第一篇：數(shù)列極限四則運算法則的證明

數(shù)列極限四則運算法則的證明

設limAn=A,limBn=B,則有 法則1:lim(An+Bn)=A+B 法則2:lim(An-Bn)=A-B 法則3:lim(An·Bn)=AB 法則4:lim(An/Bn)=A/B.法則5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整數(shù))(n→+∞的符號就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必須知道極限的定義: 如果數(shù)列{Xn}和常數(shù)A有以下關系:對于?ε＞0(不論它多么小),總存在正數(shù)N,使得對于滿足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 則稱常數(shù)A是數(shù)列{Xn}的極限,記作limXn=A.根據(jù)這個定義,首先容易證明: 引理1:limC=C.(即常數(shù)列的極限等于其本身)

法則1的證明: ∵limAn=A, ∴對任意正數(shù)ε,存在正整數(shù)N?,使n＞N?時恒有|An-A|＜ε.①(極限定義)同理對同一正數(shù)ε,存在正整數(shù)N?,使n＞N?時恒有|Bn-B|＜ε.② 設N=max{N?,N?},由上可知當n＞N時①②兩式全都成立.此時|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正數(shù),所以2ε也是任意正數(shù).即:對任意正數(shù)2ε,存在正整數(shù)N,使n＞N時恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由極限定義可知,lim(An+Bn)=A+B.為了證明法則2,先證明1個引理.引理2:若limAn=A,則lim(C·An)=C·A.(C是常數(shù))證明:∵limAn=A, ∴對任意正數(shù)ε,存在正整數(shù)N,使n＞N時恒有|An-A|＜ε.①(極限定義)①式兩端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正數(shù),所以Cε也是任意正數(shù).即:對任意正數(shù)Cε,存在正整數(shù)N,使n＞N時恒有|C·An-CA|＜Cε.由極限定義可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的話更好證)

法則2的證明: lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法則1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.為了證明法則3,再證明1個引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,則lim(An·Bn)=0.證明:∵limAn=0, ∴對任意正數(shù)ε,存在正整數(shù)N?,使n＞N?時恒有|An-0|＜ε.③(極限定義)同理對同一正數(shù)ε,存在正整數(shù)N?,使n＞N?時恒有|Bn-0|＜ε.④ 設N=max{N?,N?},由上可知當n＞N時③④兩式全都成立.此時有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε2.由于ε是任意正數(shù),所以ε2也是任意正數(shù).即:對任意正數(shù)ε2,存在正整數(shù)N,使n＞N時恒有|An·Bn-0|＜ε2.由極限定義可知,lim(An·Bn)=0.法則3的證明:令an=An-A,bn=Bn-B.則liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法則1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴l(xiāng)im(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法則1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理

3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,則存在正整數(shù)N和正實數(shù)ε,使得對任何正整數(shù)n>N,有|Xn|≥ε.證明：取ε=|L|/2>0,則存在正整數(shù)N,使得對任何正整數(shù)n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε

引理5: 若limAn存在,則存在一個正數(shù)M,使得對所有正整數(shù)n,有|An|≤M.證明：設limAn=A,則存在一個正整數(shù)N,使得對n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我們?nèi)=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可

法則4的證明: 由引理4,當B≠0時(這是必要條件),?正整數(shù)N1和正實數(shù)ε0,使得對?正整數(shù)n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又?正數(shù)M,K,使得使得對所有正整數(shù)n,有|An|≤M,|Bn|≤K.現(xiàn)在對?ε>0,?正整數(shù)N2和N3,使得: 當n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)； 當n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)； 現(xiàn)在,當n>max(N1,N2,N3)時,有 |An/Bn-A/B| =|An*B-Bn*A|/|B*Bn| =|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn| ≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε

法則5的證明: lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方)(法則3)....(往復k-1次)=(limAn)的k次方 =A的k次方.

第二篇：數(shù)列極限的證明

例1 設數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因為

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因為

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因為

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.

第三篇：數(shù)列極限的證明

例1 設數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??（Ⅱ）解法1 因為

?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?

?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1

?sinx??lim??x?0x??解法2 因為

1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因為

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故

11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2

?e?16.

第四篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此類推，改變數(shù)列下標可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……

|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)2 只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。用數(shù)學歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②證明{x(n)}有上界。x(1)=1<4，設x(k)<4，則

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。3 當0 當0 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，則：t>

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。Lim就省略不打了。。

第五篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數(shù)列下標可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當0

當0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質(zhì)就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以后會學的)

第三題，n趨于無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0