《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱

課程名稱：高等數(shù)學(xué)Ⅰ

課程代號(hào)：

學(xué)時(shí)數(shù)：

學(xué)分?jǐn)?shù):

適用專業(yè)：專升本

一、本課程的地位、任務(wù)和作用

高等數(shù)學(xué)是人們?cè)趶氖赂咝录夹g(shù)及知識(shí)創(chuàng)新中必不可少的工具，它的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。21世紀(jì)是信息時(shí)代，它不僅給人類生活帶來日新月異的變化，也給“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)增添了新的內(nèi)涵。

“高等數(shù)學(xué)”是高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生受到必要的高等數(shù)學(xué)教育，使其具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)及今后的應(yīng)用打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、本課程的基本內(nèi)容及要求

第一章

函數(shù)

（一）基本內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法,函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。掌握常用的不等式和等式以及極坐標(biāo)。

（二）基本要求

1．理解函數(shù)的概念，掌握表示法。

2．了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性，奇偶性。

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)，隱函數(shù)概念。

4．掌握簡單初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5．掌握常用的不等式和等式以及極坐標(biāo)。

第二章

極限與連續(xù)

（一）基本內(nèi)容

熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及性質(zhì)，函數(shù)的左、右極限，無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質(zhì)及其比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限

函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）基本要求

1．理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念。

理解函數(shù)的左、右極限概念及極限存在與左、右極限存在的關(guān)系。

2．掌握極限的性質(zhì)、極限的四則運(yùn)算法則。

3．掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，基本掌握利用“兩個(gè)重要極限”求極限的方法。

4．理解無窮小與無窮大的概念，掌握無窮小比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

5．理解函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

6．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)利用這些性質(zhì)。

第三章

一元函數(shù)微分學(xué)

（一）基本內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線和法線，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)的概念，某些簡單函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述簡單物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，初步了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4．會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5．會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

第四章

一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

（一）基本內(nèi)容

羅爾（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西定理（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）中值定理，洛比達(dá)（L＇Hospital）法則，函數(shù)的極值及其求法，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，函數(shù)最大值和最小值的及其簡單應(yīng)用，弧微分，曲率半徑。

（二）基本要求

1．理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理。了解柯西中值定理。

2．掌握用“洛比達(dá)“法則求未定式極限的方法。

3．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。

4．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

5．了解弧微分的概念及其計(jì)算公式，了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

第五章

一元函數(shù)積分學(xué)

（一）基本內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，不定積分和定積分的換元積分與分部積分方法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

（二）基本要求

1．理解原函數(shù)、不定積分的概念。

2．掌握不定積分的基本公式，理解不定積分的性質(zhì)，掌握不定積分的換元法和分部積分法。

3．會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分。

第六章

一元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用

（一）基本內(nèi)容

定積分的元素法，用定積分計(jì)算面積、體積、弧長，用定積分計(jì)算功、水壓力、引力。

（二）基本要求

1．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長）。

2．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力沿直線所做的功、水壓力和引力）。

笫七章

常微分方程

（一）基本內(nèi)容

微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用簡單的變量代換求解的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程，簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，歐拉（Euler）方程，微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，微分方程的簡單應(yīng)用問題。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念

2．掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法

3．會(huì)求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4．會(huì)用降階法求解方程：。

5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)求解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7．會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8．了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，會(huì)求解歐拉方程。

9．會(huì)用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

笫八章

向量代數(shù)與空間解析幾何

（一）基本內(nèi)容

向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量，方向數(shù)與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，球面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。

（二）基本要求

1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），掌握兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

3．掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4．掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

6．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。

7．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。

第九章

多元函數(shù)微分學(xué)

（一）基本內(nèi)容

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限和連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度的概念及其計(jì)算，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

5．掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6．會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們方程。

8．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。

第十章

重積分

（一）基本內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)，二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。

2．掌握二重積分（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。

3．會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。

第十一、十二章

曲線積分與曲面積分

（一）基本內(nèi)容

兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲線積分的關(guān)系，格林（Green）公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，已知全微分求原函數(shù)，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及計(jì)算，曲線積分和曲面積分的應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

2．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

3．掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。

4．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分。

7．了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。

8．會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）。

第十三章

無窮級(jí)數(shù)

（一）基本內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)以及它們的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，函數(shù)可展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件，常見函數(shù)如，，等的麥克勞林展開式，冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，Dirichlet收斂定理，函數(shù)在和上的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)在和上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。

（二）基本要求

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，會(huì)用根值審斂法。

4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理。

5．理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，了解絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念。

7．掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂區(qū)域的求法。

8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9．了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

10．掌握常見函數(shù)如，，等的麥克勞林展開式，并會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。

11．了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用。

12．了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在和上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在和上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。

三、習(xí)題數(shù)量與要求

（一）數(shù)量：以網(wǎng)上作業(yè)為主，教師作業(yè)為輔。

（二）要求：覆蓋基本理論、基本方法、基本計(jì)算。

四、教學(xué)方式與考核方式

教學(xué)方式：面授輔導(dǎo)、平時(shí)作業(yè)

考核方式：考勤、作業(yè)和考試

五、幾點(diǎn)說明：

（一）推薦教材

朱士信

唐爍等。高等數(shù)學(xué)（上、下）。高等教育出版社

（二）參考書目

1．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷錫鳴等．高等數(shù)學(xué)．上海：

華東理工大學(xué)出版社，2003

3．馬知恩．工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．蕭樹鐵．大學(xué)數(shù)學(xué)．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)．合肥：安徽大學(xué)出版社，2002