第一篇：高等數學總結

FROM BODY TO SOUL

高等數學

第一講 函數、極限和連續

一、函數 1.函數的概念

幾種常見函數 絕對值函數： 符號函數： 取整函數： 分段函數：

最大值最小值函數：

2.函數的特性

有界性： 單調性： 奇偶性： 周期性：

3.反函數與復合函數

反函數：

復合函數：

第二篇：高等數學難點總結

高等數學難點總結 上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系

連續：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的。下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

第三篇：高等數學難點總結

高等數學難點總結

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）

極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系

連續：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的 下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。下冊

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平面區域、立體區域、曲線段、曲面區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數

場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場

場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值

梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數不均勻性的量度

梯度運算把一個標量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運算把向量場變成標量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯系起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環量為零，這相當于一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質

旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

第四篇：高等數學積分總結[推薦]

?問題引例：曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程?n?積分定義：bf?x?dx?lim?f????xii?a??0?i?1?b?計算方法:?f?x?dx?F?b??F?a?a??一元定積分?幾何意義:連續曲線與x軸所圍曲邊梯形面積的代數和?物理意義：變力沿直線做功??應用?幾何?：平面圖形的面積?直角坐標、極坐標?、體積?已知平行截面、旋轉體體積??平面曲線的弧長?直角坐標、極坐標、參數方程?、旋轉曲面的面積????應用?物理?：水壓力、質量與引力、邊際成本

一元不定積分：解決定積分的計算問題，將積分問題與求導問題聯系起來

?問題引例：曲頂柱體的體積、平面薄片的質量?n?積分定義：f?x,y?d??lim?f??,????iii????0?i?1D??計算方法:關鍵問題是定限，在直角坐標下d?=dxdy，在極坐標下d?=rdrd??二重積分?幾何意義:以D為底，f?x,y?為曲頂柱體的體積的代數和??物理意義：?應用?幾何?：求平面圖形的面積d????D??應用?物理???問題引例：四維空間中曲頂柱體的體積問題?n?積分定義：f?x,y,z?dv?lim?f??,?,???viiii?????0?i?1???計算方法:直角坐標 dv=dxdydz?柱面坐標x?rcos?,y?rsin?,z?z,dv=rdrd?dz??三重積分?球面坐標x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,dv=r2sin?drd?d??定限的方法參考二重積分 ??幾何意義、物理意義??應用?幾何???應用?物理???

?問題引例：曲線形構件的質量?nn?積分定義：f?x,y?ds?lim?f??,???s,f?x,y,z?ds?lim?f??,?,???siii?iiii???0??0?i?1i?1LL??計算方法:用路徑函數L化簡f?x,y?,化為一元定積分?弧長元素ds=dx2?dy2??2?ds=1+??y'?x???dx?對弧長的曲線積分?2ds=1+?x'y??????dy?第一型曲線積分??22?ds=??t+?'t???????????dt?22?ds=r?+r'??????????????d???幾何意義、物理意義?應用?幾何???應用?物理???n?問題引例:曲面不均勻薄片的質量?n?積分定義：f?x,y,z?dS?lim?f??,?,???Siiii????0?i?1??對面積的曲面積分?計算方法:

1、投影，2、代入，3、轉換22?第一型曲面積分??f?x,y,z?dS???f???x,y,z?x,y???1?zx?zydxdy????Dxy??應用?幾何?：計算曲面面積?應用物理???

????P??i,?i??xi?Q??i,?i??yi???問題引例：變力沿曲線作功W?lim??0i?1?nn??

1、定義：如果一階微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左端恰好是某一個二元積分定義：Px,ydx?limP?,??x,Qx,ydy?limQ??i,?i??yi?ii?i?L?????L????0???0?i?1i?1??函數u的全微分，此時方程的通解為u=C,因此全微分方程的關鍵就是求u?積分的定義可推廣到空間的情況，并可簡寫成?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?

