第一篇：高等數(shù)學(xué)證明題
1.證明：函數(shù)f(x)?(x?2)(x?3)(x?4)在區(qū)間(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f??(?)?0。
證明：f(x)在[2,3]上連續(xù)，在(2,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(2)?f(3)?0，由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)?1?(2,3)，使f?(?1)?0，同理，至少存在一點(diǎn)?2?(3,4)，使得f?(?2)?0；f?(x)在[?1,?2]上連續(xù)，在(?1,?2)內(nèi)可導(dǎo)，再一次運(yùn)用羅爾定理，至少存在一點(diǎn)??(?1,?2)?(2,4)，使得f??(?)?0。
2.設(shè)f為[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù)，f(a)?f(b)?0, 并存在一點(diǎn)c?(a,b)，使得f(c)?0.證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得
證明：考慮區(qū)間[a,c]，則f''(?)?0.(10分)f在[a,c]滿足Lagrange中值定理的條件，則存在?1?(a,c)，使得f'(?1)?f(c)?f(a)?0.(3分)c?a
f'(?2)?f(b)?f(c)?0.(5分)b?c
Lagrange中值定理的條件，則存在同理可證存在?2?(c,b), 使得再考慮區(qū)間[?1,?2], 由條件可知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在[?1,?2]上滿足
??(?1,?2)，使得f''(?)?f(?2)?f(?1)?0.得證.?2??1
3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且
證明在[a,b]內(nèi)有F?(x)
證明在[a,b]內(nèi)有F?(x)f?(x)?0F(x)?1xf(t)dt x?a?a?0 ?0
F?(x)?x1[(x?a)f(x)?f(t)dt](2分)2?a(x?a)
=1[(x?a)f(x)?(x?a)f(?)](??[a,x]?[a,b])(2分)(x?a)2
x??f?(?)(??(?,x)?[a,b])x?a=
?F?(x)?0(2分)
1?x)?arctanx 4.證明:當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln（令
f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx ?0時(shí),f?(x)?ln(1?x)?1?
當(dāng)x所以
?0 2
1?x
f(x)在(0,??)上單調(diào)增(3分)又f(0)?0（?f(x)?0即當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln(1?x)?arctanx(3分)
5.證明：當(dāng)x?
1時(shí)，?3?
1。
x
答案：證：令f(x)??3?
??1?
?，則 x?
f(x)?
'
?2?2(1)，xx
因?yàn)閒(x)在?1,???連續(xù)，并且在?1,???內(nèi)f'(x)?0，因此f(x)在?1,???上單調(diào)增加，從而當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?f(1)?0。這就得到
?3?
(x?1)。x
x2,x?0.(8分)6.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：ln(1?x)?x?2
證明: 令
x2
f(x)?ln(1?x)?x?,(2分)
x2
f(0)?0,f'(x)??0, x?0.所以
1?x
則
f(x)在[0,+?)上連續(xù)，在(0,+?)上可導(dǎo)，且
f(x)在[0,+?)嚴(yán)格單調(diào)遞增，故f(x)?f(0)?0, x?0.(7分).即
x2
ln(1?x)?x?,x?0.(8分)
7.證明：設(shè)a0?
na1a2a
????n?0，證明函數(shù)f（x）=a0?a1x???anx在（0，1）內(nèi)至23n?1
少有一個(gè)零點(diǎn)。（6分）證明：法一利用定積分：假設(shè)函數(shù)f（x）=a0
?a1x???anxn在（0，1）上沒有零點(diǎn)
則因f（x）在[0，1]上連續(xù)，姑f（x）恒為正或負(fù)————（1分）從而由定積分性質(zhì)得：
?
f(x)dx?[a0x?
1a12a23a
x?x???nxn?1]
023n?1
=a0
?
a1a2a
????n 23n?1————（4分）
為正或?yàn)樨?fù)，這與假設(shè)矛盾。
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#——（1分）法二利用羅爾定理
設(shè)
=a0
F（x）=
a0x?
a12a23a
x?x???nxn?123n?1，則
F'(x)?
f（x）
?a1x???anxn——（2分）
顯然F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0故由羅爾定理知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使F'(?)即
?0———（3分）
f(?)?0。因此，函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#———（1分）
8.證明：已知?(x)?af
證明：??(x)=af
(x)，且
f?(x)?
