第一篇：優秀教案14-雙曲線的簡單幾何性質(精)

2.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(1 教材分析

本節內容是數學選修 2-1第二章第三節《雙曲線的簡單幾何性質》,是在學習完了橢圓基本知識和雙曲 線的標準方程之后要研究的課題.它是深入研究雙曲線,靈活運用雙曲線的定義、方程、性質解題的基礎;有 助于學生理解、體會利用代數方法研究幾何問題的解析幾何觀念, 提高學生的數學素質.本節課的重點是雙曲 線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程;難點是漸近線的理解,離心率與雙曲線形狀的關 系, 以及雙曲線的另一種定義的得出過程.通過探究雙曲線的簡單幾何性質, 可以很好地培養學生分析問題、解決問題的能力,要求學生有意識地運用數形結合思想、分類討論思想,在解決新問題的過程中,又要自覺 的運用化歸與轉化思想,體現解決數學問題的一般思路與方法.課時分配

本節內容計劃用 2課時的時間完成,本節課為第一課時,主要講解雙曲線的簡單幾何性質及雙曲線的另 一種定義.教學目標

重點 : 雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程.難點:漸近線的理解,離心率與雙曲線形狀的關系,以及雙曲線的另一種定義的得出過程.知識點:雙曲線簡單的幾何性質.能力點:如何運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的綜合問題,數形結合、分類討論的數學思想的運用.教育點:經歷由特殊到一般的研究數學問題的過程,體會探究的樂趣,激發學生的學習熱情.自主探究點:雙曲線的另一種定義方式.考試點:用雙曲線的簡單幾何性質解決簡單的數學問題.易錯易混點:在運用幾何性質時學生容易與橢圓的幾何性質混淆出現錯誤.拓展點:雙曲線漸近線的深入理解及幾類特殊的雙曲線.教具準備 多媒體課件 課堂模式 學案導學

一、復習引入

我們已經學習過橢圓的簡單幾何性質,并且研究了直線與橢圓的位置關系,那么雙曲線有哪些幾何性質 呢?本節課我們就一起來研究一下雙曲線的幾何性質.【設計意圖】 通過回顧橢圓與雙曲線的定義及標準方程,使學生學會類比,通過類比橢圓的簡單幾何性質 進而引入本節課所要研究的雙曲線的幾何性質,通過類比熟悉的內容去學習新的內容消除了學生心理上的 恐懼,更有利于新知識的接受與理解.二、探究新知 1.范圍、對稱性 由標準方程 12222=-b y a x 可得 2 2a x ≥,當 a x ≥時, y 才有實數值;對于 y 的任何值, x 都有實數

這說明從橫的方向來看,直線 , x a x a =-=之間沒有圖像,從縱的方向來看,隨著 x 的增大, y 的絕

對值也無限增大,所以曲線在縱方向上可無限伸展,雙曲線的圖像關于 x 軸、y 軸及坐標原點都對稱,但

不像橢圓那樣是封閉曲線.雙曲線不封閉,但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心.2.頂點

頂點:(0, , 0,(21a A a A-特殊點:(b B b B-, 0, , 0(21 實軸:21A A 長為 2a , a 叫做半實軸長.虛軸:21B B 長為 2b , b 叫做虛半軸長.結合圖形,講解頂點和軸的概念,在雙曲線方程 122 22=-b y a x 中,令 0y =得 a x ±=,故它與 x 軸有兩個 交點(0, , 0,(21a A a A-,且 x 軸為雙曲線 122 22=-b

y a x 的對稱軸,所以(0, , 0,(21a A a A-與其對稱軸的交

點,稱為雙曲線的頂點(一般而言,曲線的頂點均指與其對稱軸的交點 ,而對稱軸上位于兩頂點間的線段

21A A 叫做雙曲線 12222=-b y a x 的實軸長,它的長是 2a.在方程 122 22=-b y a x 中令 0x =得 22b y-=,這個

方程沒有實數根,說明雙曲線和 y 軸沒有交點.但 y 軸上的兩個特殊點(b B b B-, 0, , 0(21,這兩個點在雙 曲線中也有非常重要的作用.把線段 21B B 叫做雙曲線的虛軸,它的長是 2b.要特別注意不要把虛軸與橢圓 的短軸混淆.雙曲線只有兩個頂點,而橢圓則有四個頂點,這是兩者的又一差異.3.漸近線

