第一篇：橢圓標準方程教學設計

橢圓標準方程推導教學設計

類比的思想學：新舊知識的類比。

引入：自然界處處存在著橢圓，我們如何用自己的雙手精確的畫出橢圓呢？

回憶圓的畫法：一個釘子，一根繩子，釘子固定，繩子的一端系于釘子上，抓住繩子的另一端，固定繩子的長度，繞釘子旋轉一圈就得到圓。

下面我們介紹橢圓的畫法：找兩個釘子和一根繩子，把兩個釘子固定，兩個釘子的距離小于繩子的長度，把繩子的兩端分別系在兩個釘子上，繃緊繩子旋轉一周就得到橢圓。（以上是畫法上的對比）

回憶圓的定義：平面上到頂點的距離等于定長的點的集合。

（根據剛才橢圓的畫法及類比圓的定義，歸納得出橢圓的定義。）橢圓的定義：平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為定值（大于F1F2）的點的集合。

（以上是定義上的對比）

怎樣推導橢圓的標準方程呢？（類比圓的標準方程的推導步驟）求動點方程的一般步驟：坐標法

（1）建立適當的直角坐標系，用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件P(M)；（3）用坐標表示P(M)，列數方程；（4）化方程為最簡形式。

y?探討建立平面直角坐標系的方案yyyF1OOO設P(x, y)是橢圓上任意一點，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，則F1、F2的坐標分別是(?c,0)、(c,0).xF1xxxOP與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?(x?c)2?y2,|PF2|?(x?c)2?y2x方案一方案二原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)(對稱、“簡潔”)(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a（問題：下面怎樣化簡？）移項，再平方(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2?y2?(x?c)2?y2a2?cx?a兩邊再平方，得剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？由橢圓的定義得，限制條件：|PF1|?|PF2|?2a由于得方程|PF1|?x2?(y?c)2,|PF2|?x2?(y?c)2(x?c)2?y2a4?2a2cx?c2x2?a2x2?2a2cx?a2c2?a2y2整理得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)由橢圓定義可知2a?2c,即a?c,所以x2?(y?c)2?x2?(y?c)2?2aa2?c2?0,設a2?c2?b2(b?0),（問題：下面怎樣化簡？）b2x2?a2y2?a2b2兩邊除以a2b2得x2y2??1(a?b?0).a2b2橢圓的標準方程x2y2??1(a?b?0).a2b2焦點在x軸(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a?再認識！?橢圓的標準方程的特點：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)標準方程x2y2+=1 ?a>b>0?a2b2yPx2y2+=1 ?a>b>0?b2a2yF2Pxx2y2??1(a?b?0)a2b2y2x2??1(a?b?0)a2b2不同點圖形F1OF2xOF1焦點坐標F1?-c , 0?，F2?c , 0?F1?0?,?-c?，F2?0?,?c?（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。相同點定義a、b、c 的關系焦點位置的判斷平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡a2=b2+c2分母哪個大，焦點就在哪個軸上

第二篇：《橢圓及其標準方程》教學設計

《橢圓及其標準方程》教學設計

山西省太原師范學院附屬中學 薛翠萍

一、教學內容解析

橢圓的定義是一種發生性定義，教學內容屬概念性知識，是通過描述橢圓形成過程進行定義的作為橢圓本質屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應作為本堂課的教學重點 同時，橢圓的標準方程作為今后研究橢圓性質的根本依據，自然成為本節課的另一教學重點

學生對“曲線與方程”的內在聯系(數形結合思想的具體表現)僅在“圓的方程”一節中有過一次感性認識

但由于學生比較了解圓的性質，從“曲線與方程”的內在聯系角度來看，學生并未真正有所感受

所以，橢圓定義和橢圓標準方程的聯系成為了本堂課的教學難點

圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對象

圓錐曲線的有關知識不僅在生產、日常生活和科學技術中有著廣泛的應用，而且是今后進一步數學的基礎 教科書以橢圓為學習圓錐曲線的開始和重點，并以之來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質的一般方法，可見本節內容所處的重要地位

通過本節學習，學生一方面認識到一般橢圓與圓的區別與聯系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質以及為學生類比橢圓的研究過程和方法，學習雙曲線、拋物線奠定了基礎

學習過程啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于思考，學會分析問題和創造地解決問題；培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力

二、教學目標設置：

1．知識與技能目標

(1)學生能掌握橢圓的定義 明確焦點、焦距的概念．

(2)學生能推導并掌握橢圓的標準方程．

(3)學生在學習過程中進一步感受曲線方程的概念，體會建立曲線方程的基本方法，運用數形結合的數學思想方法解決問題．

2．過程與方法目標：

(1)學生通過經歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納．培養學生發現規律、認識規律的能力．

(2)學生類比圓的方程的推導過程嘗試推導橢圓標準方程，培養學生利用已知方法解決實際問題的能力．

(3)在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等價轉化等數學思想方法．

3．情感態度與價值觀目標：

（1）通過橢圓定義的獲得讓學生感知數學知識與實際生活的密切聯系培養學生探索數學知識的興趣并感受數學美的熏陶．

（2）通過標準方程的推導培養學生觀察,運算能力和求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔美”．

（3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識．

三、學生學情分析

1．能力分析

①學生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱．

2．認知分析

①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，②學生已經掌握直線和圓的方程,對曲線的方程的概念有一定的了解，③學生已經初步掌握研究直線和圓的基本方法．

