第二篇：基本初等函數教學反思

初中我們學習了一次函數、二次函數、反比例函數三類初等函數，必修一中我們又要學習另外三種初等函數----指數函數、對數函數、冪函數。在前兩章中我們已經學習了函數的概念、函數的基本性質——單調性、奇偶性，我在教學學過程中就將這些性質和初中學習的函數進行結合，分析討論這些函數的相關性質。指數函數、對數函數、冪函數的研究也是以這些基本性質為出發點，來進行研究的。實質是對函數性質研究的延續。我主要談一下我在教學對數函數的圖像和性質方面的感受。

指數函數和對數函數間有著密不可分的關系，它們的性質有好多的相似指處，因此在教學過程中，我比較注重培養學生運用對比、類比的數學思想去學習對數函數函數。；同時從數形結合的角度去感性認識對數函數的性質，這樣可以把函數的抽象性以更為直觀的形式表現出來；在教學過程中，我還適時運用肢體語言讓同學們感知函數圖像，從而比較自然地使學生能盡快記住函數圖像的樣子，有了圖像性質全部寫在圖上。數形結合這種重要的數學思想貫穿整個高中數學，應該逐漸使學生養成運用意識。學生對函數性質的把握還是不錯的。

但是，對于新知的理解和接受需要一個過程，就像我們人與人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個認識的過程。由于課程時間安排比較緊，我們不可能停下來認識，一個學期或一個學年后發現好多學生已經將對數函數、指數函數的性質忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時的月考內容安排有關系，我們的月考內容應該是之前的全部學習內容，非本學期的前面的知識要占一定比例，但是我們的安排都是本月學習什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應該在這方面改進一下。

第三篇：《集合與函數概念》復習資料

《集合與函數概念》復習資料

一、知識結構：

知識要點填空：

1．常用的數集及其記法：

非負整數集（自然數集）：

；正整數集：

；整數集：

；有理數集：；

實數集：

2．如果是集合的元素，就說屬于集合，記作

；如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作

.3．

任何一個集合是它本身的，即

.空集是任何集合的，即

.對于集合如果且那么

.4．

若集合中有個元素，則這個集合的子集有

個，真子集

個，非空子集

個，非空真子集

個。

5．并集：=

A

B

交集：=

A

B

補集：=

U

A

6.函數的定義：設是兩個，如果按照，使對于集合中的元素，在集合中都有

元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個函數。叫做，其取值范圍叫，與相對應的值叫做，所組成的集合叫。

7.函數構成的三要素：。

8.求函數的定義域要注意：分式中，；偶次根式中，；對于，要求

；實際問題實際考慮；由幾部分數學式子組成的函數，求出各部分的定義域再取。

定義域

值域

一次函數

二次函數

反比例函數

9.如果兩個函數的相同，相同，我們就稱這兩個函數相等。

10.所謂“分段函數”，習慣上指在定義域的不同部分，有不同的的函數。分段函數是

個函數，它的定義域是各段定義域的，值域是各段值域的。

11．設是兩個，如果按照某一個確定的對應關系，使對于集合中的任意一個元素，在集合中都有唯一的一個元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個映射。

函數是一種特殊的映射，映射是函數的推廣。

12．用定義證明函數單調性的步驟：取值，任取，且

；作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法向有利判斷其符號的方向變形；定號，確定的正負，當符號不確定時要進行分類討論；

下結論，當

時，函數為增函數，當

時，為減函數。

13．利用定義判斷函數奇偶性：考察函數的定義域，若不對稱，則為

；若對稱，則繼續判斷；判斷

或

是否成立，若，則為偶函數；若，則為奇函數；若都不成立，則為。

14．奇函數的函數圖象關于

對稱，偶函數的函數圖象關于

對稱。

第四篇：函數與基本初等函數2.6冪函數(作業)

響水二中高三數學（理）一輪復習作業 第二編 函數與基本初等函數Ⅰ

主備人

張靈芝

總第9期

§2.6冪函數

一、填空題 1.設α∈{-1,1,12α ,3}，則使函數y=x定義域為R且為奇函數的所有的α值為.α2.冪函數f(x)=x(α是有理數）的圖象過點（2，m2?m?214），則f(x)的一個單調遞減區間是.3.如果冪函數y=（m-3m+3）x

2的圖象不過原點，則m的取值是.4.如圖所示，曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次為.2??1?x,5.設函數f(x)=?2??x?x?2,312四個值，則相應的曲線C1，C2，x?1,x?1，則f（1)的值為.f(2)6.設f(x)=x+x,則對任意實數a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.127.當0

2121D上封閉.若定義域D=（0，1），則函數①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封閉的是.（填序號即可）

二、解答題 9.求函數y=x

1m2?m?1(m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調性.

10.已知f(x)=x ?n2?2n?3（n=2k,k∈Z）的圖象在［0，+∞）上單調遞增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x2?4x?5211.指出函數f（x）=2的單調區間，并比較f（-?）與f(-)的大小.

x?4x?42

12.已知函數f(x)=x?x513?13，g(x)=

x?x513?13.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調區間；

（2）分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有 不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.