1，證明??(x)?2?(x)f(x)lna
(x)
lna?2f(x)f?(x)----------------------4分
=2?(x)lna?f(x)
1----------------------3分 f(x)lna
=2?(x)---------------------------3分
9.若f(x)?a1sinx?
aa2
sin2x???nsinnx，求證：存在c?(0,?)，使得 2n
a1cosc?a2cos2c???ancosnc?0
證：因?yàn)?/p>
f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且
f'(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx（2分）, f(0)?0?f(?)（3分）所以，由Rolle
中值定理得到: f
‘
(x)在(a,b)
內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），即至少存在一點(diǎn)c
?(0,?), 使得
a1cocs?a2co2sc???anconcs?0
10.證明:|sinx?siny|?|x?y|
證：由微分中值定理得到：sinx?sin
y?(x?y)cos?,?在x與y之間（3分）
所以|sinx?siny|?|x?y||cos?|（5分）?|x?y|（6分）
x
x
11.設(shè)函數(shù)
f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù), 且f(x)?0,令F(x)??f(t)dt??
a
b
'
1.f(t)
求證：（1）F（2）F(x)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(x)?2；
證：由微積分學(xué)基本定理得到：
F'(x)?f(x)?
f(x)
（1分）
?2
（2分）。因?yàn)椋琣
F(a)??
b
a
11=???0；F(b)??f(t)dt?0（3分）則由根的存在性定理得到： f(t)f(t)ab
b
F(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），由（1）知F(x)在[a,b]上是單調(diào)上升，所以F(x)在(a,b)
內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（5分）
12.設(shè)
f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(1)?2?xf(x)dx
。試證明在（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)?，使
f(?)??f?(?)?0。
證明：設(shè)
g(x)?xf(x)
12，則
g(x)
在[0，1]上可導(dǎo)，又由積分中值定理
g(1)=f(1)?2?xf(x)dx=?f(?)g(?)（?在（0，12）內(nèi)，從而由羅爾定理在（0，?）內(nèi)有?使
f(?)??f?(?)?0證畢。
13.
第二篇：高等數(shù)學(xué)證明題
正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項(xiàng)式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；
（2）在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)
證明：設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導(dǎo) 有：f'(x)=ex >g'(x)=1(當(dāng)x>0)并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0)所以根據(jù)定理1有：f(x)>g(x)即：ex-1>x 這樣通過高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)就可以證明。
另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上（略）。如果不等式中的次數(shù)較高，形式也比較復(fù)雜，這可能需要多次轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目標(biāo)，通過下面的例子不難看出這一點(diǎn)。
例2：設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x>0時(shí),有x2-2ax+1
e4所以：g(x)在x=ln2時(shí)為極值點(diǎn)，且為極小值。這樣只要說明：g(ln2)>0即可。又因：2-2ln2+2a>0(當(dāng)a>ln2-1時(shí)）所以：在0
f(b)?f(a)成立。
b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個(gè)為較大者，則a,b可組成一個(gè)區(qū)間。再分析sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。證明：若a＝b,則等號成立。
若a≠b,不妨設(shè)a＜b.設(shè)f(x)=sinx 則f '(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知，存在一點(diǎn)ξ∈（a,b)使得： f '(ξ)= cosξ= 又因?yàn)椋簗cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)現(xiàn)在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時(shí)，可用此定理，使得證明得以簡化，其中我們應(yīng)靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進(jìn)行不等式的證明。利用定積分的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明
在不等式的證明中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問題得以解決，下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。例4：對任意正整數(shù)n>1 3n?1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn123n分析：不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比較復(fù)雜，nnnnsinb?sina
b?a求證：但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。設(shè)f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)則不等式的和為?0xndx,從下圖可看出： 根據(jù)函數(shù)的凸凹性和定積分的定義可證此題。11n2n3nnn證明：設(shè)f(x)=xn , x∈(0,1)因?yàn)閚≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù)，(如上圖所示）則有：
1n?1n1)]< ?0xndx= nn?1123n?1n1所以：()n +()n +()n +…… +()<
nnnnn?1123n1所以：()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn?11011n?1nn?1nn又因?yàn)椋?[()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn?0xndx
n?1nn1nn)+()n-()n > nn2nn?1n1123n所以：+<()n +()n +()n +…… +()n
