第一篇：§8.2.4雙曲線幾何性質(zhì)
雙曲線的幾何性質(zhì)（2）
一．課題：雙曲線的幾何性質(zhì)（2）
二．教學(xué)目標(biāo)：1.鞏固雙曲線的幾何性質(zhì)；
2.能熟練地利用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
三．教學(xué)重、難點(diǎn)：幾何性質(zhì)的運(yùn)用。四．教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．雙曲線的幾何性質(zhì)：
①范圍；②對稱性；③頂點(diǎn)；④漸近線；⑤離心率。2．練習(xí)：
①雙曲線25x2?16y2?400的實(shí)軸長等于
，虛軸長等于
，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，漸近線方程為
，離心率等于
．（若方程改為16y2?25x2?400呢？）
（二）新課講解： 例1．求證：雙曲線
【練習(xí)】與雙曲線y2xa22?yb22??（??0）與雙曲線
xa22?yb22?1有共同的漸近線。
4?x23?1有共同的漸近線且經(jīng)過點(diǎn)M(3,?2的)雙曲線方程是 ．
例2．求中心在原點(diǎn)，一條漸近線方程為2x?3y?0，且一焦點(diǎn)為(?4,0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。
例3．已知雙曲線的漸近線方程為y??23x，實(shí)軸長為12，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。
五．小結(jié)： 用雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程。六．作業(yè)： 課本P114第6題
補(bǔ)充：1．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)(4,?10)，（1）求雙曲線方程；
（2）若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，求證：MF1?MF2；（3）求?F1MF2的面積。
第二篇：雙曲線及其簡單幾何性質(zhì)作業(yè)
家長簽字：
學(xué)之導(dǎo)教育中心作業(yè)
———————————————————————————————學(xué)生:
授課時間：________年級：
教師：求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）焦點(diǎn)是（-4,0），（4,0），過點(diǎn)（2,0）
（2）離心率為54，半虛軸長為2（3）兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分過雙曲線x2-y2?3=1的左焦點(diǎn)F1，作傾斜角為
6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長（F2為雙曲線的右焦點(diǎn)）
1）
AB 3 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個焦點(diǎn)是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)圍成的三角形的面積為
812，求K的范圍
第三篇：雙曲線幾何性質(zhì)2
授課時間 周星期 授課班級 授課教師 方法、技巧、規(guī)律 課雙曲線幾何性質(zhì) 題 學(xué)1．了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)——漸近線習(xí)2．能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題。目.標(biāo) 重雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。點(diǎn) 難雙曲線的漸近線 點(diǎn) 問題 1：由橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，類比探究雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 觀察圖形，把握對 稱性`開放性和特 殊點(diǎn) 漸近線方程 問題2實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫___________ 雙曲線 學(xué)方程可表示為___________，漸近線方程為________,習(xí)問題3：不同的雙曲線漸近線會相同嗎？ 過x2y222程 1.雙曲線4?9?1漸近線方程為_____，雙曲線y36?x16?1漸近線方程為_____ 2.（2009天津卷文）設(shè)雙曲線x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的虛軸長為2，焦距為23，x224k?y9k?1漸近線方程為____ 例2.已知雙曲線方程x29?y216?1，求與它共漸近線且滿 1）過點(diǎn)(?3,23)22）焦點(diǎn)為橢圓x210?y5?1的頂點(diǎn) 3）焦距為10 漸近線應(yīng)用 21）（2009寧夏海南卷理）雙曲線x24-y12=1的焦點(diǎn)到漸近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)設(shè)雙曲線x2a2?y29?1?a?0?的漸近線3）（2010浙江理數(shù)）（8）設(shè)Fx21、F2分別為雙曲線a2?曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足PF2?F1F2，且F2到直線雙曲線的漸近線方程為（A）3x?4y?0（B）3x?5y?0（C）4x?3y?x24）.（2009全國卷）雙曲線?y2?1的漸近線與圓(b
第四篇：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
【學(xué)習(xí)障礙】 1．理解障礙
(1)關(guān)于雙曲線對稱性的理解
把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說明雙曲線關(guān)于x軸對稱．其原因是設(shè)(x，y)為雙曲線上的一點(diǎn)，y換為－y方程不變，說明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(diǎn)(x，y)，(x，－y)關(guān)于x軸對稱，故整個雙曲線關(guān)于x軸對稱．
同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說明雙曲線關(guān)于y軸、原點(diǎn)都是對稱的，因此坐標(biāo)軸為對稱軸，對稱中心為原點(diǎn)．(2)關(guān)于對雙曲線漸近線的理解
xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)
ababab＝1，當(dāng)雙曲線上點(diǎn)P(x，y)在第一、三象限且遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，|在二、四象限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，|
xyxy＋|→＋∞，此時－→0，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點(diǎn)遠(yuǎn)ababxyxy離原點(diǎn)時，雙曲線越來越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，雙曲線越來越靠近＋
ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．
abab(3)關(guān)于對離心率e的理解
cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時漸近線y＝－x到y(tǒng)aaaa?a?＝
2bx的角就越大，從而雙曲線開口就越闊，反之，e越小，雙曲線開口就越窄． a2．解題障礙
(1)雙曲線焦點(diǎn)位置的判定
雙曲線的焦點(diǎn)位置除題目直接告訴外，還可根據(jù)頂點(diǎn)位置．實(shí)軸(虛軸)、準(zhǔn)線位置等判定，另外也可根據(jù)點(diǎn)在漸近線的上方還是下方來確定．(2)雙曲線方程的幾種變形
x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數(shù)1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過來就不正確．如果將常數(shù)1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數(shù)1換為
abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應(yīng)用．另外，以直線
ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個重要性質(zhì)
漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質(zhì)可以很好地解決解題思路．
【學(xué)習(xí)策略】 1．待定系數(shù)法
根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對稱性簡化作圖步驟和減少運(yùn)算量．這一點(diǎn)正體現(xiàn)雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．綜上可簡記為：“巧設(shè)方程立好系，待定系數(shù)求a、b；結(jié)合圖形用性質(zhì)，避免繁瑣用定義． 2．定義法
