第一篇：高等數(shù)學(xué)證明題
正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個函數(shù)f(x)與g(x),滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
（2）在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)
證明：設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導(dǎo) 有：f'(x)=ex >g'(x)=1(當(dāng)x>0)并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0)所以根據(jù)定理1有：f(x)>g(x)即：ex-1>x 這樣通過高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)就可以證明。
另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上（略）。如果不等式中的次數(shù)較高，形式也比較復(fù)雜，這可能需要多次轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目標(biāo)，通過下面的例子不難看出這一點。
例2：設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x>0時,有x2-2ax+1
e4所以：g(x)在x=ln2時為極值點，且為極小值。這樣只要說明：g(ln2)>0即可。又因：2-2ln2+2a>0(當(dāng)a>ln2-1時）所以：在0
f(b)?f(a)成立。
b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個為較大者，則a,b可組成一個區(qū)間。再分析sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。證明：若a＝b,則等號成立。
若a≠b,不妨設(shè)a＜b.設(shè)f(x)=sinx 則f '(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈（a,b)使得： f '(ξ)= cosξ= 又因為：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)現(xiàn)在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時，可用此定理，使得證明得以簡化，其中我們應(yīng)靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進(jìn)行不等式的證明。利用定積分的有關(guān)知識進(jìn)行不等式的證明
在不等式的證明中，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點。例4：對任意正整數(shù)n>1 3n?1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn123n分析：不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比較復(fù)雜，nnnnsinb?sina
b?a求證：但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。設(shè)f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)則不等式的和為?0xndx,從下圖可看出： 根據(jù)函數(shù)的凸凹性和定積分的定義可證此題。11n2n3nnn證明：設(shè)f(x)=xn , x∈(0,1)因為n≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù)，(如上圖所示）則有：
1n?1n1)]< ?0xndx= nn?1123n?1n1所以：()n +()n +()n +…… +()<
nnnnn?1123n1所以：()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn?11011n?1nn?1nn又因為： [()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn?0xndx
n?1nn1nn)+()n-()n > nn2nn?1n1123n所以：+<()n +()n +()n +…… +()n
n?12nnnn3n?1123n即： <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個例子中都利用了函數(shù)，由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對函數(shù)的分析，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識使問題簡化，其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進(jìn)行不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進(jìn)行不等式的證明，以上的問題表明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢，我們還需進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻(xiàn)：
[1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山教師 [2]《數(shù)學(xué)分析講義》 高等教育出版社
第二篇：高等數(shù)學(xué)證明題
1.證明：函數(shù)f(x)?(x?2)(x?3)(x?4)在區(qū)間(2,4)內(nèi)至少存在一點?，使f??(?)?0。
證明：f(x)在[2,3]上連續(xù)，在(2,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(2)?f(3)?0，由羅爾定理，至少存在一點?1?(2,3)，使f?(?1)?0，同理，至少存在一點?2?(3,4)，使得f?(?2)?0；f?(x)在[?1,?2]上連續(xù)，在(?1,?2)內(nèi)可導(dǎo)，再一次運(yùn)用羅爾定理，至少存在一點??(?1,?2)?(2,4)，使得f??(?)?0。
2.設(shè)f為[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù)，f(a)?f(b)?0, 并存在一點c?(a,b)，使得f(c)?0.證明至少存在一點??(a,b)，使得
證明：考慮區(qū)間[a,c]，則f''(?)?0.(10分)f在[a,c]滿足Lagrange中值定理的條件，則存在?1?(a,c)，使得f'(?1)?f(c)?f(a)?0.(3分)c?a
f'(?2)?f(b)?f(c)?0.(5分)b?c
Lagrange中值定理的條件，則存在同理可證存在?2?(c,b), 使得再考慮區(qū)間[?1,?2], 由條件可知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在[?1,?2]上滿足
??(?1,?2)，使得f''(?)?f(?2)?f(?1)?0.得證.?2??1
3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且
證明在[a,b]內(nèi)有F?(x)
證明在[a,b]內(nèi)有F?(x)f?(x)?0F(x)?1xf(t)dt x?a?a?0 ?0
F?(x)?x1[(x?a)f(x)?f(t)dt](2分)2?a(x?a)
=1[(x?a)f(x)?(x?a)f(?)](??[a,x]?[a,b])(2分)(x?a)2
x??f?(?)(??(?,x)?[a,b])x?a=
?F?(x)?0(2分)
1?x)?arctanx 4.證明:當(dāng)x?0時,(1?x)ln（令
f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx ?0時,f?(x)?ln(1?x)?1?