n?12nnnn3n?1123n即： <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個(gè)例子中都利用了函數(shù)，由此可見函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對函數(shù)的分析，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識(shí)使問題簡化，其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進(jìn)行不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡化，再次通過定積分的定義進(jìn)行不等式的證明，以上的問題表明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢，我們還需進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻(xiàn)：
[1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山教師 [2]《數(shù)學(xué)分析講義》 高等教育出版社
第三篇：高等數(shù)學(xué)
§13.2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)
一 多元函數(shù)的概念
不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。
一般地，有下面定義：
定義1: 設(shè)E是R2的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。
有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R?x?y222就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x2?y2?R2的x，y全體，即D?{(x,y)|x2?y2?R2}。又如，Z?xy是馬鞍面。
二 多元函數(shù)的極限
定義2
設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時(shí)，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。
定義的等價(jià)敘述1 ：設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)0???f(x,y)M0?2x,0y0??2E近有定義．如果???0附，???0，當(dāng)?x?x0???y?y0???時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極
龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院
限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。
定義的等價(jià)敘述2： 設(shè)E是R2的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點(diǎn)M0?x,0y0????f(x,y)附E近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。
注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨
M?M0于M0時(shí)，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。
例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。
例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。
??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。
二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。
例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。
x??y??例5：① limx?0y?0
② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)
例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?
龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院
（注意：cos3??sin3?在??7?4時(shí)為０，此時(shí)無界）。
xyx?y222例7：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．
基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說明極限與輻角有關(guān)．
例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．
三
二元函數(shù)的連續(xù)性
定義3
設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?MM?M0?在M0點(diǎn)連續(xù)．
???0,???0,當(dāng)0 如果f在開集E內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。 例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點(diǎn)。 四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性定理： 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。 零點(diǎn)存在定理: 設(shè)D是Rn中的一個(gè)區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)?0，f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。 龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院 ???????????? 五 二重極限和二次極限 在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下： 若對任一固定的y，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時(shí)的極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對x，再 y?y0對y的二次極限，記為limlimf(x,y)?A． y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)． x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。 注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè) 11?xsin?ysin?yxf(x,y)?? ?0?x?0,y?0x?0ory?0 由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次 y?0極限不存在。 例11：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè) f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0) 由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。 x?0y?0例12：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè) f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0) 龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院 則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換） 上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。 