第一篇：趙彥明橢圓的簡單幾何性質教案

橢圓的幾何性質

山西省運城中學

趙彥明

教學背景：

橢圓是生活中常見的曲線，是學生學習第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質，對于后續(xù)學習圓錐曲線有著重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

現(xiàn)在教育的發(fā)展，對學生全面素質與職業(yè)能力要求越來越高，但高中學生的知識水平、接受能力參差不齊、心理素質各異，一些傳統(tǒng)的教育教學方法已不能適應現(xiàn)代教育的新要求。那么，如何面對全體學生，大面積有效地提高知識和能力水平，注重開發(fā)學生的潛能，從而提高學生素質和學習能力，保證教學質量，是擺在我們面前不能回避、必須面對的問題。于是，如何更有效的提高學生的學習興趣和學生們的課堂參與度，進而使每個學生都學有所得成了學校文化課教學改革的熱點，也受到教師和學生的歡迎，為學生“揚長避短”地發(fā)展提供了人性化的服務。在實施策略上，在如火如荼的新課改的影響下，從實際中來——到實際中去，能激發(fā)學生學習興趣的的模式被廣泛采用，我們不斷試驗與研究、積極探索，取得了一些成效，教學秩序穩(wěn)定，教學效果良好，初步滿足了學生的多樣化需求。

美國教育學家、目標教學理論創(chuàng)始人布魯姆認為：學生是具有獨立人格巨大潛能和個性差異的人，特別是由于眾所周知的原因，高中招收的初中畢業(yè)生生源復雜，數學基礎知識，學習水平參差不齊。實施新的教學模式充分調動學生的學習興趣，可以讓學生產生學習動力，創(chuàng)造個性化學習的新形式。教學目標

1．掌握橢圓的簡單的幾何性質，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓的幾何性質的一般方法與步驟。

2．通過實際活動培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強數形結合等數學能力的培養(yǎng)。

3．通過有關橢圓幾何性質的實際應用的介紹，激發(fā)學生研究橢圓的幾何性質的積極性。

教學重點：橢圓的幾何性質；

教學難點：學生的發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納能力的培養(yǎng)。教學用具：

電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

教學方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學法、小組合作交流 教學過程

1． 創(chuàng)設情境，欣賞傾聽

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關橢圓的相關知識，在進入本節(jié)課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

播放中央電視臺新聞中關于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片 提出問題：

教師：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設計呢？

其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質，以方程xa22?yb22?1(a?b?0)為研究對象。

（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質 2．探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)

為培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納問題的能力。活躍的課堂氣氛，調動學生主動參與的積極性，同時樹立學生相互協(xié)作和競爭的意識，為進一步的學習打下良好的基礎。本部分設計了幾個問題，引導學生探究學習橢圓的幾何性質的研究。問題1：

教師：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

學生1：(思考并回答)用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。

得出結論：橢圓具有對稱性。學生活動1: 探究一：橢圓的對稱性

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱；

②實物演示：橢圓繞中心旋轉180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

實物演示部分可以由學生同桌兩兩一組共同完成，首先讓兩橢圓重合，旋轉?180后觀察，得出結論

問題2：關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標之間又有什么樣關系呢？ 學生2：設P（x，y），則P點關于x軸、y軸和坐標原點的對稱點分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關于x軸對稱，則P點關于x軸對稱點也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：那么下面同學們一起歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性。

學生3：結論：以-x代x，方程不變，則曲線關于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關于原點對稱。

老師：非常正確。

問題4：那么橢圓論嗎？

是否也具有這種對稱性，你能根據方程得到結此時學生能快速判斷，得出結論。同時讓學生明白，圖形對稱性的本質是構成圖形的點的對稱性，從方程來判斷也就是抓住了點的對稱性形成的結論。（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。問題:5：

教師：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎? 學生2：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。

教師：很好，我們把橢圓與它的對稱軸的這四個交點分別記作A1,A2,B1,B2 請同學們將這四個點標在自己的橢圓紙板上，并抽象成數學圖形將橢圓放在平面直角坐標系內研究，求出A1,A2,B1,B2的坐標。學生活動2: 探究二：橢圓的頂點

