《高等數學（本）》教學大綱

課程名稱：高等數學（本）

適應專業：2017級專升本各專業

教材名稱：《高等數學》（本）李剛主編

中國傳媒出版社

一、本課程的地位、任務和作用

高等數學是人們在從事高新技術及知識創新中必不可少的工具，它的內容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學和社會科學，成為現代文化的重要組成部分。21世紀是信息時代，它不僅給人類生活帶來日新月異的變化，也給“高等數學”課程的教學增添了新的內涵。“高等數學”是高等院校的一門重要的基礎課，通過學習使學生受到必要的高等數學教育,使其具有一定的數學素養，為后續課程學習及今后的應用打下良好的數學基礎。

二、本課程的相關課程

本課程的先修課程是《初等數學》

三、本課程的基本內容及要求

第一章

函數與極限

（一）基本內容

函數的概念及表示法,函數的有界性、單調性、周期性、奇偶性，復合函數，反函數，隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，應用問題的函數關系的建立，數列極限與函數極限的定義及性質，函數的左、右極限，無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質及其比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則，兩個重要極限

函數連續的概念，間斷點的類型，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。

（二）基本要求

1．理解函數的概念，掌握表示法。

2．了解函數的有界性，單調性，周期性，奇偶性。

3．掌握簡單初等函數的性質及其圖形。

4．會建立簡單應用問題的函數關系式。

5．理解數列極限與函數極限的概念。理解函數的左、右極限概念及極限存在與左、右極限存在的關系。

7．掌握極限的性質、極限的四則運算法則。

第二章

一元函數微分學

（一）基本內容

導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義，函數的可導性與連續性之間的關系，平面曲線的切線和法線，基本初等函數的導數，導數和微分的四則運算，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數的概念，某些簡單函數n階導數，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用。

（二）基本要求

1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述簡單物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。

2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數求導公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分，初步了解微分在近似計算中的應用。

3．會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會求反函數的導數。

4．掌握用“洛比達“法則求未定式極限的方法。

第三章

一元函數積分學

（一）基本內容

原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，不定積分和定積分的換元積分與分部積分方法，有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。

（二）基本要求

1．理解原函數、不定積分的概念。

2．掌握不定積分的基本公式，理解不定積分的性質，掌握不定積分的換元法和分部積分法。

4．理解定積分的概念。

5．掌握牛頓——萊布尼茨公式。

6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、旋轉體的體積、平面截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長）。

笫四章

向量代數與空間解析幾何

（一）基本內容

向量的概念，向量的線性運算，向量的數量積和向量積的概念及運算，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標表達式及其運算，單位向量，方向數與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點到平面和點到直線的距離，球面，母線平行于坐標軸的柱面，旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。

（二）基本要求

1．理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），掌握兩個向量垂直、平行的條件。

3．掌握單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。

4．掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

笫五章

多元函數微分法及其應用

（一）基本內容

多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數極限和連續的概念，有界閉區域多元連續函數的性質，多元函數偏導數和全微分的概念，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分在近似計算中的應用，多元復合函數、隱函數的求導法，二階偏導數，方向導數和梯度的概念及其計算，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數的最大值、最小值及其簡單應用。

（二）基本要求

1．理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

2．了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性，了解全微分在近似計算中的應用。

4．理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。

5．掌握多元復合函數偏導數的求法。

6．會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們方程。

8．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

第六章

無窮級數

（一）基本內容

常數項級數的收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與級數以及它們的收斂性，正項級數的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法，函數可展開為泰勒級數的充分必要條件，常見函數如，，等的麥克勞林展開式，冪級數在近似計算中的應用。

（二）基本要求

1．理解常數項級數的收斂、發散以及收斂級數的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件。

3．掌握正項級數的比較審斂法和比值審斂法，會用根值審斂法。

4．了解函數項級數收斂域與和函數的概念。

5．掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂區域的求法。

6．了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質，會求一些冪級數在其收斂區間內的和函數，并會由此求某些數項級數的和。

7．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。

8．掌握常見函數如，，等的麥克勞林展開式，并會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

9．了解冪級數在近似計算上的簡單應用。

第七章

微分方程

（一）基本內容

微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用簡單的變量代換求解的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程，微分方程的冪級數解法，微分方程的簡單應用問題。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念

2．掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法

3．會求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4．理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5．掌握二階常數齊次線性微分方程的解法，并會求解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

第八章

行列式與矩陣

1．理解線性方程組的相關概念；

2．掌握初等變換求解線性方程組；

3．理解矩陣概念；

4．熟悉單位陣、對角陣、對稱陣等的性質；

5．熟練掌握矩陣的線性運算，乘法運算；

6．理解逆矩陣概念及其性質；

7．掌握矩陣求逆的方法；

8．掌握方陣的行列式的概念及其運算規律；

9．掌握行列式的性質；

10．掌握克萊姆法則。

四、教學方式與考核方式

教學方式：面授輔導、平時作業

考核方式：考勤、作業和考試

五、參考書目

1．同濟大學應用數學系．高等數學（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷錫鳴等．高等數學．上海：

華東理工大學出版社，2003

3．馬知恩．工科數學分析基礎（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．蕭樹鐵．大學數學．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大學數學系．高等數學．合肥：安徽大學出版社，2002

《高等數學（本）》復習范圍

1.數列極限的定義：

2.極限運算法則

3.求極限的常用方法：

利用定義：利用函數的連續性；利用等價無窮??；利用洛必導法則。

4.導數定義：

5.求導法則

常用導數

6.不定積分和定積分。

基本基本表和微積分基本公式

7.典型例題。

l

求極限

1)、；

2）、；

3)、利用洛必導法則得到。

4)、利用函數的連續性得到；

5)、；

l

求導數

6)、設，求。

解：利用復合函數求導法則得到

7)、解：利用隱函數求導法則

8)、設，求的導數。

解：利用導數的求導法則

得到

9)、設，求的微分。

解：由微分的定義得到

10)、計算。

解：

11)、計算。

解：

12)、計算。

解：

13)、計算。

解：

14）、計算。

解：由定積分的幾何意義可知此積分為四分之一的單位圓的面積，所以

15）、求兩條拋物線和所圍成的圖形的面積。

解：由定積分的定義可知其為曲邊梯形的面積

所以面積A＝。

16）、已知：。

求證：的極限存在，并求其極限。

證明：

17）、證明：

18）常用函數的麥克勞林公式