第一篇：2018年高考前必做題 橢圓的簡單幾何性質典型例題

橢圓的簡單幾何性質典型例題

例

1橢圓的一個頂點為A?2，0?，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程． 分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置． 解：（1）當A?2，0?為長軸端點時，a?2，b?1，x2y2??1； 橢圓的標準方程為：41（2）當A?2，0?為短軸端點時，b?2，a?4，x2y2??1； 橢圓的標準方程為：

416說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．

例2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率．

a21?2?

∴3c2?a2，解：?2c?c3∴e?13． ?33說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．

例3 已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線x?y?1?0交于A、B兩點，M為AB中點，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．

x22解：由題意，設橢圓方程為2?y?1，a?x?y?1?0?222由?x2，得??1?ax?2ax?0，2?2?y?1?a1x1?x21?a2?2，yM?1?xM?∴xM?，1?a22a ?kOM?yM11?2?，∴a2?4，xMa4x2?y2?1為所求． ∴4說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數法；（2）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與系數的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．

x2y?9?例4橢圓??1上不同三點A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?與焦點F?4，0?的2595??距離成等差數列．

（1）求證x1?x2?8；

（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T，求直線BT的斜率k．

證明：（1）由橢圓方程知a?5，b?3，c?4． 由圓錐曲線的統一定義知：2AFa2?x1c?c，a∴

AF?a?ex1?5?同理

CF?5?4x1． 54x2． 59，5∵

AF?CF?2BF，且BF?∴

?5???4??4?18x1???5?x2??，5??5?5即

x1?x2?8．

（2）因為線段AC的中點為?4，1??y?y2??，所以它的垂直平分線方程為 2?

y?y1?y2x1?x2?x?4?． ?2y1?y2又∵點T在x軸上，設其坐標為?x0，0?，代入上式，得

2y12?y

2x0?4?

2?x1?x2?又∵點A?x1，y1?，B?x2，y2?都在橢圓上，925?x12 2592225?x2

y2? 25922?x1?x2??x1?x2?． ∴ y1?y2??25∴ y1?2????將此式代入①，并利用x1?x2?8的結論得

x0?4??36 2∴ kBT 9?055??．

4?x04x2y例5 已知橢圓??1，F1、F2為兩焦點，問能否在橢圓上找一點M，使M到43左準線l的距離MN是MF1與MF2的等比中項？若存在，則求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

解：假設M存在，設M?x1，y1?，由已知條件得

2a?2，b?3，∴c?1，e?∵左準線l的方程是x??4，∴MN?4?x1． 又由焦半徑公式知：

1． 21x1，21MF2?a?ex1?2?x1．

2MF1?a?ex1?2?∵MN2?MF1?MF2，2∴?x1?4???2?2??1??1?x1??2?x1?． 2??2?整理得5x1?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??12．

① 5另一方面?2?x1?2．

②

則①與②矛盾，所以滿足條件的點M不存在． 說明：

（1）利用焦半徑公式解常可簡化解題過程．

（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據已知條件進行推理和運算．進而根據推理得到的結果，再作判斷．

（3）本例也可設M2cos?，3sin?存在，推出矛盾結論（讀者自己完成）．

??x2?11?例6 已知橢圓?y2?1，求過點P?，?且被P平分的弦所在的直線方程．

2?22?分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為k，利用條件求k． 解法一：設所求直線的斜率為k，則直線方程為y?整理得

11???k?x??．代入橢圓方程，并22???1?2k?x??2k22213?2kx?k2?k??0．

22?2k2?2k由韋達定理得x1?x2?． 21?2k∵P是弦中點，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直線方程為2x?4y?3?0．

分析二：設弦兩端坐標為?x1，y1?、?x2，y2?，列關于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：

1． 2y1?y2．

x1?x2?11??22?解法二：設過P?，?的直線與橢圓交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，則由題意得

?x122?y，1?1??22?x22??y2?1，?2?x1?x2?1，??y1?y2?1.①② ③④2x12?x22?y12?y2?0．

⑤ ①－②得2將③、④代入⑤得

1y1?y21??，即直線的斜率為?．

2x1?x22 所求直線方程為2x?4y?3?0．

說明：

（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．

（2）解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”．有關二次曲線問題也適用．

例7 求適合條件的橢圓的標準方程．

（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點?2，?6?；

（2）在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯機互相垂直，且焦距為6．

x2y22分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如（1）題中由2?2?1求出a?148，abx2y2y2x2??1． ??1后，不能依此寫出另一方程b?37，在得方程

