(yīng)用向量這一重要的數(shù)學(xué)工具研究與解 決問題的意識(shí);此外本章中最基本的數(shù)學(xué)思想是“數(shù)形結(jié)合”的思想。

第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 主要的思想方法: 多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)理論的推廣與發(fā)展, 因此運(yùn)用類比的 思想方法來學(xué)習(xí)這一章內(nèi)容會(huì)起到事半功倍的作用。我們要培養(yǎng)類比思想這一創(chuàng) 新的思維。

第九章 重積分 主要的思想方法: 本章中著重討論的二重積分與三重積分的理論是多元函數(shù)積分學(xué)的重 要內(nèi)容。重積分與定積分一樣, 都是某種特殊形式和的極限, 基本思想是 “分割,近似,求和,取極限” ,定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),積分區(qū)域是一個(gè)確定的 區(qū)間,而二,三重積分的被積函數(shù)是二,三元函數(shù),積分區(qū)域是一個(gè)平面有界閉 區(qū)域和一個(gè)空間有界閉區(qū)域,因此重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展。重積分的計(jì)算方法中體現(xiàn)的基本思想是:將重積分化為累次積分, 而化 為累次積分的關(guān)鍵是由被積函數(shù)的積分區(qū)域的特性來確定定積分的次序和積分 限。

第十章 曲線積分與曲面積分 主要的思想方法: 曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分, 對(duì)弧長的曲線 積分和對(duì)面積的曲面積分是定積分和二重積分的直接推廣, 兩者又均有物理學(xué)背 景, 因此它們?cè)诮鉀Q幾何與物理學(xué)的實(shí)際應(yīng)用問題中有重要作用。在計(jì)算上, 將平面或空間曲線積分化為定積分的計(jì)算, 將空間曲面積分化為投影區(qū)域上的二重 積分的計(jì)算;在理論上, 建立了平面閉曲線上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與該曲線圍成的 閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系, 建立了閉曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與該閉曲面圍成 的空間閉區(qū)域上的二重積分的關(guān)系。這些就幫助我們更加深刻地掌握高等數(shù)學(xué)的 思想方法。

格林公式的思想方法:格林公式實(shí)現(xiàn)了閉區(qū)域上的二重積分與區(qū)域的邊 界曲線上的曲線積分的相互轉(zhuǎn)化,它可視作是定積分中的牛頓-萊布尼茨公式的 一個(gè)推廣。

高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空間立體上的三重積分與其邊 界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系,它可視作是牛頓-萊布尼茨公式和格林公式的 推廣,同時(shí)它還是計(jì)算曲面積分的一個(gè)重要手段。注意在曲面不封閉的情況下, 應(yīng)先添補(bǔ)曲面構(gòu)成封閉曲面,再利用高斯公式,這是計(jì)算曲面積分的常用方法。

第十一章 無窮級(jí)數(shù) 主要的思想方法: 無窮級(jí)數(shù)是一種研究與表示函數(shù)及數(shù)值計(jì)算的專門工具與重要方 法,是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。

在本章中,收斂與發(fā)散及其重要理論是建立在極限的基礎(chǔ)之上的, 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的主要依據(jù)是微分學(xué)中的泰勒定理, 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算中要用到求 導(dǎo)數(shù)與定積分的計(jì)算, 由此可見, 無窮級(jí)數(shù)與微積分的其它內(nèi)容之間有非常緊密 的聯(lián)系。

第十二章 常微分方程 主要的思想方法: 常微分方程是指含有一元未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程, 它是研 究函數(shù)的重要工具。建立常微分方程要用到導(dǎo)數(shù)的概念, 而解常微分方程則要用到積分 法,因此常微分方程是在微積分基礎(chǔ)上的發(fā)展與應(yīng)用。

每種類型的常微分方程都有廣泛的實(shí)際背景, 因此我們要有應(yīng)用數(shù) 學(xué)的意識(shí), 通過建立數(shù)學(xué)模型來求解實(shí)際問題中的微分方程, 在求解前需要分析 與明確常微分方程的類型, 并在掌握各種微分方程的相應(yīng)的解法的基礎(chǔ)上求解答 案, 同時(shí)掌握變量替換法, 常數(shù)變易法, 待定系數(shù)法等具體的數(shù)學(xué)方法對(duì)求解微 分方程有重要的作用。

