第一篇：雙曲線的簡單幾何性質
雙曲線的簡單幾何性質
【學習障礙】 1．理解障礙
(1)關于雙曲線對稱性的理解
把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說明雙曲線關于x軸對稱．其原因是設(x，y)為雙曲線上的一點，y換為－y方程不變，說明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(x，y)，(x，－y)關于x軸對稱，故整個雙曲線關于x軸對稱．
同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說明雙曲線關于y軸、原點都是對稱的，因此坐標軸為對稱軸，對稱中心為原點．(2)關于對雙曲線漸近線的理解
xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)
ababab＝1，當雙曲線上點P(x，y)在第一、三象限且遠離原點時，|在二、四象限遠離原點時，|
xyxy＋|→＋∞，此時－→0，當點P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點遠ababxyxy離原點時，雙曲線越來越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點遠離原點時，雙曲線越來越靠近＋
ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．
abab(3)關于對離心率e的理解
cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時漸近線y＝－x到yaaaa?a?＝
2bx的角就越大，從而雙曲線開口就越闊，反之，e越小，雙曲線開口就越窄． a2．解題障礙
(1)雙曲線焦點位置的判定
雙曲線的焦點位置除題目直接告訴外，還可根據頂點位置．實軸(虛軸)、準線位置等判定，另外也可根據點在漸近線的上方還是下方來確定．(2)雙曲線方程的幾種變形
x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過來就不正確．如果將常數1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數1換為
abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應用．另外，以直線
ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個重要性質
漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質可以很好地解決解題思路．
【學習策略】 1．待定系數法
根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對稱性簡化作圖步驟和減少運算量．這一點正體現雙曲線的幾何性質的應用．綜上可簡記為：“巧設方程立好系，待定系數求a、b；結合圖形用性質，避免繁瑣用定義． 2．定義法
與焦點有關的距離，通過定義轉化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應能寫出對應的雙曲線系． 【例題分析】
［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點P(4，3)，求雙曲線的標準方程．
策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個未知數表示出雙曲線的標準方程，但要判斷點P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點P在雙曲線上，用待定系數法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫出標準方程，再把P點坐標代入方程可求出參數λ，從而求出雙曲線方程．
1x，2a1當x＝4時，y＝2＜yP＝3 ∴焦點在y軸上，即＝，設a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．
b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169
2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522
xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．
24x2∴可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)
∵雙曲線經過點P(4，3)
442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22
?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．
4205評注：由已知條件求雙曲線方程時，首先要確定其定位條件，即要確定焦點在哪個坐標軸上，再根據其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時，一般把已知點橫坐標xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點在漸近線上方或下方，由此確定焦點的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對
22xy雙曲線方程類型的討論，簡化了解題過程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數)ab中，當λ＞0時，焦點在x軸上，當λ＜0時，焦點在y軸上．
x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點，求該雙曲線的標準方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點即雙曲線的焦點，由離心率可得出a進而求出b，可得雙曲線方程．
解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．
x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設與橢圓共焦點的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10
∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．
213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評注：解法二用了共焦點的圓錐曲線系方程，簡化了解題過程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當k＜b2時，方程表示橢圓，當b2＜k＜a2時，方程a?kb?k表示雙曲線．
［例3］已知中心在原點的雙曲線的焦點為F1(－5，0)，F2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．
策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．
解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點F(±5，0)在x軸上，∴
3x． 4b3＝，設a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1
∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316
x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評注：利用雙曲線系方程，可以簡化運算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時焦點在x軸上，λ＜0時焦點在y軸上)．
策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點P的坐標(x0，y0)或x02與y02，但計算相當麻煩，再一個方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個定義解決．
解法一：設點P的橫坐標為x0，當點P在雙曲線的右支上時，根據雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32
∴e2x02－a2＝32
∴e2x02＝32＋a2
∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2
∴同理，當點P在雙曲線左支上時，仍可得PF1⊥PF2．
解法二：∵點P在雙曲線上，依據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
∴PF1⊥PF2．
評注：雙曲線的定義不僅是推導雙曲線方程的依據，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關雙曲線的焦點、準線等許多問題．
［例5］某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處(如圖8—4—1所示)
2x2y2? ＝1的兩個焦點點P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工．
策略：首先抽象為數學問題，半圓中的點可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點是第一、第二類點的分界．
解：設M是分界線上的任意一點，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點M滿足性質：點M到定點A與定點B的距離之差等于常數50，符合雙曲線的定義，所以M點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，所以問題轉化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得
|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500
2∴以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系，則界線是雙曲線孤
x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運土時，將此雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省．
評注：本題通過建立直角坐標系,利用點的集合的性質,構造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優化區域． ［例6］(2000年2全國高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當
32≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．
策略：設出雙曲線方程，由E、C坐標適合方程，找出各字母之間的聯系，特別是e同λ的關系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．
因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．
e?2433322依題設≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評注：解本題關鍵找出離心率e與λ的關系，對于λ＝1－
31?2?
