第一篇：拋物線的定義及其標準方程教學設計案例（小編推薦）

拋物線的定義及其標準方程教學設計

1.目標和目標解析

（１）知識目標：

理解并掌握拋物線的定義及其標準方程；會求拋物線的標準方程。

（２）能力目標：

通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。并進一步感受坐標法及數形結合的思想

2.教學問題診斷

坐標法求拋物線的標準方程是本節課的重點和難點。通過合作交流，探究不同的建系方案，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立坐標系的重要性，進一步感受坐標法的思想。在推導拋物線四種形式的標準方程的過程中，理解焦參數 的幾何意義；能根據條件求出拋物線的標準方程；會根據拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程.根據以上教學內容及要求，擬定教學重、難點如下

（1）教學重點：拋物線的定義及其標準方程。

（2）教學難點：拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導

3.教學支持條件分析

新課程大力倡導積極主動、勇于探索的學習方式，為的是使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展學生的創新意識。在本節課中，將通過適當的問題情景，在“實驗”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動中，引導學生自己發現問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學生發展為本，鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途經，使他們經歷知識形成的過程。最大限度地讓學生在活動中學習，在主動中發展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創新，并達成教與學的互促互動、相得益彰的良性循環的最優局面。

教學方法：啟導探究式

教學用具：多媒體課件

4.教學過程設計

（1）設置情景，引發探究

①課件演示：用幾何畫板設置一個直觀性問題情景，已知F是平面上一個定點，是平面上不過點F的一條定直線，點M到定點F的距離和到定直線 的距離的比是一個常數e，改變這兩個距離大小的關系（即常數e的大小），觀察動點M的軌跡。

②學生觀察 ：兩個距離大小的變化；并追蹤：動點M得到的軌跡形狀。然后記下實驗追蹤結果。

③學生交流：當o＜e＜1時動點M得到的軌跡是橢圓；當e＞1時是雙曲線。

④引發探究：進而引發探究欲望：當e=1時，它又是什么曲線呢？

設計意圖：數學教學需要一定問題情景的支撐，恰當的問題情景能

激起學生的情感體驗，有利于學生學習興趣的激發，也有利于學生良好數學觀的形成。因此，在教學中，應力求通過恰當問題情景的創設，讓學生產生積極的學習心態，在具體的情景中實現知識的學習。上述教學設計通過信息技術設置一個直觀性問題情景，激發了學生探究的欲望，這時學生自然地產生了探究當動點到一定點距離與定直線距離相等（即）時點的軌跡到底是什么的強烈愿望。讓學生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動中，自己發現問題、提出問題。

（2）觀察歸納，形成定義

①觀察：當e=1時，曲線上的動點滿足怎樣幾何特征？讓學生通過獨立思考和互相討論，并交流看法。針對學生的回答進行引導，把學生的思維一步步引入發現規律的最近區域，最終使得學生發現：曲線上的點到定點的距離和到一條定直線的距離相等。

②歸納：拋物線的定義

要求學生用自己的語言描述什么樣的曲線是拋物線。規范學生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。

定義：平面內與一個定點F和一條定直線 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線 叫做拋物線的準線。強調定義的中心句和關鍵詞（讓學生自己找出）。并與橢圓、雙曲線的定義進行比較。

③反思：在拋物線定義中，要注意定點F不在定直線 上。若定點F在定直線 上，則動點的軌跡又是什么圖形呢？（此時退化為過F點且與直線 垂直的一條直線）。

④欣賞：讓同學們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然后教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標志性建筑，如中國的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運會主場館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學生欣賞審美，陶冶情操，激發興趣。

設計意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學中處處注重師生之間的互動，注重學生觀察、比較、分析、概括能力的培養，注重反思環節的落實。通過學生親身實踐、主動思維，讓學生在實踐中得到體驗，在反思中產生感悟，使學生學會思考并養成自主學習、勇于探索的良好習慣。通過讓學生動口參與教學活動，培養了學生自然觀察的能力和數學語言的表達能力；同時通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。

