第一篇：計算方法公式總結

計算方法公式總結

緒論

?e?x?x，x?為準確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數，稱為絕對誤差限

x??xe?表示相對誤差 通常用e?xxrx??xe??相對誤差e?*xxr相對誤差限|er|??r或|e|??r 有效數字

一元函數y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數y=f（x1,x2）絕對誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對誤差r?x1y?x2y

機器數系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計算機字長

3.指數p稱為階碼（指數），有固定上下限L、U 4.尾數部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機器數個數機器數誤差限

1?np舍入絕對 |x?fl(x)|???截斷絕對|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對截斷相對

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內也收斂，加如下四個條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構造一個區間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個區間內驗證這四個條件。

f(?)

如果知道根的位置，構造[ε，M（ε）]時應該包括根，即ε+常數

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數中初等行變換將增廣矩陣轉化為等價上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續初等行變換。對角占優矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴格對角占優矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴格對角占優矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對稱正定的。

當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調到第k行，再進行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數小于1，?B??1

結論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項式p（x）代替被插函數f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項式：，01nn+1個點P(xi)?yi(i?0?n)

插值區間：[a,b]，插值點滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項式P（x），即求多項式系數的過程為插值法

帶入可知求系數的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應的不超過n次的插值函數P（x）只有一個。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項

非插值節點上Lagrange插值多項式為被插函數f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導數插值條件的余項估計

注：推導過程用羅爾中值定理構造輔助函數

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質用于可以證明階數不大于n的f(x)的插值余項為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近k個元素的差商。

牛頓插值多項式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時的三個點 余項估計式

三次樣條插值函數

第一類邊界條件（端點一階導數已知）

D0等于第一個式子，dn等于第二個式子

自然邊界條件（端點二階導數已知二階導數和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數關于n個點線性無關

23n1,x,x,x,?,x注：線性無關的函數為才是最小二乘多項式

注：記住公式即可。

數值積分和數值微分

xk為求積節點，Ak為求積系數。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截斷誤差

代數精度

當f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f（x）為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積公式有m次代數精度。

梯形公式代數精度為1，Simpson公式代數精度為3，Cotes公式代數精度為5

截斷誤差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數精度為2n+1 [-1,1]上的兩點Gauss公式（3次代數精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點Gauss公式（5次代數精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關系，tkAk??查表即可

復化梯形公式2階，復化Simpson公式4階，復化Cote公式6階

計算機通過不斷把區間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數值微分

數值微分截斷誤差

中點公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截斷誤差

Euler公式的局部截斷誤差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進Euler公式（二階精度）

截斷誤差（推導要求掌握，利用梯形和Euler公式的截斷誤差）

第二篇：計算方法總結

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數字稱為準確數字。?準確到n位小數，x?10?n，稱x2各位數字都準確的近似數稱為有效數，各位準確數字稱為有效數字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進制：?，字長：t，階碼：l，可表示的總數：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計算機數字表達式誤差來源

實數到浮點數的轉換，十進制到二進制的轉換，結算結果溢出，大數吃小數。4.數據誤差影響的估計：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態問題，避免相近數相減。避免小除數大乘數。

5.算法的穩定性

若一個算法在計算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產生可靠的計算結果，稱算法數值穩定。

第二章：解線性代數方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過程與回代過程。

順利進行的條件：系數矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴格對角占優矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現，出現小除數，轉化為大系數，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應用于三對角方程，即為追趕法。

對稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對解的影響

T向量范數定義： 常用的向量范數： 矩陣的范數： 常用的矩陣范數：

矩陣范數與向量范數的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態問題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個互不相同的點，xi及在xi處的函數值yi(i=0～n)，構造一個次數不超過n次的多

nx)。項式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使滿足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項式，xi為插值節點，f(x)為被插函數。插值問題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項式 表達式：

誤差估計式：

3.Newton插值多項式 差商： 表達式： 誤差表達式： 差商的性質：

1)差商與節點的次序無關； 2)K階差商對應K階導數； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導數）插值多項式 1)Newton法，給定f及f(k)為數字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達式。