14837148372x2y2y2x2解：（1）設橢圓的標準方程為2?2?1或2?2?1．

abab由已知a?2b．

① 又過點?2，?6?，因此有

?22??6??6?22?2?1或2?2?1．

② a2bab22由①、②，得a?148，b?37或a?52，b?13．故所求的方程為 2222x2y2y2x2?1． ??1或?521314837x2y22（2）設方程為2?2?1．由已知，c?3，b?c?3，所以a?18．故所求方程abx2y2??1． 為189說明：根據條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數”．關鍵在于焦點的位置

x2y2y2x2是否確定，若不能確定，應設方程2?2?1或2?2?1．

abab

x2y2??1的右焦點為F，例8 橢圓過點A1點M在橢圓上，當AM?2MF，3，1612??為最小值時，求點M的坐標．

分析：本題的關鍵是求出離心率e?最小值．一般地，求AM?1，把2MF轉化為M到右準線的距離，從而得21MF均可用此法． e1解：由已知：a?4，c?2．所以e?，右準線

2l：x?8．

過A作AQ?l，垂足為Q，交橢圓于M，故顯然AM?2MF的最小值為AQ，即MMQ?2MF．為所求點，因此yM?3，且M在橢圓上．故xM?23．所以M23，3．

說明：本題關鍵在于未知式AM?2MF中的“2”的處理．事實上，如圖，e???1，2即MF是M到右準線的距離的一半，即圖中的MQ，問題轉化為求橢圓上一點M，使M到A的距離與到右準線距離之和取最小值．

x2?y2?1上的點到直線x?y?6?0的距離的最小值． 例9 求橢圓3分析：先寫出橢圓的參數方程，由點到直線的距離建立三角函數關系式，求出距離的最小值．

?x?3cos?，解：橢圓的參數方程為?設橢圓上的點的坐標為

?y?sin?.直線的距離為

?3cos?，sin??，則點到d????2sin?????63cos??sin??6?3?． ?22????????1時，d最小值?22． ?3?當sin?說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數方程．

例10 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e?3?3?，已知點P?0，?到2?2?這個橢圓上的點的最遠距離是7，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點P的距離等于7的點的坐標．

分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數方程，要善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數結合的思想，提高邏輯推理能力．

x2y2解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是2?2?1，其中a?b?0待定．

abc2a2?b2b2?1?2可得 由e?2?aa2a2b31?1?e2?1??，即a?2b． a42設橢圓上的點?x，y?到點P的距離是d，則

3?y2?9?2?2?d?x??y???a?1??y?3y? 2??2?4??b?22291??

?4b?3y?3y???3?y???4b2?3

42??222其中?b?y?b． 如果b?12，則當y??b時，d（從而d）有最大值． 2由題設得???7?3113??7??b??，由此得b?7??，與b?矛盾．

2222??22因此必有b?由題設得112成立，于是當y??時，d（從而d）有最大值． 222?4b2?3，可得b?1，a?2．

x2y2??1． ∴所求橢圓方程是41由y??11?1???及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點??3，??，點?3，??到點22?2??? ?3?P?0，?的距離是7． ?2?解法二：根據題設條件，可取橢圓的參數方程是??x?acos?，其中a?b?0，待定，?y?bsin?0???2?，?為參數．

c2a2?b2?b?2由e?2??1???可得 2aa?a?b31?1?e2?1??，即a?2b． a42設橢圓上的點?x，y?到點P?0，?的距離為d，則

222??3?2?3?3???d2?x2??y???a2cos2???bsin???

2?2?????

?4b?3bsin??3bsin22229 41??

??3b2?sin????4b2?3

2b??如果11?1，即b?，則當sin???1時，d2（從而d）有最大值． 2b2由題設得成立． ??31113??7??b??，由此得b?7??，與b?矛盾，因此必有?12222b2??22于是當sin???由題設知12時d（從而d）有最大值． 2b?7?2?4b2?3，∴b?1，a?2．

∴所求橢圓的參數方程是??x?2cos?．

?y?sin?由sin??? 131??1??，cos???，可得橢圓上的是??3，??，?3，??． 222??2??例11 設x，y?R，2x?3y?6x，求x?y?2x的最大值和最小值． 分析：本題的關鍵是利用形數結合，觀察方程2x?3y?6x與橢圓方程的結構一

222222致．設x2?y2?2x?m，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關系求得最值．

解：由2x2?3y2?6x，得

3???x??y22???1

?93????2?4?可見它表示一個橢圓，其中心在?，0?點，焦點在x軸上，且過（0，0）點和（3，0）點．

設x2?y2?2x?m，則

?x?1??y2?m?1 22?3??2?它表示一個圓，其圓心為（－1，0）半徑為m?1?m??1?．

在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即m?1?1，此時m?0；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即m?1?4，∴m?15．

∴x?y?2x的最小值為0，最大值為15． 22

x2y2例12 已知橢圓C：2?2?1?a?b?0?，A、B是其長軸的兩個端點．

abb如何變化，?APB?120．（1）過一個焦點F作垂直于長軸的弦PP?，求證：不論a、（2）如果橢圓上存在一個點Q，使?AQB?120，求C的離心率e的取值范圍．

?? 分析：本題從已知條件出發，兩問都應從?APB和?AQB的正切值出發做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手．本題的第（2）問中，其關鍵是根據什么去列出離心率e滿足

?的不等式，只能是橢圓的固有性質：x?a，y?b，根據?AQB得到?120a222ay22b、??3，將x?a?2y代入，消去x，用a、以便利用y?bc表示y，bx2?y2?a2列出不等式．這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵成．

解：（1）設F?c，0?，A??a，0?，B?a，0?．

?x?c?b2??P?c，?

