第一篇：高中數(shù)學(xué) 第二章《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案 新人教A版選修2-1

2．2．2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

◆ 知識(shí)與技能目標(biāo)

了解平面解析幾何研究的主要問(wèn)題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)方程，研究曲線的性質(zhì)．理解雙曲線的范圍、對(duì)稱性及對(duì)稱軸，對(duì)稱中心、離心率、頂點(diǎn)、漸近線的概念；掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)例題和探究了解雙曲線的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進(jìn)一步見(jiàn)識(shí)圓錐曲線的統(tǒng)一定義．

◆ 過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)與引入過(guò)程

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過(guò)對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對(duì)這種研究方法的進(jìn)一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對(duì)稱性；③由圓錐曲線頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)軸、虛軸的概念；④應(yīng)用信息技術(shù)的《幾何畫(huà)板》探究雙曲線的漸近線問(wèn)題；⑤類比橢圓通過(guò)P56的思考問(wèn)題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書(shū)〗§2．2．2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過(guò)程

（i）通過(guò)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來(lái)研究雙曲線的幾何性質(zhì)． 提問(wèn)：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來(lái)研究？

通過(guò)對(duì)雙曲線的范圍、對(duì)稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線及其他特征性質(zhì)來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)．（ii）雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

①范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，yb22?xa22?1?0，進(jìn)一步得：x??a，或x?a．這說(shuō)明雙曲線在不等式x??a，或x?a所表示的區(qū)域；

②對(duì)稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個(gè)方面來(lái)研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒(méi)有，從而得到雙曲線是以x軸和y軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；

③頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對(duì)稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)．因此雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)，由于雙曲線的對(duì)稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對(duì)稱軸叫做虛軸；

④漸近線：直線y??bax叫做雙曲線

xa22?yb22?1的漸近線；

⑤離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e?（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展

ca叫做雙曲線的離心率（e?1）． 例3 求雙曲線9y2?16x2?144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生用雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在y軸上的漸近線是y??擴(kuò)展：求與雙曲線離心率．

解法剖析：雙曲線22abx．

2x16?y29?1共漸近線，且經(jīng)過(guò)A23,?3點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及

??x216y22?y29?1的漸近線方程為y??34x．①焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為x16k?9k?1，∵A23,?3點(diǎn)在雙曲線上，∴k????214，無(wú)解；②焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為?x2216k?y229k2?1，∵A23,?3點(diǎn)在雙曲線上，∴

??k?214，因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y94?x24?1，離心率e?53．這個(gè)要進(jìn)行分類討論，但只有一種情形有解，事實(shí)上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為x216?y29?m?m?R,m?0?．

例4 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程（各長(zhǎng)度量精確到1m）．

解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為xa22?yb22?1，算出a,b,c的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；②關(guān)于a,b,c的近似值，原則上在沒(méi)有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來(lái)決定．

引申：如圖所示，在P處堆放著剛購(gòu)買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路PA或PB送到呈矩形的足球場(chǎng)ABCD中去鋪墊，已知AP?150m，BP?100m，BC?60m，?APB?60?．能否在足球場(chǎng)上畫(huà)一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說(shuō)明理由．

解題剖析：設(shè)M為“等距離”線上任意一點(diǎn)，則PA?AM?PB?BM，即BM?AM?AP?BP?50（定值），∴“等距離”線是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為x2625?y23750?1??35?x??25,0?y?60?．理由略．

165例5 如圖，設(shè)M?x,y?與定點(diǎn)F?5,0?的距離和它到直線l：x?數(shù)54的距離的比是常，求點(diǎn)M的軌跡方程．

2分析：若設(shè)點(diǎn)M?x,y?，則MF??x?5??y2，到直線l：x?距離d?x?165165的，則容易得點(diǎn)M的軌跡方程．

引申：用《幾何畫(huà)板》探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線

若點(diǎn)M?x,y?與定點(diǎn)F?c,0?的距離和它到定直線l：x?e?caa2c的距離比是常數(shù)?c?a?0?，則點(diǎn)M的軌跡方程是雙曲線．其中定點(diǎn)F?c,0?是焦點(diǎn)，定直線l：2x?ac相應(yīng)于F的準(zhǔn)線；另一焦點(diǎn)F???c,0?，相應(yīng)于F?的準(zhǔn)線l?：x??a2c．

◆ 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

在合作、互動(dòng)的教學(xué)氛圍中，通過(guò)師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動(dòng)實(shí)現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)活動(dòng)情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新．必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，①充分利用圖形對(duì)稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認(rèn)同與熟悉：取近似值的兩個(gè)原則：①實(shí)際問(wèn)題可以近似計(jì)算，也可以不近似計(jì)算，②要求近似計(jì)算的一定要按要求進(jìn)行計(jì)算，并按精確度要求進(jìn)行，沒(méi)有作說(shuō)明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進(jìn)教學(xué)輔助手段的技能．