第五篇：示范教案(第2章 函數概念與基本初等函數Ⅰ 2.3.2)

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2.3.2 對數函數

整體設計

教材分析

對數函數是我們學習了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、指數函數等最簡單的函數后，在新的知識平臺上系統研究的又一類基本初等函數.對數函數的有關知識是以對數概念和運算法則、換底公式作為基礎知識來學習的.對數函數的圖象是對照指數函數的圖象，運用計算機(器)描繪出來的，通過比較分析來研究對數函數的性質，對數函數的教學可利用類比指數函數的教學進行.對數函數的概念是通過一個關于細胞分裂次數的實際問題提出的，這說明對數函數的概念來自于實踐，便于學生接受，但在教學中，學生往往容易忽略定義域，因此，要結合指數式強調說明對數函數的定義域.本章節教學的重點是對數函數的圖象和性質、會求簡單對數函數的定義域、值域.在研究對數函數的時候，底數的取值范圍對圖象的影響(即單調性的影響)是本節的一個教學難點，因此在教學過程中可以通過指數函數的的圖象對比著學習，加強學生數形結合的思想.在比較系統的學習對數函數的定義、圖象和性質的基礎上，利用對數函數的圖象和性質研究一些含有對數式的、形式上比較復雜的函數的圖象和性質、復合函數的奇偶性、單調性也成為本節的教學難點.三維目標

1.理解對數函數的概念，能正確描繪和辨別對數函數的圖象.2.掌握對數函數的性質及簡單應用.3.通過對數函數的概念、圖象和性質的學習，使學生分清指數函數和對數函數這兩類基本的初等函數在研究方法上的異同之處.使學生體會到知識之間的有機聯系以及蘊含在其中的數學思想和方法.4.通過對數函數的有關性質的研究，加深對對數函數和指數函數的性質的理解，深化學生對函數圖象變化規律的理解，培養學生觀察、分析、歸納的思維能力以及數學交流能力.5.通過對數函數的學習，樹立相互聯系、互相轉化的觀點，滲透數形結合的數學思想，增強學生的學習積極性，同時培養學生與人合作、共同探討的優良品質.重點難點

教學重點：

1.對數函數的概念、圖象、性質以及應用.2.對數函數的特性以及函數的通性在解決有關問題中的靈活使用.教學難點：

1.對數函數的底數的變化對函數圖象的影響，對于含參數的對數式滲透分類討論思想.2.函數圖象的平移、翻轉變化以及復合對數式函數的圖象研究.課時安排

3課時

教學過程

第一課時

對數函數(一)導入新課

設計思路一(復習導入)

1.在前面通過系統地學習指數和對數這兩種運算，請同學們回顧指數冪運算和對數運算的定義并說出這兩種運算的本質區別.2.回顧指數函數定義、圖象和性質，并繪制指數函數圖象，根據圖象指出指數函數的相關性質(定義域、值域、過定點、單調性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底數a和指數b，求冪值N，就是指數問題；

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已知底數a和冪值N，求指數b，就是我們前面剛剛學習過的對數問題，而且無論是求冪值N還是求指數b，結果都只有一個，有指數函數，那么也有對數函數.設計思路二(情境導入)

x

在某細胞分裂過程中，細胞個數y是分裂次數x的函數y=2.因此，當已知細胞的分裂次數x的值(即輸入值是分裂次數x)，就能求出細胞個數y的值(即輸出值是細胞個數y),這樣，就建立起細胞個數y和分裂次數x之間的一個關系式，你還記得這個函數模型的類型嗎？ 反過來，在等式y=2x中，如果我們知道了細胞個數y，求分裂次數x，這將會是我們研究的哪類問題？

x

能否根據等式y=2，把分裂次數x表示出來？

在關系式x=log2y中每輸入一個細胞個數y的值，是否一定都能得到唯一一個分裂次數x的值？

(生思考，并交流思考結果，師總結)

我們通過研究發現：在關系式x=log2y中把細胞個數y看作自變量，則每輸入一個y的值，都能得到唯一一個分裂次數x的值，根據函數的定義，分裂次數x就可以看作是細胞個數y的函數，這樣就得到我們生活中的又一類與指數函數有密切關系的函數模型——對數函數.這就是我們下面將要研究的問題.推進新課

新知探究

在前面學習中所提到的放射性物質，經過時間x(年)與物質剩留量y的關系為y=0.84x，我們也可把它寫成對數式：x=log0.84y，其中時間x(年)也可以看作物質剩留量y的函數，可見這樣的問題在實際生活中還是不少的.一般地，函數y=logax(a＞0，a≠1)叫做對數函數，由對數概念可知，對數函數y=logax的定義域是(0，+∞).合作探究：為什么對數函數的定義域是(0，+∞)？

函數y=logax和函數y=ax(a＞0，且a≠1)的定義域、值域之間有什么關系？

分析：由指數式和對數式的相互轉化可得到：對數函數的定義域就是相應指數函數的值域，對數函數的值域就是相應指數函數的定義域.由指數函數的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，故對數函數的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞).由此探究可以得出，研究對數函數的相關性質完全可以由指數函數入手研究，因為兩者之間是緊密聯系的，根據我們研究指數函數的經歷，你覺得下面應該學習什么內容了？ 請回顧一下指數函數的圖象的研究過程，根據對數的定義，列舉幾個對數函數的解析式，并嘗試在同一坐標系內作出它們的圖象.合作探究：借助于計算器或計算機在同一坐標系內畫出它們的圖象，并觀察各組函數的圖象，探究它們之間的關系.(1)y=2x，y=log2x；