（3）合作交流，導出方程

①類比：類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程（用屏幕顯示圖形），讓學生認真捉摸坐標系的位置特點，感悟求拋物線的方程應建立怎樣的直角坐標系最好（力求使其方程形式最簡單）。也可以幫助學生回顧初中二次函數圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡方程，必須使圖象過坐標原點（可使常數項為零）；使圖象的對稱軸為x軸(或y軸)（可使方程中不含y(或x)的一次項）。

②合作：師生合作共同推導拋物線的標準方程

請學生將自己的感悟畫在紙板上。學生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學生的建系方案，一一作出評價。

選擇正確的一個建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。

如推導焦點F在x軸正半軸上的拋物線標準方程。

設焦點F在x軸的正半軸上，焦點F到準線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設|FN|=p。

請學生口頭敘述焦點F的坐標和準線L的方程。

師生共同推導出拋物線方程：y2=2px（p>0）

指出這個方程叫做拋物線的標準方程。它表示焦點F 在x軸正半

軸上，頂點在原點的拋物線, 其準線為

③反思：建系方案的合理性。

在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系。這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用。

④探究：拋物線的標準方程的其它形式

在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。那么拋物線的標準方程還有哪些不同形式？

讓學生分組求出其它三種形式的標準方程，師生協作，填充拋物線標準方程的分類表格

再反思：拋物線四種形式的標準方程與圖形間的對應關系及它們之間的內在聯系。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時，如何才能建立適當的坐標系？

設計意圖：教學過程是師生互相交流、共同參與的過程。數學通過交流，才能得以深入發展，數學思想才能變得更加清晰；通過多邊合作，又可以增強學生的合作能力與群體創造意識。教學中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數學交流才能得以真正實施。上述設計在探究拋物線標準方程時，通過師生的對話交流、密切合作和信息的互動，讓學生體驗合作交流探究的學習過程，并自覺地建構起拋物線標準方程的知識系統。

（4）練習反饋，鞏固提高

①會根據拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程

例1 已知拋物線的標準方程是 , 求它的焦點坐標和準線方程（教材例1之（1））。

變式：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

⑴； ⑵ ；

感悟：你能說明二次函數 的圖象為什么是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點坐標、準線方程？

②能根據條件求出拋物線的標準方程

例2 已知拋物線的焦點是F，求它的標準方程（教材例1之（2））。

變式：已知拋物線的焦點F到準線L的距離為4。根據下列條件求此拋物線的標準方程。

（1）若焦點F在y軸正半軸上；

（2）若焦點F在y軸上；

（3）若焦點F在x軸上；

（4）若焦點F在坐標軸上。

（5）焦點在直線 上（均由學生口答）

感悟：

①求給定拋物線的標準方程的基本方法是：待定系數法。關鍵是

定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）

②在認識事物的過程中，我們不僅要善于從一些不同的事物中去發現它們的共同點，還要善于從一些相似的事物中去發現它們的不同點。

設計意圖：以課本例題為本，通過變式訓練這一環節，既讓學生鞏固和加深對拋物線及其標準方程的理解，又使學生在“練”的過程中通過反思、感悟，不斷調整自己的認識結構和經驗結構，完成人的經驗自主建構的過程。

（5）自我總結，提煉升華

讓學生回憶并小結、提煉本節課學習內容：

①拋物線的定義（其本質屬性）；

②拋物線的標準方程（注意四種形式的異同）；

③求拋物線標準方程的基本方法：待定系數法。關鍵是：定軸向——求p值——寫方程。

設計意圖：引導學生自我反饋、自我總結，并對所學知識進行提煉升華。讓學生學會學習，學會內化知識的方法與經驗，促進目標達成。

5.目標檢測設計

（1）書面作業：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）

補充：求經過點p（4，-2）的拋物線的標準方程。（選做）

（2）課后探究：

① 的幾何意義是焦點到準線的距離，其實也是拋物線的定形條件。你能說出焦參數 對拋物線的開口大小有什么影響嗎？

②同學們在初中學習過二次函數，為什么二次函數 的圖象是拋物線？

設計意圖：為體現以學生發展為本的理念，使不同學生在數學上獲得不同的發展，本作業依一定梯度進行設計，并拋出兩個課后探究性問題，既是對本節課有關內容的延伸、拓展，回應了本節課內容，又是為下繼內容作些鋪墊、畜勢，讓學生有“意尤未盡”之感。同時形成開放性學習環境，滿足了不同學生的需要，體現了個性化的學習，目的是努力使每一位學生都能得到成功的體驗。