學生取點、畫圖，自己動手親自體驗將橢圓抽象成數學圖形的過程，并求出A1,A2,B1,B2的坐標。

教師：其實，我們把橢圓

xa22?yb22?1(a?b?0)與坐標軸的交點A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（板書）橢圓的頂點：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。

本過程可以由老師引導啟發(fā)學生先求出橢圓與x軸的交點坐標，即A1,A2的坐標，而求橢圓與y軸的交點由學生討論來完成，并由學生自己到黑板前來講解，自己解決此問題。鍛煉學生合作、探究的能力，同時培養(yǎng)學生邏輯表達能力。本過程加強課件的演示部分，更加形象，有利于學生的接受、掌握和理解。問題6：

做一做：請同學們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應如何做？ 學生活動3: 分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準確、精練。得出結論：橢圓是有范圍的。

教師引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數學圖形，數學問題，在平面直角坐標系內來研究：如下圖，教師：如果圖中虛線所代表的就是你所要制作的橢圓紙板所在矩形紙的四個邊緣，那么在平面直角坐標系中，他們所在直線的直線方程是什么？ 結論：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內。

下面從數的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結論。引導學生得出在解析幾何中討論曲線的范圍，就是確定方程中兩個變量x,y的取值范圍。用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。

學生1：由且，則有

利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

老師：很好，誰還有不同意見？

學生2：利用三角換元，令范圍。

老師：這個想法也不錯，誰還有不同見解？

。由正弦函數有界可得學生3：從中解出圍，同樣可得x的取值范圍。

師：這種想法也很好，誰還有不同方法？，利用可得y的取值范此時學生陷入深思中，教師及時點撥，前面我們學習過函數的定義域、值域，這對你研究橢圓的范圍有何啟示呢？

學生紛紛議論，有的開始動筆推導，有的幾個人一起在商量。

老師：誰研究出來了，或哪個小組研究出來了？請到前面給大家講一講。

學生4：（在黑板上展示）由函數的定義域、值域得范圍。

則，可通過求這個老師：是函數嗎？

學生4：（思考后說）不是。老師：怎樣處理呢？

學生4：把和分別看作是一個函數。

老師：正確。往下怎樣研究呢？

學生4：先求函數函數求定義域、值域的方法，可得中的定義域、值域。利用前面學習過的代數，同樣得，于是得到范圍。

老師：好。前面我們研究了橢圓的對稱性，誰能簡化學生4的推導過程呢？

學生5：老師，我想只需求然后利用對稱性可得范圍。的定義域、值域即可，老師：很好。通過前面的探討，我們知道橢圓是有范圍的，即，它圍在一個矩形框內。

(板書)橢圓的范圍：-a≤x≤a，-b≤y≤b

橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，可設計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。學生活動4: 問題7：請同學們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？

有的同學手中的橢圓形紙板扁長，有的同學手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學 6

手中的橢圓更接近于圓形。

在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關注想與大家交流，同時，在其他同學們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關注其他同學手中的橢圓的形狀，進而與自己手中的橢圓進行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。

問題8：圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？（帶著疑問進入探究四。）學生活動5： 探究四：離心率問題

本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強大功能會發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。

展示幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢圓形狀的變化。

老師：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用一個什么名詞來描述呢？

學生在老師的啟發(fā)下而提出離心率這一概念，進而得出可以用來表示離心率。1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。

2）定義式：

老師：那么離心率這一概念的引入到底是用來刻劃橢圓的哪一個幾何性質呢？再一次演示幾何畫板。

學生發(fā)現(xiàn)不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

學生10：離心率是用來刻劃橢圓的扁平程度的一個量。離心率越大，橢圓越扁，離心率越小，橢圓越圓。1）范圍：

2）考察橢圓形狀與e的關系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例。

橢圓變扁，直至成為極限位置線段時的特例。，此時也可認為圓為橢圓在老師：進一步拓展，除了用可以來刻劃橢圓的扁平程度，還可以用什么來刻劃呢？學生指出也可以，老師再問，那刻劃的呢？留給大家課后思考。3．反思構建，性質應用

1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

(2)9x?4y?36與22是否也可以呢？它們分別是怎樣來(1)4x?9y?36與22x225x2??y220y2?1?112163）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標準方程。

由于每個同學手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進而寫出其手中的橢圓的標準方程。

本過程兩個方面考察學生對于橢圓及其幾何性質的掌握,應用2)更是突出了對學生的實際動手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結，競爭合作