?222222?? abx?ay?ab???于是kAPb2b2，kBP?． ?a?c?a?a?c?a?∵?APB是AP到BP的角．

b2b2?2a2a?c?a?a?c?a?∴tan?APB???2

b4c1?22ac?a2??∵a?c ∴tan?APB??2

故tan?APB??

3∴?APB?120．（2）設Q?x，y?，則kQA??22yy，kQB?． x?ax?a由于對稱性，不妨設y?0，于是?AQB是QA到QB的角．

yy?2ay?a?∴tan?AQB?x?ax 2222yx?y?a1?2x?a2∵?AQB?120，∴?2ay??3

x2?y2?a2整理得3x2?y2?a2?2ay?0 ??a22∵x?a?2y

b22 ?a2?2∴3??1?b2??y?2ay?0

??2ab2∵y?0，∴y? 23c2ab2∵y?b，∴?b 23c2ab?3c2，4a2a2?c2?3c2

∴4c?4ac?4a?0，3e?4e?4?0 ∴e?2??422442362或e??2（舍），∴?e?1． 231x2y2??1的離心率e?，求k的值． 例13 已知橢圓

2k?89分析：分兩種情況進行討論．

解：當橢圓的焦點在x軸上時，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?當橢圓的焦點在y軸上時，a?9，b?k?8，得c?1?k．

2222221，得k?4． 211?k15?，即k??．，得29445∴滿足條件的k?4或k??．

4由e?說明：本題易出現漏解．排除錯誤的辦法是：因為k?8與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在x軸上，也可能在y軸上．故必須進行討論．

x2y2例14 已知橢圓2?2?1上一點P到右焦點F2的距離為b(b?1)，求P到左準線4bb的距離．

分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解．

x2y23解法一：由2?2?1，得a?2b，c?3b，e?．

24bb由橢圓定義，PF1?PF2?2a?4b，得

PF1?4b?PF2?4b?b?3b．

由橢圓第二定義，PF1d1?e，d1為P到左準線的距離，∴d1?PF1e?23b，即P到左準線的距離為23b．

解法二：∵PF2d2PF2e?e，d2為P到右準線的距離，e?23b． 3c3，?a2∴d2??a283又橢圓兩準線的距離為2??b．

c3∴P到左準線的距離為

8323b?b?23b． 33說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性．否則就會產生誤解．

橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如．一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．

?x?4cos?,?例15 設橢圓?(?為參數)上一點P與x軸正向所成角?POx?，求

3?y?23sin?.P點坐標．

分析：利用參數?與?POx之間的關系求解．

解：設P(4cos?,23sin?)，由P與x軸正向所成角為

?，3∴tan?3?23sin?，即tan??2．

4cos?525，sin??，55而sin??0，cos??0，由此得到cos??∴P點坐標為(45415,)． 55x2y2例16 設P(x0,y0)是離心率為e的橢圓2?2?1(a?b?0)上的一點，P到左焦

ab點F1和右焦點F2的距離分別為r1和r2，求證：r1?a?ex0，r2?a?ex0．

分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉化為點到相應準線距離．

a2a2解：P點到橢圓的左準線l：x??的距離，PQ?x0?，cc由橢圓第二定義，PF1PQ?e，∴r1?a?ex0． 1?ePQ?a?ex0，由橢圓第一定義，r2?2a?r說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關問題時，有著廣泛的應用．請寫出橢圓焦點在y軸上的焦半徑公式．

x2y2??1內有一點A(1,1)，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點例17 已知橢圓95P是橢圓上一點．

P坐標；(1)求PA?PF1的最大值、最小值及對應的點(2)求PA?3PF2的最小值及對應的點P的坐標． 2分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數當，即代數方法．二是數形結合，即幾何方法．本題若按先建立目標函數，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解．

解：

(1)如上圖，2a?6，F2(2,0)，AF2?2，設P是橢圓上任一點，由，∴PF1?PF2?2a?6，PA?PF2?AF2PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等號僅當PA?PF2?AF2時成立，此時P、A、F2共線．

由PA?PF∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?2，等2?AF2，P、A、F2共線． 號僅當PA?PF2?AF2時成立，此時建立A、F2的直線方程x?y?2?0，解方程組??x?y?2?0,?5x?9y?4522得兩交點

9***P(?2,?2)P(?2,?2)．、127***P點與P2重合時，綜上所述，P點與P1重合時，PA?PF1取最小值6?2，PA?PF2取最大值6?2．

(2)如下圖，設P是橢圓上任一點，作PQ垂直橢圓右準線，Q為垂足，由a?3，c?2，∴e?PF2232．由橢圓第二定義知，∴PQ?PF2?e?32PQ3，∴3PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共線，即求A到右準線距離．右29準線方程為x?．