過雙曲線 122 22=-b y a x 的兩頂點 21, A A , 作 y 軸的平行線 a x ±=, 經過 21, B B 作 x 軸的平行線 b y ±=, 四條直線圍成一個矩形.矩形的兩條對角線所在直線方程是 x a b y ±=(0=± y x , 這兩條直線就是雙曲 線的漸近線.分析:要證明直線 x a b y ±=(0=±b y a x 是雙曲線 1 2222=-b y a x 的漸近線,即要證明隨著 x 的增大,直線和曲線越來越靠攏.也即 如圖所示要證曲線上的點到直線的距離 MQ 越來越短, 因此把問

題轉化為計算 MQ.但因 MQ 不好直接求得, 漸近線 是 雙 曲 線 具 有 的 性 質.||||(b b MQ MN x x a a <=

=-=(||MQ 0??→?∞ →x

.兩類特殊雙曲線: A.等軸雙曲線

如果 a b =則雙曲線的實軸和虛軸等長,這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.結合圖形說明:a b =時,雙曲線方程變成 2 2 2

a y x =-(或 2 b ,它的實軸和都等于 2(2 a b ,這時直線圍 成正方形,漸近線方程為 x y ±=.它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角.B.共軛雙曲線(共漸近線的雙曲線系 如 果 已 知 曲 線 的 漸近線 方 程 為 x a b y ±

= 0(>±=k x ka kb , 那 么 此 雙 曲 線 方 程 就 一 定 是 : 0(1((2222>±=-k kb y ka x 或寫成 λ=-22 22b y a x.這樣的一組雙曲線叫做互為共軛雙曲線.【設計意圖】 通過這兩類特殊的雙曲線的介紹, 使學生對雙曲線的漸近線這一特別的概念有個深入的理解, 為解決有關漸近線的綜合題目做鋪墊,在已知漸近線方程求雙曲線標準方程式時要考慮共軛的情況.4.離心率

雙曲線的焦距與實軸長的比 a c e = ,叫做雙曲線的離心率.0, 1c a e >>∴>.b a ===.因此 e 越大, b a 也越大,即漸近線 b y x a

=±的斜率的絕對值越大, 這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知,雙曲線的離心率越大,它的開口就越闊.【設計意圖】 通過介紹雙曲線的離心率的定義,類比橢圓的離心率,明確兩類圓錐曲線離心率的范圍.【設計說明】 本環節為和學生一起探究新知的過程, 通過類比橢圓的簡單幾何性質得出雙曲線的幾何性質, 為接下來應用雙曲線幾何性質解題做了鋪墊.三、理解新知

漸近線是雙曲線所特有的,注意理解無限接近,但永遠也達不到的意義.漸近線是雙曲線的難點,結合兩 類特殊的雙曲線去理解會比較簡單,互為共軛雙曲線的兩條雙曲線是有相同的漸近線的.雙曲線 12222=-b y a x 的漸近線方程為:x a b y ±=;雙曲線 22221y x a b-=的漸近線方程為:a y x b =±.四、運用新知 例 1 求雙曲線 2 2 916144y x-=的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程.解:把方程化為標準方程.13 422 22=-x y 由此可知實半軸長 4a =, 虛半軸長 3b =

.5c ===,焦點的坐標是(0,5,(0,5-;離心率為:5 4 c e a =

=;漸近線方程為 34x y =± , 43 y x =±即.【設計意圖】 本例主要是考查學生對雙曲線基本概念的掌握情況, 進而可以由這些條件畫出雙曲線的草圖.練習:61KP 練習1 例 2 雙曲線型自然通風塔的外形,是雙曲線一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面,它的最小半徑為 12m ,上 口半徑為 13m ,下口半徑為 25m ,高 55m.選擇適當的坐標系,求出此雙曲線的方程(精確到 1m.解 :如 圖 , 建 立 直 角 坐 標 系 xOy , 在 使小圓的直徑 A A '軸上, 在 x 圓 心 與 原 點 重