第二篇：拋物線的定義及其標準方程教學設計案例

拋物線的定義及其標準方程教學設計

1、目標和目標解析

（1）知識目標：

理解并掌握拋物線的定義及其標準方程；會求拋物線的標準方程。

（2）能力目標：

通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。并進一步感受坐標法及數形結合的思想

2、教學問題診斷

坐標法求拋物線的標準方程是本節課的重點和難點。通過合作交流，探究不同的建系方案，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立坐標系的重要性，進一步感受坐標法的思想。在推導拋物線四種形式的標準方程的過程中，理解焦參數的幾何意義；能根據條件求出拋物線的標準方程；會根據拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程。根據以上教學內容及要求，擬定教學重、難點如下

（1）教學重點：拋物線的定義及其標準方程。

（2）教學難點：拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導

3、教學支持條件分析

新課程大力倡導積極主動、勇于探索的學習方式，為的是使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展學生的創新意識。在本節課中，將通過適當的問題情景，在“實驗”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動中，引導學生自己發現問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學生發展為本，鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途經，使他們經歷知識形成的過程。最大限度地讓學生在活動中學習，在主動中發展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創新，并達成教與學的互促互動、相得益彰的良性循環的最優局面。

教學方法：啟導探究式

教學用具：多媒體課件

4、教學過程設計

（1）設置情景，引發探究

①課件演示：用幾何畫板設置一個直觀性問題情景，已知F是平面上一個定點，是平面上不過點F的一條定直線，點M到定點F的距離和到定直線的距離的比是一個常數e，改變這兩個距離大小的關系（即常數e的大小），觀察動點M的軌跡。

②學生觀察：兩個距離大小的變化；并追蹤：動點M得到的軌跡形狀。然后記下實驗追蹤結果。

③學生交流：當o＜e＜1時動點M得到的軌跡是橢圓；當e＞1時是雙曲線。

④引發探究：進而引發探究欲望：當e=1時，它又是什么曲線呢？

設計意圖：數學教學需要一定問題情景的支撐，恰當的問題情景能

激起學生的情感體驗，有利于學生學習興趣的激發，也有利于學生良好數學觀的形成。因此，在教學中，應力求通過恰當問題情景的創設，讓學生產生積極的學習心態，在具體的情景中實現知識的學習。上述教學設計通過信息技術設置一個直觀性問題情景，激發了學生探究的欲望，這時學生自然地產生了探究當動點到一定點距離與定直線距離相等（即）時點的軌跡到底是什么的強烈愿望。讓學生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動中，自己發現問題、提出問題。

（2）觀察歸納，形成定義

①觀察：當e=1時，曲線上的動點滿足怎樣幾何特征？讓學生通過獨立思考和互相討論，并交流看法。針對學生的回答進行引導，把學生的思維一步步引入發現規律的最近區域，最終使得學生發現：曲線上的點到定點的距離和到一條定直線的距離相等。

②歸納：拋物線的定義

要求學生用自己的語言描述什么樣的曲線是拋物線。規范學生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。

定義：平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。強調定義的中心句和關鍵詞（讓學生自己找出）。并與橢圓、雙曲線的定義進行比較。

③反思：在拋物線定義中，要注意定點F不在定直線上。若定點F在定直線上，則動點的軌跡又是什么圖形呢？（此時退化為過F點且與直線垂直的一條直線）。

④欣賞：讓同學們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然后教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標志性建筑，如中國的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運會主場館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學生欣賞審美，陶冶情操，激發興趣。

設計意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學中處處注重師生之間的互動，注重學生觀察、比較、分析、概括能力的培養，注重反思環節的落實。通過學生親身實踐、主動思維，讓學生在實踐中得到體驗，在反思中產生感悟，使學生學會思考并養成自主學習、勇于探索的良好習慣。通過讓學生動口參與教學活動，培養了學生自然觀察的能力和數學語言的表達能力；同時通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。