◆能力目標(biāo)

（1）分析與解決問(wèn)題的能力：通過(guò)學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

（2）思維能力：會(huì)把幾何問(wèn)題化歸成代數(shù)問(wèn)題來(lái)分析，反過(guò)來(lái)會(huì)把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)思考；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問(wèn)題引申到一般性來(lái)研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．

（3）實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識(shí)能力．

（4）創(chuàng)新意識(shí)能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題的能力，探究解決問(wèn)題的一般的思想、方法和途徑． 練習(xí)：第66頁(yè)1、2、3、4、5 作業(yè)：第3、4、6

第二篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

【學(xué)習(xí)障礙】 1．理解障礙

(1)關(guān)于雙曲線對(duì)稱性的理解

把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說(shuō)明雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．其原因是設(shè)(x，y)為雙曲線上的一點(diǎn)，y換為－y方程不變，說(shuō)明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(diǎn)(x，y)，(x，－y)關(guān)于x軸對(duì)稱，故整個(gè)雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．

同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說(shuō)明雙曲線關(guān)于y軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，因此坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．(2)關(guān)于對(duì)雙曲線漸近線的理解

xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，當(dāng)雙曲線上點(diǎn)P(x，y)在第一、三象限且遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|在二、四象限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|

xyxy＋|→＋∞，此時(shí)－→0，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時(shí)＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點(diǎn)遠(yuǎn)ababxyxy離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線越來(lái)越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線越來(lái)越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．

abab(3)關(guān)于對(duì)離心率e的理解

cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時(shí)漸近線y＝－x到y(tǒng)aaaa?a?＝

2bx的角就越大，從而雙曲線開(kāi)口就越闊，反之，e越小，雙曲線開(kāi)口就越窄． a2．解題障礙

(1)雙曲線焦點(diǎn)位置的判定

雙曲線的焦點(diǎn)位置除題目直接告訴外，還可根據(jù)頂點(diǎn)位置．實(shí)軸(虛軸)、準(zhǔn)線位置等判定，另外也可根據(jù)點(diǎn)在漸近線的上方還是下方來(lái)確定．(2)雙曲線方程的幾種變形

x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數(shù)1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過(guò)來(lái)就不正確．如果將常數(shù)1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數(shù)1換為

abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應(yīng)用．另外，以直線

ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個(gè)重要性質(zhì)

漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質(zhì)可以很好地解決解題思路．

【學(xué)習(xí)策略】 1．待定系數(shù)法

根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖步驟和減少運(yùn)算量．這一點(diǎn)正體現(xiàn)雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．綜上可簡(jiǎn)記為：“巧設(shè)方程立好系，待定系數(shù)求a、b；結(jié)合圖形用性質(zhì)，避免繁瑣用定義． 2．定義法

與焦點(diǎn)有關(guān)的距離，通過(guò)定義轉(zhuǎn)化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點(diǎn)的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡(jiǎn)單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應(yīng)能寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的雙曲線系． 【例題分析】

［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P(4，3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個(gè)未知數(shù)表示出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，但要判斷點(diǎn)P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點(diǎn)P在雙曲線上，用待定系數(shù)法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可求出參數(shù)λ，從而求出雙曲線方程．

1x，2a1當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2＜yP＝3 ∴焦點(diǎn)在y軸上，即＝，設(shè)a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169

2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522

xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．

24x2∴可設(shè)雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)

∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．

4205評(píng)注：由已知條件求雙曲線方程時(shí)，首先要確定其定位條件，即要確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再根據(jù)其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時(shí)，一般把已知點(diǎn)橫坐標(biāo)xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點(diǎn)在漸近線上方或下方，由此確定焦點(diǎn)的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對(duì)

22xy雙曲線方程類型的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數(shù))ab中，當(dāng)λ＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．

x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點(diǎn)即雙曲線的焦點(diǎn)，由離心率可得出a進(jìn)而求出b，可得雙曲線方程．

解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點(diǎn)F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10

∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．

213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評(píng)注：解法二用了共焦點(diǎn)的圓錐曲線系方程，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點(diǎn)的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當(dāng)k＜b2時(shí)，方程表示橢圓，當(dāng)b2＜k＜a2時(shí)，方程a?kb?k表示雙曲線．

［例3］已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．

策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關(guān)系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．

解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點(diǎn)F(±5，0)在x軸上，∴

3x． 4b3＝，設(shè)a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1

∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316

x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評(píng)注：利用雙曲線系方程，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，λ＜0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上)．

策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)或x02與y02，但計(jì)算相當(dāng)麻煩，再一個(gè)方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個(gè)定義解決．

解法一：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時(shí)，根據(jù)雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點(diǎn))，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點(diǎn))． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵點(diǎn)P在雙曲線上，依據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

