第一篇：拋物線的定義、性質及標準方程

高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程

【本講主要內容】

拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質

【知識掌握】 【知識點精析】 1.拋物線定義：平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點

叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當01時為雙曲線。

2.拋物線的標準方程有四種形式，參數式方程的幾何性質（如下表）： 的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形

其中為拋物線上任一點。

3.對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。的焦點的直線與拋物線交于，則有4.拋物線的焦點弦：設過拋物線，直線

與的斜率分別為，直線的傾斜角為。，，，說明：

1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。

2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。【解題方法指導】

例1.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為設交點則∴點在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦長等∴或，∴或

。，經過的直線交拋物線于

兩點，點故所求拋物線方程為例2.設拋物線在拋物線的準線上，且的焦點為

∥軸，證明直線經過原點。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點

故可設過焦點的直線的方程為

由，消去得 設，則

∵∥軸，且在準線上

∴點坐標為

于是直線的方程為

要證明注意到經過原點，只需證明，即證

經過原點。

知上式成立，故直線證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是過原點。

證法三：如圖，知三點共線，從而直線經

設軸與拋物線準線交于點則∥∥，連結，過交

作于點，則

是垂足

又根據拋物線的幾何性質，∴因此點是的中點，即

與原點

重合，∴直線

經過原點。

評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。

【考點突破】 【考點指要】

拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是５分。考查通常分為四個層次：

層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質的應用；

層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。

解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。

【典型例題分析】 例3.（2006江西）設，則點A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：設點坐標為，則，解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。

為坐標原點，的坐標為（）B.D.為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若解法二：由題意設，則，即，求得，∴點的坐標為。

評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。例4.（2006安徽）若拋物線為（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。

評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系。【達標測試】 一.選擇題： 1.拋物線的準線方程為，則實數的值是（）

A.B.C.D.軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離2.設拋物線的頂點在原點，其焦點在為4，則等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦點在直線A.C.B.D.或或

上的拋物線的標準方程為（）

4.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（）

A.B.C.D.5.正方體上的動點，且點的軌跡是（）的棱長為１，點到直線的距離與點

在棱到點

上，且，點是平面的距離的平方差為１，則點

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對 6.已知點是拋物線的距離為

上一點，設點，則

到此拋物線準線的距離為，到直線的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知點D.是拋物線

上的動點，點

在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦點的直線交拋物線于

兩點，為坐標原點，則的值8.過拋物線是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空題： 9.已知圓10.已知物線的焦點分別是拋物線，則直線

和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此拋

上兩點，為坐標原點，若的方程為＿＿＿＿＿。

11.過點（0，1）的直線與＿＿＿。12.已知直線＿＿＿。三.解答題： 與拋物線

交于兩點，若的中點的橫坐標為，則

交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿13.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為拋物線的方程。14.過點（4，1）作拋物線

軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求的弦點在，恰被所平分，求所在直線方程。

。15.設點F（1，0），M點在軸上，⑴當點⑵設在軸上運動時，求

軸上，且

點的軌跡是曲線的方程； 上的三點，且的坐標。

成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點【綜合測試】 一.選擇題：

1.（2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 2.（2005江蘇）拋物線

上的一點

到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）

A.B.C.D.0，若它的一條準線與拋物線3.（2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為的準線重合，則該雙曲線與拋物線A.B.C.D.21 的交點與原點的距離是（）

4.（2005全國Ⅰ）已知雙曲線合，則該雙曲線的離心率為（）的一條準線與拋物線的準線重A.B.C.D.的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有5.（2004全國）設拋物線公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.（2006山東）動點取得最小值，則

是拋物線的最小值為（）

上的點，為原點，當時A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積取值范圍是（）A.B.C.D.的準線為，直線

與該拋物線相交于的8.（2005北京）設拋物線點，則點及點

兩到準線的距離之和為（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空題： 9.（2004全國Ⅳ）設到

是曲線

上的一個動點，則點

到點的距離與點軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）過拋物線為，則圓的焦點

且垂直于軸的弦為，以

為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。的一條弦，所在11.（2005遼寧）已知拋物線直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。的焦點在直線