（3）合作交流，導出方程

①類比：類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程（用屏幕顯示圖形），讓學生認真捉摸坐標系的位置特點，感悟求拋物線的方程應建立怎樣的直角坐標系最好（力求使其方程形式最簡單）。也可以幫助學生回顧初中二次函數圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡方程，必須使圖象過坐標原點（可使常數項為零）；使圖象的對稱軸為x軸（或y軸）（可使方程中不含y（或x）的一次項）。

②合作：師生合作共同推導拋物線的標準方程

請學生將自己的感悟畫在紙板上。學生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學生的建系方案，一一作出評價。

選擇正確的一個建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。

如推導焦點F在x軸正半軸上的拋物線標準方程。

設焦點F在x軸的正半軸上，焦點F到準線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設|FN|=p。

請學生口頭敘述焦點F的坐標和準線L的方程。

師生共同推導出拋物線方程：y2=2px（p>0）

指出這個方程叫做拋物線的標準方程。它表示焦點F在x軸正半

軸上，頂點在原點的拋物線，其準線為

③反思：建系方案的合理性。

在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系。這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用。

④探究：拋物線的標準方程的其它形式

在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。那么拋物線的標準方程還有哪些不同形式？

讓學生分組求出其它三種形式的標準方程，師生協作，填充拋物線標準方程的分類表格

再反思：拋物線四種形式的標準方程與圖形間的對應關系及它們之間的內在聯系。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時，如何才能建立適當的坐標系？

設計意圖：教學過程是師生互相交流、共同參與的過程。數學通過交流，才能得以深入發展，數學思想才能變得更加清晰；通過多邊合作，又可以增強學生的合作能力與群體創造意識。教學中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數學交流才能得以真正實施。上述設計在探究拋物線標準方程時，通過師生的對話交流、密切合作和信息的互動，讓學生體驗合作交流探究的學習過程，并自覺地建構起拋物線標準方程的知識系統。

（4）練習反饋，鞏固提高

①會根據拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程

例1已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程（教材例1之（1））。

變式：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

⑴；⑵；

感悟：你能說明二次函數的圖象為什么是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點坐標、準線方程？

②能根據條件求出拋物線的標準方程

例2已知拋物線的焦點是F，求它的標準方程（教材例1之（2））。

變式：已知拋物線的焦點F到準線L的距離為4。根據下列條件求此拋物線的標準方程。

（1）若焦點F在y軸正半軸上；

（2）若焦點F在y軸上；

（3）若焦點F在x軸上；

（4）若焦點F在坐標軸上。

（5）焦點在直線上（均由學生口答）

感悟：

①求給定拋物線的標準方程的基本方法是：待定系數法。關鍵是

定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）

②在認識事物的過程中，我們不僅要善于從一些不同的事物中去發現它們的共同點，還要善于從一些相似的事物中去發現它們的不同點。

設計意圖：以課本例題為本，通過變式訓練這一環節，既讓學生鞏固和加深對拋物線及其標準方程的理解，又使學生在“練”的過程中通過反思、感悟，不斷調整自己的認識結構和經驗結構，完成人的經驗自主建構的過程。

（5）自我總結，提煉升華

讓學生回憶并小結、提煉本節課學習內容：

①拋物線的定義（其本質屬性）；

②拋物線的標準方程（注意四種形式的異同）；

③求拋物線標準方程的基本方法：待定系數法。關鍵是：定軸向——求p值——寫方程。

設計意圖：引導學生自我反饋、自我總結，并對所學知識進行提煉升華。讓學生學會學習，學會內化知識的方法與經驗，促進目標達成。

5、目標檢測設計

（1）書面作業：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）

補充：求經過點p（4，—2）的拋物線的標準方程。（選做）

（2）課后探究：

①的幾何意義是焦點到準線的距離，其實也是拋物線的定形條件。你能說出焦參數對拋物線的開口大小有什么影響嗎？

②同學們在初中學習過二次函數，為什么二次函數的圖象是拋物線？

設計意圖：為體現以學生發展為本的理念，使不同學生在數學上獲得不同的發展，本作業依一定梯度進行設計，并拋出兩個課后探究性問題，既是對本節課有關內容的延伸、拓展，回應了本節課內容，又是為下繼內容作些鋪墊、畜勢，讓學生有“意尤未盡”之感。同時形成開放性學習環境，滿足了不同學生的需要，體現了個性化的學習，目的是努力使每一位學生都能得到成功的體驗。

