第一篇：特殊四邊形證明題習(xí)題

特殊四邊形證明題

1．（2009年湖北十堰市）如圖①，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.求證：DE－BF = EF．

2.（2009年山東青島市）已知：如圖，在ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得△GFC．

(1）求證：BE?DG；

(2）若?B?60°，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論．

【關(guān)鍵詞】全等三角形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定

D

B C

E F

?

3．（2009 年佛山市）如圖，在正方形ABCD中，CE?DF．若CE?10cm，求DF的長(zhǎng)．

A

E

B

F C

4．（2009年婁底）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.

(1）求證：△ABE≌△ACE

(2）當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是

菱形？并說(shuō)明理由.

5．（2009年佳木斯）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E.(1）試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明.(2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG+PH的值，并說(shuō)明理由

.【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定

6．(2009年安順)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。

(1）求證：BD=CD；

(2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。

?ACD?30°，BD?6．7．（2009肇慶）如圖 5，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O，A（1）求證：△ABD是正三角形；

(2）求 AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)）．

8．（2009肇慶）如圖，ABCD是正方形．G是 BC 上的一點(diǎn)，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

B F C

（1）求證：△ABF≌△DAE；

(2）求證：DE?EF?FB．

9．（2009年廣西欽州）（1）已知：如圖1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求證：DE＝CF；

【關(guān)鍵詞】矩形性質(zhì)、全等三角形判定

A B

D圖

110．（2009年廣西梧州）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于

點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于E，連結(jié)AE、CD．

(1）求證：AD＝CE；

(2）填空：四邊形ADCE的形狀是

【關(guān)鍵詞】垂直平分線、全等三角形、菱形判定

A

M

N

B11．(2009年宜賓）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1）求證：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周長(zhǎng)．

【關(guān)鍵詞】菱形的性質(zhì),全等三角形的判定

B

FD第21題圖C

AB?5，AC?6．12．（2009年廣東省）在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)

點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1）求△BDE的周長(zhǎng)；

(2）點(diǎn)P為線段BC上的點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q．

求證：BP?DQ．

Q

P C E

【關(guān)鍵詞】菱形的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定；利用平行四邊形證明線段相等；全等三角形的性質(zhì)與判定

第二篇：特殊四邊形的證明題

題型一：矩形

1.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。（1）求證：BD=CD；（2）如果AB=AC，試判斷

四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．

求證： PA=PQ．

Q

B

D C

3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BAC和外角的平分線，BE⊥AE．

試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論．

C

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，E在AB延長(zhǎng)線上，∠BCE=60°，求∠ADE.1 E A FB E

5.已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EF⊥ED.求證:AE平分∠BAD.（第23題）

6.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC． D

B E

7.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)三角板的兩直角邊與AB、BC

分別相交于點(diǎn)M，N時(shí)，觀察或測(cè)量BM與CN的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。

題型二：菱形

8.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′ 處，折痕為EF．

（1）求證：△ABE≌△AD′F；

（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．

BE C D

9.如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB=a.（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；（3）求菱形ABCD的面積。

10.如圖，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點(diǎn)M．

過(guò)點(diǎn)C作CN∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC，CN與BN交于點(diǎn)N，試判斷線段BN與CN的數(shù)量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

11.如圖，在△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形DECF為菱形． BN B C

題型三：正方形

12.四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．（1）求證：AE=CG；（2）觀

察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明

13.把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）．試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想．

F

E

14.如圖①，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.(1)求證：DE－BF = EF．(2)當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變．請(qǐng)你在圖②中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）． C

題型四：綜合證明題

15.如圖，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且△ACE是等邊三角形．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若?AED?2?EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

E

A

BC

第三篇：特殊四邊形證明題(正方形)

特殊四邊形證明題（正方形）

1．如圖，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.求證：DE－BF = EF．

2．如圖，ABCD是正方形．G是 BC 上的一點(diǎn)，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． A D

（1）求證：△ABF≌△DAE；(2）求證：DE?EF?FB．

3．如圖，在正方形ABCD中，CE?DF．若CE?10cm，求DF的長(zhǎng)．

4．正方形ABCD中，MN?GH，求證：MN=HG。

5．在正方形ABCD的邊CD上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到F，使CF=CE，求證：BE?DF

6．在正方形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求證：DE?BG，DE=BG。

F B C

A

E B

F

C

_B _C_E

7．已知如圖，四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)、E分別為BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BF+DE，AM⊥EF，垂足為M，求證：(1)AM=AB；(2)連AF，連AE，求∠FAE．

D

E

8．正方形ABCD中，∠EAF=45?.求證：BE+DF=EF。

9．若分別以三角形ABC的邊AB、AC

為邊，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求證：BG=EC，BG?EC。

10．若以三角形ABC的邊AB、AC為邊 向三角形外作正方形ABDE、ACFG，求證：S?AEG

=S?ABC。

C

_ F

B_

_ E

_ B

_C

11．若以三角形ABC的邊AB、BC為邊向 三角形外作正方形ABDE、BCFG，N為AC 中點(diǎn)，求證：DG=2BN，BM?DG。

12．正方形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)E，滿足BE=ED+DC，如果M是AD的中點(diǎn)，求證：∠EBC=2∠ABM，_B_