合.軸,平行于、上、下口的直徑 x B B C C ''且 m(213' ?=CC.m(225' ?=BB 設雙曲線的方程為.0, 0(122 22>>=-b a b y a x

令點 C 的坐標為(13, y ,則點 B 的坐標為(25, y? 55.∵點 B、C 在雙曲線上,則 ???????=-=--13, 2(2112(11 55(12252 2 22 2 22b y b y ?(12 5舍負值 b y = 代入① , 消 y 得 0***=-+b b ③ 解方程③,得 b ≈ 25(m.∴所求方程為.1625 1442 2=-y x y x

o A' B' C' A B C 131225 練習:61KP 練習2, 3 【設計意圖】 本例為實際問題,主要考查學生求解雙曲線的標準方程的能力,將實際問題抽象出數學模型 來再去通過建立適當的坐標系求出雙曲線的標準方程.例 3點(, M x y 與定點 F(5,0距離和它到定直線 16:5l x = 的距離之比是常數 5 4 , 求點 M 的軌跡方程.分析:利用求軌跡方程的方法 求解.解 :設 d 是點 M 到直線 l 的距離 , 根據題意 , 所求軌跡就是集合 || MF P M d

?=?? 即

= 22 1169x y-=化簡得

所以,點 M 的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線.由本例可知 :定點 F(5,0為該雙曲線的焦點 , 定直線 16 :5 l x =為 2a x c =, 常數為離心率 a c e = >1.[提出問題 ]:(從特殊到一般 將上題改為:點 M(x,y與定點 F(c,0距離和它到定直線 2 :a l x c =的距離之比

是常數 1c e a = >, 求點 M 的軌跡方程.解:設 d 是點 M 到直線 l 的距離, 根據題意 , 所求軌跡就是集合 P={M|||5 MF d =}, 即 c a = 化簡得 2 2 2 2 2 2 2 2((c a x a y a c a--=-兩邊同時除以 2 2(a c a-得 22 221x y a b-=(0, 0 a b >>其中

【設計意圖】 通過本例引出雙曲線的第二定義,為更好的理解雙曲線的幾何性質打下基礎.[變式練習]已知(3,1A ,(2,0F ,在雙曲線 2 2 13

y x-=上求一 點 P ,使 12 PA PF + 得值最小,并求出最小值.分析:解本題的關鍵是利用第二定義將 12

PA PF + 中的 12PF 進 行轉化.解 :由 題 意 可 得 2e =, 設 點 P 到 右 準 線 的 距 離 為 d , 則 2PF e d ==,即 12 PF d =,所以要求 12 PA PF + 的最小值, c 即為 的最小值，由圖可得最小距離為：，此時 P(3 c 2

五、課堂小結 教師提問：本節課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數學思想方法？ 學生作答：

1、知識：雙曲線的簡單幾何性質

2、思想：分類討論的思想、數形結合的思想、特殊與一般的思想． 教師總結: 本節課我們學習了另一類特殊的圓錐曲線，雙曲線的簡單幾何性質，主要是通過類比橢圓的幾 何性質得出的，當然也有雙曲線自己所獨有的漸近線的相關性質，提醒學生: 在學習新知時，也要經常復習前 面學過的內容,“溫故而知新” ．在應用中增強對知識(如本節的漸近線的相關性質的理解，及時查缺補漏,從而 更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數學知