5.三次樣條插值函數

分段三次插值多項式的定義：S(x)在子區間[xi-1,xi]上是三次多項式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續。

三次樣條插值函數的導出：

第四章：函數最優逼近法

1.最優平方逼近

對于廣義多項式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無關。要求：

若f(x)是表格函數，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數，當?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項式；若f(x)是連續函數，稱P(x)為最優平方逼近函數。

2.函數的內積，范數定義及其性質 內積的定義：

性質：

范數的定義： 范數的性質：

正規方程組或法方程組：

3.正交多項式

正交函數系的定義：

代入正規方程組的系數矩陣，則： 幾個正交多項式舉例： 1)勒讓德多項式

2)拉蓋爾多項式

3)埃爾米特多項式

4)切比雪夫多項式

四種正交多項式均可用于高斯型求積公式；P多項式用于最優平方逼近，T多項式用于最優一致逼近。

正交多項式的性質：

1)正交多項式?gk(x)?線性無關，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項式gn(x)有n個不同的零點。3)設?gk(x)?是最高次項系數為1的正交多項式，則：

4.最優一致逼近法

(1)切比雪夫多項式的性質 性質1：?Tk(x)?是[-1,1]上關于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項式，性質2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質3：Tk(x)是最高次項為2x的奇次項；

k?1xk的k次多項式，T2k(x)只含x的偶次項，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個極值點xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質4：Tk(x)有k個不同的零點，xi?cos得最大值1和-1；

性質6：設Pn(x)是任意一個最高次項系數為1的n次多項式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優一致逼近法的定義

設函數f(x)在區間[a,b]連續，若n次多項式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優一致逼近a?x?b函數。

切比雪夫定理：n次多項式P(x)成為函數y=f(x)在區間[a,b]上最優一致逼近多項式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區間[a,b]上以正負或負正交替的符號依次取得在E?maxR(x)的點（偏差點）的個數不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進行求解：

(3)近似最優一致逼近多項式 思路：

使用T多項式性質6 若區間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點，則xi?cos(值多項式Pn(x)；

若區間是[a,b]，通過轉換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截斷切比雪夫級數法

n(Tk,f)設f(x)在[-1,1]上連續，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應用切比雪夫定理及性質5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級數法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數值微積分

第一節 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．數值算法 1.數值積分算法

對于復雜函數f(x)，考慮用其近似函數P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數值積分方法

對于拉格朗日插值多項式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，g(x)在[a,b]上部變號，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長的小區間，在每個小區間用簡單低次數值積分公a式，在將其得到的結果相加。2.復化梯形公式

3.復化辛普森公式

三．變步長的積分公式

1.先取一步長h進行計算，再取較小步長h*計算，若兩次結果相差很大，則在取更小步長進行計算，依次進行，直到相鄰兩次計算結果相差很大，則取較小步長的結果為積分近似值。2.變步長復化梯形公式

3.變步長復化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節 待定系數法

1.代數精度定義

對于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過m次的多項式，I(f)?Q(f)成立，而對于某個m+1多項式，I(f)?Q(f)，稱代數精度為m次。2.判定方法

近似式的代數精度為m次?

對f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節 高斯型積分公式

一．定義

節點個數一定，具有最高階代數精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數精度?近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節點，n分別為奇數和偶數時，代數精度分別為n和n+1。

二．最高代數精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個節點，具有2n+1次代數精度的插值型數值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構造方法 方法1：

代數精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數精度m?2n?1?xi是[a,b]上關于?(x)的正交多項式gn?1(x)的零點(高斯點)，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個零點。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節 數值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數引入大誤差。

h近似函數法

取等節距節點，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導數，n=1，兩個節點x0x1

(2)一階導數，n=2，三個節點x0x1x2

(3)二階導數，n=2，三個節點x0x1x2

實用誤差估計

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節 方程求根法

根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點存在定理：若f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產生迭代序列?xk?。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對于迭代函數?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數0