與焦點(diǎn)有關(guān)的距離，通過定義轉(zhuǎn)化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點(diǎn)的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應(yīng)能寫出對應(yīng)的雙曲線系． 【例題分析】
［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點(diǎn)P(4，3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個未知數(shù)表示出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，但要判斷點(diǎn)P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點(diǎn)P在雙曲線上，用待定系數(shù)法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可求出參數(shù)λ，從而求出雙曲線方程．
1x，2a1當(dāng)x＝4時，y＝2＜yP＝3 ∴焦點(diǎn)在y軸上，即＝，設(shè)a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．
b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169
2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522
xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．
24x2∴可設(shè)雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)
∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(4，3)
442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22
?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．
4205評注：由已知條件求雙曲線方程時，首先要確定其定位條件，即要確定焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再根據(jù)其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時，一般把已知點(diǎn)橫坐標(biāo)xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點(diǎn)在漸近線上方或下方，由此確定焦點(diǎn)的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對
22xy雙曲線方程類型的討論，簡化了解題過程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數(shù))ab中，當(dāng)λ＞0時，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時，焦點(diǎn)在y軸上．
x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點(diǎn)即雙曲線的焦點(diǎn)，由離心率可得出a進(jìn)而求出b，可得雙曲線方程．
解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點(diǎn)F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．
x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10
∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．
213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評注：解法二用了共焦點(diǎn)的圓錐曲線系方程，簡化了解題過程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點(diǎn)的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當(dāng)k＜b2時，方程表示橢圓，當(dāng)b2＜k＜a2時，方程a?kb?k表示雙曲線．
［例3］已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．
策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關(guān)系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．
解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點(diǎn)F(±5，0)在x軸上，∴
3x． 4b3＝，設(shè)a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1
∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316
x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評注：利用雙曲線系方程，可以簡化運(yùn)算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時焦點(diǎn)在x軸上，λ＜0時焦點(diǎn)在y軸上)．
策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)或x02與y02，但計算相當(dāng)麻煩，再一個方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個定義解決．
解法一：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上時，根據(jù)雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點(diǎn))，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點(diǎn))． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32
∴e2x02－a2＝32
∴e2x02＝32＋a2
∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2
∴同理，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時，仍可得PF1⊥PF2．
解法二：∵點(diǎn)P在雙曲線上，依據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
∴PF1⊥PF2．
評注：雙曲線的定義不僅是推導(dǎo)雙曲線方程的依據(jù)，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關(guān)雙曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等許多問題．
［例5］某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如圖8—4—1所示)
2x2y2? ＝1的兩個焦點(diǎn)點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運(yùn)土才能最省工．
策略：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點(diǎn)是第一、第二類點(diǎn)的分界．
解：設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到定點(diǎn)A與定點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，符合雙曲線的定義，所以M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，所以問題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得
|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500
2∴以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則界線是雙曲線孤
x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省．
評注：本題通過建立直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的集合的性質(zhì),構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優(yōu)化區(qū)域． ［例6］(2000年2全國高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)
32≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．
策略：設(shè)出雙曲線方程，由E、C坐標(biāo)適合方程，找出各字母之間的聯(lián)系，特別是e同λ的關(guān)系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設(shè)雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．
e?2433322依題設(shè)≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評注：解本題關(guān)鍵找出離心率e與λ的關(guān)系，對于λ＝1－
31?2?