識、思想方法的認識與自覺運用． [設計意圖] 加強對學生學習方法的指導，做到“授人以漁” ．

六、布置作業 1．閱讀教材 P56—60； 2.書面作業 必做題：課本習題 2.3A 組 1、2、3、4 本節《自主學習叢書》 選做題：課本習題 2.3B 組 4 3．課外思考 如何類比直線與橢圓的位置關系來研究直線與雙曲線的位置關系呢？ 【設計意圖】設計作業 1,2，是引導學生先復習，再作業，培養學生良好的學習習慣.書面作業的布置，是 為了讓學生能夠運用雙曲線的簡單幾何性質，解決簡單的數學問題；課外思考的安排，是讓學生加深對雙曲線 幾何性質的理解，通過類比、探究得出新的內容.七、教后反思 1.本教案的亮點是變式訓練.在例 3 的教學后，提出問題，由特殊到一般，得出雙曲線的第二定義，變式 訓練又在不知不覺中提高了難度，是對第二定義的很好的應用，提高了學生的解題能力． 2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在雙曲線漸近線的探尋上下足功夫.3.本節課的弱項是由于整堂課課堂容量較大，在課堂上沒有充分暴露學生的思維過程，并給予針對性地診 斷與分析.八、板書設計 2．3．2 雙曲線的簡答幾何性質（1）

一、復習引入 運用新知 例1 例2

二、探究新知

1、范圍、對稱性

2、頂點

3、漸近線

4、離心率 例3 變式訓練： 課堂小結 作業

第二篇：雙曲線及其簡單幾何性質作業

家長簽字：

學之導教育中心作業

———————————————————————————————學生:

授課時間：________年級：

教師：求滿足下列條件的雙曲線的標準方程

（1）焦點是（-4,0），（4,0），過點（2,0）

（2）離心率為54，半虛軸長為2（3）兩頂點間的距離是6，兩焦點連線被兩頂點和中心四等分過雙曲線x2-y2?3=1的左焦點F1，作傾斜角為

6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長（F2為雙曲線的右焦點）

1）

AB 3 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標準方程

5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標圍成的三角形的面積為

812，求K的范圍

第三篇：雙曲線幾何性質2

授課時間 周星期 授課班級 授課教師 方法、技巧、規律 課雙曲線幾何性質 題 學1．了解雙曲線的簡單幾何性質——漸近線習2．能用雙曲線的簡單幾何性質解決一些簡單問題。目.標 重雙曲線的幾何性質及初步運用。點 難雙曲線的漸近線 點 問題 1：由橢圓的幾何性質出發，類比探究雙曲線 標準方程 觀察圖形，把握對 稱性`開放性和特 殊點 漸近線方程 問題2實軸與虛軸等長的雙曲線叫___________ 雙曲線 學方程可表示為___________，漸近線方程為________,習問題3：不同的雙曲線漸近線會相同嗎？ 過x2y222程 1.雙曲線4?9?1漸近線方程為_____，雙曲線y36?x16?1漸近線方程為_____ 2.（2009天津卷文）設雙曲線x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的虛軸長為2，焦距為23，x224k?y9k?1漸近線方程為____ 例2.已知雙曲線方程x29?y216?1，求與它共漸近線且滿 1）過點(?3,23)22）焦點為橢圓x210?y5?1的頂點 3）焦距為10 漸近線應用 21）（2009寧夏海南卷理）雙曲線x24-y12=1的焦點到漸近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)設雙曲線x2a2?y29?1?a?0?的漸近線3）（2010浙江理數）（8）設Fx21、F2分別為雙曲線a2?曲線右支上存在點P，滿足PF2?F1F2，且F2到直線雙曲線的漸近線方程為（A）3x?4y?0（B）3x?5y?0（C）4x?3y?x24）.（2009全國卷）雙曲線?y2?1的漸近線與圓(b

