第一篇：四邊形證明題

四邊形證明題

已知E.F分別為平行四邊形ABCD一組對邊ADBC的中點,BE與AF交于點G，CE與DF交于點H求證四邊形EGFH是平行四邊形

解：在三角形ABF和三角形EDC中

因為：AB=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以：三角形ABF全等于三角形EDC

所以：EB=FD

所以：四邊形BEDF為平行四邊形

同理可證：四邊形AEFC為平行四邊形

在三角形EHD和三角形CHF中

因為：角EHD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以：角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因為：角EBF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以：三角形BGF全等于三角形FHC

所以：三角形BGF全等于三角形EHD

所以：GF=EH

同理可證：GE=FH

所以：四邊形EGFH是平行四邊形

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結DF。

求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

設BC=a,則依題意可得：AB=2a,AC=√3a,等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

21.畫個圓，里面畫個矩形2.假設圓里面的是平行四邊形3.因為對邊平行，所以4個角相等4.平行四邊四個角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圓內平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內)(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對，如果對角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對邊平行，(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對角線互相平分。(3)平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。(4)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對稱中心是兩對角線的交點。

性質9(8)矩形菱形是軸對稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點，則AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，則各四邊的平方和等于對角線的平方和。(11)平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高，與這個角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連接對角線或平移對角線。

二、過頂點作對邊的垂線構成直角三角形。

三、連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構成線段平行或中位線。

四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造相似三角形或等積三角形。

五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長

1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sin@

2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長，則平行四邊的周長c=2(a+b)底×1X高

第二篇：四邊形證明題

1.如圖，BD是□ABCD的對角線，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F．

求證：△ABE≌△CDF．

E

ABFC

2.如圖已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長 ．

3． 如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊ABCD的中點，BD是對角線，過A點作AGDB

交CB的延長線于點G．

（1）求證：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求證四邊形DEBF是菱形．

4.如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延長線于點E．求

證：DE=

A1BE 2D

BCE

5.如圖，將□ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．

⑴求證：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

D

B

6.如圖，E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，且AE=DF。求證：BE=CFE

7.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30?，菱形OCED的面積為8，求AC的長．

E

C

?B 8.如圖，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分?ABC,?A?60.過點D作DE?AB，過點C作CF?BD，垂足分別為E、F，連接EF，求證：△DEF為等邊三角形.9.如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中點。

（1）求證：⊿MDC是等邊三角形；

（2）將⊿MDC繞點M旋轉，當MD(即MD′)與AB交于一點E,MC即MC′)同時與AD交于一點F時，點E,F和點A構成⊿AEF.試探究⊿AEF的周長是否存在最小值。如果不存

在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿AEF周長的最小值.A

DC'B

MC

10.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．過點C作CE⊥AB

于E，交對角線BD于F．點G為BC中點，連結EG、AF．

(1)求EG的長；

(2)求證：CF ＝AB ＋AF．

第三篇：四邊形的證明題

四邊形的證明題

1．如圖,在矩形ABCD中,點O是邊AD上的中點,點E是邊BC上的一個動點,延長EO到F,使得OE=OF.F

AD

BEC

（1）當點E運動到什么位置時,四邊形AEDF是菱形？（直接寫出答案）

（2）若矩形ABCD的周長為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請求出最大值;如果不存在,請說明理由．

（3）若AB=m,BC=n,當m.n滿足什么條件時,四邊形AEDF能成為一個矩形？（不必說明理由）

【答案】（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.當x?5時,四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當m≤1n時,四邊形AEDF能成為一個矩形．

2【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S四邊形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,設AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數的最值即可;

（3）根據矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案． 試題解析：（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形,理由是：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵E為BC中點,∴BE=CE,由勾股定理得：AE=DE,∵點O是邊AD上的中點,OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形,∴平行四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.∵點O是AD的中點,∴AO=DO ,∵OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,∴S四邊形AEDF?2S?AED?S矩形ABCD ,設AB=x,則BC=10?x,四邊形AEDF的面積為y,y?x(10?x)

??x2?10x

??(x?5)2?2

5當x?5時,四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當m≤1n時,四邊形AEDF能成為一個矩形, 2