評(píng)注：雙曲線的定義不僅是推導(dǎo)雙曲線方程的依據(jù)，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關(guān)雙曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等許多問(wèn)題．

［例5］某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如圖8—4—1所示)

2x2y2? ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土才能最省工．

策略：首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點(diǎn)是第一、第二類點(diǎn)的分界．

解：設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到定點(diǎn)A與定點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，符合雙曲線的定義，所以M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500

2∴以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則界線是雙曲線孤

x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省．

評(píng)注：本題通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的集合的性質(zhì),構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優(yōu)化區(qū)域． ［例6］(2000年2全國(guó)高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)

32≤λ≤時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍．

策略：設(shè)出雙曲線方程，由E、C坐標(biāo)適合方程，找出各字母之間的聯(lián)系，特別是e同λ的關(guān)系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．

因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設(shè)雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e?2433322依題設(shè)≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10

所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評(píng)注：解本題關(guān)鍵找出離心率e與λ的關(guān)系，對(duì)于λ＝1－

31?2?

32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對(duì)考查學(xué)生思維能力、運(yùn)算推理能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)等能力都有較高要求，作為高考題可謂當(dāng)之無(wú)愧．

x2y2［例7］設(shè)雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(guò)(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：

xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點(diǎn)到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．下列各對(duì)雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．點(diǎn)P為雙曲線－y2＝1右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，F(xiàn)1、F2是該雙曲線的焦點(diǎn)，則△F1PF2的內(nèi)心在（）

A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上

5．設(shè)連接雙曲線－＝1與－＝1的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形的面積是S1，連結(jié)其四個(gè)焦點(diǎn)的面積為S2，則的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)__________．

8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過(guò)點(diǎn)P(3，－)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________．

9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________． 10．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，－)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)M，求△F1MF2的面積．

11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點(diǎn)A(4，－1)，若圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．

12．在一次模擬軍事演習(xí)中，A、B、C是我軍三個(gè)炮兵陣地．在指揮作戰(zhàn)圖的坐標(biāo)平面上，由數(shù)據(jù)給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時(shí)刻，A處發(fā)現(xiàn)了敵軍陣地P的某種信號(hào)，設(shè)該信號(hào)傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn)，因此4秒鐘后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)，于是A處準(zhǔn)備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．解析：(用排除法)選項(xiàng)A和B中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．

答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設(shè)兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：雙曲線∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設(shè)知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為N，△F1PF2的內(nèi)切圓切雙曲線的實(shí)軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識(shí)得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右頂點(diǎn)N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質(zhì)定理知，△F1PF2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設(shè)知雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(±，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(±a，0)，雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝

3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3，0)，頂點(diǎn)為(±，0)，設(shè)所求橢圓方

程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：設(shè)所求雙曲線方程為

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．

答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸時(shí)，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸時(shí)，故e為或．

答案：或 10．解：(1)設(shè)所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．

(2)將點(diǎn)M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F(xiàn)2(2

＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．

11．解：當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝1 ①

又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知

＝4 ②

解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．

∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線方程為： ＝1．

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線方程為1 ③

＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)知過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦點(diǎn)不可能在y軸上．

因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點(diǎn)在以B、A為焦點(diǎn)的以4為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支上，設(shè)其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點(diǎn)在雙曲線＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P點(diǎn)在線段BC的垂直平分線l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(diǎn)(－4，)∴l(xiāng)的方程為y－＝(x＋4)，即點(diǎn)P在直線y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)(8，5)設(shè)所求方向角為θ，即θ＝∠x(chóng)AP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°

第三篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(教案)(精)

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 山丹一中 周相年 教學(xué)目標(biāo):(1 知 識(shí)目標(biāo)

能通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定雙曲線的頂點(diǎn)、實(shí)虛半軸、焦點(diǎn)、離心 率、漸近線方程等,熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì).(2能力目標(biāo)

通過(guò)類比橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的方法來(lái)研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì), 在老師的指導(dǎo)下讓學(xué)生積極討論、歸納,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、研究能力,增 強(qiáng)學(xué)生的自信心.(3 情感目標(biāo)

通過(guò)提問(wèn)、討論、合作、探究等主動(dòng)參與教學(xué)的活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生自尊、自強(qiáng)、自信、自主等良好的心理潛能和主人翁意識(shí)、集體主義精神.教學(xué)重點(diǎn):雙曲線的幾何性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn):雙曲線的漸近線.教學(xué)方法:啟發(fā)誘導(dǎo)、練講結(jié)合 教學(xué)用具 :多媒體 教學(xué)過(guò)程:

一、復(fù)習(xí)回顧,問(wèn)題引入: 問(wèn)題 1:雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程?

問(wèn)題 2:橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)有哪些?我們是如何研究的?雙曲線是否也有 類似性質(zhì)?又該怎樣研究?