2PA?∴A到右準線距離為

7．此時P點縱坐標與A點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條2

件的點P坐標(65,1)． 51PF2的最小值，就是用第二定義轉化后，過A向相應準線作垂線段．巧e說明：求PA?用焦點半徑PF2與點準距PQ互化是解決有關問題的重要手段．

x2y2??1的參數方程； 例18(1)寫出橢圓94(2)求橢圓內接矩形的最大面積．

分析：本題考查橢圓的參數方程及其應用．為簡化運算和減少未知數的個數，常用橢圓的參數方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題．

?x?3cos?解：(1)?(??R)．

y?2sin??(2)設橢圓內接矩形面積為S，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設

?(3cos?,2sin?)為矩形在第一象限的頂點，(0???)，2則S?4?3cos??2sin??12sin2??12

故橢圓內接矩形的最大面積為12．

說明：通過橢圓參數方程，轉化為三角函數的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用參數方程形式較簡便．

例19 已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且?F1PF2?60?．(1)求橢圓離心率的取值范圍；

(2)求證?PF1F2的面積與橢圓短軸長有關． 分析：不失一般性，可以設橢圓方程為

x2y2?2?1（a?b?0），P(x1,y1)（y1?0）． 2ab思路一：根據題設容易想到兩條直線的夾角公式，即tan60??KPF2?KPF11?KPF2KPF1?3，設P(x1,y1)，F1(?c,0)，F2(c,0)，化簡可得3x1?3y1?2cy1?3c2?0．又x1y1222，兩方程聯立消去得??1x3cy1?2b2cy1?3b4?0，由y1?(0,b]，可以122ab確定離心率的取值范圍；解出y1可以求出?PF1F2的面積，但這一過程很繁．

思路二：利用焦半徑公式PF在?PF1F2中運用余弦定理，1?a?ex1，PF2?a?ex1，求x1，再利用x1?[?a,a]，可以確定離心率e的取值范圍，將x1代入橢圓方程中求y1，便可求出?PF1F2的面積．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合PF1?PF2?2a求解． 2222

x2y2解：(法1)設橢圓方程為2?2?1（a?b?0），P(x1,y1)，F1(?c,0)，F2(c,0)，abc?0，則PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得

1(a?ex1)2?(a?ex1)2?4c2，cos60???22(a?ex1)(a?ex1)4c2?a2解得x1?． 23e2(1)∵x1?(0,a2]，24c2?a2?a2，即4c2?a2?0． ∴0?23e∴e?c1?． a212故橢圓離心率的取范圍是e?[,1)．

4c2?a2x2y2(2)將x1?代入2?2?1得 2ab3e2b4b2y1?2，即y1?．

3c3c2∴S?PF1F211b232?F1F2?y??2c??b． 2233c即?PF1F2的面積只與橢圓的短軸長有關．

(法2)設PF2F1??，?PF1F2??，1?m，PF2?n，?PF則????120?．

(1)在?PF1F2中，由正弦定理得

mn2c??． sin?sin?sin60? ∴m?n2c ?sin??sin?sin60?∵m?n?2a，∴2a2c，?sin??sin?sin60?∴e?csin60?sin60? ??asin??sin?2sin???cos???2211??． ???22cos2當且僅當???時等號成立．

故橢圓離心率的取值范圍是e?[,1)．(2)在?PF1F2中，由余弦定理得：

12(2c)2?m2?n2?2mncos60?

?m2?n2?mn ?(m?n)2?3mn

∵m?n?2a，22∴4c?4a?3mn，即mn?424(a?c2)?b2． 33∴S?PF1F2?132mnsin60??b． 23即?PF1F2的面積與橢圓短軸長有關．

說明：橢圓上的一點P與兩個焦點F1，F2構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理．解題中通過變形，使之出現PF1?PF2的結構，這樣就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關a，c的關系式，使問題找到解決思路．

x2y2例20 橢圓2?2?1(a?b?0)與x軸正向交于點A，若這個橢圓上總存在點P，ab使OP?AP(O為坐標原點)，求其離心率e的取值范圍．

分析：∵O、A為定點，P為動點，可以P點坐標作為參數，把OP?AP，轉化為P 點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于a、b、c的一個不等式，轉化為關于e的不等式．為減少參數，易考慮運用橢圓參數方程．

解：設橢圓的參數方程是??x?acos?(a?b?0)，?y?bsin?則橢圓上的點P(acos?,bsin?)，A(a,0)，∵OP?AP，∴bsin?bsin????1，acos?acos??a22b2即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??2，2a?b222b2?1，又b2?a2?c2 ∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?22a?ba2∴0?2?2，c∴e?22，又0?e?1，∴?e?1． 222,1)，求證在橢圓上總存在點P使OP?AP．如何2說明：若已知橢圓離心率范圍(證明？