定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則 x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。 y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。 推論1: 設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。 推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限 x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。 222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。 龍巖學(xué)院數(shù)計(jì)院 《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。 《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標(biāo)，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用” 根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標(biāo)，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運(yùn)算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。 高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計(jì)思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計(jì)算機(jī)和財(cái)經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計(jì)算機(jī)和電子再增加級數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財(cái)經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達(dá)到了專業(yè)課對基礎(chǔ)課的要求。 同時(shí)，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點(diǎn)： 1、數(shù)學(xué)知識(shí)的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點(diǎn)，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴(yán)密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。 2、重視知識(shí)產(chǎn)生的歷史背景知識(shí)介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念 的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。 3、重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分 4、強(qiáng)調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強(qiáng)化與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識(shí)和基本方法。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在 微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。 5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。 6、根據(jù)學(xué)生實(shí)際水平，有針對性地選擇適當(dāng)（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實(shí)驗(yàn)題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計(jì)算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。 知識(shí)模塊順序及對應(yīng)的學(xué)時(shí)《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識(shí)模 塊，共需要用168個(gè)學(xué)時(shí).1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個(gè)學(xué)時(shí)； 2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個(gè)學(xué)時(shí)； 3、微分方程部分，需用12個(gè)學(xué)時(shí)。 4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個(gè)學(xué)時(shí)； 5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個(gè)學(xué)時(shí)； 6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個(gè)學(xué)時(shí)； 7、無窮級數(shù)部分，需用30個(gè)學(xué)時(shí)； 課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 1、課程的重點(diǎn) 本課程的研究對象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個(gè)課程。本課程的重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級數(shù)理論等）的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和創(chuàng)新能力。 2、課程的難點(diǎn) 本課程的教學(xué)難點(diǎn)在于由實(shí)際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。 3、解決辦法 對于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時(shí)一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強(qiáng)基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強(qiáng)函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實(shí)際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點(diǎn)、突破難 點(diǎn)；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進(jìn)，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善。基礎(chǔ)部科研和教 學(xué)活動(dòng)的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺(tái)。 教 學(xué) 大 綱 一、內(nèi)容簡介 本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分。空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。 