(2)y=(12)x，y=log1x；

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(組織學生討論，互相交流自己獲得的結論，師用多媒體顯示以上兩組函數圖象，借助

x于《幾何畫板》軟件動態演示圖象的形成過程，揭示函數y=

2、y=log2x圖象間的關系及函數y=(12)x，y=log1x圖象間的關系，得出如下結論)

2結論：(1)函數y=2和y=log2x的圖象關于直線y=x對稱；

(2)函數y=(12x)和y=log1x圖象也關于直線y=x對稱.2x

合作探究：分析你所畫的兩組函數圖象,看看一般的指數函數與對數函數圖象有什么關系？即當a＞0，且a≠1時，函數y=ax，y=logax的圖象之間有什么關系？

結論：函數y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱.觀察歸納：觀察課本第66頁圖233的函數圖象，對照指數函數的性質，你發現對數函數y=logax的哪些性質？

對數函數的圖象與性質

a＞1

0＜a＜1 圖象

(1)定義域：(0，+∞)；

性質

(2)值域：R；

(3)過點(1，0)，即當x=1時，y=0；

(4)在(0，+∞)上是單調增函數；(4)在(0，+∞)上是單調減函數

函數y=ax稱為y=logax的反函數，反之，y=logax稱為y=ax的反函數.一般地，如果函數y=f(x)存在反函數，那么它的反函數記作y=f-1(x).應用示例

例

1求下列函數的定義域：

(1)y=log0.2(4-x)；

(2)y=loga

(3)y=logx?1(a＞0，a≠1)；

12(5x?3).解：(1)由題意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鴻智業信息技術有限公司

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所以函數y=log0.2(4-x)的定義域為{x|x＜4}.(2)由題意可得x?1＞0，又因為偶次根號下非負，所以x-1＞0，即x＞1，所以函數y=logax?1(a＞0，a≠1)的定義域為{x|x＞1}.(3)由題意可得要偶次根號下非負，又因為真數要大于0，?log1(5x?3)?0,?5x?3?1,??2

所以?即? 3??x?,?5x?3?0,5?

解得35＜x≤45，(5x?3)的定義域為{x|

5故函數y=log12＜x≤

45}.點評：解決有關函數求定義域的問題時可以從以下幾個方面考慮，列出相應不等式或不等式組，解之即可.①若函數解析式中含有分母，則分母不等于0；

②若函數解析式中含有根號，要注意偶次根號下非負；

③0的0次冪沒有意義；

④若函數解析式中含有對數式，要注意對數的真數大于0.求函數的定義域的本質是解不等式或不等式組.問題①：請大家課后總結在求對數函數定義域時需要注意哪些問題？ 問題②：在建立不等式組求解的過程中，你認為哪些地方比較容易出錯？

例2

比較下列各組數中兩個數的大小：

(1)log23.4，log23.8；

(2)log0.51.8，log0.52.1；

(3)log20.8，log0.52.5；

(4)loga5.1，loga5.9；

(5)log75，log67.分析：(1)(2)兩個對數是同底數的，故可直接根據單調性進行比較；(3)雖然不同底但是可以化為同底數的對數，然后再利用單調性進行比較；(4)的底數是個參數，遇到參數的題討論是必不可少的，于是分類討論，當a＞1時，函數是增函數，當0＜a＜1時，函數是減函數.(5)是上述所說情況中沒有的，不能化同底，那么只能尋求中介值進行比較，一般都找1或0作為中介值.解：(1)考查函數y=log2x，因為它的底數是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是單調增函數.又因為0＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

(2)考查函數y=log0.5x，因為它的底數是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是單調減函數.又因為0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

(3)考查兩個log20.8，log0.52.5的底數不相同，但是出現的是2和0.5，故可轉化同底log20.8與log20.4的大小比較，與(1)同，因為log20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；

(4)當a＞1時，函數y=logax在(0，+∞)上是單調遞增的,所以loga5.1＜loga5.9；當0＜a＜1時，函數y=logax在(0，+∞)上是單調遞減的,所以loga5.1＞loga5.9；

(5)考查函數y=log7x，因為它的底數是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是單調增函數.又因為0＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鴻智業信息技術有限公司

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點評：本例是利用對數函數的單調性來比較兩個對數式的大小的問題，一般是根據所給對數式的特征，確定一個目標函數，把需要比較大小的對數式看作是對應函數中兩個能比較大小的自變量的值對應的函數值，再根據所確定的目標函數的單調性比較對數式的大小.當底數為變量時，要分情況對底數進行討論來比較兩個對數的大小.例

3已知logm4＜logn4，試比較m，n的大小.分析：要比較的兩個對數真數相同，屬于比較底數的大小的問題，所以和前面例2很類似，但是不同的是沒有給出它的符號，所以難度要大點，但是m，n的范圍都是大于0且不等于1的實數，于是解答時要對m，n的范圍進行討論，此時要利用分類討論的思想.解：logm4＜logn4?1log4m?1log4n，當m＞1，n＞1時，有0＜

1log4m?1log4n，所以log4n＜log4m，此時m＞n＞1.當0＜m＜1，0＜n＜1時，有

1log4m?1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此時0＜n＜m＜1.當0＜m＜1，n＞1時，有log4m＜0，0＜log4n，此時滿足.所以0＜m＜1＜n.綜上所述，m，n的大小關系為m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.點評：本題也可通過作圖形進行觀察比較，在此不作詳解，請學生自己完成.例

