第一篇：高中數學 1.2.2充要條件教案 新人教A版選修2-1

福建省漳州市薌城中學高中數學 1.2.2充要條件教案 新人教A版選

修2-1(一)教學目標

1.知識與技能目標：

（１）正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件, 必要而不充分條件, 既不充分也不必要條件的定義．

（２）正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.（３）通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假,． 2.過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質． 3.情感、態度與價值觀：

激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．

（二）教學重點與難點

重點：

1、正確區分充要條件；

2、正確運用“條件”的定義解題 難點：正確區分充要條件．

教具準備：與教材內容相關的資料。

教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質．

（三）教學過程 學生探究過程： 1.思考、分析

已知p：整數a是2的倍數；q：整數a是偶數.請判斷： p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？ 分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q，要判斷p是否是q的必要條件，就要看q能否推出p．

易知：p?q，故p是q的充分條件； 又q ? p，故p是q的必要條件． 此時,我們說, p是q的充分必要條件 ２.類比歸納

一般地,如果既有p?q，又有q?p 就記作 p ? q.此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果p ? q,那么p 與 q互為充要條件.3.例題分析

例1：下列各題中，哪些p是q的充要條件？

2（１）p:b＝0,q:函數f(x)＝ax＋bx＋c是偶函數；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10

22（５）p: a ＞ b ,q: a ＞ b

分析：要判斷p是q的充要條件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p． 解：命題（１）和（３）中，p?q，且q?p，即p ? q，故p 是q的充要條件； 命題（２）中，p?q ,但q ?? p，故p 不是q的充要條件；

命題（４）中，p??q，但q?p，故p 不是q的充要條件； 命題（５）中，p??q，且q??p，故p 不是q的充要條件； ４．類比定義

一般地，若p?q ,但q ?? p，則稱p是q的充分但不必要條件； 若p??q，但q ? p，則稱p是q的必要但不充分條件；

若p??q，且q ?? p，則稱p是q的既不充分也不必要條件． 在討論p是q的什么條件時，就是指以下四種之一：

①若p?q ,但q ?? p，則p是q的充分但不必要條件；

②若q?p，但p ?? q，則p是q的必要但不充分條件；

③若p?q，且q?p，則p是q的充要條件；

④若p ?? q，且q ?? p，則p是q的既不充分也不必要條件． ５．鞏固練習：P14 練習第 1、2題

說明：要求學生回答p是q的充分但不必要條件、或 p是q的必要但不充分條件、或p是q的充要條件、或p是q的既不充分也不必要條件．

６．例題分析

例2：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．

分析：設p：d＝r，q：直線l與⊙O相切．要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可． 證明過程略．

例

3、設p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，則s成立．s是q的充分條件，問（1）s是r的什么條件？（2）p是q的什么條件？

７．教學反思： 充要條件的判定方法

如果“若p，則q”與“ 若p則q”都是真命題，那么p就是q的充要條件，否則不是． ８．作業：P1４：習題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題

7、教學反思

8、安全教育

第二篇：高中數學排列1.2.2排列的應用教學設計新人教A版選修2-3

第三課時 1.2.2排列的應用

教學目標：

掌握解排列問題的常用方法 教學重點：

掌握解排列問題的常用方法 教學過程

一、復習引入： 1．排列的概念：

從n個不同元素中，任取m（m?n）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的．．．順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一 ．．．個排列．．．說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 2．排列數的定義：

從n個不同元素中，任取m（m?n）個元素的所有排列的個數叫做從n個元素中取出mm元素的排列數，用符號An表示

注意區別排列和排列數的不同：“一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數；“排列數”是指從n個不同元素中，任取m（m?n）個元．．．．．

m素的所有排列的個數，是一個數所以符號An只表示排列數，而不表示具體的排列

3．排列數公式及其推導：

mAn?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）

2?1?n!（叫做n的階乘）n全排列數：An?n(n?1)(n?2)

二、講解新課：

解排列問題問題時，當問題分成互斥各類時，根據加法原理，可用分類法；當問題考慮先后次序時，根據乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法．當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中“相鄰”問題可以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等．

解排列問題和組合問題，一定要防止“重復”與“遺漏”．

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第三篇：高中數學 數學歸納法教案 新人教A版選修4-5

第一課時4.1數學歸納法

教學要求：了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.教學難點：數學歸納法中遞推思想的理解.教學過程：

一、復習準備：

1.分析：多米諾骨牌游戲.成功的兩個條件：（1）第一張牌被推倒；（2）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒.回顧：數學歸納法兩大步：（i）歸納奠基：證明當n取第一個值n0時命題成立；（ii）歸納遞推：假設n=k（k≥n0，k∈N*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.2.練習：已知f(n)?1?3?5????2n?1?,n?N*，猜想f(n)的表達式，并給出證明？過程：試值f(1)?1，f(2)?4，?，→ 猜想f(n)?n2→ 用數學歸納法證明.3.練習：是否存在常數a、b、c使得等式1?3?2?4?3?5?......?n(n?2)?