七大基本數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以簡(jiǎn)要地分為三個(gè)層次(或稱境界):第一層次,深刻 和熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念及其本質(zhì)并且初步擁有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的 意識(shí), 明確各類基礎(chǔ)題型的解題方法與步驟, 在不斷的練習(xí)中鍛煉與加強(qiáng)自己的 準(zhǔn)確的抽象運(yùn)算能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?第二層次, 在進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)思 想方法的理解的基礎(chǔ)上, 進(jìn)行專題性質(zhì)的知識(shí)總結(jié)從中發(fā)現(xiàn)各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在 的緊密聯(lián)系并逐漸做到掌握與運(yùn)用, 與此同時(shí), 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的意識(shí)與應(yīng)用能力, 能夠發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型并憑此解決聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際的應(yīng)用問題;第三 層次, 深刻地理解與把握各類數(shù)學(xué)思想方法, 對(duì)某一具體問題有更加深層的研究(譬如求極限的方法的歸納總結(jié), 涉及絕對(duì)值的問題, 高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用微積分證 明不等式的探討等等),在面對(duì)新情境新背景下的理論或?qū)嶋H問題時(shí),既能快速 明確問題中的知識(shí)載體, 也能在數(shù)學(xué)解題能力得到提升與強(qiáng)化的基礎(chǔ)上, 能夠綜 合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法, 分析與解決具有綜合性的新數(shù)學(xué)問題(平時(shí)就 需要加強(qiáng)這一方面的能力)或更高知識(shí)層次的數(shù)學(xué)問題(為此可略覽碩士階段數(shù) 學(xué)知識(shí)做個(gè)大概的了解)。以此提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)(想象力,創(chuàng)新思維,抽象性, 靈活性,深刻性)。

基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)是“載體” ,解題方法是“手段” ,數(shù)學(xué)思想才 是“深化與核心” ,是分析與解決問題的“靈魂” ,深刻理解與熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 有助于我們鍛煉與形成高層次的數(shù)學(xué)思維,高水平的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí), 而數(shù)學(xué)方法則 是數(shù)學(xué)思想的具體化形式,兩者本質(zhì)相同,因此通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。下面是七大基本的數(shù)學(xué)思想方法(前四個(gè)為常用的思想方法): 一.函數(shù)與方程思想

1.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次的抽象,概括與提煉,它要求 我們要用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題,轉(zhuǎn)化問題和解決問題;在實(shí)際問題中, 函數(shù)思想通過提出該問題中的數(shù)學(xué)特征, 建立與構(gòu)造函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型(方 程, 不等式或方程與不等式的混合組)并利用函數(shù)的性質(zhì), 最后通過求解函數(shù)解 析式來解決問題。

2.方程思想:實(shí)際問題 ~數(shù)學(xué)問題 ~代數(shù)問題 ~方程問題;方程思想 是解決各類計(jì)算問題的基本思想,也是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)。

二.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系與空間形式,即數(shù)與形兩個(gè)方面,在 高等數(shù)學(xué)中,關(guān)于空間解析幾何的內(nèi)容就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

2.數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì):將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)

結(jié)合;關(guān)鍵在于代數(shù)問題與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化, 而代數(shù)問題幾何化(數(shù)到形的 轉(zhuǎn)化)相對(duì)簡(jiǎn)便, 幾何問題代數(shù)化則需要嚴(yán)密的推理論證, 它考察我們的邏輯推 理能力的高低。

3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析與解決問題的三點(diǎn)注意:掌握相關(guān)概念與

運(yùn)算的幾何意義及幾何圖形(曲線, 曲面)的代數(shù)特征, 對(duì)具體題目而言, 要分析 條件與結(jié)論的幾何意義和代數(shù)意義;恰當(dāng)設(shè)參, 合理用參, 建立關(guān)系, 由數(shù)思形, 以形想數(shù),完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;正確確定參數(shù)的取值范圍。

三.分類討論思想

1.分類是自然科學(xué)研究中的一種邏輯方法, 是一種重要的數(shù)學(xué)思想, 也是一種重要的解題策略, 它體現(xiàn)了化整為零, 積零為整的思想與歸類整理的方 法。2.分類討論分為三種情形 :問題涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義 的,如絕對(duì)值問題,此為概念型分類討論題型;問題所涉及的數(shù)學(xué)定理,公式與 運(yùn)算性質(zhì), 法則有范圍或有條件限制抑或是分類給出的, 此為性質(zhì)型分類討論題 型;問題中含字母參數(shù), 這需要根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論, 此為含參型 分類討論題型。