32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對考查學生思維能力、運算推理能力、綜合運用數學知識等能力都有較高要求，作為高考題可謂當之無愧．
x2y2［例7］設雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點，已知原點到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：
xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43
432c，∴a2b2＝c
164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2
∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0
∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又0
【同步達綱練習】
1．下列各對雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）
A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）
3．A．
B．2
C．
D．
3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2
B．
C．
D．
4．點P為雙曲線－y2＝1右支上一點(非頂點)，F1、F2是該雙曲線的焦點，則△F1PF2的內心在（）
A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上
5．設連接雙曲線－＝1與－＝1的四個頂點的四邊形的面積是S1，連結其四個焦點的面積為S2，則的最大值是（）
A．
B．
C．1
D．2 6．過雙曲線的右焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F1為左焦點且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為___________．
8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過點P(3，－)，則它的標準方程是___________．
9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為___________． 10．已知中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上的等軸雙曲線經過點(4，－)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對于(2)中的點M，求△F1MF2的面積．
11．已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點A(4，－1)，若圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．
12．在一次模擬軍事演習中，A、B、C是我軍三個炮兵陣地．在指揮作戰圖的坐標平面上，由數據給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時刻，A處發現了敵軍陣地P的某種信號，設該信號傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠，因此4秒鐘后，B、C才同時發現信號，于是A處準備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．
參考答案
【同步達綱練習】
1．解析：(用排除法)選項A和B中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．
答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．
3．解析：雙曲線∴a2＝b2．
∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．
答案：C 4．解析：設雙曲線的右頂點為N，△F1PF2的內切圓切雙曲線的實軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識得：|F1T|－|F2T|＝4．
又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝
－2．
∴|OT|＝2 又右頂點N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質定理知，△F1PF2的內切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設知雙曲線＝1的焦點坐標為：(±，0)，頂點坐標為
(±a，0)，雙曲線＝1的焦點坐標為(0，±)，頂點坐標為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝
3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B
．
6．解析：設雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2
∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1
舍去∴e＝
＋1．
7．解析：由＝1知其焦點坐標為(±3，0)，頂點為(±，0)，設所求橢圓方
程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．
答案：＝1 8．解析：設所求雙曲線方程為
－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．
答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當雙曲線焦點在x軸時，當雙曲線焦點在y軸時，故e為或．
答案：或 10．解：(1)設所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．
(2)將點M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2
＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．
(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°
∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②
①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．
11．解：當所求雙曲線的焦點在x軸上時，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過點A(4，－1)，則有＝1 ①
又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知
＝4 ②
解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．
∴當焦點在x軸上時，雙曲線方程為： ＝1．
當焦點在y軸上時，雙曲線方程為1 ③
＝1(a>0，b>0)．由題設知過點A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④
由③④知：a、b不存在，故焦點不可能在y軸上．
因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點在以B、A為焦點的以4為實軸長的雙曲線的右支上，設其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點在雙曲線＝1(x>0)上．
又|PB|＝|PC|，知P點在線段BC的垂直平分線l上．
∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(－4，)∴l的方程為y－＝(x＋4)，即點P在直線y＝(x＋7)上．
由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點坐標(8，5)設所求方向角為θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°
第二篇：雙曲線及其簡單幾何性質作業
家長簽字：
學之導教育中心作業
———————————————————————————————學生:
授課時間：________年級：
教師：求滿足下列條件的雙曲線的標準方程
（1）焦點是（-4,0），（4,0），過點（2,0）
（2）離心率為54，半虛軸長為2（3）兩頂點間的距離是6，兩焦點連線被兩頂點和中心四等分過雙曲線x2-y2?3=1的左焦點F1，作傾斜角為
6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長（F2為雙曲線的右焦點）
1）
AB 3 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標準方程
5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標圍成的三角形的面積為
812，求K的范圍
第三篇：雙曲線幾何性質2