4求下列函數的值域：

(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；

(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x?1)(-3≤x≤1).分析：由對數函數的圖象可得定義域為(0，+∞)，值域為R.所以在求對數函數的值域時要結合圖象，根據對數函數的單調性來求解.對于形式上比較復雜的則要先求出定義域，根據具體的形式作出判斷，從內到外進行求解.解：(1)因為2＞1，所以函數y=log2x為增函數，當x≥1時，log2x≥0，所以函數y=log2x+2(x≥1)的值域為[2，+∞).(2)因為0＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函數y=log

所以log4＜log(x+1)＜log12x為減函數，1212121，即得值域為(-2，0).(3)由題意可得2-x＞0，即得當x＜2時，函數的值域為R.2

(4)令t=x+1，則當-3≤x≤1時，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函數y=log2(x?1)

2(-3≤x≤1)的值域為[0，log210].點評：前面兩個比較容易接受，(3)理解有點困難，教學時要強調當x＜2時，真數2-x能取到所有的大于0的實數，所以值域為R；(4)是個根式和對數復合的函數求值域的問題，中鴻智業信息技術有限公司

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此時要先求根式里面的對數的范圍，再結合根式有意義最終寫出值域.知能訓練

一、課本第69頁練習1、3.2二、1.求函數y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定義域.2.比較下列各題中兩個值的大小:

(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；

(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比較正數m，n的大?。?/p>

(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；

(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.將0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的順序是：____________.解答：

一、1.圖略，y=log3x與y=log1x的圖象關于x軸對稱.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；

(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由對數函數的定義知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函數y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定義域為{x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)當a＞1時，m＞n＞0；當0＜a＜1時，0＜m＜n.4.因為0＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log

2課堂小結

1.對數函數的概念.2.對數函數的圖象和性質.3.會求對數函數的定義域.4.利用對數函數的性質比較大小的一般方法和步驟.作業

課本第70頁習題2.3(2)1、2、3.設計感想

本節是對數函數第一課時，主要教學目標就是講解對數函數的概念，會求簡單的對數函數的定義域，根據單調性比較對數大小.教學中通過計算器列表描點或幾何畫板來刻畫對數函數圖象，在教學中讓學生在同一個坐標系畫出同底數的指數函數和對數函數圖象，將指數函數和對數函數作比較發現它們的圖象是關于直線y=x對稱的.從中發現指對數函數的定義域和值域之間的關系，即對數函數中的定義域就是指數函數中的值域，對數函數中的值域就是指數函數中的定義域.在教學中充分利用圖象，幫助學生理解底數a的取值對圖象的影響(即確定函數的單調性)，對數函數的定義域為正實數這也是個難點，學生在解題中很容易漏掉.講解定義域時，要注意函數求定義域時需要注意的一些問題，尤其是復合函數的定義域要保證每個部分都要有意義.利用對數函數的單調性進行對數的大小比較時，要讓學生觀察當底數相同時如何比較，當底數不同時又怎樣比較.對于真數相同而底不同的對數大小比較

223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鴻智業信息技術有限公司

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可以采取取倒數化同底，也可以利用圖象的特征進行觀察比較.關于對數求值域的問題，在此只要講解比較簡單的對數求值域，即利用對數函數的單調性進行觀察求解，關于含有對數式的復合函數的值域在此涉及的不多，到講含對數式復合函數的圖象和性質后再作加強訓練.(設計者：顧文艷)

第二課時

對數函數(二)

導入新課

將函數y=2的圖象通過怎樣的變換可得到y=2的圖象以及y=2+1的圖象？

xx+1x

結論：將y=2的圖象向左平移一個單位可得到y=2的圖象，將y=2的圖象向上平移一個單位可得到y=2x+1的圖象.那么如何由函數y=2的圖象得到函數y=2

(學生回答，老師顯示如下結論)

結論：(1)由函數的y=2圖象得到函數y=2的圖象的變化規律為：

當a＞0時，只需將函數y=2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數y=2x+a的圖象.當a＜0時，只需將函數y=2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數y=2x+a的圖象.(2)由函數的y=2x圖象得到函數y=2x+b的圖象的變化規律為：

當b＞0時，只需將函數y=2的圖象向上平移b個單位就可得到函數y=2+b的圖象.當b＜0時，只需將函數y=2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數y=2x+b的圖象.以上的變化規律是否對于對數函數也同樣適用？如何畫y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比較復雜的函數圖象呢？這將是本節課我們所要討論的主要問題.推進新課

新知探究

在同一個坐標系作出下列函數圖象，并指出它們與對數函數y=log2x的圖象的關系：

(1)y=log2(x+1)與y=log2(x+2)；

(2)y=log2x+1與y=log2x+2.分析：要畫出一個函數的圖象，需要描繪圖象上的點，于是就要列表、描點然后連線.解：(1)列出下列的函數數據表：

y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x

0 1 0-1 2 1 0 4 3 2

0.5 2 2-1 2-2

x

x

x

x+a

x

x+ax

x+

1x的圖象呢？

-1 0.5-0.5-1.5

-2 0.25-0.75-1.75

通過上面的數據表，進行描點連線可以得到函數y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的圖象，如圖(1).由圖象上點的特征可以得出如下結論：