3.進(jìn)行科學(xué)劃分(不漏不重)是解決問題的手段,分類研究才是根 本目的。4.解決分類討論問題的基本方法與步驟為:首先確定討論對(duì)象及所

要討論對(duì)象的全體的范圍;其次具體問題具體分析, 選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 合理 分類;對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論, 分級(jí)進(jìn)行, 獲得階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納總結(jié), 綜合得出結(jié)論。

四.化歸與轉(zhuǎn)化思想

1.化歸與轉(zhuǎn)化的目的:將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單問題,將較難問題化 為較易問題,將未解決的新背景下的陌生問題轉(zhuǎn)化為已解決的熟悉問題。2.此數(shù)學(xué)思想靈活度高,具有多樣性,無統(tǒng)一模式,我們要用動(dòng)態(tài) 思維來尋找有利于解決問題的變換(轉(zhuǎn)化)途徑與方法。

3.常用的變換方法:一般與特殊的轉(zhuǎn)化,繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化,靈活巧妙 地構(gòu)造轉(zhuǎn)化,命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化。

4.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法:它可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與數(shù),形與形,數(shù)與形的相互

轉(zhuǎn)換;在分析與解決實(shí)際問題的過程中, 實(shí)現(xiàn)普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;函數(shù), 方程,不等式之間的恒等變形。消去法,換元法,數(shù)形結(jié)合法,求值求范圍問題 都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。

五.特殊與一般思想

1.特殊到一般的本質(zhì):通過對(duì)個(gè)例的認(rèn)識(shí)與研究, 形成對(duì)事物本質(zhì)的 認(rèn)知;這是一個(gè)由淺入深, 由現(xiàn)象到本質(zhì), 由局部到整體, 由實(shí)踐到理論的過程。2.該思想的具體應(yīng)用:構(gòu)造特殊函數(shù),特殊數(shù)列;尋找特殊點(diǎn),確立 特殊位置;利用特殊值,特殊方程。

六.有限與無限的思想

1.解決無限問題:將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題。

2.實(shí)例 :利用定積分的定義求曲邊梯形的面積,先進(jìn)行有限次分割, 再取近似,最后求和取極限,這是典型的有限與無限這一數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。七.或然與必然的思想

1.隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征:結(jié)果的隨機(jī)性和頻率的穩(wěn)定性。2.從偶然中尋找必然,再用必然規(guī)律解決偶然。3.等可能性事件的概率;互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率;相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率;獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) +隨機(jī)事件的分布列 +數(shù)學(xué)期望。

第二篇：淺論高等數(shù)學(xué)中的極限思想（最終版）

淺論高等數(shù)學(xué)中的極限思想

谷亮

（遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 遼寧 錦州 121000 中國）

摘要： 極限是高等數(shù)學(xué)最基本的概念之一，極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，本文從極限的定義、極限思想的價(jià)值、教學(xué)中如何滲透極限思想幾個(gè)方面進(jìn)行了簡(jiǎn)要論述。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)，極限，極限思想、教學(xué)

一、極限的概念

1、數(shù)列極限：設(shè){xn}為一個(gè)數(shù)列，a為一常數(shù)，若???0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得

limxn?axn?a??{x}n?Nn當(dāng)時(shí)，有，稱a是數(shù)列的極限。記作n??

2、函數(shù)極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有定義，A為一常數(shù)，若???0，總存在一個(gè)正數(shù)?，使得當(dāng)?shù)臉O限。記作x?a0?x?a??。

時(shí)，有

f(x)?A??，稱A是當(dāng)x趨向于a時(shí)函數(shù)f(x)limf(x)?A??x?a,x?a,x???,x???，極限的定義類似。自變量變化過程還包括：在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中,出于不同需要,還引進(jìn)了不同意義下的極限概念,比如在集論中引進(jìn)了集列的上、下極限的概念,在無窮級(jí)數(shù)論中引進(jìn)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及在函數(shù)逼近論中引進(jìn)了一致逼近、平均逼近等的極限概念.無論怎樣定義，其本質(zhì)都是一樣的，都是從有限觀念發(fā)展到無限觀念的過程。

二、極限思想的價(jià)值

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的關(guān)系，通過極限思想，我們可以從有限來認(rèn)識(shí)無限，以直線近似代替曲線，以不變認(rèn)識(shí)變化，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變。因此，極限思想具有由此及彼的創(chuàng)新作用，極限思想方法也廣泛用于微分方程、積分方程、函數(shù)論、概率極限理論、微分幾何、泛函分析、函數(shù)逼近論、計(jì)算數(shù)學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域。