理由是：設BE=z,則CE=n﹣z,當四邊形AEDF是矩形時,∠AED=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BAE=∠DEC,∴△BAE∽△CED, ABBE?, CECD

mz?, ∴n?zm∴

∴z﹣nz+m=0,22當判別式△=（﹣n）﹣4m≥0時,方程有根,即四邊形AEDF是矩形, 解得：m≤

∴當m≤221n, 21n時,四邊形AEDF能成為一個矩形． 2

考點：四邊形綜合題．

2．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AODE是菱形；

（2）若將題設中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE的形狀是什么？說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形，理由見解析.【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；（2）根據菱形的性質求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可.試題解析：（1）∵矩形ABCD的對角線相交于點O，∴AC＝BD（矩形對角線相等），OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD（矩形對角線互相平分）.∴OA＝OD.22

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.∴四邊形AODE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形.∵菱形ABCD，∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴平行四邊形AODE是矩形．

考點：1.矩形的判定和性質；2.平行四邊形的判定；3.菱形的判定和性質.3．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．

①求證：BD⊥CF；

②當AB=4，FG的長．

【答案】(1)BD=CF成立,證明見解析；（2）①證明見解析；②FG=.5

【解析】

試題分析：(1)證明線段相等的常用方法是三角形的全等，直觀上判斷BD=CF,而由題目條件，旋轉過程中出

現了兩個三角形△BAD和△CAF，并且包含了要證明相等的兩條線段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差夾角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要證明BD⊥CF，只要證明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求線段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，題目中沒有和FG直接相關的線段，而CG從已知條件中又無法求出，所以需要作輔助線，連接FD，交AC于點N, 在正方形ADEF中，, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=，設FG=x，CG=?x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2，∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC，∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2，解之得FG=

試題解析：②解法一：

如圖，連接FD，交AC于點N,222.5

∵在正方形ADEF中，, 1AE=1，FD=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中，CF?FN2?CN2?2?32?,∵△BAD≌△CAF（已證），∴BD=CF=,設FG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2, ∵CF=，∴CG=?x,∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，∴BC???

∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC, ∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2 ,整理，得5x?2x?6?0, 解之，得x1?22223，x2??（不合題意，故舍去）55

∴FG=.5

解法二：

如圖，連接FD，交AC于點N；連接CD,同解法一，可得：DG=4?x2，CG=?x，易證△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，在Rt△CGD中，CG?DG?CD,即(?x)2?(4?x2)2?()2 解之，得x?222,故FG=.55

考點：1.三角形的全等；2.勾股定理；3.正方形的性質.

第四篇：四邊形證明題(完)

1、如圖,△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點，且CD＝BF，以AD為邊作等邊△ADE.(1)求證：△ACD≌△CBF.(2)點D在線段BC上何處時，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°.2、如圖，AC⊥BC，AE平分∠CAB，CD⊥AB，EF⊥AB，連接FG，求證：CEFG為菱形.3、如圖，取平行四邊形紙片ABＣＤ，AB＝6cm，ＢＣ＝8cm，∠B＝90°，將紙片折疊，使C點與點Ａ重合，折痕為EF，試問：（1)四邊形AECF是菱形嗎？（2）你能求折痕EF的長嗎？

4、已知四邊形ABCD為矩形AD=20 cm,AB=10 cm.M點從D到A,P點從B到C運動的速度為2 cm/s;N點從A到B,Q點從C到D運動的速度為1 cm/ s.若四個點同時出發．(1)判斷四邊形MNPQ的形狀．

(2)四邊形MNPQ能為菱形嗎？若能，請求出此時運動的時間；若不能，請說明理由．

5、如圖所示，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，點P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分別為E、F。

①當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形，請猜想并說明理由。②在①中，當點P運動到什么位置時，矩形PEMF變為正方形？為什么？

AMD

E6、如圖，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE交于點P．（1）求證：AF=BE；（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論．

D

P

B C7、在?A

BC中，?ACB?90?，?CAB的平分線交BC于D，DE?AB，垂足為E，連結CE，交AD于點H．

（1）求證：AD?CE；

（2）如過點E作EF∥BC交AD于點F，連結CF，求證：四邊形CDEF是菱形．

A

E

CDB8、已知：如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F，連結AE、CF．（1）求證：AF = CE；