移到點

上，現將拋物線沿處，則平移后所12.（2004黃岡）已知拋物線向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線得拋物線被軸截得的弦長

＿＿＿＿＿。三.解答題：

13.（2004山東）已知拋物線C：與拋物線交于⑴若以弦兩點。，求的值； 的軌跡方程。的焦點為，直線過定點

且為直徑的圓恒過原點⑵在⑴的條件下，若，求動點

14.（2005四川）如圖，點，是拋物線的焦點，點

為拋物線內一定點，點

為拋物線上一動的最小值為8。

⑴求拋物線方程； ⑵若為坐標原點，問是否存在點，若存在，求動點，使過點的動直線與拋物線交于

兩點，且的坐標；若不存在，請說明理由。

15.（2005河南）已知拋物線拋物線交于⑴求⑵求滿足 ； 的點的軌跡方程。，為頂點，使得

為焦點，動直線。

與兩點。若總存在一個實數

第二篇：2017拋物線的定義及其標準方程教案.doc

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圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

教學目標

1．使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關問題．

2．通過教學，培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明．

3．培養學生運用數形結合的數學思想理解有關問題． 教學重點與難點

拋物線標準方程的推導及有關應用既是教學重點，又是難點． 教學過程

師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義．

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌道，當e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線．

(計算機演示動畫——圖2-45)

(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p．

(2)通過提問，讓學生思考隨著e的變化曲線的形狀的變化規律．同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎．

師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！

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(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示．)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕．(圖2-46)

我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡．

師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節課主要的研究對象．

(師板書課題——拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

(投影)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計．

如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

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如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

在方程中都僅有x、y的二次項．

當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發生怎樣的變化？

生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應為Ay2+Bx+C=0的形式．

師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？

學生甲：取經過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．

師：點M滿足什么條件？

生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉化成點M的坐標所滿足的條件？

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請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數的表達式．

師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數項的二次函數，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．

師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖2-48)

師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．

觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．

生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的四分之一．

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不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．

開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．

師：作為應用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程．

(2)分析

要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．

例2 經過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1·y2的值．(計算機演示圖形——圖2-49)

師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？

(師板書)

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故y1·y2=-p2．

師：還有其他辦法嗎？可否根據拋物線的定義？

生：如圖2-50，根據拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結果怎樣？(計算機演示動畫——圖2-51)

師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？

生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．

(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)

與拋物線方程聯立，消去x可得：

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引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關系？(計算機演示動畫——圖2-52)

學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．

師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結這節課的內容．

(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業：

課本第98頁習題八：1，2． 設計說明 1．關于教學過程

(1)由于拋物線的定義是本章的主要內容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養．這對于提高學生的一般科學素養，形成和發展他們的數學品質，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．

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(3)按照大綱的要求，在教學中培養學生運用數學思想方法解決有關問題，據此制定了目標3．

2．關于教學重點

為實現教學目標，把充分展現拋物線的定義及標準方程的探索、發現、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節課的重點．

3．關于教學方法

按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協調原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發式．

4．關于教學手段

利用計算機輔助教學，演示圖形的動態變化過程，彌補傳統教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．

(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統一定義，以及曲線形狀變化與常數e的大小之間的關系．

(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統教學中此處的生硬與牽強．

(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現的動態效果． 5．關于教學過程

(1)復習內容的確定，旨在通過聯想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎．

(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規律，類比、聯想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現科學發現的本質，培養學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態度及勇于探索的精神等個性品質．

(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結，充分發揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．

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第三篇：拋物線及其標準方程

公開課教案

課題：2.4.1拋物線及其標準方程

授課班級：高二18班（實驗樓四樓）授課時間：10.11早上第二節 執教：魏金寶 教學目標：

1.學生理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線的標準方程及其推導。

2.明確拋物線標準方程中P的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程的問題。教學難點：拋物線概念的形成