生活中也有這樣的例子：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，??如此這樣，這張餅?zāi)艹缘猛陠幔匡@然是永遠(yuǎn)吃不完的，雖然餅越來越小，但還是有的。只能說，這張餅的極限為零，但絕不是零。這就是一種極限思想的具體寫照。

極限思想不僅非常重要，它也是學(xué)生難以理解掌握的重要概念，它貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)體系，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它是人類發(fā)現(xiàn)并解決數(shù)學(xué)問題的非常重要手段，它能很好地展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的思維之美，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中起著相當(dāng)重要的作用，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用極限思想不僅可以將一些問題簡(jiǎn)化，開辟解決問題的新途徑，通過分析、總結(jié)、歸納得出極限概念中各變量具有的變化特征和內(nèi)在練習(xí)，分析變化過程中的各種規(guī)律，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的素質(zhì)能力，因此，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用極限思想有重要的意義。

三、將極限思想滲透到課堂教學(xué)中

1、課堂上介紹一些體現(xiàn)極限思想的典故

比如，中國古代的哲學(xué)家莊周在《莊子天下篇》中說:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”，將木棰長度的變化歸結(jié)為一個(gè)無限的過程中去研究，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽割圓術(shù)中“割之彌細(xì),所失弦少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”，他用圓的內(nèi)接正n邊形的邊長代替圓的周長,n越大,正n邊形的邊長就越接近圓的周長，這都蘊(yùn)涵了極限思想。通過這些有趣的小故事，小典故，不僅讓學(xué)生回顧歷史，從中體驗(yàn)和感受極限思想的妙處，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣和積極性。

2、講授新知識(shí)時(shí)滲透極限思想

在教學(xué)中，講授新知識(shí)的同時(shí)體現(xiàn)極限思想，這樣可以使學(xué)生對(duì)新知識(shí)有一個(gè)更好更深入的的理解，達(dá)到很好的教學(xué)效果。在教學(xué)中能夠滲透極限思想的地方有很多，比如求曲線上任一點(diǎn)的切線斜率、圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積、曲頂柱體的體積等都是通過這種極限思想得以引入課題并解決問題的，還有空間集合體中圓柱、圓錐之間相互轉(zhuǎn)化，圓錐是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態(tài)，也體現(xiàn)了一種動(dòng)態(tài)的極限思想。

3、體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念

高等數(shù)學(xué)中的許多概念都是利用極限來描述的，體現(xiàn)極限思想的數(shù)學(xué)概念比比皆是，不勝枚舉，下面就舉幾個(gè)這樣的例子：（1）函數(shù)連續(xù)的概念中就用到極限式：

x?x0limf(x)?f(x0)

（2）導(dǎo)數(shù)的概念中有極限式：

f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x

（3）定積分的概念也是通過分劃、取近似、求和、取極限得到的：a??bb?f(?)?x?f(x)dx?lim??0ii?1bbni

（4）無窮區(qū)間上的廣義積分的定義也是通過有限區(qū)間的定積分取極限得到的：?af(x)dx?lim?f(x)dxb??a，bb?????f(x)dx?lima????f(x)dxa，??0a??????f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dxa0

（5）級(jí)數(shù)的收斂性也是用極限式定義的：若級(jí)數(shù)

?un?1?nlimsn?s{s}n的部分和數(shù)列的極限n??存在，稱級(jí)數(shù)?un?1?n為收斂的，否則該級(jí)數(shù)稱為發(fā)散的。

（6）無窮小的定義也是用極限來描述的：若有x?alimf(x)?0，稱f(x)為此自變量的變化過程中的無窮小量。

（7）二元函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的二重積分的定義也用到了極限，??f(x,y)d??lim?f(?,?)??Dd?0iii?1ni

（8）二元函數(shù)f(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分也是用極限定義的：?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?sid?0i?1n

（9）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)也是用極限來定義的，以二元函數(shù)為例，f(x,y)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)為：

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?f?lim?x(x0,y0)?x?0?x，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)類似。

4、解決問題時(shí)利用極限思想

高等數(shù)學(xué)中的許多問題都是通過極限的思想方法來解決的，下面簡(jiǎn)單的舉兩個(gè)例子。（1）如何求平面上曲邊梯形的面積？

計(jì)算梯形的面積公式是我們所熟知的，但曲邊梯形面積是不能依此求得的，可以通過極限思想方法，利用無限分割，以直代曲、用無數(shù)個(gè)小矩形面積無限逼近曲邊梯形的面積通過取極限最終來解決這個(gè)問題；（2）如何求圓面積？