第三篇：拋物線及其標準方程”教學案例

市教案設計一等獎

高中數學“情境·問題·反思·應用”

——“拋物線及其標準方程”教學案例

梁

家

斌

（江蘇省金湖中學，江蘇 金湖 211600）

摘要：通過幾何畫板及Fash的演示，使學生直觀感受拋物線的形成過程，然后學生運用類比的方法，自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最后反思應用。

關鍵詞：拋物線；標準方程；教學 1 教學設計

1.1 教學內容分析

圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經熟悉了，這里精簡介紹，學生是完全可以接受的，講解時應采用類比的方法讓學生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最后反思應用。本課是高二數學§8.5的第一課時，它是學習拋物線的性質及其應用的基礎。拋物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯系，為深刻體會圓錐曲線的統一定義作好充分準備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數e的點的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發生變化，既可從中得到圓錐曲線的統一定義，又可對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導出它的標準方程時，可先讓學生考慮怎樣選擇坐標系，在導出方程的過程中，設焦點到準線的距離是p，這就是拋物線方程中參數p的幾何意義，所以p的值永遠大于0。1.2 數學情境的創設

筆者上這一節課的時間是2003年12月10日上午第二節，當時的背景是淮安市高

一、高二數學研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的一節公開課。筆者設置了以下的數學情境：

前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。1.3 教學目標

根據教學大綱和考試說明，結合數學情境的創設，確定本節課的素質教育目標是： ⑴知識教學目標：理解和掌握拋物線的定義與標準方程。

⑵能力訓練目標：掌握拋物線的定義及其標準方程，掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點坐標的關系，培養學生數形結合、分類討論、類比的思想。

⑶德育滲透目標：根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。2 教學過程 2.1 創設情境

師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。

（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學生歸納拋物線的定義，生動、直觀。）2.2 探索研究

1、實驗、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：

學生觀察 ① 動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線l的距離d之間的關系；② 觀察追蹤動點M得到的軌跡形狀。

探索出當e ＝1時動點M的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。

2、拋物線的定義：

平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.3、求拋物線的標準方程。師：下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準線的垂線，垂足為K，設｜MK｜＝p，如何建立直角坐標系？

先讓學生思考，獨立建立直角坐標系，教師巡視，從學生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺展出。

y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？并說明理由。

生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，坐標是(p/2,0),準線方程是x＝－p/2。（Flash動畫演示）

強調：① p的幾何意義；

② 已知拋物線的標準方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點坐標、準線方程； ③ 已知拋物線的焦點F（p/2，0）或準線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標準方程。練習：已知拋物線的標準方程是y2＝6x，則焦點坐標是________；準線方程是_____________。生：焦點(3/2, 0)，準線方程是x＝－3/2。

4、討論四種位置上的拋物線標準方程

利用Fash，設置一個旋轉按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉分別得到下列圖形，由學生說出標準方程，焦點坐標及準線方程。

圖形

標準方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

點：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)準線方程：x＝p/2

y＝－p/2

y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點 ① 頂點為原點； ② 對稱軸為坐標軸；

③頂點到焦點的距離等于頂點到準線的距離，其值為p(p＞0)。不同點 ①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若系數為正，則焦點在正半軸上，系數為負，則焦點在負半軸上；

② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。

（學生先歸納，師然后點評）

師：知道拋物線的標準方程，如何寫出焦點坐標與準線方程？

生1：先確定焦點的位置，然后根據表格寫出焦點坐標與準線方程。

生2：先觀察方程的結構，若一次項變量為x，則焦點的橫坐標是一次項系數的1/4，縱坐標為0；若一次項變量為y，則焦點的縱坐標是一次項系數的1/4，橫坐標為0。2.3 反思應用

例1 已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求它的標準方程.生：因為焦點在y軸的負半軸上，并且所以所求拋物線的標準方程是x2=－8y.變：

⑴拋物線的標準方程是y2=－6x，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準線方程x＝3/2 ⑵拋物線的標準方程是y=－x2/8，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準線方程x＝2 ⑶拋物線的焦點F(0,3)，則它的標準方程是________； 生：x2＝12y ⑷拋物線的準線方程是y＝3,則它的標準方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸拋物線的焦點在x軸上，且過點(－3,2)，則它的標準方程是_____； 生：由拋物線過點(－3,2)，且焦點在x軸上，設方程為y2＝－2px(p>0), 將點(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。