對一切自然數n都成立，試證明你的結論.二、講授新課：

1.教學數學歸納法的應用：

① 出示例1：求證1?1n(an2?bn?c)611111111??????????????,n?N* 2342n?12nn?1n?22n

分析：第1步如何寫？n=k的假設如何寫？ 待證的目標式是什么？如何從假設出發？ 關鍵：在假設n=k的式子上，如何同補？

小結：證n=k+1時，需從假設出發，對比目標，分析等式兩邊同增的項，朝目標進行變形.nn② 出示例2：求證：n為奇數時，x+y能被x+y整除.k+2k+22k2k2kk2k2k 分析要點：（湊配）x+y=x·x+y·y=x(x+y)+y·y－x·y

2kkk222kkk=x(x+y)+y(y－x)=x(x+y)+y·(y+x)(y－x).③ 出示例3：平面內有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任何三個圓都不相交于同一點，2求證這n個圓將平面分成f(n)=n－n+2個部分.分析要點：n=k+1時，在k+1個圓中任取一個圓C，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓C與k個圓有2k個交點，這2k個交點將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平

22面部分一分為二，故共增加了2k個平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k－k+2+2k=(k+1)－

(k+1)+2.2.練習：

① 求證

:(1?1)(1?)?????(1?

131)n∈N*）.2n?1

② 用數學歸納法證明：

（Ⅰ）72n?42n?297能被264整除；

（Ⅱ）an?1?(a?1)2n?1能被a2?a?1整除（其中n，a為正整數）

n③ 是否存在正整數m，使得f（n）=（2n+7）·3+9對任意正整數n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.3.小結：兩個步驟與一個結論，“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”；從n=k到n=k+1時，變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項、配方等.三、鞏固練習： 1.練習：教材501、2、5題2.作業：教材50 3、4、6題.第二課時4.2數學歸納法

教學要求：了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：能用數學歸納法證明幾個經典不等式.教學難點：理解經典不等式的證明思路.教學過程：

一、復習準備：

1222n2n(n?1)?????,n?N*.1.求證：1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)

2.求證：1?1111?????n?n,n?N*.2342?

1二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結論.分析：試值n?1,2,3,4,5,6 → 猜想結論 → 用數學歸納法證明

→ 要點：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2??.小結：試值→猜想→證明

11② 練習：已知數列?an?的各項為正數，Sn為前n項和，且Sn?(an?)，歸納出an的公2an

式并證明你的結論.解題要點：試值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 數學歸納法證明

③ 出示例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).要點：|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|

④ 出示例3：證明貝努利不等式.(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

*2.練習：試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N且a、b、c

nnn互不相等時，均有a+c＞2b.bnn解答要點：當a、b、c為等比數列時，設a=, c=bq(q＞0且q≠1).∴ a+c=?.q

an?cna?cn*當a、b、c為等差數列時，有2b=a+c，則需證＞()(n≥2且n∈N).2

2ak?1?ck?11k+1k+1k+1k+11?(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)?.當n=k+1時，24

41kka?cka?ca?ck+1=(a+c)(a+c)＞()·()=().4222

3.小結：應用數學歸納法證明與正整數n有關的不等式；技巧：湊配、放縮.三、鞏固練習：

111tan(2n?))(1?)....(1?)?1.用數學歸納法證明：(1?.cos2?cos4?cos2n?tan?

11112.已知n?N,n?2,??????1.2n?1n?22n

3.作業：教材P543、5、8題.

第四篇：高中數學《1.2.1排列》教案4 新人教A版選修2-3

高中新課程數學（新課標人教A版）選修2-3《1．2．1排列》

教案4

例5．（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：7個元素的全排列A77＝5040．

（2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？

解：根據分步計數原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——A66=720．

（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

解：根據分步計數原理：第一步 甲、乙站在兩端有A22種；

第二步 余下的5名同學進行全排列有A55種，所以，共有A22?A55=240（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有A5種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有A5種方法，所以

25一共有A5A5＝240025

解法2：（排除法）若甲站在排頭有A6種方法；若乙站在排尾有A6種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有A5種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有A7－2A6＋A5=2400種．

說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可例6.從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定665765不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？

15解法一：（從特殊位置考慮）A9A9?136080；

56解法二：（從特殊元素考慮）若選：5?A9；若不選：A9，56則共有5?A9?A9?136080種；

65解法三：（間接法）A10?A9?136080

第五篇：高中數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案(新人教A版選修2-2)

數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案

教學目標：

（一）知識與技能：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法:培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：

通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

第一課時2.2.1綜合法和分析法

（一）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

11??4”，試請此結論推廣猜想.aa11112?....?? n2）（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則?a1a2an1112.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9.abc先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？ 1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因導果.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？

→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）

2.練習：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBb?c?aa?c?ba?b?c???3.abctanAtanBA?B?60?.（提示：算3tan(A?B)）

② 已知a?b?c, 求證：

3.小結：綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P100 練習1題）

（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）

2.?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：

3.作業：教材P102A組 2、3題.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1?

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

2114??.a?bb?ca?c113.??a?bb?ca?b?c（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）a?b(a?0,b?0).2要點：逆推證法；執果索因.1223133③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)?(x?y).先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例2：見教材P97.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）⑤ 出示例3：見教材P99.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面積為?()2，周長為l2?2?ll2l2l2的正方形邊長為，截面積為()，問題只需證：?()>().442?

43.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

1.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業：教材P100 練習2、3題.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟：

① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：

?6)?1（成立）.① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為m/n）

m/n（m,n為互質正整數），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數.這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數，求證a是無理數.提示：假設a為有理數，則a可表示為p/q（p,q為整數），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數，這與已知矛盾.∴ a是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P1021、2題2.作業：教材P102A組4題.