我們可以設(shè)定情境，就是在不知圓面積公式的情況，是怎么考慮圓面積的，當(dāng)然，也是利用極限思想方法，通過圓內(nèi)接正多邊形，無限增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，利用內(nèi)接正多邊形的面積無限逼近圓面積的方法來解決的；

除了上述兩個(gè)問題，還有解決物體的瞬時(shí)速度、平面曲線的弧長、曲頂柱體的體積等問題都是利用極限思想方法來解決的。教師可以在教學(xué)中恰當(dāng)選取問題，讓學(xué)生逐步緊跟教師思路，利用極限思想一步一步解決問題，不僅是教學(xué)效果事半功倍，還能增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生用極限思想方法解決相關(guān)問題的能力。

四、結(jié)束語

綜上所述，極限思想是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)體系，在教學(xué)中教師要有意識(shí)的將極限思想滲入其中，通過恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生更好的理解極限的概念和極限的思想方法，讓學(xué)生體會(huì)到極限思想的作用和妙處，體會(huì)“以直代曲、化零為整、化圓為方、以不變代變、以有限找無限”等的極限思想，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，利用極限思想方法解決各種問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳剛、米平治.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中的極限思想的研究 [J].工科數(shù)學(xué).2001,6(17)[2]張魁元、趙建華，大學(xué)數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社,2004 [3]施紅英.對(duì)微積分“極限”思想方法教學(xué)的思考[J].甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（9）

第三篇：將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)

袁

媛

桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院 廣西 桂林 541004

摘要：本文闡述了數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性，探討了將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；高等數(shù)學(xué)教學(xué)；

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)數(shù)學(xué)類的一門必修基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力和空間思維能力起著極為重要的作用，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)。現(xiàn)代教學(xué)思想的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新思維、意識(shí)及能力，各大高校基于此思想，已經(jīng)陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程。數(shù)學(xué)建模重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅僅是書本上枯燥無味的死知識(shí)，而是靈活地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域！因此將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，改變傳統(tǒng)的教學(xué)思想和模式，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。

一、數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)給大多數(shù)學(xué)生的印象無非是求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分，除了理解定義定理，就是根據(jù)數(shù)學(xué)公式解答書本上的數(shù)學(xué)題，在實(shí)際生活中幾乎毫無用處，從而產(chǎn)生了數(shù)學(xué)無用論的思想。這樣的教學(xué)不僅不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，也不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)知識(shí)的渴望。數(shù)學(xué)建模課程與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)類課程相比，有很大的不同。它彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程重傳授知識(shí)輕培養(yǎng)能力的不足，很好地培養(yǎng)了學(xué)生觀察力、想象力、邏輯思維能力、發(fā)散思維能力、分析問題和解決問題的能力。因此改變傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠大大地促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑

1、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)概念教學(xué) 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多概念的產(chǎn)生都有其實(shí)際背景。因此在概念教學(xué)中從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念，有利于學(xué)生對(duì)其概念的深刻理解，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。比如在講解導(dǎo)數(shù)定義之前，給出了兩個(gè)實(shí)例，其一是變速直線運(yùn)動(dòng)的速度，其二是曲線的切線斜率。通過對(duì)實(shí)例的分析，建立質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻瞬時(shí)速度的模型為v?t0??lims?t??t??s?t0??sf(x0??x)?f(x0)，在x0處的切線斜率為k?lim?y?lim。?lim0?t?0?t?t?0?x?0?x?x?0?t?x對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)求解模型比較容易，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)，計(jì)算極限很難求出[1]。于是為了求解這一類模型，我們撇開實(shí)際背景，抓住兩個(gè)模型的共性，即都是函數(shù)增量與自變量增量的比值取極限，從而引出這種形式的極限就定義為導(dǎo)數(shù)。以此為依據(jù)就可以解決有關(guān)變化率的實(shí)際問題，這也是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。在此還可以補(bǔ)充介紹費(fèi)馬在 1629 年設(shè)計(jì)透鏡求曲線在一點(diǎn)處切線的小故事,生動(dòng)的事例能讓學(xué)生了解前人在創(chuàng)立新理論時(shí)的建模過程,更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在對(duì)光學(xué)的研究中，對(duì)透鏡的設(shè)計(jì)促使費(fèi)馬探求曲線的切線，他在1629年找到了求切線的一種方法，牛頓從中找到了靈感，他說：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這個(gè)方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程。”由此創(chuàng)立了微積分方法[2]。