收斂速度(收斂階)：若存在實數P和非零常數C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設?是方程x??(x)的根，如果迭代函數?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產生迭代序列收斂。收斂定理：設f(x)在[a,b]上二階導數存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區間上不變號），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導數xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節 線性代數方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對?x產生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設A是嚴格對角占優矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設A是對稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對應特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對應A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數值解法的導出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截斷誤差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第三篇：計算方法總結

1.何為有根區間

給定一個方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續，又f(a).f(b)<0,則由連續函數的性質知，方程f(x)=0在（a,b）內至少有一個實根。這時我們稱區間[a,b]為方程f(x)=0有根區間 2.尋找方程的有根區間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區間適用于哪種情況

函數f(x)比較簡單時適用

4.對于已知方程，如何利用逐步搜索法在區間內尋找有根區間

從X0=a出發，按照事先選擇的步長h=(b-a)/N(N為正整數)，逐點計算Xk==a+kh處的函數值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號時，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個有根區間 5.逐步搜索法在計算機上實現方便。

6.對于給定的n次代數方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對值大于1/(1+b).7.步長h的選擇，對于逐步搜索法有何影響

當步長h越小時，找出的有根區間越小，這時以區間內的某個值作為根的近似值就越精確。但h越小，計算量越大 8.二分法求解方程的根有和優點，有何缺點

優點是算法簡單，而且收斂性總能得到保證，缺點是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計算收斂速度快，節省時間，并且能求出某些發散的迭代過程的根。10.牛頓法的優點是什么，缺點是什么

優點是收斂速度快，節省計算量，誤差累積少。

缺點是在計算時它要用到f（x）的導數，當f（x）比較復雜時，計算其導數花費時間多。11.弦截法的優點是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計算速度如何

優點是不必計算f'(x),收斂速度也相當快,但比牛頓法慢。從計算速度來看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結合圖示說明），如何選取弦截法中的不動點

1準備2迭代3控制4迭代準備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關系

收斂速度的大小與收斂階數有關系，收斂階數越大，收斂速度越快。14.哪一類問題稱為插值問題

由實驗或測量得到了某一函數y=f(x)在n+1個點x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構造一個簡單函數p(x)作為函數y=f(x)的近似表達式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問題稱為插值問題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優缺點

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項式（區間大時誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優點是公式簡單，計算量小，有較好的收斂性和穩定性，并且可以避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點，不浪費）

四差分與等距節點差值公式（進一步簡化插值公式，計算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結合圖形進行說明）

線性插值的幾何意義是利用通過兩點的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 是什么關系

與x 在[a,b]時，f''(x)絕對值的最大值有關系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 有什么關系

P93與x在[x0,x2]時，f'''(x)對值的最大值有關系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過n+1個互異節點且滿足插值條件的插值多項式是唯一的

20.線性插值或二次插值優缺點：簡單方便，計算量小。缺點是精度較低；

21.當低次插值的精度不夠時，應該適當縮小插值區間的長度來提高精度； 22.高次插值優缺點：插值精度高，缺點是數值不穩定；

25.分段插值優缺點：公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩定性，并可避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難.缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性。

26.應用低次插值進行分段插值時，應盡可能地在插值點的鄰近選取插值節點。

27.拉格朗日插值多項式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項式有何缺點，牛頓插值公式有何優點？

用拉格朗日插值多項式計算函數值時，當精度不滿足要求而需要增加插值節點時，原來的插值多項式就不能使用了，必須重新構造一個，將造成很大浪費。而牛插可以增加新的節點，原來的計算結果仍可利用。28.何為差商，給定個互異測試點,如何計算各階差商

函數值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對稱性

差商與插值節點順序無關

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關系，有什么不同點

“牛前插”適用于計算x0附近的函數值，“牛后插”適用于計算函數表末端附近的函數值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點，它具有什么優點

在整個插值區間上做高次插值多項式，曲線光滑，但計算量繁重，誤差積累大，穩定性差。分段低次插值可避免這些缺點，但各段連接點處只能保證曲線連續，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問題。擬合與插值有什么不同點