若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0-1，y0)必在函數y=log2(x+1)的圖象上.于是函數y=log2(x+1)的圖象就是由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位得到.若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0-2，y0)必在函數y=log2(x+2)的圖象上.于是函數y=log2(x+2)的圖象就是由函數y=log2x的圖象向左平移2個單位得到.(2)列出下列函數數據表：

函數 Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4

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y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5

通過上面的數據表，進行描點連線可以得到函數y=log2x+1和y=log2x+2的圖象，如圖(2).由圖象上點的特征可以得出如下結論:若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0，y0+1)在函數y=log2x+1的圖象上；對應點(x0，y0+2)在函數y=log2x+2的圖象上,于是，函數y=log2x+1的圖象可由函數y=log2x的圖象向上平移1個單位；函數y=log2x+2的圖象可由函數y=log2x的圖象向上平移2個單位得到.圖(1)

圖(2)

點評：通過列表、描點、連線繪圖的三步驟，可以畫出函數的圖象，并由圖形上點的特征觀察圖象之間的轉化關系.這樣便于學生學習和掌握圖象變化的規律.可參照課本第68頁例3.思考

如何由函數y=log2x的圖象得到函數y=log2(x-1)與函數y=log2x-1的圖象呢？并說出函數y=log2(x+a)和函數y=log2x+b的圖象以及函數y=log2(x+a)+b的圖象可由函數y=log2x的圖象經過怎樣的變換得到？

解：函數y=log2(x-1),y=log2x-1的圖象與函數y=log2x的圖象的變化規律如下：函數y=log2(x-1)的圖象是由函數y=log2x的圖象向右平移1個單位就得到；函數y=log2x-1的圖象是由函數y=log2x的圖象向下平移1單位就得到.由函數的y=log2x圖象得到函數y=log2(x+a)的圖象的變化規律為：

當a＞0時，只需將函數y=log2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數y=log2(x+a)的圖象.當a＜0時，只需將函數y=log2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數y=log2(x+a)的圖象.由函數的y=log2x圖象得到函數y=log2x+b的圖象的變化規律為：

當b＞0時，只需將函數y=log2x的圖象向上平移b個單位就可得到函數y=log2x+b的圖象.當b＜0時，只需將函數y=log2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數y=log2x+b的圖象.由函數y=log2x的圖象得到函數y=log2(x+a)+b的圖象的變化規律為：

先將函數y=log2x的圖象向左(當a＞0時)或向右(當a＜0時)平移|a|個單位，得到函數y=log2(x+a)的圖象，再將函數y=log2(x+a)的圖象向上(當b＞0時)或向下(當b＜0時)平移|b|個單位就可得到函數y=log2(x+a)+b的圖象.點評：由列表繪制的圖象同樣可觀察出對應圖象上點之間的關系，從而得出函數圖象之間的變換關系.當函數y=log2x中的自變量x變為x+a的時候，此時函數y=log2(x+a)的圖象就是由函數y=log2x的圖象進行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).當在函數整體后變化時，即f(x)變為f(x)+b時，此時函數y=log2x+b的圖象是由函數y=log2x的圖象進行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).對于圖象進行多次平移變換所得的函數圖象，則要將上述的兩種情況合起來，先進行左右平移，再將所得圖象進行上下平移，對于平移的先后順序

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是沒有影響的.應用示例

例

1探究函數y=-logax、y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象之間的關系.分析：我們需找出函數圖象上對應點的坐標之間的關系.若點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數y=-logax的圖象上，所以函數y=-logax的圖象和函數y=logax的圖象關于x軸對稱；若點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(-x0，y0)在函數y=loga(-x)的圖象上，所以函數y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象關于y軸對稱.(有條件的學?？梢岳脦缀萎嫲遄寣W生直接觀察得出結論)

解：設點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數y=-logax的圖象上；點(-x0，y0)在函數y=loga(-x)的圖象上，所以函數y=-logax的圖象和函數y=logax的圖象關于x軸對稱；函數y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象關于y軸對稱.點評：函數圖象上的對應點若關于x軸對稱，則函數圖象就關于x軸對稱；若函數圖象上的對應點關于y軸對稱，則函數圖象就關于y軸對稱.例

2畫出函數y=log2|x|的圖象，并根據圖象寫出它的單調區間.分析：對于遇到含絕對值的問題的時候，基本思想方法是去掉絕對值，于是就要用到分類討論的思想方法，將函數y=log2|x|寫成分段函數的形式，然后在畫圖象就比較簡單了，那么在本題中如何去掉絕對值呢？去掉絕對值以后又該怎么辦呢？

(學生回答，老師板書如下)

?log2x,x?0,解：由于y=log2|x|=?

log(?x),x?0.2?