C

_A_

N_C

_B

_C

13．正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段CE的中點(diǎn)

求證：∠DAE=∠BAF。

_ E _ B

_C

14．已知，如圖，正方形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，EA平分∠BAC交BD于F點(diǎn)．求證：FO=

D

C

EC．

215．如圖，正方形ABCD對(duì)角線BD、AC交于O，E是OC上一點(diǎn)，AG⊥DE交BD于F，B求證：EF∥DC。A

C DG

16．如圖，正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O，E為AC上一點(diǎn)，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。(1)說(shuō)明OE=OF的道理；

(2)在（1）中，若E為AC延長(zhǎng)線上，AG⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于G，AG、BD的延長(zhǎng)線交于F，其他條件不變，如圖2，則結(jié)論：“OE=OF”還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

AD

D

B

C

F

G

E

17．在正方形ABCD中，直線EF平行于對(duì)角線AC，與邊AB、BC的交點(diǎn) 為E、F，在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使AG=AD，若EG與DF的交點(diǎn)為H，求證：AH與正方形的邊長(zhǎng)相等。

_B

_ F

_

C

18．若以直角三角形ABC的邊AB為邊，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC邊的高，延長(zhǎng)FA使AG=BC，求證：BG=CD。

19．正方形ABCD，E、F分別是AB、AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC 于K，交CD于H，求證：EG=GC=CH=HF。

20．在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，取BE=AB，若過(guò)E作BD的垂線EF交CD于F，求證：CF=ED。

21．在正方形ABCD中，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)P引PE?BC交BC于E，過(guò)P 引PF?CD于F，求證：AP?EF。

22．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B引對(duì)角線AC的平行線BE，在BE上取一點(diǎn)F，使AF=AC，若作菱形CAFé，求證：AE及AF三等分∠BAC。

_ B_ F_C

_A

_ B_ E

_D

_ F

_ B

_C

_D

_F

_C

_ E

23．正方形ABCD中，M為AB的任意點(diǎn)，MN?DM，BN平分∠CBF，求證：MD=NM

24．從正方形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)C作CE平行 于BD，使BE=BD，若BE、CD的交點(diǎn)為F，求證：DE=DF。

_

_ B

C_

25．如圖，M、N分別是正方形ABCD兩邊AD、DC的中點(diǎn)，CM與BM交于點(diǎn)P．求證：PA=AB．

26．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P。（1）若AG=AE，證明：AP=AH；

（2）若∠FAH=45°，證明：AG+AE=FH；

（3）若Rt△GBH的周長(zhǎng)為1，求矩形EPHD的面積；

（4）若矩形AEGP的面積為矩形PFCH面積的一半，求∠FAH的度數(shù)。

27．已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

第24題圖①

第24題圖②

第24題圖③

D

D

28．如同，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD

相交于點(diǎn)E，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F。（1）EF+0.5AC =AB；

（2）點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著B(niǎo)A的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C1與點(diǎn)A1運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C1停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動(dòng)。如圖，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，過(guò)F1作F1E1⊥A1 C1，垂足為E1，試猜想F1E1，0.5 A1 C1與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（3）在（2）的條件下，當(dāng)A1 C1=3，C1 E1=2時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

第四篇：四邊形證明題

四邊形證明題

已知E.F分別為平行四邊形ABCD一組對(duì)邊ADBC的中點(diǎn),BE與AF交于點(diǎn)G，CE與DF交于點(diǎn)H求證四邊形EGFH是平行四邊形

解：在三角形ABF和三角形EDC中

因?yàn)椋篈B=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以：三角形ABF全等于三角形EDC

所以：EB=FD

所以：四邊形BEDF為平行四邊形

同理可證：四邊形AEFC為平行四邊形

在三角形EHD和三角形CHF中

因?yàn)椋航荅HD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以：角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因?yàn)椋航荅BF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以：三角形BGF全等于三角形FHC

所以：三角形BGF全等于三角形EHD

所以：GF=EH

同理可證：GE=FH

所以：四邊形EGFH是平行四邊形

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF。

求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

設(shè)BC=a,則依題意可得：AB=2a,AC=√3a,等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

21.畫(huà)個(gè)圓，里面畫(huà)個(gè)矩形2.假設(shè)圓里面的是平行四邊形3.因?yàn)閷?duì)邊平行，所以4個(gè)角相等4.平行四邊四個(gè)角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圓內(nèi)平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內(nèi))(1)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對(duì)，如果對(duì)角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對(duì)邊平行，(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個(gè)四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(zhì)(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對(duì)邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分。(3)平行四邊形的對(duì)角相等，兩鄰角互補(bǔ)。(4)連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