第二篇：雙曲線的簡單幾何性質 典型例題解析

典例剖析

x2y2［例1］已知雙曲線2?2=1(a＞0，b＞0)的焦點坐標是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是雙曲線上的任一點，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.x2y2【證明】 雙曲線2?2=1的兩焦點F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相應的準線方程分別是x=－和x=.cc∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.∴PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【點評】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱作焦半徑公式.［例2］雙曲線的中心在坐標原點，離心率為4，一條準線方程是x=程.1,求雙曲線的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴雙曲線的方程是=1.?460【點評】 雙曲線的準線總與實軸垂直.x2y2［例3］在雙曲線=1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩?169倍.【解】 設P點的坐標為(x,y)，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.∵雙曲線的準線方程為x=±

16.5∴PF116x?5?PF216x?5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.?16165x?x?5548x2y2把x=代入方程=1得： ?1695y=±3119.5483，±119)

55【點評】 此題也可用焦半徑解答.所以，P點的坐標為(

第三篇：雙曲線的簡單幾何性質 典型例題解析

典例剖析

［例1］已知雙曲線的方程by－ax=ab(a＞0,b＞0)，求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程.【解】 把方程化為標準方程

ya2222222

2?xb22=1，由此可知，實半軸長為a,虛半軸長為b，c=a2?b2.焦點坐標是(0,－a2?b2),(0, 漸近線方程為x=±【點評】 雙曲線近線為x=±baxaa2?b2).ba22y,即y=±

?yb22abx.ba=1(a＞0，b＞0)的漸近線為y=±x,雙曲線

ya22?xb22=1的漸y,即y=±

abx，應仔細區分兩雙曲線的漸近線的異同點.［例2］求一條漸近線方程是3x+4y=0，一個焦點是(4，0)的雙曲線標準方程，并求雙曲線的離心率.【解】 雙曲線的漸近線方程可寫成（λ≠0）

∵焦點在x軸上，∴λ＞0 把雙曲線的方程寫成x2x4?y3=0,因此雙曲線的方程可寫成x216?y29＝λ

16??y29?＝1

1625y2∵c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝故所求雙曲線的標準方程為

x2 ＝1

25625?14425∵a2=25625,即a=165，ca?4165?54∴雙曲線的離心率e=.【點評】 漸近線為對角線證明.xa?yb＝0的雙曲線方程總是

xa22?yb22＝λ（λ≠0），可利用矩形［例3］等軸雙曲線的兩個頂點分別為A1、A2，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點.求證：

（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.【證明】（1）不妨設等軸雙曲線的方程為設直線MN的方程為x=b(b>a)

xa22?yb22＝1 如圖8—7易求得

N(b,a2?b2)

圖8—7 b2∴tanNA1x＝?a2a?b2=

b?ab?a

tanNA2x＝b?a2b?a=

b?ab?a

∴tanNA1x＝?21tanNA2x＝cotNA2x

＝tan（－∠NA2x）

又∠NA1x，∠NA2x均為銳角

∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90° 根據對稱性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°（2）仿(1)可求得M(b，－b2?a2)?b?ab?a22∴kMA?kA12N??b?ab?a22＝－1 ∴MA1⊥A2N同理可證MA2⊥A1N.【點評】 利用對稱性把要證等式轉化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現轉化意識.

第四篇：橢圓幾何性質教學設計流程圖

篇一：教學設計-橢圓的簡單幾何性質

《橢圓的簡單幾何性質》說教學設計

一.教材分析 1.地位和作用

本節課是普通高中課程標準實驗教科書數學（選修2-1）第二章第2節，橢圓的簡單幾何性質。在此之前，學生已經掌握了橢圓的定義及其標準方程，這節課是結合橢圓圖形發現幾何性質,再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質,是數與形的完美結合，讓學生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質的基礎上，充分認識到“由數到形，由形到數”的轉化，體會了數與形的辨證統一，也從中體驗了數學的對稱美，受到了數學文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質奠定了重要基礎。2.教材的內容安排和處理

考慮到橢圓的性質有較多拓展，我將本節內容分為兩課時來完成，本課為第一課時，主要介紹橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）及其初步運用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質對學生來說是第一次，因此可根據學生實際情況及認知特點，改變了教材中原有研究順序，引導學生先從觀察課前預習所作的具體圖形入手，按照通過圖形先發現性質，在利用方程去說明性質的研究思路，循序漸近進行探究。在教學中不僅要注重對橢圓幾何性質的理解和運用，而且更應重視對學生進行這種研究方法的思想滲透，通過教師合理的情境創設，師生的共同討論研究，學生的親身實踐體驗，使學生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數方法研究曲線的性質，鞏固數形結合思想的應用，達到切實地用數學分析解決問題的能力。3.重點、難點：

教學重點：知識上，要掌握如何利用橢圓標準方程的結構特征研究橢圓的幾何性質；學生的體驗上，需要關注學生在探究橢圓性質的過程中思維的過程展現，如思維角度和思維方法。

教學難點；利用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法和離心率定義的給出過程。

二.學生的學情心理分析

我的任教班是普班,大多數學生的數學基礎較為薄弱, 獨立分析問題，解決問題的能力不是很強, 但是他們的思維活躍，參與意識強烈,又具備了高一學習階段的知識基礎，因此依據以上特點,在教學 設計方面，我打算借助多媒體手段，創設問題情境，結合圖形啟發引導，組織學生合作探究等形式，都符合我班學生的認知特點，為他們創設了一個自然和諧的課堂氛圍。