可以部分抵消原來數據組中所包含的測量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數據(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第四篇：年終獎個人所得稅計算方法及其稅率表和公式(精)

年終獎個人所得稅計算方法及其稅率表和公式 我國年終獎個人所得稅征收方法的規定：

（一)全年一次性獎金是指行政機關、企事業單位等扣繳義務人根據其全年經濟效益和對雇員全年工作業績的綜合考核情況，向雇員發放的一次性獎金。上述一次性獎金也包括年終加薪、實行年薪制和績效工資辦法的單位根據考核情況兌現的年薪和績效工資。

(二)納稅人取得全年一次性獎金，單獨作為一個月工資、薪金所得計算納稅，并按以下計稅辦法，由扣繳義務人發放時代扣代繳：

1.先將雇員當月內取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數確定稅法規定的適用稅率；然后以其商數及適用稅率計算出應納稅額后，再乘以12個月，即為全年一次性獎金的應納稅額。除上述計算方法外，也可以按照本規定第十四條規定的計算方法，直接計算應納稅額。

2.如果在發放年終一次性獎金的當月，雇員當月工資、薪金所得低于稅法規定的費用扣除標準，應將全年一次性獎金減除“雇員當月工資、薪金所得與費用扣除標準的差額”后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率。(三)在一個納稅內，對每一個納稅人，該計稅辦法只允許采用一次。

(四)實行年薪制和績效工資的單位，個人取得年終兌現的年薪和績效工資按本條第(二)款、第(三)款的規定執行。

前段時間網上傳的【47】號公告年終獎個人所得稅新計算方法，經國家稅務總局聲明澄清【47】號公告系偽造，年終獎個人所得稅率與計算方法沒有改變。下面就是現年終獎個人所得稅稅率及計算方法： 年終獎適用稅率標準表 適用

應稅所得1 應稅所得 稅率

0 1500 4500 9000 35000 55000 80000 速算扣除數 3% 10% 20% 25% 30% 35% 45% 級數 1 2 3 4 5 6

0-1500 1500-4500 4500-9000 9000-35000 35000-55000 55000-80000 80000-105 555 1005 2755 5505 年終獎個稅計算公式：應納稅額＝應納稅所得額×適用稅率-速算扣除數。

具體來講，納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應適用新稅法的減除費用標準和稅率表，計算繳納個人所得稅。而納稅人2011年9月1日前實際取得的工資、薪金所得，無論稅款是否在2011年9月1日以后由扣繳義務人申報入庫，均應適用原稅法的減除費用標準和稅率表，計算繳納個人所得稅。舉例來看，韓先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工資收入3400元，當月又一次取得年終獎金24100元，其應繳納多少個人所得稅。韓先生因當月工資不足3500元，可用其取得的獎金收入24100元補足其差額部分100元，剩余24000元除以12個月，得出月均收入2000元，其對應的稅率和速算扣除數分別為10%和105元。具體計算公式為：應納稅額＝(24100＋3400－3500)×10%－105＝2295元。

年終獎個稅算法：針對工資薪金，當前我國采用超額累進稅率，為了方便計算，就轉化用適用稅率和速算扣除數的簡化算法，目前的年終獎個稅計算方法是，先將年終獎除以12，以得出的商確定稅率和速算扣除數，再依據如下公式計算：應納稅額＝應納稅所得額×適用稅率-速算扣除數。年終獎個稅算法

以下只考慮年終獎當月工資足夠3500元的，不足3500元的，先補足3500元，然后用余額

年終獎 月平獎金 稅額

20000 18000 1666.667 1500 1895 540 年終歲尾，年終獎已逐漸成為大家談論的敏感話題，牽動著每位在崗人員的心旋，就百姓普遍關注的年終獎繳納個人所得稅問題，而今年9月1日起，我國的個稅法有了一些調整，個人所得稅起征點由原來的2000元調為3500元。同時，經過詳細核算，年終獎多發1元，你最終反倒少得很多呢!那么，年終獎個人所得稅計算方法你要搞清楚嘍!【終獎個人所得稅計算方法之兩種計稅方法】