二、課程的目的和任務(wù) 為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀(jì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會(huì)經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實(shí)貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識(shí)以必需、夠用為度”的原則，落實(shí)高職高專教育“基礎(chǔ)知識(shí)適度，技術(shù)應(yīng)用能力強(qiáng)，知識(shí)面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標(biāo)，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識(shí)更新和科技發(fā)展的最近動(dòng)態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識(shí)、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時(shí)反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實(shí)際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點(diǎn)： 1．注意數(shù)學(xué)知識(shí)的深、廣度。基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點(diǎn)放在概念、方法和結(jié)論的實(shí)際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達(dá)信息，多用有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的案例、示例促進(jìn)對概念、方法的理解。對基礎(chǔ)理論不做論證，必要時(shí)只作簡單的幾何解釋。 2．必須貫徹“理解概念、強(qiáng)化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實(shí)到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強(qiáng)化應(yīng)用要落實(shí)到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。 3．采用“案例驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)模式。由實(shí)際問題引出數(shù)學(xué)知識(shí)，再將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于處理各種生活和工程實(shí)際問題。重視數(shù)學(xué)知識(shí)的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個(gè)概念的引入應(yīng)遵循實(shí)例—抽象—概念的形成過程。 4．重視相關(guān)知識(shí)的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實(shí)例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計(jì)算的需要引入不定積分。 5．要特別注意與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計(jì)算和變換。可通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提升學(xué)生對的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的案例教學(xué)，力求突出在解決實(shí)際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)——變化率；在積分中強(qiáng)調(diào)定積分的實(shí)質(zhì)—無限累加；在微分中強(qiáng)調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強(qiáng)調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強(qiáng)調(diào)近似計(jì)算思想。 6．在內(nèi)容處理上要兼顧對學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。 三、課程內(nèi)容 第一章 函數(shù)的極限與連續(xù) 理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會(huì)用極限思想方法分析簡單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運(yùn)算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會(huì)討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟(jì)、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會(huì)用微分做近似計(jì)算；會(huì)建立簡單的微分模型。第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 會(huì)用羅必達(dá)解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（Newton）-萊布尼茲(Leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實(shí)際問題的積分模型；會(huì)用微元分析法建立簡單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會(huì)建立簡單的微分方程模型。第五章 空間解析幾何與向量代數(shù) 理解向量的概念，掌握向量的線性運(yùn)算、點(diǎn)乘、叉乘，兩個(gè)向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表達(dá)式；掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解曲線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求一些極值。第七章 二重積分 理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計(jì)算方法。第八章 無窮級數(shù) 了解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)和P-級數(shù)的收斂性；掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件；會(huì)將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件，會(huì)將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會(huì)將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。知道傅里葉級數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會(huì)求解簡單信號函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步 理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實(shí)際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會(huì)用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會(huì)建立簡單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問題為實(shí)驗(yàn)對象的操作實(shí)驗(yàn)，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。 