請你談談通過這節(jié)課的學習,你學習到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應, 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質的探索由來已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質也正在被廣泛的應用于各種設計中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當然,國家大劇院之所以會選擇了橢球形的設計，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業(yè)：

1）求出你的橢圓的焦點、頂點的坐標，離心率，并通過測量將焦點坐標標在你的橢圓上；

2）完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質在現(xiàn)實生活中的其他應用。

第二篇：2、橢圓的簡單幾何性質復習教案

橢圓的簡單幾何性質

一、知識歸納：

1、幾何性質：

2、橢圓的

三、強化訓練：

1、求下列各橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點坐標、頂點坐標，并畫出草圖。（1）4x2?y2?16

（2）9x2?y2?4

2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）橢圓經過兩點P(?22,0),Q(0,5)；（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經過P(3,0)；（3）離心率等于0.8，焦距是8。

3、若直線4x?3y?12?0過橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)的一個焦點，離心率e?35，求該橢圓的方程。

225xy4、橢圓，那么P到右焦點的距離??1上有一點P，它到左準線的距離等于

2259是。

5、在橢圓x225為

。?y29?1上有一點P，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的3倍，則P的坐標

6、過橢圓4x2?2y2?1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F2構成?ABF2，那么?ABF2的周長是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為

A．14（）

xB．222 ?1和

x2C．?y224 D．

8、已知k＜4，則曲線

9?k4?k94A.相同的準線

B.相同的焦點

C.相同的離心率

D.相同的長軸

x2?y2?1有

（）

9、若點P在橢圓2積是

（）?y2?1上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點，且?F1PF2?90，則?F1PF2的面

?A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|的曲線是（）A.橢圓 B.線段 C.拋物線 D.無法確定

?x?3cos?

11、曲線?（?為參數）的準線方程是。

y?sin??

12、若實數x,y滿足

13、橢圓x2x216?y225?1，則y?3x的最大值為。

128?m?2y29?1的離心率是2，則兩準線間的距離是。

14、已知橢圓x?8y?8，在橢圓上求一點P，使P導直線x?y?4?0的距離最小并求出最小值。

第三篇：橢圓的簡單幾何性質教學設計

<<橢圓的幾何性質>>教學設計

山西省運城中學

趙彥明

一、教學分析：

（一）教學內容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學生學習第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質，對于后續(xù)學習圓錐曲線有著重要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

（二）教學對象分析

本節(jié)課是在學生學習了橢圓的定義、標準方程的基礎上，根據方程研究曲線的性質。按照學生的認知特點，改變了教材中原有安排順序，引導學生從觀察課前預習所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進進行探究。

（三）教學環(huán)境分析

因為本節(jié)內容比較抽象，再者學校條件的有限所以利用電腦模擬動點運動,增強直觀性,激勵學生的學習動機,培養(yǎng)學生的觀察能力、數學想像能力和抽象思維能力。

二、教學目標

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓的幾何性質的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

通過實際活動培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強數形結合等數學能力的培養(yǎng)；經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態(tài)度

通過有關橢圓幾何性質的實際應用的介紹，激發(fā)學生研究橢圓的幾何性質的積極性。

三、教學重難點及教具

（一）教學重點：由標準方程分析出橢圓的幾何性質

（二）教學難點：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學方法過程及整合點

（一）教學方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學法、小組合作交流

（二）教學過程： １.創(chuàng)設情境，欣賞傾聽

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關橢圓的相關知識，在進入本節(jié)課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點：播放中央電視臺新聞中關于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設計意圖:提高學生的學習興趣﹞

提出問題：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設計呢？ ﹝設計意圖:激發(fā)學生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質

2．探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質呢?學生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的對稱性

問題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設計意圖:讓學生直觀感知，操作確認，更深入認識橢圓的對稱性﹞

學生活動:用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。實物演示部分可以由學生同桌兩兩一組共同完成（整合點：學生通過實物投影儀展示活動成果，教師通過幾何畫板演示 “橢圓的對稱性.gsp”）

得出結論：橢圓具有對稱性。

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱； ②實物演示：橢圓繞中心旋轉180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題2：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

﹝設計意圖:經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。﹞

學生討論：設P（x，y），則P點關于x軸、y軸和坐標原點的對稱點分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關于x軸對稱，則P點關于x軸對稱點也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：通過上面研究同學們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性？

﹝設計意圖: 為培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納問題的能力。為進一步的學習打下良好的基礎。﹞

學生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關于原點對稱。

（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。探究二：橢圓的頂點

問題4：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎?