師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經過兩個點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？

生：一般化，設mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？

生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設方程y2＝mx(m≠0)將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程 ⑴過點(－3,2)；

生：設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的坐標代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與坐標軸的交點。生：先求出直線與坐標軸的交點（2,0）或（0,4），故標準方程為y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 點P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，F是它的焦點，則|PF|＝______，y＝_____。

生：由拋物線y2＝8x知準線方程x＝－2，根據拋物線的定義知|PF|等于點P到準線的距離4，將點的坐標代入方程有y＝±4。

師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。變：若點Q為拋物線的一點，⑴若|QF|＝4，則點Q的坐標是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時點Q的坐標是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結

師：下面請同學們回憶一下，這節課學習的主要內容？

生：⑴拋物線的定義、焦點、準線、標準方程等基本知識及其相互聯系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準線的距離，p>0；

⑶掌握用坐標法求曲線方程的方法，要注意選好坐標系的恰當位置。師：用到了哪些數學思想方法：

生：坐標法、數形結合、待定系數法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）3 回顧反思

這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，利用幾何畫板創設情境，使得學習內容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數形結合。3.1創設情境是上好課的基礎

利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。3.2恰當引導學生提出數學問題

在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發散思維，在講授過程中并不是每一個環節都能按照教師預想的步驟進行，對于課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。比如，在如何建立直角坐標系求方程時，有一個學生提出以FK為y軸，FK的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度

在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反

三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思

第四篇：拋物線及其標準方程”教學案例

“拋物線及其標準方程”教學案例教學設計

1.1 教學內容分析

圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經熟悉了，這里精簡介紹，學生是完全可以接受的，講解時應采用類比的方法讓學生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最后反思應用。本課是高二數學8.5的第一課時，它是學習拋物線的性質及其應用的基礎。拋物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯系，為深刻體會圓錐曲線的統一定義作好充分準備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數e的點的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發生變化，既可從中得到圓錐曲線的統一定義，又可對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導出它的標準方程時，可先讓學生考慮怎樣選擇坐標系，在導出方程的過程中，設焦點到準線的距離是p，這就是拋物線方程中參數p的幾何意義，所以p的值永遠大于0。1.2 數學情境的創設

筆者上這一節課的時間是2015年4月10日上午第二節，當時的背景是高

一、高二數學研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的一節公開課。筆者設置了以下的數學情境：

前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。1.3 教學目標

根據教學大綱和考試說明，結合數學情境的創設，確定本節課的素質教育目標是：

⑴知識教學目標：理解和掌握拋物線的定義與標準方程。

⑵能力訓練目標：掌握拋物線的定義及其標準方程，掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點坐標的關系，培養學生數形結合、分類討論、類比的思想。

⑶德育滲透目標：根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。教學過程

2.1 創設情境

師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

生：與一個 定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學生歸納拋物線的定義，生動、直觀。）2.2 探索研究

1、實驗、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：

學生觀察 ① 動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線l的距離d之間的關系；② 觀察追蹤動點M得到的軌跡形狀。

探索出當e ＝1時動點M的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。

2、拋物線的定義：

平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.3、求拋物線的標準方程。

師：下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準線的垂線，垂足為K，設｜MK｜＝p，如何建立直角坐標系？

先讓學生思考，獨立建立直角坐標系，教師巡視，從學生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺展出。

(x?p)2?y2?|x|

x2?y2?|x?p|

pp(x?)2?y2?|x?|

22y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？并說明理由。

生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。

師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，坐標是(p/2,0),準線方程是x＝－p/2。

2（Flash動畫演示）

強調：① p的幾何意義；

② 已知拋物線的標準方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點坐標、準線方程； ③ 已知拋物線的焦點F（p/2，0）或準線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標準方程。練習：已知拋物線的標準方程是y2＝6x，則焦點坐標是________；準線方程是_____________。

生：焦點(3/2, 0)，準線方程是x＝－3/2。

4、討論四種位置上的拋物線標準方程

利用Fash，設置一個旋轉按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉分別得到下列圖形，由學生說出標準方程，焦點坐標及準線方程。