四、課程的教學(xué)方式 本課程的特點(diǎn)是思想性強(qiáng)，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進(jìn)入相關(guān)知識(shí)，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時(shí)，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機(jī)聯(lián)系, 特別是強(qiáng)化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運(yùn)算能力。教學(xué)中有計(jì)劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進(jìn)一步學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)的關(guān)鍵學(xué)科。 五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配 序號教學(xué)模塊理論課時(shí)習(xí)題課時(shí)實(shí) 驗(yàn)共計(jì)備注 1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30 常微分方程102 12輕化、電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選 5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選 7二重積分62 8 8無窮級數(shù)246 30電子、計(jì)算機(jī)類學(xué)生選 9線性代數(shù)初步144 18電子、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)類學(xué)生選 10 實(shí)驗(yàn) 六、執(zhí)行大綱時(shí)應(yīng)注意的問題 1.大綱以高職高專各專業(yè)為實(shí)施對象。 2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標(biāo)和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程視情況開設(shè)。 教學(xué)效果 高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時(shí)多、面對學(xué)生人數(shù)多，而且責(zé)任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平。基礎(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認(rèn)真負(fù)責(zé)地對待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評。 從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點(diǎn)突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動(dòng)，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時(shí)幾乎每周都有安排。嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、嚴(yán)格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊(duì)伍建設(shè)上成績是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性 課程的方法和手段 本課程運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達(dá)更生動(dòng)、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達(dá)到100%。具體情況如下： 1．堅(jiān)持“少講、留疑、迫思、細(xì)答、深析”的教學(xué)原則，試點(diǎn)“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。 高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責(zé)任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們在教學(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細(xì)答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。 2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進(jìn)行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神 工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項(xiàng)活動(dòng)，學(xué)生反映很好。 3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果 在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級進(jìn)行試點(diǎn)。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。 4．加強(qiáng)課下輔導(dǎo)，及時(shí)為學(xué)生排疑解難 課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強(qiáng)這個(gè)環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。 5．積極開展課外科技活動(dòng) 為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準(zhǔn)備開設(shè)《Mathematica》和《數(shù)學(xué)建模》兩門院級選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進(jìn)一步提高的機(jī)會(huì)。同時(shí)，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽。 考研數(shù)學(xué)：在基礎(chǔ)上提高。 注重基礎(chǔ)，是成功的必要條件。注重基礎(chǔ)的考察是國家大型數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn)，因此，在前期復(fù)習(xí)中，基礎(chǔ)就成了第一要?jiǎng)?wù)。在這個(gè)復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的這個(gè)階段中，考生可以對照教材把知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)梳理，逐字逐句、逐章逐節(jié)對概念、原理、方法全面深入復(fù)習(xí)，同時(shí)，還應(yīng)注意基礎(chǔ)概念的背景和各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的相互關(guān)系，一定要先把所有的公式，定理，定義記牢，然后再做一些基礎(chǔ)題進(jìn)行鞏固。 無論是高數(shù)、線代還是概率，都要在此階段進(jìn)行全面整理基本概念、定理、公式，初步總結(jié)復(fù)習(xí)重點(diǎn)，把握命題基本題型，為強(qiáng)化階段的復(fù)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)結(jié)合常規(guī)教材和前幾年的大綱，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理。