第一篇：大一高等數學總結

第一講 函數、連續與極限

一、理論要求

1.函數概念與性質

函數的基本性質（單調、有界、奇偶、周期）

幾類常見函數（復合、分段、反、隱、初等函數）

2.極限 極限存在性與左右極限之間的關系

夾逼定理和單調有界定理

會用等價無窮小和羅必達法則求極限

3.連續 函數連續（左、右連續）與間斷

理解并會應用閉區間上連續函數的性質（最值、有界、介值）

二、題型與解法 A.極限的求法（1）用定義求

（2）代入法（對連續函數，可用因式分解或有理化消除零因子）

（3）變量替換法

（4）兩個重要極限法

（5）用夾逼定理和單調有界定理求

（6）等價無窮小量替換法

（7）洛必達法則與Taylor級數法

（8）其他（微積分性質，數列與級數的性質）

1.（等價小量與洛必達）

2.已知

（洛必達）

3.（重要極限）

4.已知a、b為正常數，（變量替換）

5.解：令6.（變量替換）

7.已知在x=0連續，求a

解：令

（連續性的概念）

三、補充習題（作業）

1.（洛必達）

2.（洛必達或Taylor）

第二講 導數、微分及其應用

一、理論要求 1.導數與微分 導數與微分的概念、幾何意義、物理意義

會求導（基本公式、四則、復合、高階、隱、反、參數方程求導）

會求平面曲線的切線與法線方程

2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

會用定理證明相關問題

3.應用 會用導數求單調性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能畫簡圖

會計算曲率（半徑）

二、題型與解法

A.導數微分的計基本公式、四則、復合、高階、隱函數、參數方程求導

算

1.決定，求

2.決定，求

解：兩邊微分得x=0時，將

x=0代入等式得y=1

3.決定，則

B.曲線切法線問5.f(x)為周期為5的連續函數，它在x=1可導，在x=0的某鄰域內滿足題

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。

解：需求，等式取

x->0的極限有：f(1)=0

C.導數應用問題

6.已知，求點的性質。

解：令，故為極小值點。

7.，求單調區間與極值、凹凸區間與拐點、漸進線。

解：定義域

8.求函數的單調性與極值、漸進線。

解：，D.冪級數展開問10.求題

解：

=E.不等式的證明

11.設，證：1）令

2）令F.中值定理問題

12.設函數

具有三階連續導數，且，求證：在（-1，1）上存在一點

證：

其中

將x=1，x=-1代入有

兩式相減：

13.，求證：

證：

令

令

（關鍵：構造函數）

三、補充習題（作業）

1.2.曲線

3.4.證明x>0時, 證：令

第二篇：大一高等數學學習心得

大一高等數學學習心得

轉眼之間大一已經過去了一半，高數的學習也有了一學期，仔細一想，高數也不是傳說中的那么可怕，當然也沒有那么容易，前提是的自己真的用心了。

記得剛開學的時候，我對高數還是很害怕的，我雖然上課認真聽講，但我還是不大明白，當然那是由于剛開始的課程確實是很抽象的，很難以高中時的解題思維理解，但后來學的就不是那么的吃力了，再加上我的勤奮看書。

對于高數的學習大多數人都認為應該課前預習、上課認真聽講、課后復習。但那只能是理想的狀態下，事實是不允許我們那樣做的。由于我的數學還算有點功底，一直以來，我只做到了其中的一點半，而且成績還算過得去，因此，我認為對于高數的學習，我們應該上課認真聽講，時課后復習。我們主要應該在課堂上認真聽講，理解解題方法，我們現在所需要的是方法，是思維，而不僅僅是例題本身的答案，我們學習高數不是為了將來能計算算術，而是為了獲得一種思想，為了提高我們的思維能力，為了能夠用于解決現實問題。

在課后復習時，再根據例題好好體會解體的方法，一定要琢磨透。至于您的方法我覺得還不錯，容易的快速過，困難的花點時間耐心講解。只是我們每學期都要放棄后邊的一部分內容，是否可以考慮相對放棄一些前面簡單的，而加快進度講完后面的一些內容。

第三篇：大一高等數學競賽策劃

大一高等數學競賽策劃

一、目的及意義

高等數學是理工科基礎中的基礎，也是學科建設的基礎。與物理、物化、工

程力學、傳輸原理、電工學等幾乎所有理工科課程有關。03級實踐證明98%的同學由于高等數學底子薄弱聽不懂課程，導致最后強烈要求將統計熱力學改為考查課。而且在許多理工類論文的研究突破點上，高等數學及其數學思維功不可沒。它與考研息息相關，且與英語兩門決定考研大局。

通過競賽激發同學學習興趣，大一時就打好堅實的數學基礎，為以后其它知

識學習提供必備的學習工具。03，04級掛科的同學也可以參加，這樣可以幫助他們發現學習中的漏洞及時彌補提高整體通過率。還可以為形成考研隊伍起到引導、啟發作用。而且在教學上起到檢驗教學的目的，并且通過競賽活動希望達到教學相長的作用。但最重要的還是希望這次活動為材料系學科建設形成具有特色的模式進行拋磚引玉，為培養具有后勁人才打下基礎。

為此學習部組織本次由學習部出題，批卷的高數競賽活動。并且考完后由學習部組織同學對試題進行詳細講解以及對其它疑問知識的解答。

三、命題及考試方式

① 試題特點：滿分為150分，選擇題12題，每題5分。填空題4題，每題4分。

解答題6題，分別8、10、10、12、12、14分。基礎題共106分，壓軸題44分，且采取多題把關的方式。

② 命題小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

③ 監考小組：總監：孫強督察：馬建軍（輔導員）

成員：闕永生、魏冰、靳冰花、劉文杰

④ 批卷小組：組長：闕永生

成員：李娜、高翠萍、靳冰花、劉文杰

四、考試安排

時間：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40進入考場）

地點：13#129

五、獎勵方式

一等獎1 名、二等獎1名、三等獎1名、鼓勵獎5名

具體獎勵辦法：一等獎80元、二等獎50元、三等獎20元、鼓勵獎每人鋼筆1支、一等獎、二等獎、三等獎榮譽證書各一份

六、經費操作

①

②

③

④

⑤ 獎品費用總計約為225元。試卷用紙30元。光榮榜用紙3元。命題人員活動經費每人8元（共40元）。總計：298元

材料系學習部

2005年10月10日

第四篇：高等數學總結

FROM BODY TO SOUL

高等數學

第一講 函數、極限和連續

一、函數 1.函數的概念

幾種常見函數 絕對值函數： 符號函數： 取整函數： 分段函數：

最大值最小值函數：

2.函數的特性

有界性： 單調性： 奇偶性： 周期性：

3.反函數與復合函數

反函數：

復合函數：

第五篇：高等數學難點總結

高等數學難點總結 上冊：

函數（高等數學的主要研究對象）

極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般）極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系

連續：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近

導數的概念

本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了

不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應用和物理應用

高等數學里最重要的數學思想方法：微元法

微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：

一、這些多項式的系數如何求？

二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的。下冊

（一）：

多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數

最典型的是二元函數

極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢

連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等

導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念

沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數

通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導數若連續，則求導次序可交換

微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在

若偏導數存在，且連續，則微分一定存在

極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜

極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零

所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。

級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。

一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。