學生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點？ ﹝設計意圖:體驗用代數的方法研究幾何問題過程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標軸的交點

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（整合點：教師通過ppt演示 “橢圓的頂點”）

（板書）橢圓的頂點：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問題6：請同學們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應如何做？

﹝設計意圖: 讓學生通過動手操作更深入認識橢圓的范圍﹞

學生活動:分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準確、精練。得出結論：橢圓是有范圍的。

教師引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數學圖形，數學問題，在平面直角坐標系內來研究：如下圖，﹝設計意圖:利用“橢圓的頂點.ppt”課件展示，使學生直觀

感性認識橢圓范圍所在區(qū)域﹞

學生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內。

問題7：如何從數的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結論呢？

﹝設計意圖:體驗用代數的方法研究幾何問題過程，體會數形結合的思想﹞

（整合點：用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。）學生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個函數，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，設計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。

問題8：請同學們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設計意圖:在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關注想與大家交流，同時，在其他同學們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關注其他同學手中的橢圓的形狀，進而與自己手中的橢圓進行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學手中的橢圓形紙板扁長，有的同學手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學手中的橢圓更接近于圓形。

本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強大功能會發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。

(整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述

1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。2）定義式：問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關系呢？

﹝設計意圖:學生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規(guī)律，他到突破難點的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學生發(fā)現(xiàn)不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時

時的特例。，此時也可認為線段為橢圓也可認為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構建，性質應用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標準方程。

由于每個同學手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進而寫出其手中的橢圓的標準方程。

本過程兩個方面考察學生對于橢圓及其幾何性質的掌握,應用2)更是突出了對學生的實際動手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結，競爭合作

請你談談通過這節(jié)課的學習,你學習到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應, 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質的探索由來已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質也正在被廣泛的應用于各種設計中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當然,國家大劇 7

院之所以會選擇了橢球形的設計，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業(yè)，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點、頂點的坐標，離心率，并通過測量將焦點坐標標在你的橢圓上；

2）完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質在現(xiàn)實生活中的其他應用。

第四篇：高中數學 2.1.2《橢圓的簡單幾何性質》教案 湘教版選修1-1

2.1.2橢圓的簡單幾何性質

◆ 知識與技能目標

了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術初步了解橢圓的第二定義．

◆ 過程與方法目標

（1）復習與引入過程

引導學生復習由函數的解析式研究函數的性質或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標準方程和非負實數的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．1．2橢圓的簡單幾何性質．

（2）新課講授過程

（i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質來研究曲線的幾何性質．（ii）橢圓的簡單幾何性質

①范圍：由橢圓的標準方程可得，yb22?1?xa22?0，進一步得：?a?x?a，同理可得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?，b?當e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0ca叫做橢圓的離心率（0?e?1），．

；??當e?0時，c?0，b?a?橢圓越接近于圓（iii）例題講解與引申、擴展

例4 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標． 分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出a,b,c．引導學生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關量．

擴展：已知橢圓mx?5y?5m?m?0?的離心率為

2222

的距離和它到定直線l：x?a2c的距離比是常數e?ca?a?c?0?，則點M的軌跡方程是橢圓．其中定點F?c,0?是焦點，定直線l：x?a2ca2相應于F的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點F???c,0?，相應于F?的準線l?：x??◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標

c．

在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學相長的教學活動情境，結合教學內容，培養(yǎng)學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創(chuàng)新．必須讓學生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質，能由橢圓的標準方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關量的有效數字處理；讓學生參與并掌握利用信息技術探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和掌握利用先進教學輔助手段的技能．

◆能力目標

（1）分析與解決問題的能力：通過學生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力．

（2）思維能力：會把幾何問題化歸成代數問題來分析，反過來會把代數問題轉化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力．（3）實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．