性質(zhì)9(8)矩形菱形是軸對(duì)稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點(diǎn)，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點(diǎn)，則AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和。(11)平行四邊形對(duì)角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對(duì)邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個(gè)角的頂點(diǎn)向他對(duì)角的兩邊所做的高，與這個(gè)角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連接對(duì)角線或平移對(duì)角線。

二、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)成直角三角形。

三、連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成線段平行或中位線。

四、連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造相似三角形或等積三角形。

五、過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長(zhǎng)

1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導(dǎo)方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng)，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sin@

2、平行四邊形周長(zhǎng)可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長(zhǎng)，則平行四邊的周長(zhǎng)c=2(a+b)底×1X高

第五篇：四邊形的證明題

四邊形的證明題

1．如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)EO到F,使得OE=OF.F

AD

BEC

（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AEDF是菱形？（直接寫(xiě)出答案）

（2）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請(qǐng)求出最大值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若AB=m,BC=n,當(dāng)m.n滿足什么條件時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形？（不必說(shuō)明理由）

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.當(dāng)x?5時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當(dāng)m≤1n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形．

2【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據(jù)勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S四邊形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,設(shè)AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數(shù)的最值即可;

（3）根據(jù)矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案． 試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AEDF是菱形,理由是：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵E為BC中點(diǎn),∴BE=CE,由勾股定理得：AE=DE,∵點(diǎn)O是邊AD上的中點(diǎn),OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形,∴平行四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.∵點(diǎn)O是AD的中點(diǎn),∴AO=DO ,∵OE=OF,∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,∴S四邊形AEDF?2S?AED?S矩形ABCD ,設(shè)AB=x,則BC=10?x,四邊形AEDF的面積為y,y?x(10?x)

??x2?10x

??(x?5)2?2

5當(dāng)x?5時(shí),四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當(dāng)m≤1n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形, 2

理由是：設(shè)BE=z,則CE=n﹣z,當(dāng)四邊形AEDF是矩形時(shí),∠AED=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BAE=∠DEC,∴△BAE∽△CED, ABBE?, CECD

mz?, ∴n?zm∴

∴z﹣nz+m=0,22當(dāng)判別式△=（﹣n）﹣4m≥0時(shí),方程有根,即四邊形AEDF是矩形, 解得：m≤

∴當(dāng)m≤221n, 21n時(shí),四邊形AEDF能成為一個(gè)矩形． 2

考點(diǎn)：四邊形綜合題．

2．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求證：四邊形AODE是菱形；

（2）若將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE的形狀是什么？說(shuō)明理由．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）矩形，理由見(jiàn)解析.【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可.試題解析：（1）∵矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴AC＝BD（矩形對(duì)角線相等），OA＝OC＝11AC，OB＝OD＝BD（矩形對(duì)角線互相平分）.∴OA＝OD.22

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.∴四邊形AODE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.（2）矩形，理由如下：

∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形.∵菱形ABCD，∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴平行四邊形AODE是矩形．

考點(diǎn)：1.矩形的判定和性質(zhì)；2.平行四邊形的判定；3.菱形的判定和性質(zhì).3．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．

①求證：BD⊥CF；

②當(dāng)AB=4，F(xiàn)G的長(zhǎng)．

【答案】(1)BD=CF成立,證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②FG=.5

【解析】

試題分析：(1)證明線段相等的常用方法是三角形的全等，直觀上判斷BD=CF,而由題目條件，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中出

現(xiàn)了兩個(gè)三角形△BAD和△CAF，并且包含了要證明相等的兩條線段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差?yuàn)A角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要證明BD⊥CF，只要證明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求線段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，題目中沒(méi)有和FG直接相關(guān)的線段，而CG從已知條件中又無(wú)法求出，所以需要作輔助線，連接FD，交AC于點(diǎn)N, 在正方形ADEF中，, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=，設(shè)FG=x，CG=?x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2，∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC，∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2，解之得FG=

試題解析：②解法一：

如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N,222.5

∵在正方形ADEF中，, 1AE=1，F(xiàn)D=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中，CF?FN2?CN2?2?32?,∵△BAD≌△CAF（已證），∴BD=CF=,設(shè)FG=x，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=4?x2, ∵CF=，∴CG=?x,∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，∴BC???

∵在Rt△BCG中，CG?BG?BC, ∴(?x)2?(4?x2?)2?(42)2 ,整理，得5x?2x?6?0, 解之，得x1?22223，x2??（不合題意，故舍去）55

∴FG=.5

解法二：

如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N；連接CD,同解法一，可得：DG=4?x2，CG=?x，易證△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，在Rt△CGD中，CG?DG?CD,即(?x)2?(4?x2)2?()2 解之，得x?222,故FG=.55

考點(diǎn)：1.三角形的全等；2.勾股定理；3.正方形的性質(zhì).