再比如，為引入定積分的概念，拋出了求解曲邊梯形面積的問題。首先引導(dǎo)學(xué)生分析問題，如果是矩形，面積公式是長乘寬，現(xiàn)在有一邊是曲線，公式肯定不能直接用。于是這樣來考慮：把區(qū)間分割成許多小區(qū)間，對(duì)應(yīng)有許多小曲邊梯形；在每個(gè)小區(qū)間上，以直代曲，用小區(qū)間長度乘以小區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的函數(shù)值就是小曲邊梯形面積的近似值；把所有小曲邊梯形面積近似值加起來就得到所求曲邊梯形面積的近似值；要得到精確值，就把分割區(qū)間無限加細(xì)，使小區(qū)間長度趨于零，這時(shí)近似值的極限就是所求的面積。這樣，通過 “分割、近似、求和、取極限”四步建立了求解曲邊梯形面積的模型A?lim?f??i??xi。同樣可建

???i?1n立了變速直線運(yùn)動(dòng)位移的模型s?lim?v??i??ti，從而抽象出定積分的概念。實(shí)際上，在所

???i?1n有定積分的應(yīng)用問題中，分析微元是關(guān)鍵，建立微元的模型就體現(xiàn)出了定積分的思想[3]。

在講解數(shù)學(xué)概念時(shí)，利用實(shí)際背景引入，將其本質(zhì)講清，講透，有利于學(xué)生對(duì)概念的理解掌握，也教會(huì)學(xué)生將分析問題的能力。

2、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)定理教學(xué)

數(shù)學(xué)定理的教學(xué)對(duì)學(xué)生來說，是比較枯燥無味的。在講解公式定理時(shí)，可適當(dāng)?shù)亟榻B一些與該內(nèi)容相關(guān)的實(shí)際例子進(jìn)行建模示范，加深學(xué)生對(duì)定理的理解與公式的掌握。例如，在講一元函數(shù)介值性定理時(shí)，可引入日常生活中經(jīng)常碰到的“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎”的問題。此題看似和數(shù)學(xué)無關(guān)，其實(shí)不然，在分析問題的實(shí)際背景和實(shí)際含義后,我們確定問題的目標(biāo)是“放穩(wěn)”，而“放穩(wěn)”可以用各椅腳離地面的距離這一數(shù)量指標(biāo)來表達(dá)，通過模型假設(shè)，模型建立，模型求解這三部分，巧妙地解決了椅子放穩(wěn)問題。這個(gè)建模實(shí)例不但使學(xué)生看到了如何利用抽象的介值定理來解決實(shí)際問題的方法，而且啟迪了學(xué)生如何用數(shù)學(xué)語言描述似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)工具對(duì)它進(jìn)行證明。

3、數(shù)學(xué)建模思想融入案例教學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)建模中的很多案例就很好體現(xiàn)了知識(shí)的應(yīng)用，因此在實(shí)際的課堂教學(xué)過程中，各章節(jié)理論知識(shí)學(xué)習(xí)完之后，教師可適當(dāng)?shù)匾跃唧w案例作為教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行建模示范，引導(dǎo)學(xué)生通過問題分析，進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題。這樣既能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的方法步驟，又使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握。

在講解完導(dǎo)數(shù)一章內(nèi)容后，可引入經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單實(shí)例“最優(yōu)價(jià)格”，即一個(gè)工廠在產(chǎn)銷平衡狀態(tài)下尋求使工廠利潤最大的最優(yōu)價(jià)格[4]。

首先對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行分析，所謂產(chǎn)銷平衡是指產(chǎn)品的產(chǎn)量等于市場(chǎng)上的銷售量。利潤等于銷售收入與生產(chǎn)支出之差。其次進(jìn)行符號(hào)假設(shè)：每件產(chǎn)品售價(jià)為p，成本為q，銷售量為。于是建立數(shù)學(xué)模型有：總收入I?px，總支出C?qx，在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中銷x（與產(chǎn)量相等）售量依賴于價(jià)格，即x?f(p)，利潤可表示為U?p??I?p??C?p?，問題最終轉(zhuǎn)化為求U?p?的最大值。這是一元函數(shù)求最值問題，由數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中

dUdI?0可求出p?p*，即有dpdp*p?p?dCdpp?p*。在dCdI稱為邊際收入，稱為邊際支出，上等式表明最大利潤是在邊際收入等

dpdp于邊際支出時(shí)達(dá)到。f稱為需求函數(shù)，是p的減函數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)它的具體形式可求出p*。在教學(xué)過程中，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)，所選模型盡量貼近學(xué)生的實(shí)際生活，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)。