32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對考查學(xué)生思維能力、運(yùn)算推理能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識等能力都有較高要求，作為高考題可謂當(dāng)之無愧．
x2y2［例7］設(shè)雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：
xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點(diǎn)到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43
432c，∴a2b2＝c
164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2
∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0
∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又0
【同步達(dá)綱練習(xí)】
1．下列各對雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）
A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）
3．A．
B．2
C．
D．
3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2
B．
C．
D．
4．點(diǎn)P為雙曲線－y2＝1右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，F(xiàn)1、F2是該雙曲線的焦點(diǎn)，則△F1PF2的內(nèi)心在（）
A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上
5．設(shè)連接雙曲線－＝1與－＝1的四個頂點(diǎn)的四邊形的面積是S1，連結(jié)其四個焦點(diǎn)的面積為S2，則的最大值是（）
A．
B．
C．1
D．2 6．過雙曲線的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為___________．
8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過點(diǎn)P(3，－)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________．
9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為___________． 10．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(4，－)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對于(2)中的點(diǎn)M，求△F1MF2的面積．
11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點(diǎn)A(4，－1)，若圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．
12．在一次模擬軍事演習(xí)中，A、B、C是我軍三個炮兵陣地．在指揮作戰(zhàn)圖的坐標(biāo)平面上，由數(shù)據(jù)給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時刻，A處發(fā)現(xiàn)了敵軍陣地P的某種信號，設(shè)該信號傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn)，因此4秒鐘后，B、C才同時發(fā)現(xiàn)信號，于是A處準(zhǔn)備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．
參考答案
【同步達(dá)綱練習(xí)】
1．解析：(用排除法)選項A和B中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．
答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設(shè)兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．
3．解析：雙曲線∴a2＝b2．
∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設(shè)知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．
答案：C 4．解析：設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為N，△F1PF2的內(nèi)切圓切雙曲線的實(shí)軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識得：|F1T|－|F2T|＝4．
又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝
－2．
∴|OT|＝2 又右頂點(diǎn)N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質(zhì)定理知，△F1PF2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設(shè)知雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(±，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(±a，0)，雙曲線＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝
3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B
．
6．解析：設(shè)雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2
∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1
舍去∴e＝
＋1．
7．解析：由＝1知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3，0)，頂點(diǎn)為(±，0)，設(shè)所求橢圓方
程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．
答案：＝1 8．解析：設(shè)所求雙曲線方程為
－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．