圖形

標準方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

點：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)準線方程：x＝p/2 y＝－p/2 y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點

① 頂點為原點；

② 對稱軸為坐標軸；

③頂點到焦點的距離等于頂點到準線的距離，其值為p(p＞0)。不同點

①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若系數為正，則焦點在正半軸上，系數為負，則焦點在負半軸上；

② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。

（學生先歸納，師然后點評）

師：知道拋物線的標準方程，如何寫出焦點坐標與準線方程？

生1：先確定焦點的位置，然后根據表格寫出焦點坐標與準線方程。

生2：先觀察方程的結構，若一次項變量為x，則焦點的橫坐標是一次項系 3 數的1/4，縱坐標為0；若一次項變量為y，則焦點的縱坐標是一次項系數的1/4，橫坐標為0。2.3 反思應用

例1 已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求它的標準方程.p生：因為焦點在y軸的負半軸上，并且?2,p?4,所以所求拋物線的標準

22方程是x=－8y.變：

⑴拋物線的標準方程是y2=－6x，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準線方程x＝3/2

2⑵拋物線的標準方程是y=－x/8，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準線方程x＝2

師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經過兩個點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？

生：一般化，設mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？

生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設方程y2＝mx(m≠0)將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。

例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程 ⑴過點(－3,2)；

生：設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的坐標代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與坐標軸的交點。生：先求出直線與坐標軸的交點（2,0）或（0,4），故標準方程為y2 ＝8x或 x2＝16y

例3 點P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，F是它的焦點，則|PF|＝______，y＝_____。

生：由拋物線y2＝8x知準線方程x＝－2，根據拋物線的定義知|PF|等于點P到準線的距離4，將點的坐標代入方程有y＝±4。

師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。

變：若點Q為拋物線的一點，⑴若|QF|＝4，則點Q的坐標是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時點Q的坐標是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結

師：下面請同學們回憶一下，這節課學習的主要內容？

生：⑴拋物線的定義、焦點、準線、標準方程等基本知識及其相互聯系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準線的距離，p>0；

⑶掌握用坐標法求曲線方程的方法，要注意選好坐標系的恰當位置。師：用到了哪些數學思想方法：

生：坐標法、數形結合、待定系數法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）回顧反思

這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，利用幾何畫板創設情境，使得學習內容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數形結合。

3.1創設情境是上好課的基礎

利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。3.2恰當引導學生提出數學問題

在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發散思維，在講授過程中并不是每一個環節都能按照教師預想的步驟進行，對于課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。比如，在如何建立直角坐標系求方程時，有一個學生提出以FK為y軸，FK的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度

在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反

三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思

雖然本節課基本體現了新課改的精神，培養學生積極參與的習慣，并運用多媒體進行輔助教學，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.”從嚴格意義看是不嚴謹的，此時如設問“若定點F在定直線l上，則軌跡是什么呢？”可強化學生對拋物線的定義的理解；其次歸納總結時在深化一下，如“知道拋物線的標準方程，如何畫拋物線的簡圖？”可引導學生課后有目的的預習，效果會更好；再次，如何根據學生發展的需要創造性的使用教材，學會靈活、能動地運用教材，根據學生的實際調整、增刪教學內容，這幾個方面還有許多值得改進的地方。

第五篇：拋物線的定義、性質及標準方程

高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程

【本講主要內容】

拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質

【知識掌握】 【知識點精析】 1.拋物線定義：平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點

叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當01時為雙曲線。

2.拋物線的標準方程有四種形式，參數式方程的幾何性質（如下表）： 的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形

其中為拋物線上任一點。

3.對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。的焦點的直線與拋物線交于，則有4.拋物線的焦點弦：設過拋物線，直線

與的斜率分別為，直線的傾斜角為。，，，說明：

1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。

2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。【解題方法指導】

例1.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為設交點則∴點在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦長等∴或，∴或

