第一篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 典型例題解析

典例剖析

［例1］已知雙曲線的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程.【解】 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

ya2222222

2?xb22=1，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b，c=a2?b2.焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,－a2?b2),(0, 漸近線方程為x=±【點(diǎn)評(píng)】 雙曲線近線為x=±baxaa2?b2).ba22y,即y=±

?yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的漸近線為y=±x,雙曲線

ya22?xb22=1的漸y,即y=±

abx，應(yīng)仔細(xì)區(qū)分兩雙曲線的漸近線的異同點(diǎn).［例2］求一條漸近線方程是3x+4y=0，一個(gè)焦點(diǎn)是(4，0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，并求雙曲線的離心率.【解】 雙曲線的漸近線方程可寫成（λ≠0）

∵焦點(diǎn)在x軸上，∴λ＞0 把雙曲線的方程寫成x2x4?y3=0,因此雙曲線的方程可寫成x216?y29＝λ

16??y29?＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2 ＝1

25625?14425∵a2=25625,即a=165，ca?4165?54∴雙曲線的離心率e=.【點(diǎn)評(píng)】 漸近線為對(duì)角線證明.xa?yb＝0的雙曲線方程總是

xa22?yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等軸雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于M、N兩點(diǎn).求證：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【證明】（1）不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為設(shè)直線MN的方程為x=b(b>a)

xa22?yb22＝1 如圖8—7易求得

N(b,a2?b2)

圖8—7 b2∴tanNA1x＝?a2a?b2=

b?ab?a

tanNA2x＝b?a2b?a=

b?ab?a

∴tanNA1x＝?21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均為銳角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根據(jù)對(duì)稱性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2?a2)?b?ab?a22∴kMA?kA12N??b?ab?a22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可證MA2⊥A1N.【點(diǎn)評(píng)】 利用對(duì)稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化意識(shí).

第二篇：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 典型例題解析

典例剖析

x2y2［例1］已知雙曲線2?2=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是雙曲線上的任一點(diǎn)，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.x2y2【證明】 雙曲線2?2=1的兩焦點(diǎn)F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－和x=.cc∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率.∴PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.化簡(jiǎn)得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【點(diǎn)評(píng)】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱作焦半徑公式.［例2］雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線方程是x=程.1,求雙曲線的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴雙曲線的方程是=1.?460【點(diǎn)評(píng)】 雙曲線的準(zhǔn)線總與實(shí)軸垂直.x2y2［例3］在雙曲線=1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩?169倍.【解】 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=±

16.5∴PF116x?5?PF216x?5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.?16165x?x?5548x2y2把x=代入方程=1得： ?1695y=±3119.5483，±119)

55【點(diǎn)評(píng)】 此題也可用焦半徑解答.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

第三篇：§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(四)

［例1］過點(diǎn)P(8，1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.選題意圖：考查直線與曲線位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）

則x12?4y12=4 ①

x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說明：此題也可設(shè)直線的斜率為k，然后待定k的值.［例2］過雙曲線xa22?yb22?1的焦點(diǎn)F(c,0)作漸近線

y?bax的垂線，求證：垂足H在與此焦點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線x證明：過F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

即H點(diǎn)的坐標(biāo)是(∴H在直線上x?a2c2,abc)，ac.y?2?0［例3］已知雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x?是(-2，與這條準(zhǔn)線相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)的坐標(biāo),2),且雙曲線的離心率為

2，求雙曲線的方程.選題意圖：靈活運(yùn)用雙曲線的定義解決數(shù)學(xué)問題.解：設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為

.P到焦點(diǎn)的距離為

(x?2)?(y?22)2，∴(x?2)2?(y?22)2?2

x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方，得：

x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.［例4］如圖，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)23???34時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖：考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.分析：關(guān)鍵找e與λ的關(guān)系.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為

xa22?yb22?1.∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱.依題意，記Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0?h1??

ca∵點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e= e2代入雙曲線方程得：

4e?2hb(22?1 ①

??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

由①得： ?又?ee22?4?1代入②并整理得：

?1?2

34,，得：

23?ee2223????1?2?34

解得7≤ｅ≤10

∴雙曲線離心率的取值范圍為［7，10］.說明：?e2?ee22?1?2也可整理成

?31???2?1?2?1????2?2??31??

觀察之7≤ｅ≤10

第四篇：8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(一)

高二圓錐曲線方程同步練習(xí)4（雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)）

例1 已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為213，另一雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)半軸比雙曲線的實(shí)半軸大4，兩曲線的離心率之比為3:7，求兩曲線方程.例2 直線y－ax－1=0和雙曲線3x2－y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點(diǎn)，使OA?OB?c，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積等于3，c的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，直線l過F2點(diǎn)，且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=

21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點(diǎn)是P，線段PF2與雙曲線的交點(diǎn)2為Q，且PQ:QF2?2，求此雙曲線的方程.說明：此題意在增強(qiáng)學(xué)生建立坐標(biāo)系的意識(shí)，并進(jìn)一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)及待定系數(shù)法.—2—

第五篇：§8.4雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(三)

［例1］已知雙曲線

xa22?yb22b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）?1(a＞0，是雙曲線上的任一點(diǎn)，求證：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.選題意圖：鞏固雙曲線的第二定義，給出雙曲線焦半徑的推導(dǎo)方法.證明：雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是

c和x?a2c.∵雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡(jiǎn)得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.說明：｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜稱作焦半徑公式.

［例2］雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線方程是x程.選題意圖：研究離心率、準(zhǔn)線與a、b、c的關(guān)系，考查準(zhǔn)線的幾何意義.解：∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12

∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說明：雙曲線的準(zhǔn)線總與實(shí)軸垂直.［例3］在雙曲線倍.選題意圖：考查雙曲線準(zhǔn)線方程、第二定義等基本內(nèi)容.

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線的準(zhǔn)線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩

??165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

把x?代入方程x216?y9?1得：y??35119.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(485,?35119)

此題也可用焦半徑解答.