二、合作交流,探究性質(zhì): 類比橢圓的幾何性質(zhì)的研究方法,我們根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的幾何性質(zhì) 1.范圍: 雙曲線在不等式 x ≥ a 與 x ≤-a 所表示的區(qū)域內(nèi).2.對(duì)稱性: 雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對(duì)稱, 這時(shí), 坐標(biāo)軸是 雙曲線的對(duì)稱軸, 原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心, 雙曲線的對(duì)稱

中心叫雙曲線中心.3.頂點(diǎn):(1 雙曲線和它的對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn) A1(-a,0、A2(a,0, 它們叫做雙曲線的頂點(diǎn).(2 線段 A1A2叫雙曲線的實(shí)軸, 它的長(zhǎng)等于 2a,a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng);線段 B1B2叫雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)等于 2b, b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng).(3實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線,其方程為: 練一練: 1.若點(diǎn) P(2, 4在雙曲線 上,下列是 雙曲線上的點(diǎn)有(1 P(-2, 4(2 P(-4, 2(3 P(-2,-4(4 P(2,-4 2.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: 0(22≠=-m m y x(1焦點(diǎn)在 x 軸上,實(shí)軸長(zhǎng)是 10,虛軸長(zhǎng)是 8,則方程是(2焦點(diǎn)在 y 軸上,焦距是 10,虛軸長(zhǎng)是 8,則方程是 : 4.漸近線

(1概念:雙曲線 0, 0(12222>>=-b a b y a x 的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線 逐漸接近!故把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線!(2雙曲線 12222=-b y a x 的漸近線方程為:x a b y ±= ,即 0=±b y a x(3等軸雙曲線的漸近線方程為:x y ±=.(4 利用雙曲線的漸近線, 可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫(huà)出雙 曲線的草圖.具體做法是:畫(huà)出雙曲線的漸近線, 先確定雙

曲線頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置,然后過(guò)這兩點(diǎn)并

根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫(huà)出雙曲 線的一部分,最后利用雙曲線的對(duì)稱性畫(huà)出完整的雙曲線.5.離心率:(1定義:雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 e=a c ,叫雙曲線的離心率.(2范圍:由 c>a>0可得 e>1.思考:離心率可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度,雙曲線的離心率刻畫(huà)雙曲線的什 么幾何特征?(3含義 :離心率是表示雙曲線開(kāi)口大小的一個(gè)量 , 離心率越大開(kāi)口越大.思考:你能到處雙曲線 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性質(zhì)嗎?

三、學(xué)以致用,鞏固雙基: 例 1 求雙曲線 9y 2-16x 2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.練習(xí)1 求雙曲線 9y 2-16x 2=-144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.思考 1:請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)以 為漸近線的雙曲線方程.思考 2:你能寫(xiě)出所有以 為漸近線的雙曲線方程嗎 ? 練習(xí)2 求漸近線為 x y 34 ±=,且過(guò)點(diǎn) 4, 3(的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.四、小結(jié)反思,總結(jié)提高: 1.雙曲線 0, 0(122 22>>=-b a b x a y 的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):范圍,對(duì)稱性,頂點(diǎn),離 心率,漸進(jìn)線

2.比較雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)的異同

五、作業(yè)布置 : 必做:作業(yè)案 1-10 選做:作業(yè)案 11-12 x y 34 ±=x y 34

±=

六、教學(xué)反思

漸近線是雙曲線的特有性質(zhì),也是教學(xué)的難點(diǎn),但課程標(biāo)準(zhǔn)要求相對(duì) 較低,不要求嚴(yán)格證明,為了突破難點(diǎn),通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知水平出發(fā),來(lái)發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線,然后充分利用多媒體展示,幫助學(xué)生進(jìn) 一步直觀理解漸近線“漸近”的含義。

第四篇：雙曲線及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作業(yè)

家長(zhǎng)簽字：

學(xué)之導(dǎo)教育中心作業(yè)

———————————————————————————————學(xué)生:

授課時(shí)間：________年級(jí)：

教師：求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）焦點(diǎn)是（-4,0），（4,0），過(guò)點(diǎn)（2,0）

（2）離心率為54，半虛軸長(zhǎng)為2（3）兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分過(guò)雙曲線x2-y2?3=1的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為

6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長(zhǎng)（F2為雙曲線的右焦點(diǎn)）

1）

AB 3 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)圍成的三角形的面積為

812，求K的范圍

第五篇：高中數(shù)學(xué)雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課堂實(shí)錄.（本站推薦）

高中數(shù)學(xué)《雙曲線方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》課堂實(shí)錄

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù)

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)描述 知識(shí)目標(biāo)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義，能確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解并掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論它的幾何性質(zhì)，能確定雙曲線的形狀特征。能力目標(biāo)