第四篇：§8.2.4雙曲線幾何性質

雙曲線的幾何性質（2）

一．課題：雙曲線的幾何性質（2）

二．教學目標：1.鞏固雙曲線的幾何性質；

2.能熟練地利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程。

三．教學重、難點：幾何性質的運用。四．教學過程：

（一）復習：

1．雙曲線的幾何性質：

①范圍；②對稱性；③頂點；④漸近線；⑤離心率。2．練習：

①雙曲線25x2?16y2?400的實軸長等于

，虛軸長等于

，頂點坐標為

，焦點坐標為

，漸近線方程為

，離心率等于

．（若方程改為16y2?25x2?400呢？）

（二）新課講解： 例1．求證：雙曲線

【練習】與雙曲線y2xa22?yb22??（??0）與雙曲線

xa22?yb22?1有共同的漸近線。

4?x23?1有共同的漸近線且經過點M(3,?2的)雙曲線方程是 ．

例2．求中心在原點，一條漸近線方程為2x?3y?0，且一焦點為(?4,0)的雙曲線標準方程。

例3．已知雙曲線的漸近線方程為y??23x，實軸長為12，求它的標準方程。

五．小結： 用雙曲線的性質求雙曲線方程。六．作業： 課本P114第6題

補充：1．已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點F1,F2在坐標軸上，離心率為2，且過點(4,?10)，（1）求雙曲線方程；

（2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：MF1?MF2；（3）求?F1MF2的面積。

第五篇：雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線的簡單幾何性質

【學習障礙】 1．理解障礙

(1)關于雙曲線對稱性的理解

把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說明雙曲線關于x軸對稱．其原因是設(x，y)為雙曲線上的一點，y換為－y方程不變，說明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(x，y)，(x，－y)關于x軸對稱，故整個雙曲線關于x軸對稱．

同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說明雙曲線關于y軸、原點都是對稱的，因此坐標軸為對稱軸，對稱中心為原點．(2)關于對雙曲線漸近線的理解

xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，當雙曲線上點P(x，y)在第一、三象限且遠離原點時，|在二、四象限遠離原點時，|

xyxy＋|→＋∞，此時－→0，當點P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點遠ababxyxy離原點時，雙曲線越來越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點遠離原點時，雙曲線越來越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．

abab(3)關于對離心率e的理解

cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時漸近線y＝－x到yaaaa?a?＝

2bx的角就越大，從而雙曲線開口就越闊，反之，e越小，雙曲線開口就越窄． a2．解題障礙

(1)雙曲線焦點位置的判定

雙曲線的焦點位置除題目直接告訴外，還可根據頂點位置．實軸(虛軸)、準線位置等判定，另外也可根據點在漸近線的上方還是下方來確定．(2)雙曲線方程的幾種變形

x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過來就不正確．如果將常數1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數1換為

abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應用．另外，以直線

ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個重要性質

漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質可以很好地解決解題思路．

【學習策略】 1．待定系數法

根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對稱性簡化作圖步驟和減少運算量．這一點正體現雙曲線的幾何性質的應用．綜上可簡記為：“巧設方程立好系，待定系數求a、b；結合圖形用性質，避免繁瑣用定義． 2．定義法

與焦點有關的距離，通過定義轉化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應能寫出對應的雙曲線系． 【例題分析】

［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點P(4，3)，求雙曲線的標準方程．

策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個未知數表示出雙曲線的標準方程，但要判斷點P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點P在雙曲線上，用待定系數法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫出標準方程，再把P點坐標代入方程可求出參數λ，從而求出雙曲線方程．

1x，2a1當x＝4時，y＝2＜yP＝3 ∴焦點在y軸上，即＝，設a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169

2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522

xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．

24x2∴可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)

∵雙曲線經過點P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．

4205評注：由已知條件求雙曲線方程時，首先要確定其定位條件，即要確定焦點在哪個坐標軸上，再根據其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時，一般把已知點橫坐標xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點在漸近線上方或下方，由此確定焦點的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對

22xy雙曲線方程類型的討論，簡化了解題過程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數)ab中，當λ＞0時，焦點在x軸上，當λ＜0時，焦點在y軸上．

x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點，求該雙曲線的標準方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點即雙曲線的焦點，由離心率可得出a進而求出b，可得雙曲線方程．

解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設與橢圓共焦點的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10

∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．

213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評注：解法二用了共焦點的圓錐曲線系方程，簡化了解題過程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當k＜b2時，方程表示橢圓，當b2＜k＜a2時，方程a?kb?k表示雙曲線．

［例3］已知中心在原點的雙曲線的焦點為F1(－5，0)，F2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．