當(dāng)x所以
?0 2
1?x
f(x)在(0,??)上單調(diào)增(3分)又f(0)?0（?f(x)?0即當(dāng)x?0時,(1?x)ln(1?x)?arctanx(3分)
5.證明：當(dāng)x?
1時，?3?
1。
x
答案：證：令f(x)??3?
??1?
?，則 x?
f(x)?
'
?2?2(1)，xx
因為f(x)在?1,???連續(xù)，并且在?1,???內(nèi)f'(x)?0，因此f(x)在?1,???上單調(diào)增加，從而當(dāng)x?1時，f(x)?f(1)?0。這就得到
?3?
(x?1)。x
x2,x?0.(8分)6.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：ln(1?x)?x?2
證明: 令
x2
f(x)?ln(1?x)?x?,(2分)
x2
f(0)?0,f'(x)??0, x?0.所以
1?x
則
f(x)在[0,+?)上連續(xù)，在(0,+?)上可導(dǎo)，且
f(x)在[0,+?)嚴(yán)格單調(diào)遞增，故f(x)?f(0)?0, x?0.(7分).即
x2
ln(1?x)?x?,x?0.(8分)
7.證明：設(shè)a0?
na1a2a
????n?0，證明函數(shù)f（x）=a0?a1x???anx在（0，1）內(nèi)至23n?1
少有一個零點。（6分）證明：法一利用定積分：假設(shè)函數(shù)f（x）=a0
?a1x???anxn在（0，1）上沒有零點
則因f（x）在[0，1]上連續(xù)，姑f（x）恒為正或負(fù)————（1分）從而由定積分性質(zhì)得：
?
f(x)dx?[a0x?
1a12a23a
x?x???nxn?1]
023n?1
=a0
?
a1a2a
????n 23n?1————（4分）
為正或為負(fù)，這與假設(shè)矛盾。
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個零點。#——（1分）法二利用羅爾定理
設(shè)
=a0
F（x）=
a0x?
a12a23a
x?x???nxn?123n?1，則
F'(x)?
f（x）
?a1x???anxn——（2分）
顯然F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0故由羅爾定理知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點?，使F'(?)即
?0———（3分）
f(?)?0。因此，函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個零點。#———（1分）
8.證明：已知?(x)?af
證明：??(x)=af
(x)，且
f?(x)?
1，證明??(x)?2?(x)f(x)lna
(x)
lna?2f(x)f?(x)----------------------4分
=2?(x)lna?f(x)
1----------------------3分 f(x)lna
=2?(x)---------------------------3分
9.若f(x)?a1sinx?
aa2
sin2x???nsinnx，求證：存在c?(0,?)，使得 2n
a1cosc?a2cos2c???ancosnc?0
證：因為
f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且
f'(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx（2分）, f(0)?0?f(?)（3分）所以，由Rolle
中值定理得到: f
‘
(x)在(a,b)
內(nèi)至少有一個零點（4分），即至少存在一點c
?(0,?), 使得
a1cocs?a2co2sc???anconcs?0
10.證明:|sinx?siny|?|x?y|
證：由微分中值定理得到：sinx?sin
y?(x?y)cos?,?在x與y之間（3分）
所以|sinx?siny|?|x?y||cos?|（5分）?|x?y|（6分）
x
x
11.設(shè)函數(shù)
f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù), 且f(x)?0,令F(x)??f(t)dt??
a
b
'
1.f(t)
求證：（1）F（2）F(x)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點(x)?2；
證：由微積分學(xué)基本定理得到：
F'(x)?f(x)?
f(x)
（1分）
?2
（2分）。因為，a
F(a)??
b
a
11=???0；F(b)??f(t)dt?0（3分）則由根的存在性定理得到： f(t)f(t)ab
b
F(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點（4分），由（1）知F(x)在[a,b]上是單調(diào)上升，所以F(x)在(a,b)
內(nèi)有且僅有一個零點（5分）
12.設(shè)
f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(1)?2?xf(x)dx
。試證明在（0，1）內(nèi)至少有一點?，使
f(?)??f?(?)?0。
證明：設(shè)
g(x)?xf(x)
12，則
g(x)
在[0，1]上可導(dǎo)，又由積分中值定理
g(1)=f(1)?2?xf(x)dx=?f(?)g(?)（?在（0，12）內(nèi)，從而由羅爾定理在（0，?）內(nèi)有?使
f(?)??f?(?)?0證畢。
13.