三.教學目標

本著新課程標準的貫徹原則,結合我的學生的實際情況，我制定本節課的教學目標如下：

知識與技能：

掌握橢圓的簡單幾何性質,并能初步運用其探索方法研究問題。

過程與方法：

通過學生親身的實踐體驗，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質，經歷由形到數,由數到形的

思想跨越，感知用代數的方法探究幾何性質的過程，感受“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”的數學真諦，進一步體會“數形結合”思想在數學中的重要地位。

情感、態度與價值觀：

在自然和諧的教學氛圍中，通過師生間的、生生間的平等交流，塑造學生團結協作，鉆研探究的品質和態度，培養學生研究問題的能力；通過對橢圓幾何性質的發現，學生得到美的感受，體驗到探究之后的成功與喜悅。四.教學方法與手段

課堂教學應有利于學生的數學素質的形成與發展，使學生扎實地學會學習，真正的學以置用，為此我制定了本節課的教學方法和手段如下：

教學方法：

我采用的教學方法主要是情境激趣法、引導發現法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重數學知識與實際的聯系，同時也發展學生的應用意識，開闊他們的視野。

（二）引導發現法：符合教學原則，充分調動學生的主動性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗數學發現和創造的過程，發展他們的創新意識 2.使學生體驗到團結協作的力量以及探索發現的成就，符合學生的認知規律

教學手段：

新課標要求,立體幾何的教學要直觀感知,操作確認。對于本節內容,我也采用了這樣的思路。

本節借助多媒體輔助手段及實物投影，創設問題情境，并通過圖形引導學生形象直觀地體驗由數到形的過渡，便于學生觀察、認知、探求、發現、歸納。

五.學法指導

根據本節課的教學難點，教師應注意指導學生進行研究式學習和體驗式學習（興趣是前提）。例如導入，通過“神六”號這樣一個人們關注的話題引入，有利于激發學生的興趣。再如，這節課是學生第一次利用曲線方程研究曲線性質，為了解決這一難點，在課前設計中改變了教材中原有研究順序，讓學生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質的形成與論證過程，變靜態數學為動態數學。

教學中也突出多媒體輔助知識產生、發展和突破重、難點的優勢，從而強化學生對知識的過程與方法的掌握，有利于學生對知識的理解和應用。

六.教學過程

這是本節課教學過程的流程圖,我將本節課的教學過程設計為五大環節,特點是以知識與技能為載體，過程與方法為主線，情感、態度與價值觀為目標的設計原則，突出多媒體這一教學手段在本節課輔助知識產生，發展和突破重難點的優勢。

篇二：橢圓的簡單幾何性質教學設計

《橢圓的簡單幾何性質》教學設計

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學目標】 1.知識目標：

(1).使學生掌握橢圓的性質，能根據性質正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關系；

(2)通過對橢圓標準方程的討論，使學生知道在解析幾何中是怎樣用代數方法研究曲線性質的，逐步領會解析法（坐標法）的思想。(3)能利用橢圓的性質解決實際問題。2.能力目標：

培養學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數形結合思想解決 實際問題的能力。

3.德育目標：(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構過程，使學生領悟其中所蘊涵 的數學思想和數學方法，體驗探索中的成功和快樂，使學生在探索中喜歡數學、欣賞數學。(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發學生愛國之情。

(3)培養學生既能獨立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創新的精神。

【教學重點】橢圓性質的探索過程及性質的運用。

【教學難點】利用曲線方程研究橢圓性質的方法及離心率的概念。

【教學方法】發現探究式

【教學組織方式】學生獨立思考、合作交流、師生共同探究相結合。

【教學工具】多媒體課件、實物投影儀。

【教學過程】

一．創設情境

教師：請同學們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發射，實現了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠的距 離，即近地點距地面的距離和遠地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方 程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節課我們就一起 探求橢圓的性質。（引出課題）

教師：前面我們學習了橢圓的定義和標準方程，誰能說說橢圓的標準方程（學生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學們繼續觀察橢圓，如果分別過a1、a2作y軸的平行線，過b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學們能發現什么？

學生能答出：橢圓圍在一個矩形內。

教師補充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來證明這一結論的正確ab 性。啟發學生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結構特點出發，師生共同分析，給出證明過程。x2y2 由2+2=1，利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對稱性的發現與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質？（學生動手折紙，課前教師要求學生把上節學習橢圓定義時畫的橢圓拿來。）

學生們基本上能發現橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？

稍作提示容易發現中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 師生討論后，需要建立坐標系，確定橢圓的標準方程。不妨建立焦點在xx2y2 軸上的橢圓的標準坐標系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節課就以焦點在x軸上的橢圓的標準方程為例來研究橢圓的性質。教師：這樣建立的坐標系對稱軸恰好重合于坐標軸，我們先證橢圓關于y軸對稱。