在國家稅務總局下發的通知中，關于納稅人取得的全年一次性獎金，給出了兩種計稅辦法。

一是先將雇員當月內取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數確定稅法規定的適用稅率;然后以其商數及適用稅率計算出應納稅額后，再乘以12個月，即為全年一次性獎金的應納稅額。

二是按照最新公布的適用全年一次性獎金所得的稅率表，直接計算應納稅額。

應納稅額的計算公式為：應納稅額=應納稅所得額×適用稅率-速算扣除數。

值得注意的是，如果在發放年終一次性獎金的當月，雇員當月工資、薪金所得低于稅法規定的費用扣除標準(3500元/月)，應將全年一次性獎金減除“雇員當月工資、薪金所得與費用扣除標準的差額”后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率。

在一個納稅內，對每一個納稅人，該計稅辦法只允許采用一次。【新稅法下年終獎個人所得稅計算方法新舊方法對比】

韓先生在某一公司工作，2011年12月一次取得年終獎金6.1萬元，周先生在同一家公司工作，他取得的年終獎是5.9萬元。舊方法：

韓先生：6.1萬元÷12個月=5083.33元，適用的稅率是20%，速算扣除數375元，則他該付的稅是61000元×20%-375元=11825元。其稅后年終獎為61000元-11825元=49175元。周先生，5.9萬元÷12個月=4916.66元,適用于稅率為15%,速算扣除數125，則他該付的稅是59000元×15%-125=8725元。其稅后年終獎為59000元-8725元=50275元。

顯然，年終獎6.1萬元的韓先生，實際到手的獎金反而會比5.9萬元的周先生少拿了1100元。新方法： 韓先生應納稅額=6.1萬元×20%-555元=11645元，其稅后年終獎為61000元-11645=49355元。周先生應納稅額=5.9萬元×20%-555元=11245元，其稅后年終獎為59000元-11245元=47755元。按照新的計稅辦法，不會再出現獎金發得多、稅后所得反而少的情況，年終獎高的韓先生最后拿到的獎金依然比周先生高。

【年終獎個人所得稅計算方法之記者采訪】

那么，新稅法與原稅法究竟如何銜接?國家稅務總局相關負責人13日接受了記者的采訪。

問題一：工資、薪金所得如何銜接? 新稅法和實施條例均規定自2011年9月1日起施行。具體到工資、薪金所得項目而言，是指納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應適用新稅法的減除費用標準和稅率表，計算繳納個人所得稅。

“具體來講，納稅人2011年9月1日(含)以后實際取得的工資、薪金所得，應適用新稅法的減除費用標準和稅率表，計算繳納個人所得稅。而納稅人2011年9月1日前實際取得的工資、薪金所得，無論稅款是否在2011年9月1日以后由扣繳義務人申報入庫，均應適用原稅法的減除費用標準和稅率表，計算繳納個人所得稅。”稅務總局相關負責人說。

舉例來看，韓先生在某一公司工作，2011年12月3日取得工資收入3400元，當月又一次取得年終獎金24100元，其應繳納多少個人所得稅? 這位負責人說，韓先生因當月工資不足3500元，可用其取得的獎金收入24100元補足其差額部分100元，剩余24000元除以12個月，得出月均收入2000元，其對應的稅率和速算扣除數分別為10%和105元。具體計算公式為：應納稅額=(24100+3400-3500)×10%-105=2295元。

問題二：個體工商戶生產、經營所得如何銜接? 新稅法自9月1日起開始實施，鑒于個體工商戶、個人獨資企業和合伙企業的生產經營所得是按計算，而且是在一個完整的納稅產生的，這就需要分段計算應納稅額，即：9月1日前適用原稅法的減除費用標準和稅率表;9月1日(含)后適用新稅法的減除費用標準和稅率表。

