第一篇：雙曲線的簡單幾何性質 典型例題解析

典例剖析

x2y2［例1］已知雙曲線2?2=1(a＞0，b＞0)的焦點坐標是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是雙曲線上的任一點，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.x2y2【證明】 雙曲線2?2=1的兩焦點F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相應的準線方程分別是x=－和x=.cc∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【點評】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱作焦半徑公式.［例2］雙曲線的中心在坐標原點，離心率為4，一條準線方程是x=程.1,求雙曲線的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴雙曲線的方程是=1.?460【點評】 雙曲線的準線總與實軸垂直.x2y2［例3］在雙曲線=1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩?169倍.【解】 設P點的坐標為(x,y)，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.∵雙曲線的準線方程為x=±

16.5∴PF116x?5?PF216x?5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.?16165x?x?5548x2y2把x=代入方程=1得： ?1695y=±3119.5483，±119)

55【點評】 此題也可用焦半徑解答.所以，P點的坐標為(

第二篇：雙曲線的簡單幾何性質 典型例題解析

典例剖析

［例1］已知雙曲線的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程.【解】 把方程化為標準方程

ya2222222

2?xb22=1，由此可知，實半軸長為a,虛半軸長為b，c=a2?b2.焦點坐標是(0,－a2?b2),(0, 漸近線方程為x=±【點評】 雙曲線近線為x=±baxaa2?b2).ba22y,即y=±

?yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的漸近線為y=±x,雙曲線

ya22?xb22=1的漸y,即y=±

abx，應仔細區分兩雙曲線的漸近線的異同點.［例2］求一條漸近線方程是3x+4y=0，一個焦點是(4，0)的雙曲線標準方程，并求雙曲線的離心率.【解】 雙曲線的漸近線方程可寫成（λ≠0）

∵焦點在x軸上，∴λ＞0 把雙曲線的方程寫成x2x4?y3=0,因此雙曲線的方程可寫成x216?y29＝λ

16??y29?＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求雙曲線的標準方程為

x2 ＝1

25625?14425∵a2=25625,即a=165，ca?4165?54∴雙曲線的離心率e=.【點評】 漸近線為對角線證明.xa?yb＝0的雙曲線方程總是

xa22?yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等軸雙曲線的兩個頂點分別為A1、A2，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點.求證：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【證明】（1）不妨設等軸雙曲線的方程為設直線MN的方程為x=b(b>a)

xa22?yb22＝1 如圖8—7易求得

N(b,a2?b2)

圖8—7 b2∴tanNA1x＝?a2a?b2=

b?ab?a

tanNA2x＝b?a2b?a=

b?ab?a

∴tanNA1x＝?21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均為銳角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根據對稱性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2?a2)?b?ab?a22∴kMA?kA12N??b?ab?a22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可證MA2⊥A1N.【點評】 利用對稱性把要證等式轉化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現轉化意識.

第三篇：8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(一)

高二圓錐曲線方程同步練習4（雙曲線的簡單幾何性質）

例1 已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為213，另一雙曲線與橢圓有公共焦點，且橢圓的長半軸比雙曲線的實半軸大4，兩曲線的離心率之比為3:7，求兩曲線方程.例2 直線y－ax－1=0和雙曲線3x2－y2=1相交于A、B兩點，a為何值時，以AB為直徑的圓經過原點.x2y22例3 在雙曲線2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線上分別取A、B兩點，使OA?OB?c，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中點P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線c的實半軸長與虛半軸長的乘積等于3，c的兩個焦點為F1、F2，直線l過F2點，且與直線F1F2的夾角為φ,tanφ=

21,l與F1F2線段的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線的交點2為Q，且PQ:QF2?2，求此雙曲線的方程.說明：此題意在增強學生建立坐標系的意識，并進一步熟悉雙曲線的幾何性質及待定系數法.—2—

第四篇：§8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(四)

［例1］過點P(8，1)的直線與雙曲線x2?4y2?4相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，求直線AB的方程.選題意圖：考查直線與曲線位置關系等基礎知識.解：設A、B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）

則x12?4y12=4 ①

x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線段AB的中點，∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

∴直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說明：此題也可設直線的斜率為k，然后待定k的值.［例2］過雙曲線xa22?yb22?1的焦點F(c,0)作漸近線

y?bax的垂線，求證：垂足H在與此焦點相對應的準線x證明：過F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

即H點的坐標是(∴H在直線上x?a2c2,abc)，ac.y?2?0［例3］已知雙曲線的一條準線方程為x?是(-2，與這條準線相對應的焦點的坐標,2),且雙曲線的離心率為

2，求雙曲線的方程.選題意圖：靈活運用雙曲線的定義解決數學問題.解：設P(x,y)是雙曲線上的任一點，P到直線x?x?y?22y?2?0的距離為

.P到焦點的距離為

(x?2)?(y?22)2，∴(x?2)2?(y?22)2?2

x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方，得：

x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

∴xy=-1.即所求雙曲線的方程為xy=-1.［例4］如圖，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當23???34時，求雙曲線離心率e的取值范圍.選題意圖：考查坐標法、定比分點坐標公式，雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合應用數學知識解決問題的能力.分析：關鍵找e與λ的關系.解：建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線方程為

xa22?yb22?1.∵雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱.依題意，記Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點坐標公式得x0?h1??

ca∵點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e= e2代入雙曲線方程得：

4e?2hb(22?1 ①

??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

由①得： ?又?ee22?4?1代入②并整理得：

?1?2

34,，得：

23?ee2223????1?2?34

解得7≤ｅ≤10

∴雙曲線離心率的取值范圍為［7，10］.說明：?e2?ee22?1?2也可整理成

?31???2?1?2?1????2?2??31??

觀察之7≤ｅ≤10

第五篇：§8.4雙曲線的簡單幾何性質例題(三)

［例1］已知雙曲線

xa22?yb22b＞0)的焦點坐標是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）?1(a＞0，是雙曲線上的任一點，求證：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.選題意圖：鞏固雙曲線的第二定義，給出雙曲線焦半徑的推導方法.證明：雙曲線x??a2xa22?yb22?1的兩焦點F1(-c,0)、F2(c,0)相應的準線方程分別是

c和x?a2c.∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.說明：｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜稱作焦半徑公式.

［例2］雙曲線的中心在坐標原點，離心率為4，一條準線方程是x程.選題意圖：研究離心率、準線與a、b、c的關系，考查準線的幾何意義.解：∵ca?4,a2?12,求雙曲線的方c?12

∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線的方程是x24?y260?1.說明：雙曲線的準線總與實軸垂直.［例3］在雙曲線倍.選題意圖：考查雙曲線準線方程、第二定義等基本內容.

解：設P點的坐標為(x,y)，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.∵雙曲線的準線方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩

??165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

把x?代入方程x216?y9?1得：y??35119.所以，P點的坐標為(485,?35119)

此題也可用焦半徑解答.