當x＞0時，畫出函數y=log2x的圖象；當x＜0時，畫出函數y=log2(-x)的圖象.如圖所示：

由圖象可得函數y=log2|x|的單調增區間為：(0，+∞)；單調減區間為(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉絕對值畫出圖象，你還能想到用其他的方法解答嗎？

(學生相互交流)

結論：由于函數y=log2|x|是偶函數，所以只要先畫出函數y=log2x(x＞0)的圖象，再將函數y=log2x(x＞0)的圖象關于坐標軸y軸對稱過來，就可得到y=log2|x|(x＜0時)的圖象，兩部分合起來就是函數y=log2|x|的圖象.例

3已知函數f(x)=log12(1-x)，(1)求此函數的定義域，值域；(2)判斷它的單調性并證明你的結論，并指出單調區間.分析：對數函數的定義域只要真數大于0，值域必須在定義域的范圍內先求內函數的值域，然后根據底數的取值確定外函數的單調性，根據外函數的單調性把值域求出即可.對于函數單調性的證明，要在定義域內任取兩個值，然后根據函數單調性的證明方法和步驟對函數值進行作差或作商比較，進而判斷單調性，求出單調區間.解：(1)因為1-x＞0，即x＜1，所以函數f(x)=log12(1-x)的定義域為(-∞,1)；

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因為函數f(x)=log值域為：R.(2)函數f(x)=log1212(1-x)的定義域為(-∞，1)，當x∈(-∞,1)時，有1-x＞0，所以函數的(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調遞增.證明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，則有

f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1?x1121?x21?x11?x2，因為x1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得

＞1，所以f(x1)-f(x2)=log

所以函數f(x)=log1?x1121?x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調遞增.例

4判斷下列函數的奇偶性:

(1)函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；

(2)函數f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判斷函數奇偶性的方法和步驟請學生回顧一下，首先定義域要關于原點對稱，然后看f(-x)與f(x)之間的關系，解答如下：

解：(1)由題意可得??x?1?0,?x?1?0即??x??1,?x?1,解得x＞1，所以函數f(x)的定義域為(1，+∞)，不關于原點對稱，所以函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函數.?x?1?0,?x??1,(2)由題意可得?即?解得-1＜x＜1，所以函數f(x)的定義域為(-1，1)，1?x?0x?1,??定義域關于原點對稱，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函數f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函數.點評：在判斷函數奇偶性的時候，一定要保證定義域關于原點對稱，這點學生在解題時很容易遺漏，所以老師在講解時一定要強調.有些學生會根據對數函數的運算法則將函數進行化簡，這個想法很好，但是一定要注意在化簡的時候注意不要改變函數的定義域，化簡的基本要求是實施的是等價變形.如(1)，有學生會發生下面出現的錯解：

因為函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定義域為x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)為偶函數.因此老師在講解時特別要注意這一點，避免出現上述不該出現的錯誤.知能訓練

課本第69頁練習2、4、5.解答：

2.(1)因為2x+1＞0，所以x＞?1212，所以函數y=log2(2x+1)的定義域為(?，+∞).中鴻智業信息技術有限公司

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2因為y=log2(2x+1)=1+log2(x+函數y=log2(x+1212)，所以先將函數y=log2x的圖形向左平移

12個單位得到)的圖象，再將函數y=log2(x+)的圖象向上平移1個單位就可得到函數y=log2(2x+1)的圖象.如圖(一).圖(一)

圖(二)

(2)因為1x?11x?11x?1＞0，所以x＞1，所以函數y=lg的定義域為(1，+∞).因為y=lg=-lg(x-1)，所以將函數y=lgx的圖形向右平移1個單位得到函數y=lg(x-1)的圖象，再將函數y=lg(x-1)的圖象作關于x軸對稱所得到的圖象就是所求函數的圖象.如圖(二).4.解：(1)由題意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.?2x?1?0??x=3.(2)由題意可得：?x2?2?0?2?2x?1?x?2?x?1?0?x=2.(3)由題意可得：??x?1?x?

15.解：(1)由題意可得3x+5=3?x=-

23.12

(2)由題意可得2x=log212=2+log23?x=1+

(3)由題意可得1-x=log32?x=1-log32.log23.課堂小結

前面一節課主要學習了對數函數的概念，那么這節課主要是為了加深對對數函數圖象以及性質的學習而給出的.講解了對數函數的圖象變換，即左右平移和上下平移以及關于軸對稱和關于原點對稱圖象的畫法，會作出函數圖象并能根據圖象準確地求出函數的單調區間；能根據定義判斷含對數式的復合函數的奇偶性和單調性，定義域一定要首先考慮.作業

1.課本第70頁習題2.3(2)、4、5、6、8.2.請大家利用計算機作出函數y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的圖象，加深對函數圖象變換的規律的理解；隨意畫一個函數y=f(x)的圖象，觀察函數y=f(|x|)的圖象和函數y=|f(x)|的圖象，看看它們的圖象之間的變換關系又如何.是否與本節課得到的變化規律一致.寫出你的結論，并加以相關的解釋說明.設計感想

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這節課的圖象比較多，所以在剛開始的時候針對不同層次的學生，在這里直接給出幾個函數的圖象和圖象上相關點的坐標，讓他們從圖象上一些具體的點觀察圖象之間的關系并得出結論，然后由具體的例子從特殊性推廣到一般性，從而達到對知識的學習和掌握.例1和例2給出了圖象關于軸對稱的關系式和畫法，例3和例4解決了含對數式的復合函數的定義域、值域的求解和單調性、奇偶性的判斷，講解時要利用相關的數學工具作出圖象讓學生從直觀上掌握圖形變換，也為以后我們學習圖象的變換打下堅實的基礎.(設計者：趙家法)