考研數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的演繹科學(xué)，在對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住后，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。對近幾年數(shù)學(xué)的分析表明，考生失分的一個(gè)重要原因就是對基本概念、定理記不全、記不牢，理解不準(zhǔn)確，基本解題方法掌握不好。所以說，我們切不可在基礎(chǔ)上掉以輕心。 在掌握了相關(guān)概念和理論之后，首先應(yīng)該自己試著去解題，即使做不出來，對基本概念和理論的理解也會(huì)深入一步。因?yàn)閿?shù)學(xué)畢竟是個(gè)理解加運(yùn)用的科目，不練習(xí)就永遠(yuǎn)無法熟練掌握。解不出來，再看書上的解題思路和指導(dǎo)，再思考，如果還是想不出來，最后再看書上的詳細(xì)解答。看一道題怎么做出來不是最重要的東西，重要的是通過自己的理解，能夠在做題的過程中用到它。因此，在看完這本書上的那些精彩的例題之后，關(guān)鍵要注意在隨后的習(xí)題中選典型的來繼續(xù)鞏固。不過，要注意的是，基礎(chǔ)對第一輪復(fù)習(xí)的考生顯然是基礎(chǔ)要求。不要因急于做難題不會(huì)而貶低自己的自信心，堅(jiān)信等若干月復(fù)習(xí)之后回頭看這些題就是小菜一碟。 數(shù)學(xué)成績是長期積累的結(jié)果，準(zhǔn)備時(shí)間一定要充分。要對各個(gè)知識(shí)點(diǎn)做深入細(xì)致的分析，注意抓考點(diǎn)和重點(diǎn)題型，在一些大的得分點(diǎn)上可以適當(dāng)?shù)夭扇☆}海戰(zhàn)術(shù)。數(shù)學(xué)考試會(huì)出現(xiàn)一些應(yīng)用到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合性試題和應(yīng)用型試題。這類試題一般比較靈活，難度也要大一些。在數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)期間，可以不將它們作為強(qiáng)化重點(diǎn)，但也應(yīng)逐步進(jìn)行一些訓(xùn)練，積累解題思路，同時(shí)這也有利于對所學(xué)知識(shí)的消化吸收，徹底弄清楚有關(guān)知識(shí)的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握的東西。 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)就要關(guān)注：教材、做題、獨(dú)立思考。這些都是缺一不可的。教材是獲得基本知識(shí)的必要前提，是基礎(chǔ)，懂了教材才有可能做對題目。做題是關(guān)鍵，是目的。只有會(huì)做題，做對題目，快速做題才能應(yīng)付考試，達(dá)到目的。思考是為了更有效的理解教材和做對題目。所以我們要向提高自己的做題能力，就千萬不能在基礎(chǔ)階段大意而導(dǎo)致之后進(jìn)去的路上失去先機(jī)，這樣就會(huì)在后期多走彎路，切記!考研數(shù)學(xué)：進(jìn)入備考狀態(tài)，培養(yǎng)綜合能力 要進(jìn)行全面完整的復(fù)習(xí)，大多數(shù)考生現(xiàn)在已經(jīng)開始了考研的相關(guān)準(zhǔn)備并進(jìn)入了考研狀態(tài)。現(xiàn)在可以看做是考研的第一個(gè)階段：基礎(chǔ)階段。在這個(gè)階段，我們必須明確自己的目標(biāo)，并對自己的實(shí)力有個(gè)初步的判斷。在此基礎(chǔ)上，開展我們的初步復(fù)習(xí)。因?yàn)閷ψ约旱牧私猓拍茏鳛槲覀儚?fù)習(xí)時(shí)的參考，讓我們知道從哪些方面開始，哪些知識(shí)點(diǎn)要多下些功夫，而有些自己掌握較好的部分則可以少用點(diǎn)時(shí)間，從而對時(shí)間進(jìn)行最有效率的分配，獲得最佳效果。現(xiàn)在的階段是奠定良好基礎(chǔ)的關(guān)鍵部分。在這個(gè)階段，主要是讓自己慢慢融入考研這個(gè)大事中，培養(yǎng)自己的考研心態(tài)和狀態(tài)。 考生都很關(guān)心具體該如何開始復(fù)習(xí)，進(jìn)行初級基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)。對考研最終的勝利至關(guān)重要。特別是公共課數(shù)學(xué)，相信考生也已經(jīng)意識(shí)到了這門學(xué)科的重要性和復(fù)習(xí)的難度。下面，跨考教育數(shù)學(xué)教研室牛秀艷老師就此為考生做一些復(fù)習(xí)指導(dǎo)建議。 首先，合理安排時(shí)間。基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，因?yàn)橐M(jìn)行整體全面的學(xué)習(xí)，所有時(shí)間是較長的，考生要有一個(gè)詳細(xì)的安排和計(jì)劃。考生應(yīng)盡量保證在暑假前完成這一階段的復(fù)習(xí)。基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)主要依據(jù)考試大綱(現(xiàn)階段年新大綱發(fā)布前可先依據(jù)上一年考研數(shù)學(xué)大綱)，清楚哪些是重要的考點(diǎn)，哪些是不考的內(nèi)容，熟練掌握基本概念、定理、公式及常用結(jié)論等內(nèi)容，為后期的學(xué)習(xí)(強(qiáng)化和沖刺階段)打下牢固的基礎(chǔ)。 對于教材，也要給予足夠的重視。教材的作用，考生一定不能忽視。很多定理公理，都可以在書中多次翻看，達(dá)到真正理解的程度。一般來說，推薦同濟(jì)五版的高數(shù)、清華二版的線代、浙大三版的概率。這些都是非常好的“陪讀”教材，在考研復(fù)習(xí)中不可或缺。那么在理解了基礎(chǔ)理論的時(shí)候，我們做題就會(huì)更加得心應(yīng)手。這個(gè)階段，雖然做題不是重點(diǎn)，但要以做適當(dāng)數(shù)量的題目來輔助我們理解那些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。“萬丈高樓平地起”，沒有好的地基就蓋不出高大壯觀的建筑。我們考研就是建設(shè)的過程，所以要從底層做起。不能忽視底層的建構(gòu)，而且基礎(chǔ)建設(shè)耗費(fèi)時(shí)間雖長，但更能說明這個(gè)階段的重要性。有個(gè)這個(gè)階段良好的基礎(chǔ)，在一層一層蓋樓的過程中，才能真正感受到“磨刀不誤砍柴工”的作用。在后續(xù)各個(gè)階段的復(fù)習(xí)中，將會(huì)獲得更充足的動(dòng)力。 做題時(shí)，如果遇到有些對概念、定理模糊不確定的時(shí)候，可以去看教材，用教材題目相結(jié)合的方法。光看教材也許容易看了后邊的忘了前邊所學(xué)的內(nèi)容，所以在做題中、在復(fù)習(xí)的時(shí)候要不斷的鞏固，加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的理解。要做自己所選教材后邊的一些配套的基礎(chǔ)性的練習(xí)題，勤動(dòng)手，同時(shí)對于一些自己不會(huì)做得題目，多思考，多問自己幾個(gè)為什么。有些具有一定難度的題目，可能需要參考標(biāo)準(zhǔn)答案，此時(shí)一定要認(rèn)真把思路做個(gè)復(fù)習(xí)概括。多總結(jié)，總結(jié)是任何時(shí)候都不過時(shí)的。多想想以后遇到類似的題目，自己應(yīng)該從哪些方面去思考，這樣慢慢積累，就會(huì)成為自己的知識(shí)，被自己所用。 對于知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，考生可以有重點(diǎn)的復(fù)習(xí)。為了更能把時(shí)間用在刀刃上，建議考生結(jié)合前幾年的大綱，找準(zhǔn)考點(diǎn)。