通過(guò)對(duì)相關(guān)網(wǎng)絡(luò)資料的閱讀，結(jié)合觀察思考探究、協(xié)作交流討論、動(dòng)手實(shí)踐操作，培養(yǎng)學(xué)生分析資料、提取信息、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線的基本方法，通過(guò)與橢圓幾何性質(zhì)的對(duì)比來(lái)提高學(xué)生聯(lián)想、類比、歸納的能力，解決一些實(shí)際問(wèn)題。德育目標(biāo)

進(jìn)一步理解并掌握代數(shù)知識(shí)在解析幾何運(yùn)算中的作用，提高解方程組和計(jì)算能力，通過(guò)“數(shù)”研究“形”，說(shuō)明“數(shù)”與“形”存在矛盾的統(tǒng)一體中，通過(guò)“數(shù)”的變化研究“形”的本質(zhì)。幫助學(xué)生建立勇于探索創(chuàng)新的精神和克服困難的信心。

2、學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)任務(wù)說(shuō)明 本節(jié)課的內(nèi)容是雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的探索。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：雙曲線離心率與雙曲線形狀的關(guān)系；

明確本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，以學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)為方式，以雙曲線性質(zhì)探尋為中心，進(jìn)行主動(dòng)探究學(xué)習(xí)。

抓住本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，采取類比、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)、探究、協(xié)作、討論等學(xué)習(xí)方法相結(jié)合的教學(xué)模式，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。主動(dòng)操作實(shí)驗(yàn)、大膽分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，充分利用本課網(wǎng)站內(nèi)的內(nèi)容和相關(guān)的學(xué)習(xí)資源的利用，在著重學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)和技能，對(duì)本節(jié)課程進(jìn)行分析。培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和克服困難的信心。

二、學(xué)習(xí)者特征分析

（說(shuō)明學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)交往特點(diǎn)等）本課的學(xué)習(xí)對(duì)象為高二年文科班的學(xué)生，他們經(jīng)過(guò)近一年多的高中學(xué)習(xí)，已經(jīng)有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，基本的計(jì)算機(jī)操作較為熟練。

作為高二年文科班的學(xué)生普遍存在著數(shù)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)較為薄弱，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的困難。在課堂上的主體作用的體現(xiàn)不是太充分，但是他們能意識(shí)到自己的不足，對(duì)數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)興趣高，積極性強(qiáng)。高二年文科班的學(xué)生在學(xué)習(xí)交往上表現(xiàn)為個(gè)別化學(xué)習(xí)，課堂上較為依賴?yán)蠋煹囊龑?dǎo)。學(xué)生的群體性小組交流能力與協(xié)同討論學(xué)習(xí)的能力不強(qiáng)，對(duì)學(xué)習(xí)資源和知識(shí)信息的獲取、加工、處理和綜合的能力較低。

三、學(xué)習(xí)環(huán)境選擇與學(xué)習(xí)資源設(shè)計(jì) 1．學(xué)習(xí)環(huán)境選擇（打√）

（1）Web教室（√）（2）局域網(wǎng)（3）城域網(wǎng)（4）校園網(wǎng)（√）（5）Internet（√）（6）其它

2、學(xué)習(xí)資源類型（打√）

（1）課件（網(wǎng)絡(luò)課件）（√）（2）工具（3）專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站（√）（4）多媒體資源庫(kù)（5）案例庫(kù)（6）題庫(kù)（7）網(wǎng)絡(luò)課程（8）其它

3、學(xué)習(xí)資源內(nèi)容簡(jiǎn)要說(shuō)明（說(shuō)明名稱、網(wǎng)址、主要內(nèi)容等）

《雙曲線定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)網(wǎng)站》：雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的性質(zhì)、協(xié)作討論、例題、在線測(cè)試等幾部分來(lái)探討雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

四、學(xué)習(xí)情境創(chuàng)設(shè)

1、學(xué)習(xí)情境類型（打√）

（1）真實(shí)性情境（√）（2）問(wèn)題性情境（√）（3）虛擬性情境（√）（4）其它

2、學(xué)習(xí)情境設(shè)計(jì)

真實(shí)性情境：用Flash制作的一系列教學(xué)軟件。

問(wèn)題性情境：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸進(jìn)線、離心率等的尋找（文字，圖片，制作相關(guān)的Flash）。虛擬性情境：雙曲線離心率與雙曲線開(kāi)口形狀的關(guān)系

五、學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織

1、自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)（打√并填寫(xiě)相關(guān)內(nèi)容）類型相應(yīng)內(nèi)容使用資源學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)(1)拋錨式（√）

橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教材、網(wǎng)站中的橢圓部分對(duì)照、類比、聯(lián)想復(fù)習(xí)提問(wèn)，引導(dǎo)思路(2)支架式（√）

雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教材、專題網(wǎng)站及專題網(wǎng)站下的多媒體教學(xué)課件。分析、操作、協(xié)作討論、總結(jié)、提交結(jié)論。問(wèn)題的提出。

學(xué)習(xí)資源獲取路徑的指導(dǎo)。問(wèn)題解答和咨詢。(3)隨機(jī)進(jìn)入式（√）雙曲線定義與幾何性質(zhì)相關(guān)問(wèn)題的求解與應(yīng)用雙曲線的例題，在線測(cè)試各個(gè)相關(guān)網(wǎng)頁(yè)根據(jù)自身情況選題、分析題目、協(xié)作討論、解答問(wèn)題。講解例題

總結(jié)點(diǎn)評(píng)學(xué)生做題過(guò)程中存在的問(wèn)題。(4)其它

2、協(xié)作學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)（打√并填寫(xiě)相關(guān)內(nèi)容）類型相應(yīng)內(nèi)容使用資源分組情況學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)（1）競(jìng)爭(zhēng)（2）伙伴

（√）雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的探究數(shù)學(xué)教材、專題網(wǎng)站及專題網(wǎng)站下的多媒體教學(xué)課件。每組4人。學(xué)生之間對(duì)雙曲線的幾何性質(zhì)展開(kāi)討論研究問(wèn)題的提出。學(xué)習(xí)資源獲取路徑的指導(dǎo)。問(wèn)題解答和咨詢。（3）協(xié)同（√）

雙曲線的對(duì)稱性；離心率對(duì)雙曲線形狀的影響Flash制作的一系列教學(xué)課件。每組4人。通過(guò)協(xié)作討論區(qū)，同學(xué)之間互相配合、互相幫助、各種觀點(diǎn)互相補(bǔ)充。歸納，概括，整理問(wèn)題結(jié)論（4）辯論（5）角色扮演（6）其它

3、教學(xué)結(jié)構(gòu)流程的設(shè)計(jì)

六、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

1、測(cè)試形式與工具（打√）

（1）堂上提問(wèn)（√）（2）書(shū)面練習(xí)（3）達(dá)標(biāo)測(cè)試

（4）學(xué)生自主網(wǎng)上測(cè)試（√）（5）合作完成作品（√）（6）其它

2、測(cè)試內(nèi)容

教師堂上提問(wèn)：雙曲線的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)與橢圓的定義、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的對(duì)比，尋找它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)回答，教師總結(jié)概括，達(dá)到本課的學(xué)習(xí)目的。

學(xué)生自主網(wǎng)上測(cè)試：解決雙曲線定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的相關(guān)練習(xí)。合作完成作品：通過(guò)對(duì)Flash課件的合作學(xué)習(xí)，得出性質(zhì)結(jié)論。

七、教學(xué)過(guò)程

步驟教師行為學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖 課堂準(zhǔn)備

1、指導(dǎo)學(xué)生登陸網(wǎng)站。

2、介紹網(wǎng)站的操作方法。

3、講明上課過(guò)程中的注意事項(xiàng)。（1）作好課前準(zhǔn)備。（2）登陸網(wǎng)站。

（3）熟悉本網(wǎng)站的操作方法。

①少部分不熟悉網(wǎng)絡(luò)操作的同學(xué)學(xué)會(huì)利用網(wǎng)絡(luò)來(lái)輔助學(xué)習(xí)。②助于本節(jié)課的順利進(jìn)行。情境導(dǎo)入

1、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊“學(xué)習(xí)任務(wù)”進(jìn)入子頁(yè)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊“問(wèn)題解決”，了解本節(jié)課要解決的問(wèn)題。（1）學(xué)生在“學(xué)習(xí)任務(wù)”子頁(yè)下，點(diǎn)擊各個(gè)按鈕進(jìn)行操作，對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)做到胸中有數(shù)。

（2）學(xué)生點(diǎn)擊按鈕“問(wèn)題解決”，清楚本節(jié)課要完成解決的問(wèn)題。①使學(xué)生在操作中深深體會(huì)到雙曲線的定義與幾何性質(zhì)的重要性，從而吸引了學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生研究雙曲線的動(dòng)力。②這一導(dǎo)入過(guò)程，可調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，使學(xué)生完成角色的改變，從“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”。操作探討

1、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊“雙曲線定義”進(jìn)入子頁(yè)，選擇按鈕“橢圓”、“雙曲線”、“第二定義”進(jìn)入頁(yè)面。

2、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“性質(zhì)探索”，進(jìn)入雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)。

3、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“范圍”，進(jìn)入雙曲線范圍的操作和探索，教師提醒注意與橢圓比較。

4、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“對(duì)稱性”，進(jìn)入雙曲線對(duì)稱性的操作和探索，教師提醒注意與橢圓比較。