第三篇：證明題
一、聽力部分
1—5 ACACB6—10 ABCBC11—15 ACABC16—20 CABAA
二、單選
21—25 ABBCC26—30 DBACC31—35 DCCDB
三、完形填空
36—40 BACCD41—45 AABAB
四、閱讀理解
46-50 ABBCD51—55 BBABD56—60 DADCD 61—65 TFTFF
五、綜合填空
66.hear67.advice
71.discuss72.angry
六、情景交際
76—80CFAED
七 作文
該卷分工情況
第五大題：史永利
第七答題：孫榮花68.how to73.them董麗萍 陳志宏69.understanding70.feel74.true75.goes 周婷平曉蕾
第四篇：證明題
一．解答題（共10小題）1．已知：如圖，∠A=∠F，∠C=∠D．求證：BD∥CE．
2．如圖，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，試說明：AD∥BC．
3．已知：如圖，若∠B=35°，∠CDF=145°，問AB與CE是否平
行，請說明理由．
分值：顯示解析
4．如圖，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．試說明DF∥AE．請
你完成下列填空，把解答過程補(bǔ)充完整．
解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）
∴∠CDA=∠DAB．（等量代換）
又∠1=∠2，從而∠CDA-∠1=∠DAB-
．（等式的性質(zhì)）
即∠3=
．
∴DF∥AE．（7．如圖，∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD與BC平行嗎？
為什么？根據(jù)下面的解答過程，在括號內(nèi)填空或填寫理由．
解：∵AD平分∠EAC，∠EAC=110°（已知）
∴∠EAD=
第五篇：證明題格式
證明題格式把已知的作為條件 因為(已知的內(nèi)容)因為條件得出的結(jié)論 所以(因為已知知道的東西)順順順 最后就會得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項 1 當(dāng) xx 時，滿足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案 【需要證的】
∵【從題目已知條件找】(已知)∴【從上一步推結(jié)論】(定理)??(寫上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明，最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理)∴【最終所證明的】
就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式： 1 當(dāng) 時，滿足。并證明
回答時好像要把該滿足的內(nèi)容當(dāng)做條件證明 2 試探究。。。。同上
怎么回答時就要自己在草稿本上算出當(dāng) 時，然后把它作為條件 得到滿足 的結(jié)論 2 1 當(dāng) xx 時，滿足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案 3 把已知的作為條件 因為(已知的內(nèi)容)因為條件得出的結(jié)論 所以(因為已知知道的東西)順順順 最后就會得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項 盡管問我吧 謝謝..............4 格式就按照你的想法寫就行。要說的是，不少證明題是可以“騙分”的。假如有一道題是要求證某三角形的形狀，你知道是等邊三角形，到不會算，那你就可以利用等邊三角形的特性，隨便寫。多多益善，只要不是錯的。老師改卷時一般先看結(jié)果，結(jié)果對的話，只要過程沒有很明顯毛病就會得到大部分分?jǐn)?shù)。就是是被看出是錯的，因為你寫的特性沒錯。老師也不會給你零分。
試論推理格式與數(shù)學(xué)證明方法孫宗明摘要本文以命題真值代數(shù)的基本知識為依據(jù)，闡述五種主要的數(shù)學(xué)證明方法：演繹法、完全歸納法、反證法、半反證法、數(shù)學(xué)歸納法。關(guān)鍵詞推理，推理格式，數(shù)學(xué)證明本文假定熟知命題真值代數(shù)的基本知識.本文所使用的符號是標(biāo)準(zhǔn)的，見【川.1 1 當(dāng) xx 時，滿足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案 3 把已知的作為條件 因為(已知的內(nèi)容)因為條件得出的結(jié)論 所以(因為已知知道的東西)順順順 最后就會得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項 1 當(dāng) xx 時，滿足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。
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