。，經過的直線交拋物線于

兩點，點故所求拋物線方程為例2.設拋物線在拋物線的準線上，且的焦點為

∥軸，證明直線經過原點。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點

故可設過焦點的直線的方程為

由，消去得 設，則

∵∥軸，且在準線上

∴點坐標為

于是直線的方程為

要證明注意到經過原點，只需證明，即證

經過原點。

知上式成立，故直線證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是過原點。

證法三：如圖，知三點共線，從而直線經

設軸與拋物線準線交于點則∥∥，連結，過交

作于點，則

是垂足

又根據拋物線的幾何性質，∴因此點是的中點，即

與原點

重合，∴直線

經過原點。

評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。

【考點突破】 【考點指要】

拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是５分。考查通常分為四個層次：

層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質的應用；

層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。

解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。

【典型例題分析】 例3.（2006江西）設，則點A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：設點坐標為，則，解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。

為坐標原點，的坐標為（）B.D.為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若解法二：由題意設，則，即，求得，∴點的坐標為。

評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。例4.（2006安徽）若拋物線為（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。

評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系?！具_標測試】 一.選擇題： 1.拋物線的準線方程為，則實數的值是（）

A.B.C.D.軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離2.設拋物線的頂點在原點，其焦點在為4，則等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦點在直線A.C.B.D.或或

上的拋物線的標準方程為（）

4.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（）

A.B.C.D.5.正方體上的動點，且點的軌跡是（）的棱長為１，點到直線的距離與點

在棱到點

上，且，點是平面的距離的平方差為１，則點

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對 6.已知點是拋物線的距離為

上一點，設點，則

到此拋物線準線的距離為，到直線的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知點D.是拋物線

上的動點，點

在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦點的直線交拋物線于

兩點，為坐標原點，則的值8.過拋物線是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空題： 9.已知圓10.已知物線的焦點分別是拋物線，則直線

和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此拋

上兩點，為坐標原點，若的方程為＿＿＿＿＿。

11.過點（0，1）的直線與＿＿＿。12.已知直線＿＿＿。三.解答題： 與拋物線

交于兩點，若的中點的橫坐標為，則

交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿13.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為拋物線的方程。14.過點（4，1）作拋物線

軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求的弦點在，恰被所平分，求所在直線方程。

。15.設點F（1，0），M點在軸上，⑴當點⑵設在軸上運動時，求

軸上，且

點的軌跡是曲線的方程； 上的三點，且的坐標。

成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點【綜合測試】 一.選擇題：

1.（2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 2.（2005江蘇）拋物線

上的一點

到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）

A.B.C.D.0，若它的一條準線與拋物線3.（2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為的準線重合，則該雙曲線與拋物線A.B.C.D.21 的交點與原點的距離是（）

4.（2005全國Ⅰ）已知雙曲線合，則該雙曲線的離心率為（）的一條準線與拋物線的準線重A.B.C.D.的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有5.（2004全國）設拋物線公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.（2006山東）動點取得最小值，則

是拋物線的最小值為（）

上的點，為原點，當時A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積取值范圍是（）A.B.C.D.的準線為，直線

與該拋物線相交于的8.（2005北京）設拋物線點，則點及點

兩到準線的距離之和為（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空題： 9.（2004全國Ⅳ）設到

是曲線

上的一個動點，則點

到點的距離與點軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）過拋物線為，則圓的焦點

且垂直于軸的弦為，以

為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。的一條弦，所在11.（2005遼寧）已知拋物線直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。的焦點在直線

移到點

上，現將拋物線沿處，則平移后所12.（2004黃岡）已知拋物線向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線得拋物線被軸截得的弦長

＿＿＿＿＿。三.解答題：

13.（2004山東）已知拋物線C：與拋物線交于⑴若以弦兩點。，求的值； 的軌跡方程。的焦點為，直線過定點

且為直徑的圓恒過原點⑵在⑴的條件下，若，求動點

14.（2005四川）如圖，點，是拋物線的焦點，點

為拋物線內一定點，點

為拋物線上一動的最小值為8。

⑴求拋物線方程； ⑵若為坐標原點，問是否存在點，若存在，求動點，使過點的動直線與拋物線交于

兩點，且的坐標；若不存在，請說明理由。

15.（2005河南）已知拋物線拋物線交于⑴求⑵求滿足 ； 的點的軌跡方程。，為頂點，使得

為焦點，動直線。

與兩點。若總存在一個實數