第一篇：拋物線的幾何性質例題2

x2y2??1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線標準方程［例1］已知雙曲線的方程是89及拋物線的準線方程.選題意圖：考查拋物線的基本性質.x2y2??1的右頂點坐標是(22，0). 解：∵雙曲線89∴p?22,且拋物線的焦點在x軸的正半軸上.2∴所求拋物線的方程和準線方程分別為 y?82x,x??22.［例2］若拋物線的焦點為(2，2)，準線方程為x+y-1=0，求此拋物線的方程.選題意圖：考查拋物線的定義.解：設P(x,y)是拋物線上的任意一點，拋物線的焦點為F，由拋物線的定義得： ｜PF｜=d(d為P到準線的距離)，∴(x?2)2?(y?2)2?2

2x?y?12.整理得：x-2xy+y-6x-6y+15=0.說明：由于拋物線不在標準位置，所以采用拋物線定義求其方程.［例3］定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2?x上移動，求AB中點到y軸距離 的最小值，并求出此時AB中點M的坐標.選題意圖：考查對拋物線知識的綜合運用能力.

解：如圖，設F是拋物線y2?x的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD，M點到準線的垂線為MN，N為垂足，則

｜MN｜=1（｜AC｜+｜BD｜）.213（｜AF｜+｜BF｜）≥.221.4根據拋物線定義得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜.∴｜MN｜=設M點的橫坐標為x，則｜MN｜=x+∴x?MN?1315???.4244等號成立的條件是弦AB過點F，由于｜AB｜＞2p=1.∴AB過焦點是可能的，此時M點到y軸的最短距離是即AB的中點橫坐標為

5.45，4當F在AB上時，設A、B的縱坐標分別為y1、y2，則y1y2=-p=-21,從而 451222(y1+y2)=y1?y2?2y1y2?2???2

42∴y1+y2=±2.∴此時AB中點的縱坐標為±

2.2552∴M的坐標為(,?)時，M到y軸距離的最小值為.442說明：此題的難點是求最小值.而利用拋物線定義及梯形中位線性質等幾何知識使問題變得非常簡單，這再一次說明在解題中注意運用圓錐曲線的定義及有關的幾何知識，對解題是非常有益的.

第二篇：新《拋物線的簡單幾何性質》教案

拋物線的簡單幾何性質

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解并掌握拋物線的幾何性質，并能從拋物線的標準方程出發，推導這些性質．(二)能力訓練點

從拋物線的標準方程出發，推導拋物線的性質，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線方程的關系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題．

二、教材分析

1．重點：拋物線的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生類比橢圓、雙曲線的幾何性質得出．)2．難點：拋物線的幾何性質的應用．

(解決辦法：通過幾個典型例題的講解，使學生掌握幾何性質的應用．)3．疑點：拋物線的焦半徑和焦點弦長公式．(解決辦法：引導學生證明并加以記憶．)

三、教學過程

問題 拋物線的標準方程是怎樣的？

與橢圓、雙曲線一樣，通過拋物線的標準方程可以研究它的幾何性質．

下面我們根據拋物線的標準方程：

【探索研究】

1．拋物線的幾何性質

（1）范圍

因為，由方程可知

，所以拋物線在 軸的右側，當 的值增大時，也增

來研究它的幾何性質．

大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．

（2）對稱性

以的軸．

（3）頂點

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代，方程不變，所以拋物線關于 軸對稱．我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線

拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點，在方程中，當頂點就是坐標原點．

（4）離心率

時，因此拋物線的拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義可知

其他三種標準方程拋物線的幾何性質可類似地求得

再向學生提出問題：與橢圓、雙曲線的幾何性質比較，拋物線的幾何性質有什么特點？

（1）拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；

（2）拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心；

（3）拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線；

（4）拋物線的離心率是確定的，為1．

【例題分析】

例1已知拋物線關于 軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點標準方程。

2yl

例2 斜率為1的直線經過拋物線?4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段

，求它的AB的長.解：拋物線的焦點 F(1 , 0), 直線l的方程為：y?x?1

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?y?x?1?x2?6x?1?0?2?y?4x

???x1?3?22?x2?3?22?? 或 ??y1?2?22?y2?2?22 ??AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8

