第一篇：極限平均值的證明
1、設liman?A，證明：limn??a1?a2???an?A。n??n
證明：因為liman?A，所以對任意的??0，存在N?0，當n?N時，有 n??
|an?A|??，于是
|a1?a2???ana?a2???aN?aN?1???an?A|?|1?A| nn
a1?a2???aN?aN?1???an?nA| n
a1?a2???aN?NAa???an?(n?N)A|?|N?1| nn
a1?a2???aN?NA1|?[|aN?1?A|???|an?A|] nn?|?|?|
?|a1?a2???aN?NAn?N|?? nn
因為lim|a1?a2???aN?NA|?0（注意分子為常數），所以存在N1?N，當n??n
a?a2???aN?NAn?N1時，有|1|??，于是當n?N1時，有 n
a?a2???aN?NAn?Na1?a2???an?A|?|1|???2?，nnn|
有極限的定義有lima1?a2???an?A。n??n
n??
2、設liman?A且an?0,A?0，證明：lim12?n?A。n??
證明：因為a1a2?an?a1?a2???an，n
a1a2?an?n111????aa2an111??1，a1a2ann?a1a2?an?a1?a2???an，n所以111????a1a2an
111????aa2an1111?lim?，又因為lim?，利用第1題結論，有lim1
n??n??an??anAAnn
所以limn
111????a1a2ann???A，同理lima1?a2???an?liman?A，由夾逼定理n??n??n得
lima1a2?an?A。n??
3、設an?0，且liman?1?A，證明：liman?A。n??n??an證明：liman?limn??n??aaa1a2????n?limn?A。1a1an?1n??an?1
第二篇：平均值不等式歸納法證明
平均值不等式的證明
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1、設ai(i=1,2,…,n)為正數，求證：（a1+a2+…+an）?
等號當且僅當a1=a2=…=an時成立。證明：由1na1a2?an…（1）a1?a2?21?0得：?a1?a2??a1a2。即當n=2時（1）式成立。2
假設當n=k時（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）?
1令（a1+a2+…+ak+ak?1）=a，于是有： k?11ka1a2?ak。則當n=k+1時 a=1111[a1+a2+…+ak+ak?1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak?1+(k-1）a)] 2k2kk
?1(2
2ka1a2?ak+12kk?1ak?1ak?1k?1)?2k?1????a1a2akak?1a ?a?aa???aaa
2即 ak?1?a1a2???akak?1 ?k1（a1+a+…+a?1k+ak?1）?ka1a2???akak?1
即當n=k+1時（1）式成立。
?對任意自然數n，（1）式成立。由證明過程不難得知等號成立的充分必要條件是a1=a2=…=an。
第三篇：函數極限證明
函數極限證明
記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;
下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。
不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};
那么當x>N,有
(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)
第四篇：數列極限的證明
例1 設數列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；
n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調下降且有下界，由0?x1??，得
0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則
0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調下降且有下界，故limxn存在。
n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得
x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。
n??（Ⅱ）解法1 因為
?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?
?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以
n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1
?sinx??lim??x?0x??解法2 因為
1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因為
limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故
11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2
?e?16.
第五篇：ln2極限的證明
111(????)?ln2.證明：limn??n?1n?22n
Pf：①利用積分放縮，再用迫斂性： 首先，觀察圖像 y?n?x
S1是以1和其中，21n?11S2??dx0n?x為邊長的矩形的面積，11，S3??1n?xdx，顯然有S2?S1?S3，因此有
1ln(n?2)?ln(n?1)??ln(n?1)?lnn，n?11ln(n?3)?ln(n?2)??ln(n?2)?ln(n?1)同理，n?21ln(n?4)?ln(n?3)??ln(n?3)?ln(n?2)…
n?31ln(2n?1)?ln2n??ln2n?ln(2n?1)，2n所以，n11ln(2?)?ln(2n?1)?ln(n?1)???ln2n?lnn?ln2，n?1i?1n?i111(????)?ln2.由夾逼準則得limn??n?1n?22n證畢
②利用冪級數展開以及收斂數列的子列收斂于同一極限： 首先，在(?1,1]上，有以下的冪級數展開：
(?1)ln(x?1)??nn?1?n?112(?1)x?x?x???2nnn?1xn??.令x?1，有
1(?1)k?11(?1)k?1ln2?1???????lim[1????].k??2k2kk?1k?11(?1)1(?1)令ak?1?2???k，那么數列{ak}?{1?2???k}收斂于ln2.現在，取數列{ak}的偶數項組成數列{bn}n?1，即
11b1?a2?1??，2211111b2?a4?1?????，23434…
1(?1)bn?a2n?1???? 22n111?1?????22n?12n 111111?(1?????)?2(????)
22n?12n242n11111?(1?????)?(1????)
22n?12n2n1111?????? n?1n?22n?12n2n?1由于數列{bn}n?1是數列{ak}的一個子列，因此
limbn?limak?ln2.n??k??證畢
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