教學重點：拋物線的標準方程的理解和運用 教學環節：

環節一，回顧橢圓、雙曲線的定義，回顧橢圓和雙曲線的第二定義，引入拋物線。環節二，觀察和分析拋物線的形成過程，得出拋物線的定義并建系求解拋物線的標準方程。

環節三：講解例題，學生課堂練習。環節四：介紹圓錐曲線名稱的來歷。環節五：小結，布置作業。附：教學設計PPT

第四篇：拋物線及其標準方程

“拋物線及其標準方程”教學設計案例

課程分析：拋物線是解析幾何的重要組成部分，是今后學習解析幾何的基礎。本節對拋物線的教學，是在學生對于拋物線基本知識和研究方法已經熟悉的基礎上進行的，所以學習時采用了類比的方法，讓學生通過自主研究、合作交流等方式自己構建新知識。

學情分析：《拋物線及其標準方程》高中數學（選修2-1）中的內容，適用對象是高二年級的學生。學生在初中階段所學的二次函數中，已經初步接觸過拋物線。通過本節課的學習，可以讓學生進一步了解拋物線所形成的幾何本質。在研究橢圓和雙曲線的基礎上，通過類比來研究拋物線的定義和標準方程，讓學生進一步掌握研究曲線的基本方法，并為他們今后學習解析幾何奠定良好的基礎。類比學習時，要注意知識上的相似點和不同點，要注意加以區別，以防混淆。設計理念：本節課主要采用了誘思探究教學，改變了傳統教學中滿堂灌的教學方法，讓學生自己動手探索新知識新問題。通過日常生活中存在的數學問題創設情境引出新知，充分調動了學生探討問題的積極性；考慮到學生發現數學問題的能力較弱，設置了一系列探究問題，幫學生鋪設好臺階，引導學生討論、主動探索，自己構建新知識，鼓勵提出不同見解，發表個人看法，真正成為課堂的主人。要讓學生在整個教學過程體會到發現的樂趣，從而提高學生學習的熱情，充分發揮情意因素的作用。自制多媒體課件，用幾何畫板制作。通過多媒體，增強了教學的直觀性，激發學生的學生興趣，同時又可提高課堂效率；使用了投影儀，迅速快捷地展示學生的解題方案，便于課堂討論和點評，不斷優化學生思維，規范學生解題過程。建立了一種多媒體、大容量、高效率的教學模式，并通過這種教學示范培養學生的創新意識。學習目標：

1、理解拋物線的定義，并能根據拋物線的定義恰當的選擇坐標系，建立及推導拋物線的標準方程。

2、了解拋物線的標準方程，培養分析、歸納、推理等能力。

3、掌握用待定系數法求拋物線方程的方法，并能根據條件確定拋物線的標準方程。

教學流程：

1、創設情境

復習：（1）出示課件中的橢圓圖像，讓學生說出橢圓的第二種定義（屏幕顯示橢圓的定義 ：到定點與到定直線的距離的比是小于1的常數的點的軌跡是橢圓。）

（2）出示課件中的雙曲線圖像，讓學生說出雙曲線的第二種定義。（屏幕顯示雙曲線的定義：到定點與到定直線的距離的比是大于1的常數的點的軌跡是雙曲線。）

2、概念形成： 探究問題1：通過比較橢圓和雙曲線的定義思考：到定點的距離和到定直線的距離的比是等于1的常數的點的軌跡是什么？ 動畫演示拋物線的形成

（實錄：學生觀察曲線，更好的從圖象上了解拋物線）（點評：通過類比更好的凸現了拋物線的獨特之處）

屏幕顯示拋物線定義：到定點與到定直線的距離的比是等于1的常數的點的軌跡，即拋物線。

3、概念深化

問題：建立曲線方程一般有哪幾個步驟？

（學生回憶 建系--設點--列式--化簡--證明）探究問題2：如何選擇合適的坐標系建立方程？

（實錄：學生結合剛才在幾何畫板上所做的拋物線，思考、討論該如何建立適當的坐標系，教師巡視、傾聽，然后讓學生發言。學生共同探討出多種方案，其中有3種最為常見。

生1：以l為y軸，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系。

生2：以定點F為原點，過點F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系。

生3：過焦點F作直線FN垂直于直線l，垂足為N。以直線NF為x軸，線段NF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系）