策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．

解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點F(±5，0)在x軸上，∴

3x． 4b3＝，設a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1

∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316

x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評注：利用雙曲線系方程，可以簡化運算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時焦點在x軸上，λ＜0時焦點在y軸上)．

策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點P的坐標(x0，y0)或x02與y02，但計算相當麻煩，再一個方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個定義解決．

解法一：設點P的橫坐標為x0，當點P在雙曲線的右支上時，根據雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，當點P在雙曲線左支上時，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵點P在雙曲線上，依據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

評注：雙曲線的定義不僅是推導雙曲線方程的依據，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關雙曲線的焦點、準線等許多問題．

［例5］某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處(如圖8—4—1所示)

2x2y2? ＝1的兩個焦點點P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工．

策略：首先抽象為數學問題，半圓中的點可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點是第一、第二類點的分界．

解：設M是分界線上的任意一點，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點M滿足性質：點M到定點A與定點B的距離之差等于常數50，符合雙曲線的定義，所以M點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，所以問題轉化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500

2∴以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系，則界線是雙曲線孤

x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運土時，將此雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省．

評注：本題通過建立直角坐標系,利用點的集合的性質,構造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優化區域． ［例6］(2000年2全國高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當

32≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

策略：設出雙曲線方程，由E、C坐標適合方程，找出各字母之間的聯系，特別是e同λ的關系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．

因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e?2433322依題設≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10

所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評注：解本題關鍵找出離心率e與λ的關系，對于λ＝1－

31?2?

32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對考查學生思維能力、運算推理能力、綜合運用數學知識等能力都有較高要求，作為高考題可謂當之無愧．

x2y2［例7］設雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點，已知原點到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：

xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步達綱練習】

1．下列各對雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．點P為雙曲線－y2＝1右支上一點(非頂點)，F1、F2是該雙曲線的焦點，則△F1PF2的內心在（）

A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上

5．設連接雙曲線－＝1與－＝1的四個頂點的四邊形的面積是S1，連結其四個焦點的面積為S2，則的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．過雙曲線的右焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F1為左焦點且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為___________．

8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過點P(3，－)，則它的標準方程是___________．

9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為___________． 10．已知中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上的等軸雙曲線經過點(4，－)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對于(2)中的點M，求△F1MF2的面積．

11．已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點A(4，－1)，若圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．

12．在一次模擬軍事演習中，A、B、C是我軍三個炮兵陣地．在指揮作戰圖的坐標平面上，由數據給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時刻，A處發現了敵軍陣地P的某種信號，設該信號傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠，因此4秒鐘后，B、C才同時發現信號，于是A處準備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．

參考答案

【同步達綱練習】

1．解析：(用排除法)選項A和B中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．

答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：雙曲線∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：設雙曲線的右頂點為N，△F1PF2的內切圓切雙曲線的實軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右頂點N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質定理知，△F1PF2的內切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設知雙曲線＝1的焦點坐標為：(±，0)，頂點坐標為

(±a，0)，雙曲線＝1的焦點坐標為(0，±)，頂點坐標為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝

3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：設雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦點坐標為(±3，0)，頂點為(±，0)，設所求橢圓方

程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：設所求雙曲線方程為

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．

答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當雙曲線焦點在x軸時，當雙曲線焦點在y軸時，故e為或．

答案：或 10．解：(1)設所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．

(2)將點M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．

11．解：當所求雙曲線的焦點在x軸上時，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過點A(4，－1)，則有＝1 ①

又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知

＝4 ②

解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．

∴當焦點在x軸上時，雙曲線方程為： ＝1．

當焦點在y軸上時，雙曲線方程為1 ③

＝1(a>0，b>0)．由題設知過點A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦點不可能在y軸上．

因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點在以B、A為焦點的以4為實軸長的雙曲線的右支上，設其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點在雙曲線＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P點在線段BC的垂直平分線l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(－4，)∴l的方程為y－＝(x＋4)，即點P在直線y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點坐標(8，5)設所求方向角為θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°