（三）隨堂練習

1．求適合下列條件的拋物線方程

①頂點在原點，關于 軸對稱，并且經過點

②頂點在原點，焦點是

③頂點在原點，準線是

④焦點是

（四）總結提煉，準線是

拋物線的性質和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大．它的離心率等于1；它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線；它沒有中心，也沒有漸近線．

（五）布置作業

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第三篇：8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(一)

高二圓錐曲線方程同步練習4（雙曲線的簡單幾何性質）

例1 已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為213，另一雙曲線與橢圓有公共焦點，且橢圓的長半軸比雙曲線的實半軸大4，兩曲線的離心率之比為3:7，求兩曲線方程.例2 直線y－ax－1=0和雙曲線3x2－y2=1相交于A、B兩點，a為何值時，以AB為直徑的圓經過原點.x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點，使OA?OB?c，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中點P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實半軸長與虛半軸長的乘積等于3，c的兩個焦點為F1、F2，直線l過F2點，且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=

21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線的交點2為Q，且PQ:QF2?2，求此雙曲線的方程.說明：此題意在增強學生建立坐標系的意識，并進一步熟悉雙曲線的幾何性質及待定系數法.—2—

第四篇：§8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(四)

［例1］過點P(8，1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，求直線AB的方程.選題意圖：考查直線與曲線位置關系等基礎知識.解：設A、B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）

則x12?4y12=4 ①

x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點，∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說明：此題也可設直線的斜率為k，然后待定k的值.［例2］過雙曲線xa22?yb22?1的焦點F(c,0)作漸近線

y?bax的垂線，求證：垂足H在與此焦點相對應的準線x證明：過F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

即H點的坐標是(∴H在直線上x?a2c2,abc)，ac.y?2?0［例3］已知雙曲線的一條準線方程為x?是(-2，與這條準線相對應的焦點的坐標,2),且雙曲線的離心率為

2，求雙曲線的方程.選題意圖：靈活運用雙曲線的定義解決數學問題.解：設P(x,y)是雙曲線上的任一點，P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為

.P到焦點的距離為

(x?2)?(y?22)2，∴(x?2)2?(y?22)2?2

x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方，得：

x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.［例4］如圖，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當23???34時，求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖：考查坐標法、定比分點坐標公式，雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合應用數學知識解決問題的能力.分析：關鍵找e與λ的關系.解：建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線方程為

xa22?yb22?1.∵雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱.依題意，記Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點坐標公式得x0?h1??

ca∵點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e= e2代入雙曲線方程得：

4e?2hb(22?1 ①

??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

由①得： ?又?ee22?4?1代入②并整理得：

?1?2

34,，得：

23?ee2223????1?2?34

解得7≤ｅ≤10

∴雙曲線離心率的取值范圍為［7，10］.說明：?e2?ee22?1?2也可整理成

?31???2?1?2?1????2?2??31??

觀察之7≤ｅ≤10

第五篇：§8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(三)

［例1］已知雙曲線

xa22?yb22b＞0)的焦點坐標是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）?1(a＞0，是雙曲線上的任一點，求證：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.選題意圖：鞏固雙曲線的第二定義，給出雙曲線焦半徑的推導方法.證明：雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點F1(-c,0)、F2(c,0)相應的準線方程分別是

c和x?a2c.∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.說明：｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜稱作焦半徑公式.

［例2］雙曲線的中心在坐標原點，離心率為4，一條準線方程是x程.選題意圖：研究離心率、準線與a、b、c的關系，考查準線的幾何意義.解：∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12

∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說明：雙曲線的準線總與實軸垂直.［例3］在雙曲線倍.選題意圖：考查雙曲線準線方程、第二定義等基本內容.

解：設P點的坐標為(x,y)，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.∵雙曲線的準線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩

??165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

把x?代入方程x216?y9?1得：y??35119.所以，P點的坐標為(485,?35119)

此題也可用焦半徑解答.