探究問題3：請在這三種建系方案下推導出拋物線的方程。提示以定義為依據求拋物線的方程。

（實錄：學生自己動手求解，紛紛發言，說出三種方案所求的結果。教師巡視、指導）

（點評：學生自己動手在不同的方案下推導方程，可以進一步激發學習的熱情，有助于增強學習效果，加深對知識的理解。讓學生分組動手，在三個建系方案下進行推導，然后通過對比得出標準方程，使學生更能體會不同坐標系下方程的差異，進一步認識拋物線標準方程的結構及對應參數的意義。）

探究問題4：通過以上過程的比較，哪種方案的結果具有較簡單的形式？

（實錄：學生對比發現第3種方案的結果不僅具有較簡單的形式，而且方程中的一次項系數是焦點到準線的距離的兩倍。教師就勢引導： 這個方程就叫做拋物線的標準方程。焦點在x軸的正半軸上，參數p的幾何意義：焦點到準線的距離；焦點坐標為：(x??p2p2,0)，準線方程為：）

（點評：一題多解并選擇最優解。給學生自己探索的空間，讓學生共同體驗數學發現和創造的歷程，提高分析問題的能力。學生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質疑、表述，體驗成功的喜悅；學會合作，并在合作中懂得欣賞他人）

探究問題5：拋物線其他三種形式的標準方程。開口向右的拋物線的標準方程是y2?2px(p?0)，那么，對于開口向左、向上、向下的拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程又是什么呢？類比開口向右的拋物線，把表格一一完善。

（實錄：投影學生答案，引導學生把圖形的位置特征和方程的形式結合起來記憶。）

探究問題6：通過四種標準方程的對比，從方程的形式上看，可以得出標準方程與圖像有何聯系？

（實錄：學生先各自獨立思考，然后四人一組，互相討論，小組之間互相交流意見，不能達成共識的請教老師。最后，得出：①方程的一次項決定焦點位置；②一次項系數的符號決定開口方向）

（點評：通過表格的形式，讓學生自主探求其中的關系，使學生從整體上理解和掌握四個標準方程及其圖形）

、遷移運用

例1根據下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標和準線方程。

①y2=4x ②x2=-8y ③y=2x2

（實錄：學生分組討論，各抒己見，互相補充。及時對學生進行鼓勵，并將學生的解法投影，展示學生的成果，學生感覺比較有成就感）

（點評：激發學生的學習熱情，挖掘學生的潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐。要讓學生在自主探索和合作交流過程中獲得基本數學知識和技能，進一步深化方程與焦點、準線的關系）

例2 根據下列條件，求拋物線的標準方程。

①經過點P(-2,-4)

②拋物線焦點到準線的距離為2

③以直線2x-3y+6=0與坐標軸的交點為焦點

（實錄：學生分組討論，互相補充。將學生的解法投影，展示學生的成果，及時對學生進行鼓勵）

（點評：題目層次清晰，由淺入深，借助幾何畫板分析題目，增強直觀性）

5、歸納總結，升華提高 學生分組討論本節內容，師生共同整理完善：（1）拋物線定義及標準方程的形式（2）拋物線的標準方程與圖像的關系

（3）數學思想方法：（數形結合思想、函數與方程思想、轉化思想）

（點評:總結知識難度較大，因此設計學生討論且教師要適時點撥。學生通過反思總結提高了自己獲取知識的能力以及歸納概括能力，同時使自己的認知結構更完整，知識更系統化）

6、反饋檢測，鞏固落實

（1）根據下列拋物線的方程分別求出它們的焦點坐標和準線方程。

①y2=-14x

②x2=18y ③y=-12x2

（2）根據下列條件，求拋物線的標準方程。

①經過點P(2,-4)②拋物線焦點到準線的距離為8

（點評：通過設計與本節知識平行的題目，檢測學生對本節課所學知識的掌握程度，落實知識情況，達到反饋矯正的目的。學生動手解答，展示出部分學生的解題過程，學生互相點評，可以進一步加深學生對知識的理解程度）