這位負責人介紹，年終匯算清繳分段計算應納稅額時，需要分步進行： 第一，按照有關規定，計算全年應納稅所得額;第二，計算前8個月應納稅額：前8個月應納稅額=(全年應納稅所得額×原稅法的對應稅率-速算扣除數)×8/12;第三，計算后4個月應納稅額：后4個月應納稅額=(全年應納稅所得額×新稅法的對應稅率-速算扣除數)×4/12;第四，全年應納稅額=前8個月應納稅額+后4個月應納稅額。

“對企事業單位的承包經營、承租經營所得也是比照這個計算方法計算繳納個人所得稅。要注意的是，這個計算方法僅適用于納稅人2011年的生產經營所得，2012年以后則按照稅法規定全年適用統一的稅率。”這位負責人說。

舉例來看，某個人獨資企業按照稅法和相關規定計算出全年應納稅所得額為45000元(注：按照相關規定，在計算全年應納稅所得額時，投資者本人后四個月的費用扣除標準為每月3500元)，則其全年應納稅額計算如下： 2011年前8個月應納稅額=(45000×30%-4250)×8/12=6166.67元 2011后4個月應納稅額=(45000×20%-3750)×4/12=1750元 全年應納稅額=6166.67+1750=7916.67元 問題三：涉外人員附加減除費用如何調整? 稅法規定，對在中國境內無住所而在中國境內取得工資、薪金所得的納稅義務人和在中國境內有住所而在中國境外取得工資、薪金所得的納稅義務人(簡稱“涉外人員”)，在按稅法規定減除費用標準基礎上，可以根據其平均收入水平、生活水平以及匯率變化情況確定附加減除費用，附加減除費用適用的范圍和標準由國務院規定。

原稅法實施條例規定的附加減除費用標準是每月2800元，即涉外人員每月在減除2000元費用的基礎上，再減除2800元的費用，減除費用的總額為4800元。

這位負責人說，考慮到現行涉外人員工資、薪金所得總的減除費用標準高于境內中國公民，從稅收公平的原則出發，應逐步統一內、外人員工薪所得減除費用標準。

“這次在涉外人員的工資、薪金所得減除費用標準由2000元每月提高到3500元每月的同時，將其附加減除費用標準由2800元每月調整為1300元每月，這樣，涉外人員總的減除費用標準保持現行4800元每月不變。”這位負責人說。【以下是微博上傳的年終獎個人所得稅計算方法】： 【年終獎多發1元，反倒少得1155.1元】 新稅法實施后，六大臨界點成年終獎“盲區” 合理避稅，網友建議“年終獎”改為“年終捐”

又到年關，一年一度的重頭戲——年終獎馬上就要發放，估計許多市民都伸長了脖子在翹首以盼。不過，年終獎也許并不是大家想的那樣，發得越多得到的越多，很有可能你比別人多發了1塊錢，卻要為此多繳納百元、千元甚至萬元的稅。

這絕對不是在跟你開玩笑，因為年終獎在計算應該適用的稅率時會出現一個臨界點，一旦遭遇了這個臨界點，可能就會出現“多發少得”、“得不嘗稅”的情況。加之，今年是新修訂的個人所得稅法施行后的首次發放年終獎,稅法稅率及級次級距都發生了變化，這也使得市民最后真正拿到手的年終獎額度也隨之改變。鄭州晚報 趙柳影

【微博熱議年終獎臨界點】

最近，微博上轉載量最為火爆的除了關于明年1月的放假通知外，估計就是關于年終獎計稅的博文了。“請大家注意年終獎臨界點，寧可少千元不要超一元：發18001元比18000元多納稅1154.1元;54001元比54000元多納4950.2元;發108001元比108000元多納4950.25元;發420001元比420000元多納19250.3元;發660001元比660000元多納30250.35元;發960001元比960000元多納88000.45元。”12月4日傍晚，中國農業大學經濟管理學院副教授葛長銀在微博上發表了關于年終獎臨界點的博文。

短短幾天，轉載量就有了4000多次，評論量也有近千條，不少網友在驚訝的同時也紛紛表示對于年終獎的計稅方法很模糊，將之戲稱為“年終獎的秘密”，并建議公司的領導和財務人員，以及納稅人都應該好好看一看，研究研究。【年終獎個人所得稅計算方法是怎么計算個稅的?】

年終獎的發放，直接關系著員工的“錢袋子”，不過和廣大網友一樣，大部分市民對于年終獎的計稅都不了解，它究竟是如何計算的?難道真如博文所說，年終獎多出來1塊錢，就會比別人多繳納如此之多的稅嗎?