5、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“焦點(diǎn)”，進(jìn)入雙曲線焦點(diǎn)的操作和探索，教師提醒注意與橢圓比較。

6、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“頂點(diǎn)”，進(jìn)入雙曲線頂點(diǎn)的操作和探索，教師提醒注意與橢圓比較。

7、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕“離心率”，進(jìn)入雙曲線離心率的操作和探索，教師提醒注意與橢圓比較。指導(dǎo)學(xué)生操作Flash課件，讓學(xué)生拉動(dòng)離心率e，觀察當(dāng)e變化時(shí)，雙曲線圖形的變化情況。

8、教師針對(duì)學(xué)生得出的雙曲線性質(zhì)進(jìn)行講解校對(duì)。

9、教師在整個(gè)過(guò)程中，對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行輔導(dǎo)。

（1）學(xué)生點(diǎn)擊按鈕“雙曲線定義”進(jìn)入子頁(yè)，選擇按鈕“橢圓”、“雙曲線”、“第二定義”，完成復(fù)習(xí)任務(wù)。（2）學(xué)生點(diǎn)擊按鈕“性質(zhì)探索”，進(jìn)入雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的操作和探索。（學(xué)生可分小組討論）。

（3）學(xué)生把自己總結(jié)的“雙曲線的范圍”與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（4）學(xué)生把自己總結(jié)的“雙曲線的對(duì)稱性”與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（5）學(xué)生把自己總結(jié)的“雙曲線的焦點(diǎn)”與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（6）學(xué)生把自己總結(jié)的“雙曲線的頂點(diǎn)”與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（7）學(xué)生把自己總結(jié)的“雙曲線的離心率”與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（8）學(xué)生操作Flash課件，拉動(dòng)離心率e，觀察雙曲線圖形的變化過(guò)程。尋找發(fā)現(xiàn)雙曲線圖形開(kāi)口與離心率e的密切關(guān)系，得出結(jié)論。并把自己的結(jié)論與教師的講解進(jìn)行校對(duì)訂正。

（9）如在操作過(guò)程中有何問(wèn)題，可進(jìn)入“協(xié)作討論”頁(yè)面，進(jìn)行探討研究。

①學(xué)生在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中充分發(fā)揮其主體作用，在提供的網(wǎng)絡(luò)資源中，自主學(xué)習(xí)，操作實(shí)驗(yàn)，并從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，最后總結(jié)結(jié)論，校對(duì)結(jié)論。②教師在這一教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮出引導(dǎo)的作用，使教師起到成為“導(dǎo)航者”的效果。

③充分發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生對(duì)在自主學(xué)習(xí)中碰到的困難，可能的疑問(wèn)，能展開(kāi)協(xié)作討論，并得出結(jié)果。

④如在操作過(guò)程中有何問(wèn)題，可進(jìn)入“協(xié)作學(xué)習(xí)”頁(yè)面下，進(jìn)行探討研究。

⑤創(chuàng)造一個(gè)讓學(xué)生協(xié)作學(xué)習(xí)的空間，互相配合、互相幫助、各種觀點(diǎn)互相補(bǔ)充，完成學(xué)習(xí)任務(wù)，從而培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)精神、克服困難的精神以及各方面的能力。知識(shí)應(yīng)用

1、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕進(jìn)入“例題”頁(yè)面。

2、講解例

一、例

二、例三三道例題。

3、請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)擊按鈕進(jìn)入“在線測(cè)試”頁(yè)面。

指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身的情況選擇“*”、“**”或“***”題，進(jìn)行練習(xí)。

（1）學(xué)生聽(tīng)教師講解例

一、例

二、例三三道例題。加深對(duì)剛學(xué)到的雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)應(yīng)用的體會(huì)。

（2）學(xué)生根據(jù)自身的情況選擇“*”、“**”或“***”題，進(jìn)行在線測(cè)試。（3）如在解題過(guò)程中有何問(wèn)題，可進(jìn)入“協(xié)作學(xué)習(xí)”頁(yè)面下，進(jìn)行探討研究。

①讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自我反饋。

②使題目具有層次性，適合不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。③使每道題具有交互性和實(shí)驗(yàn)性，保證學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的自主性。課堂小結(jié)

1、總結(jié)本課的教學(xué)內(nèi)容。

2、總結(jié)本課的教學(xué)內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》公開(kāi)課小結(jié)