第三課時

對數函數(三)導入新課

回顧前面所學有關對數函數的相關內容：

1.對數函數的概念.2.對數函數的圖象和性質以及相應指數函數圖象之間的關系.3.利用對數函數的單調性進行對數大小比較.4.求解對數函數的定義域要注意真數大于0，遇到對數函數的復合形式要注意根據條件建立不等式組進行求解；求對數函數的值域要根據單調性進行求解.5.掌握對數函數圖象平移的變化規律以及圖象的翻轉，并能根據圖象寫出單調區間.6.利用定義判斷對數函數的單調性和奇偶性.今天我們來繼續學習對數函數的性質，并利用對數函數的性質解決一些比較復雜的綜合問題.在指數函數的學習過程中，我們學習了利用指數函數的單調性求解不等式，以及指數函數和其他函數復合形式的相關問題，如復合函數的單調性的判斷以及單調區間的求解問題.我們已經學習了一些對數函數基本的性質，這節課我們來學習對數函數的單調性在對數方程以及對數不等式中的應用；復合函數單調區間的求解等復合函數的綜合應用.應用示例

例

1解下列方程：

(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化為(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，則t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因為t＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集為{x|x=2}.2(2)令t=log2x，則原方程可化為t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因為t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1

2所以原方程的解集為{x|x=或x=8}.點評：本例題是解指對數方程的問題，遇到這種類型的題目時，應設法將方程化為可解的代數方程的形式，利用換元法將方程轉化為我們比較熟悉的代數方程進行求解，最后再求出本題的解，其中要對求出的解進行檢驗，這一點要對學生多強調.例2

求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；

(2)logx(3x-2)＞2.分析：解對數不等式時，若底數相同則直接根據對數的單調性建立不等式組，注意真數大于0不要遺漏；若對數的底數不相同，則根據運算法則化為底數相同，然后建立不等式組進行求解；若底數是個參數，則要進行分類討論.解：(1)因為a=2＞1，所以函數y=log2x為單調遞增函數，中鴻智業信息技術有限公司

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?x??1?x?1?0?11??

則有?2x?1?0＜x＜2.??x??22?x?1?2x?1????x?2

所以不等式的解集為{x|

12＜x＜2}.(2)由題意可知要對x進行分類討論，?x?1?

當底數大于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?1＜x＜2；

?2?3x?2?x?0?x?12?

當底數大于0且小于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?＜x＜1.3?2?3x?2?x

綜上可得，原不等式的解集為{x|

23＜x＜2且x≠1}.點評：利用對數函數的單調性求解對數不等式時，要注意以下幾點：定義域要考慮；利用單調性得到正確的不等式；當底數為自變量x時，對x進行討論所得不等式的解集最后要合并；當底數為參數a時，對a討論所得不等式的解集不能合并，要分開給出.老師在講解時一定要強調這一點，因為學生對最后的結果該如何寫掌握的還不是很好.例

3已知x∈[2，4]，求函數y=log12x-log1x+5的值域.4

4分析：本題采用換元法將函數化為一元二次函數，然后利用單調性求函數的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤?444412.又y=u2-u+5=(u?當u=?1212)2+

194?，在u∈[-1，12]上單調遞減，所以當u=-1即x=4時，ymax=7；

234即x=2時，ymin=

234，所以函數的值域為[，7].點評：利用函數單調性是求函數的最值或值域的主要方法之一，而換元法是化歸的常用手段.若函數形式比較復雜則要通過相關變換找出換元的部分，然后利用單調性進行最值的求解，進而求出函數的值域.例4

求函數y=log0.2(x-x2)的單調區間.分析：對于復合函數單調區間的求解問題，要先求函數的定義域，再利用復合函數的單調性求解.解：設t=x-x=-(x?2

12)+

14，則有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函數的定義域為(0,1).在(0，12]上t隨x的增大而增大，而y隨t的增大而減小，所以y隨x的增大而減小，中鴻智業信息技術有限公司

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即函數在區間(0，12]上是減函數；在[

12，1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減

12小，所以y隨x的增大而增大，即函數在區間[

所以函數y=log0.2(x-x2)的增區間為[

12，1)上是增函數.12，1)，減區間為(0，].點評：判斷復合函數單調性以及求單調區間的時候，要注意先求函數的定義域，然后依據復合函數單調性的判斷方法，遵循增、增為增，減、減為增，增、減為減的原則.當對數函數的底數為參數時，則要對底數進行分類討論.例

5求證：函數f(x)=loga

1?x1?x(0＜a＜1)是減函數.分析：對于函數單調性的證明一般利用定義來證明.證明：由

設g(x)= 1?x＞0可得-1＜x＜1，即函數的定義域為(-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1?x11?x11?x21?x22(x1?x2)(1?x1)(1?x2)1?x1?x1?x

則有g(x1)-g(x2)=??.因為-1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因為0＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函數f(x)=loga1?x1?x在定義域(-1，1)上是減函數.點評：本例是對數函數單調性的證明問題，利用定義直接證明即可，但是要考慮到定義域.本題中給出了底數的范圍，即0＜a＜1，由此可知外函數是單調遞減的.若沒有給出底數的具體范圍則要對底數進行討論.知能訓練

1.解下列方程：(1)9x?xx?123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化為

32x?2x3x?1=34，即32x?3x?12=34

于是有2x2-3x+1=4，解得x=543?433.(2)原方程可化為(45)x=1，所以x=0.2.函數y=logax在區間[2，10]上的最大值與最小值的差為1，則常數a=__________.解：當a＞1時，ymax=loga10，ymin=loga2，則有loga10-loga2=loga