將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的過程中，不是將數(shù)學(xué)建模的例子強(qiáng)塞進(jìn)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容中去，改變高等數(shù)學(xué)的原有體系，而是通過數(shù)學(xué)建模的過程來使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容, 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研意識(shí), 提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的思想和方法。

參考文獻(xiàn)

[1]韓明蓮，盧書成.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志,2006，19(5):555-556.[2]龍薇.將數(shù)學(xué)建模的思想滲入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的思考[J].黑龍江科技信息,2008，274.[3] 李修清，董錦華，張德全.將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].教育與教學(xué)研究，2008(1)：84-86.[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社，2003.

第四篇：高等數(shù)學(xué)

§13.2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。

一般地，有下面定義：

定義1: 設(shè)E是R2的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R?x?y222就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x2?y2?R2的x，y全體，即D?{(x,y)|x2?y2?R2}。又如，Z?xy是馬鞍面。

二 多元函數(shù)的極限

定義2

設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時(shí)，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價(jià)敘述1 ：設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)0???f(x,y)M0?2x,0y0??2E近有定義．如果???0附，???0，當(dāng)?x?x0???y?y0???時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價(jià)敘述2： 設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)M0?x,0y0????f(x,y)附E近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨

M?M0于M0時(shí)，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。

例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。

例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。

例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。

x??y??例5：① limx?0y?0

② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

（注意：cos3??sin3?在??7?4時(shí)為０，此時(shí)無界）。

xyx?y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．

例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?MM?M0?在M0點(diǎn)連續(xù)．

???0,???0,當(dāng)0

如果f在開集E內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點(diǎn)。

四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理：

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

零點(diǎn)存在定理:

設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)?0，f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

????????????

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對(duì)任一固定的y，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時(shí)的極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對(duì)x，再

y?y0對(duì)y的二次極限，記為limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)??

?0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次

y?0極限不存在。

例11：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。

x?0y?0例12：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0)

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。

定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1:

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。

推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限

x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院

第五篇：高等數(shù)學(xué)

《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對(duì)學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標(biāo)，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用”

根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運(yùn)算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。

高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計(jì)思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計(jì)算機(jī)和財(cái)經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計(jì)算機(jī)和電子再增加級(jí)數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財(cái)經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達(dá)到了專業(yè)課對(duì)基礎(chǔ)課的要求。

同時(shí)，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點(diǎn)：

1、數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點(diǎn)，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴(yán)密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

2、重視知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景知識(shí)介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念 的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。

3、重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分

4、強(qiáng)調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強(qiáng)化與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識(shí)和基本方法。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在 微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級(jí)數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。

5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。

6、根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平，有針對(duì)性地選擇適當(dāng)（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實(shí)驗(yàn)題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計(jì)算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。

知識(shí)模塊順序及對(duì)應(yīng)的學(xué)時(shí)《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識(shí)模 塊，共需要用168個(gè)學(xué)時(shí).1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個(gè)學(xué)時(shí)；

2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個(gè)學(xué)時(shí)；

3、微分方程部分，需用12個(gè)學(xué)時(shí)。

4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個(gè)學(xué)時(shí)；

5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個(gè)學(xué)時(shí)；

6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個(gè)學(xué)時(shí)；

7、無窮級(jí)數(shù)部分，需用30個(gè)學(xué)時(shí)； 課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 1、課程的重點(diǎn)

本課程的研究對(duì)象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個(gè)課程。本課程的重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級(jí)數(shù)理論等）的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和創(chuàng)新能力。

2、課程的難點(diǎn)

本課程的教學(xué)難點(diǎn)在于由實(shí)際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。

3、解決辦法

對(duì)于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時(shí)一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強(qiáng)基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強(qiáng)函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實(shí)際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點(diǎn)、突破難 點(diǎn)；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進(jìn)，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善。基礎(chǔ)部科研和教 學(xué)活動(dòng)的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺(tái)。

教 學(xué) 大 綱

一、內(nèi)容簡(jiǎn)介

本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級(jí)數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分。空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級(jí)數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。

二、課程的目的和任務(wù)

為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀(jì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會(huì)經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實(shí)貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識(shí)以必需、夠用為度”的原則，落實(shí)高職高專教育“基礎(chǔ)知識(shí)適度，技術(shù)應(yīng)用能力強(qiáng)，知識(shí)面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標(biāo)，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識(shí)更新和科技發(fā)展的最近動(dòng)態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識(shí)、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時(shí)反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實(shí)際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點(diǎn)：