授課時間 周星期 授課班級 授課教師 方法、技巧、規律 課雙曲線幾何性質 題 學1．了解雙曲線的簡單幾何性質——漸近線習2．能用雙曲線的簡單幾何性質解決一些簡單問題。目.標 重雙曲線的幾何性質及初步運用。點 難雙曲線的漸近線 點 問題 1：由橢圓的幾何性質出發，類比探究雙曲線 標準方程 觀察圖形，把握對 稱性`開放性和特 殊點 漸近線方程 問題2實軸與虛軸等長的雙曲線叫___________ 雙曲線 學方程可表示為___________，漸近線方程為________,習問題3：不同的雙曲線漸近線會相同嗎？ 過x2y222程 1.雙曲線4?9?1漸近線方程為_____，雙曲線y36?x16?1漸近線方程為_____ 2.（2009天津卷文）設雙曲線x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的虛軸長為2，焦距為23，x224k?y9k?1漸近線方程為____ 例2.已知雙曲線方程x29?y216?1，求與它共漸近線且滿 1）過點(?3,23)22）焦點為橢圓x210?y5?1的頂點 3）焦距為10 漸近線應用 21）（2009寧夏海南卷理）雙曲線x24-y12=1的焦點到漸近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)設雙曲線x2a2?y29?1?a?0?的漸近線3）（2010浙江理數）（8）設Fx21、F2分別為雙曲線a2?曲線右支上存在點P，滿足PF2?F1F2，且F2到直線雙曲線的漸近線方程為（A）3x?4y?0（B）3x?5y?0（C）4x?3y?x24）.（2009全國卷）雙曲線?y2?1的漸近線與圓(b
第四篇：§8.2.4雙曲線幾何性質
雙曲線的幾何性質（2）
一．課題：雙曲線的幾何性質（2）
二．教學目標：1.鞏固雙曲線的幾何性質；
2.能熟練地利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程。
三．教學重、難點：幾何性質的運用。四．教學過程：
（一）復習：
1．雙曲線的幾何性質：
①范圍；②對稱性；③頂點；④漸近線；⑤離心率。2．練習：
①雙曲線25x2?16y2?400的實軸長等于
，虛軸長等于
，頂點坐標為
，焦點坐標為
，漸近線方程為
，離心率等于
．（若方程改為16y2?25x2?400呢？）
（二）新課講解： 例1．求證：雙曲線
【練習】與雙曲線y2xa22?yb22??（??0）與雙曲線
xa22?yb22?1有共同的漸近線。
4?x23?1有共同的漸近線且經過點M(3,?2的)雙曲線方程是 ．
例2．求中心在原點，一條漸近線方程為2x?3y?0，且一焦點為(?4,0)的雙曲線標準方程。
例3．已知雙曲線的漸近線方程為y??23x，實軸長為12，求它的標準方程。
五．小結： 用雙曲線的性質求雙曲線方程。六．作業： 課本P114第6題
補充：1．已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點F1,F2在坐標軸上，離心率為2，且過點(4,?10)，（1）求雙曲線方程；
（2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：MF1?MF2；（3）求?F1MF2的面積。
第五篇：第四節：雙曲線的幾何性質
第四節：雙曲線的幾何性質
習題精選
一、選擇題
1．經過點 且與雙曲線 有相同漸近線的雙曲線方程是（）．
A． ；
B． ；
C． ；
D．
2．已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的（）．
A．焦距為10
B．實軸和虛軸長分別是8和6
C．離心率是 或
D．離心率不確定
3．若方程 表示的曲線是一組雙曲線，則這組雙曲線（）．
A．有相同的實軸和虛軸
B．有共同的焦點
C．有共同的準線
D．有相同的離心率
二、填空題
4．雙曲線 上一點 到左焦點距離為8，則它到右準線距離為_________．
5．對稱軸為坐標軸的雙曲線的準線與漸近線的一個交點是 _____________．，則雙曲線方程是6．設雙曲線 的半焦距為，直線 過，兩點，已知原點到直線的 的距離為，則雙曲線的離心率為__________．
三、解答題
7．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，一條準線方程為，求雙曲線方程．
8．過雙曲線 點，以 的左焦點，斜率為 的直線 與兩準線交于，兩為直徑的圓過原點，且點（3，2）在雙曲線上，求雙曲線方程．，9．過點（2，2）的雙曲線的虛軸長、實軸長、焦距成等差數列，且它的右準線方程是 求（1）雙曲線的離心率；（2）雙曲線右焦點的軌跡方程．
10．過點 作直線，使它恰好與雙曲線
參考答案：
有一個交點，求直線方程．
一、選擇題：1．B； 2．C； 3．B；
二、填空題：4． ； 5． 或 ； 6．2；
三、解答題：7． ； 8． ；
9．（1）即 ；（2）設雙曲線的右焦點為
．，由雙曲線定義有，10．、典型例題（例1～例4）
例1 求與雙曲線 共漸近線且過 點的雙曲線方程及離心率．
解法一：雙曲線 的漸近線方程為：
（1）設所求雙曲線方程為
∵，∴ ①
∵ 在雙曲線上
∴ ②
由①－②，得方程組無解
（2）設雙曲線方程為
∵，∴ ③
∵ 在雙曲線上，∴ ④
由③④得，∴所求雙曲線方程為： 且離心率
解法二：設與雙曲線 共漸近線的雙曲線方程為：
∵點 在雙曲線上，∴
∴所求雙曲線方程為：，即 ．
評述：（1）很顯然，解法二優于解法一．
（2）不難證明與雙曲線 共漸近線的雙曲線方程 ．
一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程．
求雙曲線方程較為方便．通常是根據題設中的另一條件確定參數
（3）以上優美巧妙的解法，達到了化繁為易的目的．教學中，要引起重視．