102=loga5=1，所以a=5；

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210

當0＜a＜1時，ymax=loga2，ymin=loga10，則有loga2-loga10=loga

3.函數y=log

A.(-∞,3212=loga

15=1，所以a=

15.(x-3x+2)的遞增區間是（）

322]

B.(-∞,1)

C.[,+∞)

D.(2,+∞)

解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函數的定義域為(-∞,1)∪(2,+∞)

設t=x2-3x+2，則y=log以函數y=log1212t在(-∞,1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減小，所(x2-3x+2)在區間(-∞,1)上是增函數；在(2,+∞)上t隨x的增大而增大，而y隨

(x2-3x+2)在區間(2，+∞)上是減函數.綜上可得函數t的增大而減小，所以函數y=logy=log1212(x2-3x+2)的遞增區間是(-∞,1)，故選B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函數,則a的取值范圍是（）

A.(0，2)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解：由2-x＞0，解得函數的定義域為(-∞,2)，令t=2-x,則y=logat.在區間(-∞,2)上t隨x的增大而減小，而y是x的增函數,所以y隨t的增大而減小,即y是t的減函數，故0＜a＜1,選B.點評：此練習是針對本節課所講的內容而設計的，即對數方程的求解、對數不等式的求解、復合對數函數單調性的判斷以及單調區間的求解等問題.對學生的訓練很有幫助，通過練習使學生熟練掌握對數函數的相關性質，并學會思考問題，提高解決問題的能力.課堂小結

本節課是對對數函數性質的進一步學習，體會對數函數的單調性在解對數方程和對數不等式中的應用，加強分類討論思想在解題中的應用.添加了對數函數和二次函數的兩種復合以及和一次函數的復合問題，掌握復合函數單調區間的求法，先求定義域，再根據復合函數單調性的判斷方法進行判斷.作業

1.課本第70頁習題2、3(2)7、9、10、11、12.2.試總結求解對數方程、對數不等式、復合函數單調性的判斷以及單調區間的方法和步驟.設計感想

本節課是對對數函數的進一步學習，主要解決利用對數函數的單調性進行對數方程求解、對數不等式的求解，以及復合函數等相關問題.設計的題目有的比較簡單，基礎一般的學生比較容易接受和掌握；也有在難度上有所加深的題目，尤其加強了分類討論思想的應用.對于復合函數的問題，老師可根據所教班級的不同有所選擇地進行教學.教學中要注意強調對數函數的定義域，不管是在求解對數不等式還是求復合函數單調區間.接下來通過練習的訓練加深對本節課的學習，教學中老師可讓學生板演并進行點評，這樣效果會更好些.習題詳解

課本第70頁習題2.3(2)

1.這兩個函數的圖象關于x軸對稱.共同點為：定義域是(0，+∞)，值域是R，都過點(1，0)；不同點：函數y=log4x是定義域上的增函數，函數y=log1x是定義域上的減函數.4中鴻智業信息技術有限公司

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2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x?313，所以函數y=ln(3x-1)的定義域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函數的定義域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.證明：函數y=log0.5(3x-2)的定義域是（3x1?23x2?223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，則log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因為

＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x1?23x2?2＜1，可得到

log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5

3x1?23x2?2＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函數y=log0.5(3x-2)在定義域上是單調減函數.5.證明：設f(x)=lg1?x1?x，由

1?x1?x＞0得-1＜x＜1，即函數的定義域為(-1，1)，又對于

1?x1?x定義域(-1，1)內任意的x，都有f(-x)=lg=-lg

1?x1?x=-f(x)，所以函數y=lg

1?x1?x是奇函數.6.函數y=log2(x+1)的圖象可以由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位得到；函數y=log2(x-1)的圖象可以由函數y=log2x的圖象向右平移1個單位得到，這樣，將函數y=log2(x+1)的圖象向右平移2個單位就能得到函數y=log2(x-1)的圖象，或將函數y=log2(x-1)的圖象向左平移2個單位就能得到函數y=log2(x+1)的圖象，如圖所示.7.因為log25＞log24=2，log58=log525=2，所以

log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由圖可知，函數y=loga(x+b)的圖象過(0,2)點和(-2,0)點，將這兩點的坐標代入函數解析式可得：

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?a?3(?3舍去),?b?a2?logab? ? ?????loga(b?2)?0?b?2?1?b?3.9.比較對數函數底數的大小，只要作直線y=1，其交點的橫坐標的大小就是對數函數底數的大小，由圖可知，有以下關系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因為x出現在指數位置，所以本題要利用指數式與對數式的互化公式對x進行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=

所以x+1=log5923-x

92，所以x=log5x+2

92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；

(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；

(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；

(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定義域要考慮)

12.證明：對任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有

f(x1)?f(x2)2x1?x22?lgx1?lgx2212?lgx1x2,f（x1?x22)=lg

x1?x22，因為?x1x2=(x1?x2)≥0，所以

2x1?x22≥

x1x2，又因為f(x)=lgx

x1?x22是(0,+∞)上的增函數，所以lg

x1?x22≥lg

x1x2，即

f(x1)?f(x2)2≤f().中鴻智業信息技術有限公司