為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學過，曲線關于y軸對稱是指什么呢？

學生：曲線上的每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上，只要證明-----學生：曲線上任意一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。

在學生嘗試進行問題解決的過程中，當他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯系時，這就需要教師適時進行啟發點撥。

教師：同學們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關于y軸對稱”。

請一位學生講解橢圓對稱性的證明過程，以此來訓練學生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴謹性。

教師對學生的證明進行評價。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關于x軸對稱,關于原點對稱。課件展示x2y2 對稱性并總結：方程2+2=1表示的橢圓，坐標軸是其對稱軸，原點是其對稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心).教師引導學生對這一環節進行反思，即通過建立坐標系，用橢圓的方程研究橢圓的性質，這種方法我們今后經常用到。

投影顯示下圖及問題

問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導學生思考討論后獲取共識：坐標系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質，無論橢圓在坐標系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標系的選取無關。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點的發現與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認為橢圓上哪幾個點比較特殊？

由學生觀察容易發現，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標 軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。

教師啟發學生與一元二次函數的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。

教師：能根據方程確定這四個頂點的坐標嗎？

由學生自主探究,求出四個頂點坐標。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數量關系。

由學生探究得出橢圓的一個焦點f2到長軸兩端點a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關實際問題時經常用到。4．離心率

教師：我們在學習橢圓定義時，用同樣長的一條細繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請同學們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關呢？

課件動畫演示

此時學生展開討論，可能有的說與a、c有關，也可能說與a、b有關等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導學生思考。

教師引導學生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當矩形變為正方形時，即a=b時,橢圓變為圓。

即當比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當越大時，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因為a、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關鍵的要素，隨著今后的學習可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創新應用 越扁；當

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長軸長、短軸長、離心率和頂點，并畫出它的草圖。

本題采用講練結合的方式。前一部分由學生口述求解過程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學生來說比較實用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 c3 離心率e== a5 因為焦點在x軸上，所以橢圓的四個頂點的坐標是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據橢圓的性質，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個頂點，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據對稱性用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓的基本圖形。

教師提醒學生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點附近的平滑性。

學生根據畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說明，如果需要比較準確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據對稱性畫出整個橢圓（要求學生課下閱讀教材中的描點法作圖）。x2y2 練習：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心1625 率和頂點有什么變化。

此處是一個創新點，培養學生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題

做比較，使學生體會到橢圓的性質是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標系的選取無關。

學生的回答可能會因為長軸位置發生變化而導致頂點坐標出錯，教師要予以糾正。（此題用實物投影展示或由學生到黑板板書）

例2 我國發射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個焦 點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點a（離地面最近的點）距地面約為200km,遠地點b（離地面最遠的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結果精確到0.01km）

設置本題的主要意圖是:第一,為增強學生的數學應用意識和運用數學知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學生的學習需求。

師生共同分析：先把實際問題轉化為數學問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標系）。怎樣建系？（以過a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點，記f1為左焦點x2y2 建立如圖所示的直角坐標系（課件上作圖、建系）則它的標準方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學生對照圖形認真思考，相互討論由學生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學生可能出現的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計算過程由學生用計算器求得。

教師最后課件展示：用計算機畫出飛船運行的軌跡。

四．總結提煉

教師：通過這節課學習，你學到了什么？（教師引導學生從知識和方法兩方面進行歸納總結，培養學生反思自己學習過程的意識）

篇三：橢圓的簡單幾何性質教案

課題：橢圓的簡單幾何性質

設計意圖：本節內容是橢圓的簡單幾何性質，是在學習了橢圓的定義和標準方程之后展開的，它是繼續學習雙曲線、拋物線的幾何性質的基礎。因此本節內容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發展學生自主學習能力，培養創新能力的好素材。本教案的設計遵循啟發式的教學原則，以培養學生的數形結合的思想方法，培養學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數學活動能力。

教學目標：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術初步了解橢圓的第二定義． 培養學生的數形結合的思想方法。

教學重點：橢圓的簡單幾何性質的應用。

教學難點：橢圓的簡單幾何性質的應用。

二過程與方法目標

（1）復習與引入過程

引導學生復習由函數的解析式研究函數的性質或其圖像的特點，在本節中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養．①由橢圓的標準方程和非負實數的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過p48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡單幾何性質．

（2）新課講授過程

（i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質來研究曲線的幾何性質．

（ii）橢圓的簡單幾何性質 y2x2 ①范圍：由橢圓的標準方程可得，2?1?2?0，進一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標準方程發生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心；

③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當e?0時，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴展

例1 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標． 分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出a,b,c．引導學生

用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關量．

擴展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點位置沒有確定，應分類討論：①當焦點在x軸上，即0?m? 5時，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當焦點在y軸上，即m?5時，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．過對對稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點f1上，片門位于另一個焦點f2上，由橢圓一個焦點f1發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當的坐標系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當的直角坐標系，設橢圓的標準方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關于a,b,c的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數字來決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發射升空，進入預定

軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個焦點的橢 圓，近地點a距地面200km，遠地點b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當的直角坐標系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設m?x,y?與定點f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數4 4，求點m的軌跡方程． 5 分析：若設點m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點m?x,y?與定點f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數c a2cx?則點m的軌跡方程是橢圓．其中定點f?c,0?是焦點，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應于f的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點f???c,0?，相應于f?的準線l?：(3)c 小結

1．知識總結：橢圓的幾何性質 2．思想方法總結：

教師根據學生的總結做適當補充、歸納、點評。

第五篇：橢圓的簡單幾何性質教學設計

<<橢圓的幾何性質>>教學設計

山西省運城中學

趙彥明

一、教學分析：

（一）教學內容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學生學習第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質，對于后續學習圓錐曲線有著重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

（二）教學對象分析

本節課是在學生學習了橢圓的定義、標準方程的基礎上，根據方程研究曲線的性質。按照學生的認知特點，改變了教材中原有安排順序，引導學生從觀察課前預習所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進進行探究。

（三）教學環境分析

因為本節內容比較抽象，再者學校條件的有限所以利用電腦模擬動點運動,增強直觀性,激勵學生的學習動機,培養學生的觀察能力、數學想像能力和抽象思維能力。

二、教學目標

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓的幾何性質的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

通過實際活動培養學生發現、觀察、歸納的能力；培養分析、抽象、概括的能力，加強數形結合等數學能力的培養；經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態度

通過有關橢圓幾何性質的實際應用的介紹，激發學生研究橢圓的幾何性質的積極性。

三、教學重難點及教具

（一）教學重點：由標準方程分析出橢圓的幾何性質

（二）教學難點：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學方法過程及整合點

（一）教學方法：講授法、啟發法、討論法、情境教學法、小組合作交流

（二）教學過程： １.創設情境，欣賞傾聽

這節課我們繼續研究有關橢圓的相關知識，在進入本節課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點：播放中央電視臺新聞中關于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設計意圖:提高學生的學習興趣﹞

提出問題：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設計呢？ ﹝設計意圖:激發學生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質

2．探究問題，觀察發現

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質呢?學生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的對稱性

問題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設計意圖:讓學生直觀感知，操作確認，更深入認識橢圓的對稱性﹞

學生活動:用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。實物演示部分可以由學生同桌兩兩一組共同完成（整合點：學生通過實物投影儀展示活動成果，教師通過幾何畫板演示 “橢圓的對稱性.gsp”）

得出結論：橢圓具有對稱性。

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱； ②實物演示：橢圓繞中心旋轉180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題2：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

﹝設計意圖:經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。﹞

學生討論：設P（x，y），則P點關于x軸、y軸和坐標原點的對稱點分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關于x軸對稱，則P點關于x軸對稱點也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：通過上面研究同學們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性？

﹝設計意圖: 為培養學生觀察、分析、歸納問題的能力。為進一步的學習打下良好的基礎。﹞

學生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關于原點對稱。

（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。探究二：橢圓的頂點

問題4：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎?

學生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點？ ﹝設計意圖:體驗用代數的方法研究幾何問題過程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標軸的交點

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（整合點：教師通過ppt演示 “橢圓的頂點”）

（板書）橢圓的頂點：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問題6：請同學們拿起手中的作業紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應如何做？

﹝設計意圖: 讓學生通過動手操作更深入認識橢圓的范圍﹞

學生活動:分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準確、精練。得出結論：橢圓是有范圍的。

教師引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數學圖形，數學問題，在平面直角坐標系內來研究：如下圖，﹝設計意圖:利用“橢圓的頂點.ppt”課件展示，使學生直觀

感性認識橢圓范圍所在區域﹞

學生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內。

問題7：如何從數的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結論呢？

﹝設計意圖:體驗用代數的方法研究幾何問題過程，體會數形結合的思想﹞

（整合點：用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。）學生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個函數，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，設計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。

問題8：請同學們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設計意圖:在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關注想與大家交流，同時，在其他同學們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關注其他同學手中的橢圓的形狀，進而與自己手中的橢圓進行比較。在比較的過程中就會發現橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學手中的橢圓形紙板扁長，有的同學手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學手中的橢圓更接近于圓形。

本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強大功能會發揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。

(整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發現在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述

1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。2）定義式：問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關系呢？

﹝設計意圖:學生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規律，他到突破難點的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學生發現不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時

時的特例。，此時也可認為線段為橢圓也可認為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構建，性質應用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標準方程。

由于每個同學手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進而寫出其手中的橢圓的標準方程。

本過程兩個方面考察學生對于橢圓及其幾何性質的掌握,應用2)更是突出了對學生的實際動手能力和觀察能力的培養。4．課堂小結，競爭合作

請你談談通過這節課的學習,你學習到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應, 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質的探索由來已久，現在橢圓的幾何性質也正在被廣泛的應用于各種設計中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當然,國家大劇 7

院之所以會選擇了橢球形的設計，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點、頂點的坐標，離心率，并通過測量將焦點坐標標在你的橢圓上；

2）完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質在現實生活中的其他應用。