（4）創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：

作業(yè)：

第五篇：橢圓幾何性質教學設計流程圖

篇一：教學設計-橢圓的簡單幾何性質

《橢圓的簡單幾何性質》說教學設計

一.教材分析 1.地位和作用

本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數學（選修2-1）第二章第2節(jié)，橢圓的簡單幾何性質。在此之前，學生已經掌握了橢圓的定義及其標準方程，這節(jié)課是結合橢圓圖形發(fā)現(xiàn)幾何性質,再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質,是數與形的完美結合，讓學生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質的基礎上，充分認識到“由數到形，由形到數”的轉化，體會了數與形的辨證統(tǒng)一，也從中體驗了數學的對稱美，受到了數學文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質奠定了重要基礎。2.教材的內容安排和處理

考慮到橢圓的性質有較多拓展，我將本節(jié)內容分為兩課時來完成，本課為第一課時，主要介紹橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）及其初步運用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質對學生來說是第一次，因此可根據學生實際情況及認知特點，改變了教材中原有研究順序，引導學生先從觀察課前預習所作的具體圖形入手，按照通過圖形先發(fā)現(xiàn)性質，在利用方程去說明性質的研究思路，循序漸近進行探究。在教學中不僅要注重對橢圓幾何性質的理解和運用，而且更應重視對學生進行這種研究方法的思想滲透，通過教師合理的情境創(chuàng)設，師生的共同討論研究，學生的親身實踐體驗，使學生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數方法研究曲線的性質，鞏固數形結合思想的應用，達到切實地用數學分析解決問題的能力。3.重點、難點：

教學重點：知識上，要掌握如何利用橢圓標準方程的結構特征研究橢圓的幾何性質；學生的體驗上，需要關注學生在探究橢圓性質的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

教學難點；利用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法和離心率定義的給出過程。

二.學生的學情心理分析

我的任教班是普班,大多數學生的數學基礎較為薄弱, 獨立分析問題，解決問題的能力不是很強, 但是他們的思維活躍，參與意識強烈,又具備了高一學習階段的知識基礎，因此依據以上特點,在教學 設計方面，我打算借助多媒體手段，創(chuàng)設問題情境，結合圖形啟發(fā)引導，組織學生合作探究等形式，都符合我班學生的認知特點，為他們創(chuàng)設了一個自然和諧的課堂氛圍。

三.教學目標

本著新課程標準的貫徹原則,結合我的學生的實際情況，我制定本節(jié)課的教學目標如下：

知識與技能：

掌握橢圓的簡單幾何性質,并能初步運用其探索方法研究問題。

過程與方法：

通過學生親身的實踐體驗，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質，經歷由形到數,由數到形的

思想跨越，感知用代數的方法探究幾何性質的過程，感受“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”的數學真諦，進一步體會“數形結合”思想在數學中的重要地位。

情感、態(tài)度與價值觀：

在自然和諧的教學氛圍中，通過師生間的、生生間的平等交流，塑造學生團結協(xié)作，鉆研探究的品質和態(tài)度，培養(yǎng)學生研究問題的能力；通過對橢圓幾何性質的發(fā)現(xiàn)，學生得到美的感受，體驗到探究之后的成功與喜悅。四.教學方法與手段

課堂教學應有利于學生的數學素質的形成與發(fā)展，使學生扎實地學會學習，真正的學以置用，為此我制定了本節(jié)課的教學方法和手段如下：

教學方法：

我采用的教學方法主要是情境激趣法、引導發(fā)現(xiàn)法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重數學知識與實際的聯(lián)系，同時也發(fā)展學生的應用意識，開闊他們的視野。

（二）引導發(fā)現(xiàn)法：符合教學原則，充分調動學生的主動性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗數學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識 2.使學生體驗到團結協(xié)作的力量以及探索發(fā)現(xiàn)的成就，符合學生的認知規(guī)律

教學手段：

新課標要求,立體幾何的教學要直觀感知,操作確認。對于本節(jié)內容,我也采用了這樣的思路。

本節(jié)借助多媒體輔助手段及實物投影，創(chuàng)設問題情境，并通過圖形引導學生形象直觀地體驗由數到形的過渡，便于學生觀察、認知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。

五.學法指導

根據本節(jié)課的教學難點，教師應注意指導學生進行研究式學習和體驗式學習（興趣是前提）。例如導入，通過“神六”號這樣一個人們關注的話題引入，有利于激發(fā)學生的興趣。再如，這節(jié)課是學生第一次利用曲線方程研究曲線性質，為了解決這一難點，在課前設計中改變了教材中原有研究順序，讓學生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質的形成與論證過程，變靜態(tài)數學為動態(tài)數學。