答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸時，當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸時，故e為或．
答案：或 10．解：(1)設(shè)所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．
(2)將點(diǎn)M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F(xiàn)2(2
＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．
(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°
∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②
①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．
11．解：當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過點(diǎn)A(4，－1)，則有＝1 ①
又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知
＝4 ②
解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．
∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，雙曲線方程為： ＝1．
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，雙曲線方程為1 ③
＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)知過點(diǎn)A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④
由③④知：a、b不存在，故焦點(diǎn)不可能在y軸上．
因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點(diǎn)在以B、A為焦點(diǎn)的以4為實(shí)軸長的雙曲線的右支上，設(shè)其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點(diǎn)在雙曲線＝1(x>0)上．
又|PB|＝|PC|，知P點(diǎn)在線段BC的垂直平分線l上．
∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(diǎn)(－4，)∴l(xiāng)的方程為y－＝(x＋4)，即點(diǎn)P在直線y＝(x＋7)上．
由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)(8，5)設(shè)所求方向角為θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°
第五篇：第四節(jié)：雙曲線的幾何性質(zhì)
第四節(jié)：雙曲線的幾何性質(zhì)
習(xí)題精選
一、選擇題
1．經(jīng)過點(diǎn) 且與雙曲線 有相同漸近線的雙曲線方程是（）．
A． ；
B． ；
C． ；
D．
2．已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的（）．
A．焦距為10
B．實(shí)軸和虛軸長分別是8和6
C．離心率是 或
D．離心率不確定
3．若方程 表示的曲線是一組雙曲線，則這組雙曲線（）．
A．有相同的實(shí)軸和虛軸
B．有共同的焦點(diǎn)
C．有共同的準(zhǔn)線
D．有相同的離心率
二、填空題
4．雙曲線 上一點(diǎn) 到左焦點(diǎn)距離為8，則它到右準(zhǔn)線距離為_________．
5．對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線的一個交點(diǎn)是 _____________．，則雙曲線方程是6．設(shè)雙曲線 的半焦距為，直線 過，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的 的距離為，則雙曲線的離心率為__________．
三、解答題
7．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，一條準(zhǔn)線方程為，求雙曲線方程．
8．過雙曲線 點(diǎn)，以 的左焦點(diǎn)，斜率為 的直線 與兩準(zhǔn)線交于，兩為直徑的圓過原點(diǎn)，且點(diǎn)（3，2）在雙曲線上，求雙曲線方程．，9．過點(diǎn)（2，2）的雙曲線的虛軸長、實(shí)軸長、焦距成等差數(shù)列，且它的右準(zhǔn)線方程是 求（1）雙曲線的離心率；（2）雙曲線右焦點(diǎn)的軌跡方程．
10．過點(diǎn) 作直線，使它恰好與雙曲線
參考答案：
有一個交點(diǎn)，求直線方程．
一、選擇題：1．B； 2．C； 3．B；
二、填空題：4． ； 5． 或 ； 6．2；
三、解答題：7． ； 8． ；
9．（1）即 ；（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為
．，由雙曲線定義有，10．、典型例題（例1～例4）
例1 求與雙曲線 共漸近線且過 點(diǎn)的雙曲線方程及離心率．
解法一：雙曲線 的漸近線方程為：
（1）設(shè)所求雙曲線方程為
∵，∴ ①
∵ 在雙曲線上
∴ ②
由①－②，得方程組無解
（2）設(shè)雙曲線方程為
∵，∴ ③
∵ 在雙曲線上，∴ ④
由③④得，∴所求雙曲線方程為： 且離心率
解法二：設(shè)與雙曲線 共漸近線的雙曲線方程為：
∵點(diǎn) 在雙曲線上，∴
∴所求雙曲線方程為：，即 ．
評述：（1）很顯然，解法二優(yōu)于解法一．
（2）不難證明與雙曲線 共漸近線的雙曲線方程 ．
一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程．
求雙曲線方程較為方便．通常是根據(jù)題設(shè)中的另一條件確定參數(shù)
（3）以上優(yōu)美巧妙的解法，達(dá)到了化繁為易的目的．教學(xué)中，要引起重視．
例2 作方程 的圖象．
分析：∵
∴方程圖象如右圖，∴，∴
即表示雙曲線 的右支．
例3 作方程 的圖象．
分析：∵
∴方程圖象應(yīng)該是圓 完成．）
及雙曲線 在 軸上方的圖象．（畫圖請自行
評述：在根據(jù)方程作出相應(yīng)圖象時，應(yīng)遵循：“如果曲線 的方程是，那么點(diǎn) 在曲線 上的充要條件是 ”這一原則；另外，須注意方程變形的未知數(shù)的允許值可能會擴(kuò)大，而原方程的曲線只能取原方程允許值范圍內(nèi)的那一部分．
例4 求以曲線
實(shí)軸長為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
和 的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線為漸近線，且