1．注意數(shù)學(xué)知識(shí)的深、廣度。基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點(diǎn)放在概念、方法和結(jié)論的實(shí)際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達(dá)信息，多用有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的案例、示例促進(jìn)對(duì)概念、方法的理解。對(duì)基礎(chǔ)理論不做論證，必要時(shí)只作簡(jiǎn)單的幾何解釋。

2．必須貫徹“理解概念、強(qiáng)化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實(shí)到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強(qiáng)化應(yīng)用要落實(shí)到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。

3．采用“案例驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)模式。由實(shí)際問題引出數(shù)學(xué)知識(shí)，再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于處理各種生活和工程實(shí)際問題。重視數(shù)學(xué)知識(shí)的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。

4．重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分。

5．要特別注意與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計(jì)算和變換。可通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提升學(xué)生對(duì)的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級(jí)數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。

6．在內(nèi)容處理上要兼顧對(duì)學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。

三、課程內(nèi)容

第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)

理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡(jiǎn)單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會(huì)用極限思想方法分析簡(jiǎn)單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運(yùn)算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟(jì)、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會(huì)用微分做近似計(jì)算；會(huì)建立簡(jiǎn)單的微分模型。第三章

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

會(huì)用羅必達(dá)解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章

一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（Newton）-萊布尼茲(Leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實(shí)際問題的積分模型；會(huì)用微元分析法建立簡(jiǎn)單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會(huì)建立簡(jiǎn)單的微分方程模型。第五章

空間解析幾何與向量代數(shù)

理解向量的概念，掌握向量的線性運(yùn)算、點(diǎn)乘、叉乘，兩個(gè)向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達(dá)式；掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解曲線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求一些極值。第七章

二重積分

理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計(jì)算方法。第八章

無窮級(jí)數(shù)

了解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級(jí)數(shù)和P-級(jí)數(shù)的收斂性；掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件；會(huì)將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件，會(huì)將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。知道傅里葉級(jí)數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會(huì)求解簡(jiǎn)單信號(hào)函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步

理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實(shí)際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會(huì)用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會(huì)建立簡(jiǎn)單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問題為實(shí)驗(yàn)對(duì)象的操作實(shí)驗(yàn)，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。

四、課程的教學(xué)方式

本課程的特點(diǎn)是思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進(jìn)入相關(guān)知識(shí)，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時(shí)，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機(jī)聯(lián)系, 特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的關(guān)鍵學(xué)科。

五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配

序號(hào)教學(xué)模塊理論課時(shí)習(xí)題課時(shí)實(shí) 驗(yàn)共計(jì)備注

1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30

常微分方程102 12輕化、電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選

5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選

7二重積分62 8 8無窮級(jí)數(shù)246 30電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選

9線性代數(shù)初步144 18電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選 10 實(shí)驗(yàn)

六、執(zhí)行大綱時(shí)應(yīng)注意的問題

1.大綱以高職高專各專業(yè)為實(shí)施對(duì)象。

2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標(biāo)和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程視情況開設(shè)。

教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時(shí)多、面對(duì)學(xué)生人數(shù)多，而且責(zé)任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平。基礎(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認(rèn)真負(fù)責(zé)地對(duì)待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評(píng)。

從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點(diǎn)突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動(dòng)，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時(shí)幾乎每周都有安排。嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、嚴(yán)格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊(duì)伍建設(shè)上成績(jī)是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性

課程的方法和手段

本課程運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達(dá)更生動(dòng)、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達(dá)到100%。具體情況如下：

1．堅(jiān)持“少講、留疑、迫思、細(xì)答、深析”的教學(xué)原則，試點(diǎn)“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。

高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責(zé)任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們?cè)诮虒W(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細(xì)答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。

2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進(jìn)行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神

工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級(jí)開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對(duì)微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)生反映很好。

3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果

在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級(jí)進(jìn)行試點(diǎn)。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。

4．加強(qiáng)課下輔導(dǎo)，及時(shí)為學(xué)生排疑解難

課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強(qiáng)這個(gè)環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。

5．積極開展課外科技活動(dòng)

為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準(zhǔn)備開設(shè)《Mathematica》和《數(shù)學(xué)建模》兩門院級(jí)選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進(jìn)一步提高的機(jī)會(huì)。同時(shí)，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。