教學中也突出多媒體輔助知識產生、發(fā)展和突破重、難點的優(yōu)勢，從而強化學生對知識的過程與方法的掌握，有利于學生對知識的理解和應用。

六.教學過程

這是本節(jié)課教學過程的流程圖,我將本節(jié)課的教學過程設計為五大環(huán)節(jié),特點是以知識與技能為載體，過程與方法為主線，情感、態(tài)度與價值觀為目標的設計原則，突出多媒體這一教學手段在本節(jié)課輔助知識產生，發(fā)展和突破重難點的優(yōu)勢。

篇二：橢圓的簡單幾何性質教學設計

《橢圓的簡單幾何性質》教學設計

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學目標】 1.知識目標：

(1).使學生掌握橢圓的性質，能根據性質正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關系；

(2)通過對橢圓標準方程的討論，使學生知道在解析幾何中是怎樣用代數方法研究曲線性質的，逐步領會解析法（坐標法）的思想。(3)能利用橢圓的性質解決實際問題。2.能力目標：

培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數形結合思想解決 實際問題的能力。

3.德育目標：(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構過程，使學生領悟其中所蘊涵 的數學思想和數學方法，體驗探索中的成功和快樂，使學生在探索中喜歡數學、欣賞數學。(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發(fā)學生愛國之情。

(3)培養(yǎng)學生既能獨立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創(chuàng)新的精神。

【教學重點】橢圓性質的探索過程及性質的運用。

【教學難點】利用曲線方程研究橢圓性質的方法及離心率的概念。

【教學方法】發(fā)現(xiàn)探究式

【教學組織方式】學生獨立思考、合作交流、師生共同探究相結合。

【教學工具】多媒體課件、實物投影儀。

【教學過程】

一．創(chuàng)設情境

教師：請同學們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發(fā)射，實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠的距 離，即近地點距地面的距離和遠地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方 程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質。（引出課題）

教師：前面我們學習了橢圓的定義和標準方程，誰能說說橢圓的標準方程（學生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過a1、a2作y軸的平行線，過b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學們能發(fā)現(xiàn)什么？

學生能答出：橢圓圍在一個矩形內。

教師補充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來證明這一結論的正確ab 性。啟發(fā)學生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結構特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。x2y2 由2+2=1，利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質？（學生動手折紙，課前教師要求學生把上節(jié)學習橢圓定義時畫的橢圓拿來。）

學生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？

稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 師生討論后，需要建立坐標系，確定橢圓的標準方程。不妨建立焦點在xx2y2 軸上的橢圓的標準坐標系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節(jié)課就以焦點在x軸上的橢圓的標準方程為例來研究橢圓的性質。教師：這樣建立的坐標系對稱軸恰好重合于坐標軸，我們先證橢圓關于y軸對稱。

為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學過，曲線關于y軸對稱是指什么呢？

學生：曲線上的每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點關于y軸的對稱點仍在曲線上，只要證明-----學生：曲線上任意一點關于y軸的對稱點仍在曲線上。

在學生嘗試進行問題解決的過程中，當他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯(lián)系時，這就需要教師適時進行啟發(fā)點撥。

教師：同學們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關于y軸對稱”。

請一位學生講解橢圓對稱性的證明過程，以此來訓練學生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴謹性。

教師對學生的證明進行評價。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關于x軸對稱,關于原點對稱。課件展示x2y2 對稱性并總結：方程2+2=1表示的橢圓，坐標軸是其對稱軸，原點是其對稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心).教師引導學生對這一環(huán)節(jié)進行反思，即通過建立坐標系，用橢圓的方程研究橢圓的性質，這種方法我們今后經常用到。

投影顯示下圖及問題

問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導學生思考討論后獲取共識：坐標系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質，無論橢圓在坐標系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標系的選取無關。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認為橢圓上哪幾個點比較特殊？

由學生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標 軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。

教師啟發(fā)學生與一元二次函數的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。

教師：能根據方程確定這四個頂點的坐標嗎？

由學生自主探究,求出四個頂點坐標。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數量關系。

由學生探究得出橢圓的一個焦點f2到長軸兩端點a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關實際問題時經常用到。4．離心率