《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是放在如何使學(xué)生掌握好雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：雙曲線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，離心率上。首先，通過(guò)對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的復(fù)習(xí)，使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)學(xué)習(xí)研究雙曲線的幾何性質(zhì)的濃厚興趣。在對(duì)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程充分掌握的基礎(chǔ)上，給學(xué)生打下了進(jìn)一步學(xué)習(xí)雙曲線幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動(dòng)手參與實(shí)踐，使之獲取知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時(shí)拋出問(wèn)題，使學(xué)生有的放矢，有針對(duì)性，知道自己下一步應(yīng)該做什么。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生動(dòng)手摸索雙曲線的幾何性質(zhì)，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個(gè)性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對(duì)雙曲線的各個(gè)幾何性質(zhì)，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問(wèn)題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過(guò)程中，充分體現(xiàn)出計(jì)算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過(guò)實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容：雙曲線的范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，離心率。在上課過(guò)程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問(wèn)題，氣氛活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺(jué)得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了雙曲線的4個(gè)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上留給學(xué)生探索，動(dòng)手的時(shí)間還可以再多一些；學(xué)生在自主探尋雙曲線的性質(zhì)時(shí)，分組協(xié)作討論不夠充分。由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不能很熟練地操作電腦，許多數(shù)學(xué)符號(hào)，公式無(wú)法在討論區(qū)中體現(xiàn)。

總之，在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這領(lǐng)域中，今后還有很大的學(xué)習(xí)空間，做為一名教師，要適應(yīng)時(shí)代的需要，改善自己平時(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)思維，大膽創(chuàng)新，努力學(xué)習(xí)，不斷地探索，不斷反思。樹(shù)立現(xiàn)代教育觀念，不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代化技術(shù)，完善自己，提高素質(zhì)，才能擔(dān)負(fù)起祖國(guó)賦予我們肩上的重任。

高中數(shù)學(xué)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教師評(píng)語(yǔ) 評(píng)議者1：

1、學(xué)生積極參與探究，課堂調(diào)控，師生互動(dòng)好，較好地體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)的精神；

2、采用類比方法，讓學(xué)生類比橢圓幾何性質(zhì)，進(jìn)行探究，符合教學(xué)規(guī)律，教學(xué)效果好；

3、網(wǎng)絡(luò)制作精美，較好地調(diào)合學(xué)生的探究，建議要讓學(xué)生的探究更加深入，即在理論上證明上還須加強(qiáng)，另外要加強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作探究。評(píng)議者2：

1、課堂講述較快，語(yǔ)速應(yīng)較慢；

2、在講解過(guò)程中能較好與橢圓類比來(lái)學(xué)習(xí)，但若能在頁(yè)面中把與橢圓類比點(diǎn)，可再次展現(xiàn)，效果會(huì)更好；

3、本節(jié)課雖說(shuō)是網(wǎng)絡(luò)課，但整堂課還是以教師講授為主，讓學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)課中自主學(xué)習(xí)時(shí)間并不多。評(píng)議者3：

1、黑板上的圖形是否可結(jié)合“幻燈片”演示文稿來(lái)呈現(xiàn)？

2、在網(wǎng)絡(luò)課件中設(shè)置雙曲線的幾種情況及橢圓的頂點(diǎn)等幾個(gè)內(nèi)容，讓學(xué)生動(dòng)手探索，得出與橢圓的相同與不同點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)先過(guò)程后結(jié)果的探究學(xué)習(xí)方法。

3、課件讓學(xué)生探作的互動(dòng)課件，滲透了“數(shù)形結(jié)合”思想，使學(xué)生對(duì)抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體形象的認(rèn)識(shí)好。

4、討論區(qū)用于討論的問(wèn)題應(yīng)具有一定開(kāi)放性，即多種角度，多層面，多方法的較好。

5、網(wǎng)絡(luò)資源是否最大限度的利用？自主學(xué)習(xí)顯不夠時(shí)間。

6、在線測(cè)試軟件，及時(shí)檢查學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程好。評(píng)議者4：

1、網(wǎng)絡(luò)資源豐富；

2、在教學(xué)過(guò)程中來(lái)充分體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性；

3、討論區(qū)的運(yùn)用較為合理。評(píng)議者5：

講解速率有點(diǎn)快，協(xié)作討論時(shí)，學(xué)生不是很投入，差生如能自己上網(wǎng)學(xué)習(xí)，也就不需要老師指導(dǎo)。評(píng)議者6：

網(wǎng)頁(yè)制作技術(shù)含量高。網(wǎng)頁(yè)能夠考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)用，而設(shè)計(jì)，有利于“人機(jī)”互動(dòng)。資源豐富，讓學(xué)生采用類比法來(lái)學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)，能夠充分體現(xiàn)了課改的精神，整個(gè)課堂節(jié)奏緊湊。評(píng)議者7：

網(wǎng)絡(luò)課件內(nèi)容豐富，短小精美；老師授課中并沒(méi)有體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，沒(méi)有充分利用網(wǎng)絡(luò)資源。評(píng)議者8： 網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的目標(biāo)及程度不如初衷，學(xué)生配合水平不高，存在網(wǎng)上搞笑，我看不出本課教學(xué)手段，需要有多重，虛軸的教學(xué)可直接指出漸近線，以加強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，可有點(diǎn)超越。