（2）如果AC = EF，且?ACB?135?，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結論．F A

B EC9、△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．（1）如圖（a）所示，當點D在線段BC上時．

①求證：△AEB≌ △ADC； ②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？

10、如圖（1），在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE?EF，BE?2.（1）延長EF交正方形外角平分線CP于點P，如圖2試判斷AE與EP的大小關系，并說明理由；（2）在圖（2）的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由． 并說明理由；

（2）如圖（b）所示，當點D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立？（3）在（2）的情況下，當點運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

D C

D

圖（a）E

G

圖（b）

F

B E C圖（1）

P B E C圖（2）

第五篇：四邊形幾何拓展證明題

39．如圖19-12，已知四邊形ABCD是等腰梯形，CD//BA,四邊形AEBC是平行四邊形．請說明：∠ABD＝∠ABE．

C ACB MF

圖19-12 CB 圖19-14 圖19-1

541．如圖19-14，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于F． 試

確定AD與EF的位置關系，并說明理由．

42．如圖19-15，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB于N，設正方形對角線交點為O，試確定OM與ON之間的關系，并說明理由．

A D

E

圖19-16圖

19-23圖19-2

343．如圖19-16，等腰梯形ABCD中，E為CD的中點，EF⊥AB于F，如果AB=6，EF=5，求梯形ABCD的面積．

50．如圖19-23，已知矩形ABCD中，AC與BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE

＝15°，試求∠COE的度數。

51．如圖19-24，在正方形ABCD中，Q是CD的中點，P在BC上，且AP=PC+CD，求證：AQ平分∠DAP。

55．如圖19-26，在△ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四邊形EBCF

可以拼成平行四邊形EBCP，剪切線與拼圖如圖示1，仿上述P（E）的方法，按要求完成下列操作設計，并在規定位置畫出圖示，⑴在△ABC中，增加條件＿＿＿＿＿，沿著＿＿＿＿＿B C（A）一刀剪切后可以拼成矩形，剪切線與拼圖畫在圖示2的位置；

圖19-26 ⑵在△ABC中，增加條件，沿著＿＿＿＿＿

一刀剪切后可以拼成菱形，剪切線與拼圖畫在圖示3的位置； ⑶在△ABC中，增加條件＿＿＿＿＿＿＿，沿著＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切線與拼圖畫在圖示4的位置

⑷在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要確定剪切線，其操作過程（剪切線的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

然后，沿著剪切線一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切線與拼圖畫在圖示5的位置.E

F

P（E）

C（A）

圖示

1圖示

2圖示3

圖示5

29.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點

移動t秒（0

（2）在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出

此時點P的位置；若不能，請說明理由。

圖示4

27.如圖,正方形AOBC的邊長為4,反比例函數y?

k

經過正方形AOBC的重心D點,E為AB邊x

上任一點，F為OB延長線上一點，AE=BF，EF交AB于點G.（1）求反比例函數的解析式；

（2）判斷CG與EF之間的數量和位置關系；

25.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，k

（x＞0）的圖象上，點D的坐標為（4，3）.（1）求k的值；（2）x

k

若將菱形ABCD向右平移，使點D落在反比例函數y?（x＞0）的圖象上，求菱形平移的x

距離

.點A在反比例函數y?

22.如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結EC，取EC中點M，連結DM和BM，若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合。求證：BM=DM且BM⊥DM。

41.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=900，AD=16cm，AB=12cm，動點P從點B出發，在線段BC上以2cm/s的速度向點C運動；點Q從點A出發，在線段AD上以1cm/s的速度向點D運動；點P，Q分別從點B，A同時出發，當點P運動到點C時，點Q隨之停止運動，設運動時間為t。

（1）當t=5s時，求線段PQ,PD的長度；

（2）當t為何值時，以D，P,Q三點頂點的三角形是等腰三角形？

?

38.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AC，?B?45，AD?

BC?DC的長．

25.如圖，M為正方形ABCD內一點，MA＝2，MB＝4，∠AMB＝135°，計算MC的長。

34.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由______形變化為________形；

（2）設當等腰直角△PMN移動x（s）時，等腰直角△PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積

為y（cm）。

① 當x=6時，求y的值；② 當6＜x≤10時，求y與x的函數關系。