例2 作方程 的圖象．
分析：∵
∴方程圖象如右圖，∴，∴
即表示雙曲線 的右支．
例3 作方程 的圖象．
分析：∵
∴方程圖象應該是圓 完成．）
及雙曲線 在 軸上方的圖象．（畫圖請自行
評述：在根據方程作出相應圖象時，應遵循：“如果曲線 的方程是，那么點 在曲線 上的充要條件是 ”這一原則；另外，須注意方程變形的未知數的允許值可能會擴大，而原方程的曲線只能取原方程允許值范圍內的那一部分．
例4 求以曲線
實軸長為12的雙曲線的標準方程．
和 的交點與原點的連線為漸近線，且
分析：先求出漸近線方程，確定出其斜率，結合已知條件確定所求雙曲線方程中的字母系數．
解：∵，∴ 或，∴漸近線方程為
當焦點在 軸上時，由 且，得 ．
∴所求雙曲線方程為
當焦點在 軸上時，由，且，得 ．
∴所求雙曲線方程為
評述：（1）“定量”與“定位”是求雙曲線標準方程的兩個過程，解題過程中應準確把握．
（2）為避免上述的“定位”討論，我們可以用有相同漸近線的雙曲線系方程去解，請讀者自行完成．
典型例題（例5～例10）
例5 已知雙曲線的漸近線方程為 標準方程．，兩條準線間的距離為，求雙曲線
分析：可根據雙曲線方程與漸近線方程的關系，設出雙曲線方程，進而求出雙曲線標準方程．
解：∵雙曲線漸近線方程為
（1）若，則，∴設雙曲線方程為
∴準線方程為：
（2）若，則，∴，∴
∴準線方程為：，∴，∴
∴所求雙曲線方程為： 或
評述：（1）準確及進地應用有相同漸近線的雙曲線系方程給我們的求解過程帶來了方便．
（2）通過待定系數法求出參數
例6 中心在原點，一個焦點為 標準方程．
． 的雙曲線，其實軸長與虛軸長之比為，求雙曲線
解：設雙曲線的標準方程為，則，解得
∴ 為所求雙曲線的標準方程．
評述：以上方法是求雙曲線標準方程的通用方法，注意其中的運算技巧．
例7 求中心在原點，對稱軸為坐標軸經過點
且離心率為 的雙曲線標準方程．
解：設所求雙曲線方程為：，則，∴，∴，∴所求雙曲線方程為
評述：（1）以上巧妙簡捷的設法是建立在一個事實的基礎上的，即離心率 線的等軸雙曲線的充要條件，它的證明如下：
是雙曲
設等軸雙曲線
∴，則，∴，∴
反之，如果一個雙曲線的離心率 ．
∴
∴，∴，∴，∴雙曲線是等軸雙曲線
（2）還可以證明等軸雙曲線的其他性質：兩條漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項等．
例8 已知點 值最小．
解：∵，，在雙曲線 上求一點，使 的，∴，∴
設點 到與焦點 相應準線的距離為 則
∴，∴
至此，將問題轉化成在雙曲線上求一點，使 到定點 的距離與到準線距離和最小．即到定點 的距離與準線距離和最小為直線 垂直于準線時，解之得，點
評述：靈活巧妙地運用雙曲線的比值定義于解題中，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．教學中應著重培養學生靈活運用知識的能力．
例9 已知：
求：點
是雙曲線、的距離．
上一點．
到雙曲線兩焦點
分析：利用雙曲線的第二定義．
解：如圖，設點 到相應焦點、的準線的距離為、．
當 點在雙曲線的右支上時，且有
∴，當點 在雙曲線的左支上時，且有
∴，評述：以上結論稱為雙曲線的焦點半徑公式，它在解題過程中發揮著很大的優越性，可使解題過程的運算量簡化，從而得到避繁就簡效果．例如：
在雙曲線 點 的一支上有三個不同點 的值．、、與焦的距離成等差數列，求
解：直接利用焦半徑公式，得：，∴，∴，即
注意：一般地，在涉及到雙曲線上的點到焦點的距離問題，應用焦半徑公式是一種簡單快捷的方法．
例10 如圖所示，已知梯形 過、、三點，且以、中，為焦點，當、，點 滿足，雙曲線
時，求雙曲線離心率的取值范圍．、的坐標及雙曲線的方程求解． 軸，建立直角坐標系，則、關
分析一：依題意，建立恰當的坐標系，并通過
解法一：以直線 于 軸對稱．
為 軸，以、的垂直平分線為、軸，因雙曲線過點，且以 為焦點，由雙曲線的對稱性可知
設 的高．、、，其中 為雙曲線的半焦距，是梯形
由，即，得，設雙曲線方程為，則離心率為 ．
由點、在雙曲線上，將、的坐標和，代入雙曲線方程得
由①得，將③代入②式中，整理得：
∴
∴，又∵，∴，∴雙曲線的離心率取值范圍為
分析二：建立直線
．
方程，再與雙曲線方程聯立，借助一元二次方程根與系數關系解題．
解法二：前面部分同解法一．
可求得直線 方程為，將其代入雙曲線方程
中，得
又∵、為上述二次方程的兩根，∴ ①
又∵ 在雙曲線上，∴
②
∵
③
將②③代入①中，得：
∵，∴
以下同解法一
分析三：借助焦半徑公式解題．
∵，∴
①
∴，由焦半徑公式，得：
②
將①代入②，得：
∵，∴
以下同解法一
評述：（1）此題的關鍵是：弄清應設定幾個量之間關系（如：、、如何自始至終保持思路清晰，有條不紊．、）．難點：
（2）比較以上三種方法不難發現：解法二雖思路簡單自然，但由于采取了聯立方程消元的思想，也就導致了解題過程的運算繁瑣，這對于學生的計算能力要求是很高的，解法三因巧妙地運用了焦半徑公式，使得求解過程變得簡潔快捷，而且給人以一種心滿意足的感覺，這表明善于記憶一些中間結果對我們的學習幫助很大．
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