從歷年的考研試卷分析，凡是大綱中提及的內(nèi)容，都是可能的考點(diǎn)，甚至自己認(rèn)為是一些不太重要的內(nèi)容，也完全有可能在考研試題中出現(xiàn)。所以，對于大綱中提到的考點(diǎn)，要做到重點(diǎn)、全面、有針對性的復(fù)習(xí)。不僅要在主要的內(nèi)容和方法上下功夫，更要注重尋找各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。近年來，考研數(shù)學(xué)越來越注重綜合能力的考查，這也是以后命題的一個(gè)趨勢。而綜合能力的培養(yǎng)以及提高，源于自己平時(shí)的積累與練習(xí)。 考研高數(shù)：極限中的“極限”(一) 相信大家已經(jīng)把高數(shù)的復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，開啟概率和線代的復(fù)習(xí)，不知道對自己高數(shù)的復(fù)習(xí)是否滿意，是否達(dá)到了我們的“三基本”呢?接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟慶英就和大家梳理一下我們做過的極限。 說到極限應(yīng)該是我們?nèi)笥?jì)算中的第一大計(jì)算，每年考研真題必出，無論是數(shù)一數(shù)二數(shù)三還是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)，可以出選擇題也可以出填空題，更可以出解答題，題目類型不同，分值也不同，4分或者10分，極限的思想也就更是重要之重了，原因就是后來所有的概念都是以極限的形式給出的。下面，我們就看看極限在基礎(chǔ)階段到底應(yīng)該掌握到什么程度。 第一，極限的定義。理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，最好記住其定義。 第二，極限的性質(zhì)。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點(diǎn)理解保號性和保不等式性，在考研真題里面經(jīng)常考查，而性質(zhì)的本身并不難理解，關(guān)鍵是在做題目的時(shí)候怎么能想到，所以同學(xué)們在做題目的時(shí)候可以看看什么情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個(gè)數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義，利用極限的保號性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學(xué)們在做題時(shí)多去總結(jié)。 第三，極限的計(jì)算。這一部分是重中之重，這也是三大計(jì)算中的第一大計(jì)算，每年必考的題目，所以需要同學(xué)們能夠熟練地掌握并會(huì)計(jì)算不同類型的極限計(jì)算。首先要知道基本的極限的計(jì)算方法，比如：四則運(yùn)算、等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計(jì)算的注意事項(xiàng)及拓展，比如：四則運(yùn)算中掌握“抓大頭”思想(兩個(gè)多項(xiàng)式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計(jì)算結(jié)果即可)，等價(jià)無窮小替換中要掌握等價(jià)無窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計(jì)算中要掌握基本的等價(jià)無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進(jìn)一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價(jià)無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗(yàn)證在x趨于某一變化過程中f(x)會(huì)否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價(jià)無窮替換公式，否則不能。 下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。 第三要能將變形的無窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學(xué)們在做題目的時(shí)候多加注意，熟能生巧。 考研高數(shù)：極限中的“極限”(二) 前面我們已經(jīng)介紹了等價(jià)無窮小替換公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)，接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師為大家繼續(xù)說說極限的計(jì)算方法。 極限的第三種方法就是洛必達(dá)法則。首先，要想在極限中使用洛必達(dá)法則就必須要滿足洛必達(dá)法則，說到這里有很多同學(xué)會(huì)打個(gè)問號，什么法則，不就是上下同時(shí)求導(dǎo)?其實(shí)不盡然。 洛必達(dá)有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點(diǎn)和趨近于無窮兩種情況，以趨近于一點(diǎn)來說明法則條件，條件一：零比零或者無窮比無窮(0/0，∞/∞);條件二：趨近于這一點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為零;條件三：分子導(dǎo)數(shù)比分母導(dǎo)數(shù)的極限存在或者為無窮，則原極限等于導(dǎo)數(shù)比的極限。 在這里要注意極限計(jì)算中使用洛必達(dá)法則必須同時(shí)滿足這三個(gè)條件，缺一不可，特別要注意條件三，導(dǎo)數(shù)比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認(rèn)為是極限不存在，因?yàn)闃O限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗(yàn)證三條件是否同時(shí)滿足。 再來看看重要極限，重要極限有兩個(gè)，一個(gè)是x趨近于零時(shí)，sinx/x趨近于零，另一個(gè)是x趨近于零時(shí)，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無窮小量)無窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點(diǎn)，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當(dāng)給你冪指函數(shù)的極限計(jì)算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。 這里還要特別的提一下幾個(gè)未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，這五個(gè)未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對數(shù)恒等變化來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計(jì)算。 綜上所述，等價(jià)無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并且給定一個(gè)極限首要任務(wù)就是利用等價(jià)無窮替換公式化簡。洛必達(dá)法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計(jì)算時(shí)注意滿足洛必達(dá)法則的三個(gè)條件，希望同學(xué)們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。第四篇：高等數(shù)學(xué)
第五篇：高等數(shù)學(xué)
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