教師：我們在學習橢圓定義時，用同樣長的一條細繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請同學們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關呢？

課件動畫演示

此時學生展開討論，可能有的說與a、c有關，也可能說與a、b有關等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導學生思考。

教師引導學生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。

即當比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當越大時，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因為a、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關鍵的要素，隨著今后的學習可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創(chuàng)新應用 越扁；當

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長軸長、短軸長、離心率和頂點，并畫出它的草圖。

本題采用講練結合的方式。前一部分由學生口述求解過程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學生來說比較實用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 c3 離心率e== a5 因為焦點在x軸上，所以橢圓的四個頂點的坐標是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據橢圓的性質，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個頂點，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據對稱性用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓的基本圖形。

教師提醒學生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點附近的平滑性。

學生根據畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說明，如果需要比較準確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據對稱性畫出整個橢圓（要求學生課下閱讀教材中的描點法作圖）。x2y2 練習：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心1625 率和頂點有什么變化。

此處是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題

做比較，使學生體會到橢圓的性質是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標系的選取無關。

學生的回答可能會因為長軸位置發(fā)生變化而導致頂點坐標出錯，教師要予以糾正。（此題用實物投影展示或由學生到黑板板書）

例2 我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個焦 點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點a（離地面最近的點）距地面約為200km,遠地點b（離地面最遠的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結果精確到0.01km）

設置本題的主要意圖是:第一,為增強學生的數學應用意識和運用數學知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學生的學習需求。

師生共同分析：先把實際問題轉化為數學問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標系）。怎樣建系？（以過a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點，記f1為左焦點x2y2 建立如圖所示的直角坐標系（課件上作圖、建系）則它的標準方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學生對照圖形認真思考，相互討論由學生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學生可能出現(xiàn)的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計算過程由學生用計算器求得。

教師最后課件展示：用計算機畫出飛船運行的軌跡。

四．總結提煉

教師：通過這節(jié)課學習，你學到了什么？（教師引導學生從知識和方法兩方面進行歸納總結，培養(yǎng)學生反思自己學習過程的意識）

篇三：橢圓的簡單幾何性質教案

課題：橢圓的簡單幾何性質

設計意圖：本節(jié)內容是橢圓的簡單幾何性質，是在學習了橢圓的定義和標準方程之后展開的，它是繼續(xù)學習雙曲線、拋物線的幾何性質的基礎。因此本節(jié)內容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學生自主學習能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。本教案的設計遵循啟發(fā)式的教學原則，以培養(yǎng)學生的數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數學活動能力。

教學目標：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術初步了解橢圓的第二定義． 培養(yǎng)學生的數形結合的思想方法。

教學重點：橢圓的簡單幾何性質的應用。

教學難點：橢圓的簡單幾何性質的應用。

二過程與方法目標

（1）復習與引入過程

引導學生復習由函數的解析式研究函數的性質或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標準方程和非負實數的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過p48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡單幾何性質．

（2）新課講授過程

（i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質來研究曲線的幾何性質．

（ii）橢圓的簡單幾何性質 y2x2 ①范圍：由橢圓的標準方程可得，2?1?2?0，進一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心；

③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當e?0時，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴展

例1 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標． 分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出a,b,c．引導學生

用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關量．

擴展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點位置沒有確定，應分類討論：①當焦點在x軸上，即0?m? 5時，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當焦點在y軸上，即m?5時，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．過對對稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點f1上，片門位于另一個焦點f2上，由橢圓一個焦點f1發(fā)出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當的坐標系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當的直角坐標系，設橢圓的標準方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關于a,b,c的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數字來決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發(fā)射升空，進入預定

軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個焦點的橢 圓，近地點a距地面200km，遠地點b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當的直角坐標系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設m?x,y?與定點f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數4 4，求點m的軌跡方程． 5 分析：若設點m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點m?x,y?與定點f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數c a2cx?則點m的軌跡方程是橢圓．其中定點f?c,0?是焦點，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應于f的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點f???c,0?，相應于f?的準線l?：(3)c 小結

1．知識總結：橢圓的幾何性質 2．思想方法總結：

教師根據學生的總結做適當補充、歸納、點評。