“?多發少得?的情況的確存在，自從個人所得稅出臺的那一天，就一直伴隨著這個問題。”河南中興稅務師事務所總經理陳俊嶺說，年終獎是大家通俗的叫法，它專業的名字叫做全年一次性獎金。

據陳俊嶺介紹，全年一次性獎金的計算方法是先將員工當月內取得的全年一次性獎金，除以12個月，按其商數確定稅法規定的適用稅率，然后再用全年一次性獎金乘以稅率，之后減去速算扣除數，即為全年一次性獎金的應納稅額。

“如果在發放年終一次性獎金的當月，員工當月工資、薪金所得低于稅法規定的費用扣除標準(3500元/月)，應將全年一次性獎金減除?員工當月工資、薪金所得與費用扣除標準的差額?后的余額，按上述辦法確定全年一次性獎金的適用稅率。”陳俊嶺說。

【計稅時對應的稅率不同，導致多發1元，反倒少得1155.1元】

既然計算方法清楚了，出現年終獎“多發少得”的根源也就找到了。“其實就是年終獎計稅時所對應的稅率不同，導致了稅額的差距這么大。”陳俊嶺說。

據陳俊嶺介紹，按照新個稅的規定，年終獎的計算中，一共有7個稅率，由于不同的稅率對應不同的全月應納稅所得額，也就劃定出了6個區間，正是由于這6個區間的臨界點，才導致了年終獎?多發少得?的情況。這些臨界點分別是：18001元~19283.33元、54001元~60187.50元、108001元~114600元、420001元~447500元、660001元~706538.46元、960001元~1120000元。

隨后，參照圖表，陳俊嶺給記者舉了個例子，假如小王和小張的月工資都超過3500元，年末兩人的年終獎分別為18000和18001，小王的實得年終獎為：18000÷12=1500元，對應稅率及速算扣除數為：3%、0，應納稅額=18000×3%-0=540元，稅后所得17460元。

以此類推，小張的實得年終獎為：18001?12≈1500.08，超出了1500元，對應稅率及速算扣除數為：10%、105，應納稅額=18001×10%-105=1695.1，稅后所得16305.9。這樣一比，二者繳納稅額相差1155.1元。【年終獎在萬元以內就不存在“多發少得”】

如此看來，年終獎發多少，能保證員工的最佳利益，還真是個“技術活”。不過昨日，記者向認識的同事、朋友，包括QQ群里的網友進行調查，詢問了近50位市民，只有兩位表示自己的年終獎超過了18000元。

“目前咱鄭州大部分市民的年終獎還徘徊在萬元以內，這樣的話，就不存在?多發少得?的現象，大家計稅的稅率都一樣。”陳俊嶺說，不過，像一些國企、大型私企的中高層領導，以及一些從事銷售工作的員工的年終獎很有可能會超過18000元。“一些從事銷售類型工作的員工平時的工資可能都不高，他們靠的就是年終豐厚的年終獎，少則幾萬，多則十幾萬，幾十萬。”

“繳稅是大家應盡的義務，最好還是按照規定進行繳納。”陳俊嶺說，不過如果出現個別極端的現象，單位財務上的工作人員可以及時與當事人聯系，少發一些獎金來保障員工的既得利益。