分析：先求出漸近線方程，確定出其斜率，結(jié)合已知條件確定所求雙曲線方程中的字母系數(shù)．
解：∵，∴ 或，∴漸近線方程為
當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時，由 且，得 ．
∴所求雙曲線方程為
當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時，由，且，得 ．
∴所求雙曲線方程為
評述：（1）“定量”與“定位”是求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個過程，解題過程中應(yīng)準(zhǔn)確把握．
（2）為避免上述的“定位”討論，我們可以用有相同漸近線的雙曲線系方程去解，請讀者自行完成．
典型例題（例5～例10）
例5 已知雙曲線的漸近線方程為 標(biāo)準(zhǔn)方程．，兩條準(zhǔn)線間的距離為，求雙曲線
分析：可根據(jù)雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系，設(shè)出雙曲線方程，進(jìn)而求出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：∵雙曲線漸近線方程為
（1）若，則，∴設(shè)雙曲線方程為
∴準(zhǔn)線方程為：
（2）若，則，∴，∴
∴準(zhǔn)線方程為：，∴，∴
∴所求雙曲線方程為： 或
評述：（1）準(zhǔn)確及進(jìn)地應(yīng)用有相同漸近線的雙曲線系方程給我們的求解過程帶來了方便．
（2）通過待定系數(shù)法求出參數(shù)
例6 中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為 標(biāo)準(zhǔn)方程．
． 的雙曲線，其實(shí)軸長與虛軸長之比為，求雙曲線
解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得
∴ 為所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
評述：以上方法是求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的通用方法，注意其中的運(yùn)算技巧．
例7 求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過點(diǎn)
且離心率為 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：設(shè)所求雙曲線方程為：，則，∴，∴，∴所求雙曲線方程為
評述：（1）以上巧妙簡捷的設(shè)法是建立在一個事實(shí)的基礎(chǔ)上的，即離心率 線的等軸雙曲線的充要條件，它的證明如下：
是雙曲
設(shè)等軸雙曲線
∴，則，∴，∴
反之，如果一個雙曲線的離心率 ．
∴
∴，∴，∴，∴雙曲線是等軸雙曲線
（2）還可以證明等軸雙曲線的其他性質(zhì)：兩條漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的比例中項等．
例8 已知點(diǎn) 值最小．
解：∵，，在雙曲線 上求一點(diǎn)，使 的，∴，∴
設(shè)點(diǎn) 到與焦點(diǎn) 相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 則
∴，∴
至此，將問題轉(zhuǎn)化成在雙曲線上求一點(diǎn)，使 到定點(diǎn) 的距離與到準(zhǔn)線距離和最小．即到定點(diǎn) 的距離與準(zhǔn)線距離和最小為直線 垂直于準(zhǔn)線時，解之得，點(diǎn)
評述：靈活巧妙地運(yùn)用雙曲線的比值定義于解題中，將會帶給我們意想不到的方便和簡單．教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力．
例9 已知：
求：點(diǎn)
是雙曲線、的距離．
上一點(diǎn)．
到雙曲線兩焦點(diǎn)
分析：利用雙曲線的第二定義．
解：如圖，設(shè)點(diǎn) 到相應(yīng)焦點(diǎn)、的準(zhǔn)線的距離為、．
當(dāng) 點(diǎn)在雙曲線的右支上時，且有
∴，當(dāng)點(diǎn) 在雙曲線的左支上時，且有
∴，評述：以上結(jié)論稱為雙曲線的焦點(diǎn)半徑公式，它在解題過程中發(fā)揮著很大的優(yōu)越性，可使解題過程的運(yùn)算量簡化，從而得到避繁就簡效果．例如：
在雙曲線 點(diǎn) 的一支上有三個不同點(diǎn) 的值．、、與焦的距離成等差數(shù)列，求
解：直接利用焦半徑公式，得：，∴，∴，即
注意：一般地，在涉及到雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，應(yīng)用焦半徑公式是一種簡單快捷的方法．
例10 如圖所示，已知梯形 過、、三點(diǎn)，且以、中，為焦點(diǎn)，當(dāng)、，點(diǎn) 滿足，雙曲線
時，求雙曲線離心率的取值范圍．、的坐標(biāo)及雙曲線的方程求解． 軸，建立直角坐標(biāo)系，則、關(guān)
分析一：依題意，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并通過
解法一：以直線 于 軸對稱．
為 軸，以、的垂直平分線為、軸，因雙曲線過點(diǎn)，且以 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性可知
設(shè) 的高．、、，其中 為雙曲線的半焦距，是梯形
由，即，得，設(shè)雙曲線方程為，則離心率為 ．
由點(diǎn)、在雙曲線上，將、的坐標(biāo)和，代入雙曲線方程得
由①得，將③代入②式中，整理得：
∴
∴，又∵，∴，∴雙曲線的離心率取值范圍為
分析二：建立直線
．
方程，再與雙曲線方程聯(lián)立，借助一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題．
解法二：前面部分同解法一．
可求得直線 方程為，將其代入雙曲線方程
中，得
又∵、為上述二次方程的兩根，∴ ①
又∵ 在雙曲線上，∴
②
∵
③
將②③代入①中，得：
∵，∴
以下同解法一
分析三：借助焦半徑公式解題．
∵，∴
①
∴，由焦半徑公式，得：
②
將①代入②，得：
∵，∴
以下同解法一
評述：（1）此題的關(guān)鍵是：弄清應(yīng)設(shè)定幾個量之間關(guān)系（如：、、如何自始至終保持思路清晰，有條不紊．、）．難點(diǎn)：
（2）比較以上三種方法不難發(fā)現(xiàn)：解法二雖思路簡單自然，但由于采取了聯(lián)立方程消元的思想，也就導(dǎo)致了解題過程的運(yùn)算繁瑣，這對于學(xué)生的計算能力要求是很高的，解法三因巧妙地運(yùn)用了焦半徑公式，使得求解過程變得簡潔快捷，而且給人以一種心滿意足的感覺，這表明善于記憶一些中間結(jié)果對我們的學(xué)習(xí)幫助很大．
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