（通過檢測，發現學生掌握得比較好）

7、布置作業

必作題：根據下列條件，求拋物線的標準方程。

1、經過點P(8,16)

2、以直線4x-3y+12=0與坐標軸的交點為焦點

選作題：已知拋物線y2=6x和點A(4,0).求拋物線上一點M與A距離的最小值，并指出M的坐標。

（點評：分層次布置作業，讓有能力的學生能更好的發揮自己的能力）課后反思：本節課根據學生的實際情況進行設計，并且讓學生真正成 為了課堂的主人。通過實物觀察和課件展示，學生積極思考，互相合 作，共同探究得到拋物線的標準方程，他們的創造性思維得到了發 展；通過一系列思考和練習，學生加深了對知識和方法的理解。課堂 氣氛非常活躍。

優點：本節課的教學達到了預定的教學目標，通過“類比－ 猜想－驗證－歸納”得出拋物線的定義，使學生體會到定義產生的全 過程，符合學生的認知規律。利用計算機輔助教學，將信息技術和課 堂教學有機地結合起來，有利于學生對知識的認知和理解，有效地突 出了數形結合的思想。

不足：有時引導相對過細，沒能給學生創造更大的自主探索空間。

第五篇：圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案

教學目標

1．使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關問題．

2．通過教學，培養學生觀察、聯想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明．

3．培養學生運用數形結合的數學思想理解有關問題． 教學重點與難點

拋物線標準方程的推導及有關應用既是教學重點，又是難點． 教學過程

師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義．

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌道，當e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線．

(計算機演示動畫——圖2-45)

(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p．

(2)通過提問，讓學生思考隨著e的變化曲線的形狀的變化規律．同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎．

師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示．)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕．(圖2-46)

我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡．

師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節課主要的研究對象．(師板書課題——拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

(投影)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計．

如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：

在方程中都僅有x、y的二次項．

當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發生怎樣的變化？

生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應為Ay2+Bx+C=0的形式．

師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？

學生甲：取經過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．

師：點M滿足什么條件？

生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉化成點M的坐標所滿足的條件？

請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數的表達式．

師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數項的二次函數，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．

師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖2-48)

師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．

觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．

生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的四分之一． 不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．

開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．

師：作為應用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程．

(2)分析 要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．

例2 經過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1·y2的值．(計算機演示圖形——圖2-49)

師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？

(師板書)

故y1·y2=-p2．

師：還有其他辦法嗎？可否根據拋物線的定義？

生：如圖2-50，根據拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．

引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結果怎樣？(計算機演示動畫——圖2-51)

師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？

生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．

(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)

與拋物線方程聯立，消去x可得：

引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關系？(計算機演示動畫——圖2-52)

學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．

師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結這節課的內容．

(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業：

課本第98頁習題八：1，2． 設計說明 1．關于教學過程

(1)由于拋物線的定義是本章的主要內容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質的培養．這對于提高學生的一般科學素養，形成和發展他們的數學品質，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．(3)按照大綱的要求，在教學中培養學生運用數學思想方法解決有關問題，據此制定了目標3．

2．關于教學重點

為實現教學目標，把充分展現拋物線的定義及標準方程的探索、發現、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節課的重點．

3．關于教學方法

按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協調原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發式．

4．關于教學手段

利用計算機輔助教學，演示圖形的動態變化過程，彌補傳統教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．

(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統一定義，以及曲線形狀變化與常數e的大小之間的關系．

(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統教學中此處的生硬與牽強．

(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現的動態效果． 5．關于教學過程

(1)復習內容的確定，旨在通過聯想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎．

(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規律，類比、聯想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規律，從而暴露知識的形成過程，體現科學發現的本質，培養學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態度及勇于探索的精神等個性品質．

(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結，充分發揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．