“我們也得到一些內部消息稱針對年終獎的計稅，國家稅務總局正在商議新政策，可能會對計稅方法等進行調整，不過具體是什么情況現在還不知道。”陳俊嶺透露。

【合理避稅，網友建議“年終獎”改為“年終捐”】

雖然繳稅是大家應盡的義務，不過對于大部分市民來說，如果遇到“多發少得”的情況，還是會覺得比較“悲催”，那有沒有一些比較好的合理避稅的方法呢? 網友“徐曉”在微博稱：合理避稅最簡單的方式就是將年終獎分開發放，不至于都累計到一個月中，稅率比較高。不過采取這種方法的前提得保證分開發放扣除的稅額總和小于一次性發放的扣稅稅額。可這樣一來，每次發放年終獎之前，大家都得埋頭先做些數學題，估計實施起來會有難度。

網友“嚴壯”的意見似乎更受到大家的歡迎：建議各企業老板將“年終獎”改為“年終捐”，將員工們多出臨界點的部分獎金捐給慈善機構，這樣既合理避稅又為社會做出了貢獻。

意見一出，立馬得到許多網友的鼓掌撒花，并被大家評為年終獎合理避稅之最優解決方案。

【年終獎個人所得稅計算方法之新稅率表】(全月應繳納稅額)級數 含稅級距 稅率(%)速算扣除數 1 不超過1500元的 3 0 2 超過1500元至4500元的部分 10 105 3 超過4500元至9000元的部分 20 555 4 超過9000元至35000元的部分 25 1005 5 超過35000元至55000元的部分 30 2755 6 超過55000元至80000元的部分 35 5505 7 超過80000元的部分 45 13505 注：1.本表含稅級距指以每月收入額減除費用3500元后的余額或者減除附加減除費用后的余額。

2.含稅級距適用于由納稅人負擔稅款的工資、薪金所得;不含稅級距適用于由他人(單位)代付稅款的工資、薪金所得。6個區間臨界點 導致年終獎“多發少得” 18001元~19283.33元 54001元~60187.50元

108001元~114600元 420001元~447500元 660001元~706538.46元 960001元~1120000元

看來新稅法下，年終獎個人所得稅計算方法還是很有爭議的。通過以上幾種年終獎個人所得稅計算方法的學習，想必你已經十分清楚了年終獎個人所得稅怎么算了吧?這些年終獎個人所得稅計算方法雖然有點麻煩，但是關系到切身利益，還是不得不學習啊!如果您想知道更多關于年終獎的內容，請繼續關注世界工廠網學堂頻道!

第五篇：水環境容量計算方法總結

1、中國地表水水環境容量研究過程中產生的五大類計算方法: 公式法、模型試錯法、系統最優化法(線性規劃法和隨機規劃法)、概率稀釋模型法和未確知數學法

2、水環境容量軟件：WASP、Delft 3D 等大型綜合模型軟件

3、王華東和夏青［5］將環境容量定義為: 相對于某種環境標準，某環境單元所容許承納的污染物的最大數量，同時認為環境容量是一個變量，且由基本環境容量(差值容量)和變動環境容量(同化容量)兩部分組成，基本環境容量指擬定的環境標準與環境本底值之差，變動環境容量指該環境單元的自凈能力。

4、水環境容量=稀釋容量+自凈容量+遷移容量表

5、公式法

6、模型試錯法 在河流的第一個區段的上斷面投入大量的污染物，使該處水質達到水質標準的上限，則投入的污染物的量即為這一河段的環境容量;由于河水的流動和降解作用，當污染物流到下一控制斷面時，污染物濃度已有所降低，在低于水質標準的某一水平(視降解程度而定)時又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水質標準，這部分污染物的量可認為是第二個河段的環境容量;依此類推，最后將各河段容量求和即為總的環境容量

7、環境科學中所采用的系統最優化方法有線性規劃、非線性規劃、動態規劃及隨機規劃等

8、概率稀釋模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物與水體混合均勻后下游濃度的概率稀釋模型;② 利用矩量近似解法求解控制斷面在一定控制濃度下的達標率;③利用數值積分求解水體在控制斷面不同控制濃度、不同達標率下的水環境容量。9、10、粒子群算法眾多變種中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊數/盲數理論

13、