2、求解方法：L對坐標的曲線積分????計算方法：本質是將其化為一元定積分?用參數方程、將y化為x?'全微分方程?u?u???第二型曲線積分???①不定積分法：?P,u?Pdx??y,?Pdx??y??????Q???x?y???兩種曲線積分的關系：???②湊微分法???Pdx?Qdy????Pcos??Qcos??ds??③積分因子法：見筆記?Pdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds???? ?其中cos?，cos?，cos?是曲線在一點的與有向曲線同向的切向量的方向余弦?? ?問題引例：曲面的側的定義?指明了曲面是有方向的??????曲面的投影，流體力學中流量問題?=??v?dS???n?積分定義：lim?P??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy????Pcos??Qcos??Rcos??dS??0?i?1?對坐標的曲面積分??n?limP??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy???Pdydz?Qdxdz?Rdxdy??第二型曲面積分????0i?1??第一式將定義以第一型曲面積分的形式給出；第二式是我們普遍用的第二型曲面積分??兩個式子反應的是一個東西，也就闡明了兩類曲面積分的聯系??計算方法：投影、代入、轉換???應用：流量的計算

???Q?P? ??格林定理：①曲線正向的定義；②???dxdy,L為D的取正向的邊界曲線?LPdx?Qdy????x?y?D? ???Q?P應用格林公式應注意：1?曲線L必須封閉；2?、在D內每點具有一階連續偏導；3?L為正向曲線 ??x?y?

A?格林公式?曲線積分的路徑無關性：概念，積分值只與初始點的坐標有關?Pdx?Qdy B? ?四個等價命題：在一個單連通區域內，函數P?x,y?、Q?x,y?在G內有一階連續偏導? 則下面四個命題等價：???Q?P ①=；②Pdx?Qdy?0；③Pdx?Qdy與路徑無關；④存在函數ux,y,使du?Pdx?Qdy?????L??L ??x?y ?高斯公式：?是閉曲面?圍成的區域，函數P、Q、R在?上具有一階連續偏導，則???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?++?dV?????????x?y?z????????P?Q?R?Pcos??Qcos??Rcos?dS?++?dV????????高斯公式?通量散度????x?y?z?????其中?是?的外側，cos?、cos?、cos?是點出法向量的方向余弦?????????P?Q?R?通量與散度：?=?A?dS,divA?++????x?y?z??

?斯托克斯公式：設?是以?為邊界的有向曲面，?的正向與?的側符合右手規則,P,Q,R具有一階連續偏導 ? ??R?Q???Q?P???P?R??Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy????????L??? ?y?z?z?x?x?y???????????????斯托克斯公式?環流量與旋度?

?環流量與旋度：向量場A沿有向閉曲線?的曲線積分???A?ds稱為A沿?的環流量 ?????R?Q????P?R????Q?P???旋度：rotA= ?????i???k?j????y?z?z?x?x?y???????

積分應用歸納幾何應用：

1、求曲邊梯形的面積：用一元定積分可做

2、求曲頂柱體的體積：用二重積分可做，用三重積分可做

3、曲面的面積:??1dS???dS ?????柱面面積=f?x,y?ds——?牟合方蓋的表面積???Lfy,zds,fx,zds???????LL?該柱面以L為準線，母線平行于z軸，介于z?0與曲面z?f?x,y?之間的部分?

4、平面的面積：其實就是曲面面積的特殊情況，用一元定積分可做，用二重積分可做

物理應用：

1、質量??平面直線桿?一元定積分?????線狀質量?線密度?長度??平面曲線桿?對弧長的曲線積分??這也就解釋了為什么對弧長的積分化為定積分??空間曲線桿被積函數為三元函數的對弧長的曲線積分????????平面面片?二重積分?面狀質量?面密度?面積????空間面片?對曲面的面積積分?立體快質量?體密度?體積??三重積分????解釋了為什么對曲面的面積積分化為二重積分???=f?P?;M??f?P?d??

2、質心?物理重心——質心——幾何中心——形心?概念解釋:物理重心——是在重力場中，物體處于任何方位時所有各組成質點的重力的合力都通過的那一點。規則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心。質心——質量中心簡稱質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質心不一定要在有重力場的系統中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質系統的質心與重心不通常在同一假想點上。形心——面的形心就是截面圖形的幾何中心，質心是針對實物體而言的,而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質心和形心重合。質心的計算：?引入了靜力矩的概念?????x??x,y?d?y??x,y??薄片:x?D???x,y?d?,y???d?D??x,y?d?平面????D??D?x??x,y??dsy??x,曲線桿:x??L?y?ds??????x,y?ds,y?L??x,y?dsL?L3、轉動慣量：定義：I?Mr2Ix???y2??x,y?d?DIy???x2??x,y?d?DI0????x2?y2???x,y?d? D

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?塊：x??x?dv,y??y?dv???dv??dv空間??面片:x??x?d?,y??y??d????d???d????曲桿:x??x?ds,y??y?ds????ds??ds

第五篇：高等數學極限總結

我的高等數學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數學 學我所學，想我所想

1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。

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第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

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這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數消指數。簡單來說，“ ”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。