3．情感分析

學生具有積極的學習態度，強烈的探究欲望，能主動參與研究．

四、教學策略分析

教學中通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷 “創設情境——總結概括——啟發引導——探究完善——實際應用” 的過程，發現新的知識，又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質．

課堂教學中創設問題的情境，激發學生主動的發現問題解決問題，充分調動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數學思想方法，發展學生思維品質，這是本節課的教學原則．根據這樣的原則及所要完成的教學目標，我采用如下的教學方法和手段：

1．引導發現法：用課件演示動點的軌跡，啟發學生歸納、概括橢圓定義．

2．探索討論法：由學生通過聯想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點，發揮其創造性．

這兩種方法是適應新課程體系的一種全新教學模式，它能更好地體現學生的主體性，實現師生、生生交流，體現課堂的開放性與公平性．

在教學中適當利用多媒體課件輔助教學，增強動感及直觀感，增大教學容量，提高教學質量．

五、教學過程：

（一）復習引入

1．說一說你對生活中橢圓的認識．伴隨圖片展示使同學們感到橢圓就在我們身邊．

意圖：（1）、從學生所關心的實際問題引入，使學生了解數學來源于實際．

（2）、使學生更直觀、形象地了解后面要學的內容；

2． 手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上同一定點，套上筆拉緊繩子，移動筆尖畫出的軌跡是圓．再將這一條定長的細繩的兩端固定在畫圖板上的兩定點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓隨后動畫呈現．

意圖：

(1)通過畫圖給學生提供一個動手操作、合作學習的機會；調動學生學習的積極性

(2)多媒體演示向學生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象．

（二）講解新課 由學生畫圖及教師演示橢圓的形成過程，引導學生歸納定義．橢圓定義：

平面內與兩個定點的距離之和等于常數2a的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

練習1：已知兩個定點坐標分別是(-4,0)、（4，0），動點P到兩定點的距離

之和等于8，則P點的軌跡是

練習2：已知兩個定點坐標分別是(-4,0)、（4，0），動點P到兩定點的距離

之和等于6，則P點的軌跡是

通過兩個練習思考：橢圓定義需要注意什么（2a大于

意圖：讓學生通過練習反思畫圖，歸納定義，理解定義，突破了重點．

（1）、當2a>|F1F2|時，是橢圓；（2）、當2a=|F1F2|時，是線段；（3）、當2a<|F1F2|軌跡不存在．）

2．根據定義推導橢圓標準方程：

要求

（1）學生在畫板上建立適當的坐標系，（2）根據定義推導橢圓的標準方程．

同時引導學生類比圓回顧解析幾何研究問題的特點及求軌跡方程步驟

意圖：讓學生自己去建系推導橢圓的標準方程，給學生較多的思考問題的時間和空間，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美”為“發現簡潔美”．教師結合猜想加以引導．化簡無理方程為難點通過發現問題解決問題突破難點．

正確推導過程如下：

解：取過焦點

設

則，又設M與

距離之和等于

（）（常數）為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是

（）． 的直線為軸，線段的垂直平分線為

軸，化簡，得

由定義義）

令 代入，得，,（學生通過自己畫圖建系的過程找到的幾何意，兩邊同除得

此即為橢圓的一個標準方程

它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是程

學生思考：若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程

如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調換

軸）焦點則變成，中心在坐標原點的橢圓方,只要將方程

中的調換，即可得，也是橢圓的標準方程

請學生觀察歸納兩個方程的特征，從而區別焦點在不同坐標軸上的橢圓標方程；過程中要滲透數學對稱美教學．

理解：所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；在個軸上即看 與這兩個標準方程中，都有分母的大小 的要求，因而焦點在哪3．精心設計課堂練習使學生在實際應用中進一步鞏固知識，運用知識突破重難點：

（1）判斷下列方程是否表上橢圓，若是，求出 的值 ① ；②；③；④

意圖：學生感悟橢圓標準方程的結構特點．

（2）橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為）

A．5

B．6 C．4

D．10

意圖：學生理解橢圓定義與標準方程關系．

（3）橢圓的焦點坐標是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意圖：學生感悟橢圓標準方程中焦點位置以及a，b，c的關系．

（4）化簡方程：

意圖：培養學生運用知識解決問題的能力．



．(±12，0)（D

第三篇：橢圓及其標準方程教學設計

橢圓及其標準方程教學設計

作者：楊宇廷

單位：撫順市清原縣第二高級中學 學科：高中數學

地址：撫順市清原縣第二高級中學 郵政編碼：113300 手機號碼：*** 電子郵箱：qyegsxz@163.com

橢圓及其標準方程

前言：

新課程改革實施以來，教學模式發生了重大的改變，由以往的“一言堂”形式向多種“開放式”教學模式進行轉變，在教育觀念的不斷轉變下，對于我們的一線老師也提出了更高的要求，新形勢下，要想成為一名合格的老師，就需要不斷的加強自己的業務能力，使自己能夠變成一名受學生尊重和喜愛的老師，從而更好的提高學生的教學成績。

基于以上原因，本人嘗試制定出橢圓及其標準方程第一課時的教學設計如下：

一，教材分析

本節課是《全日制普通高中課程標準實驗教科書》（選修１－１）（人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學教材實驗研究組編著）第二章《圓錐曲線與方程》第一節《橢圓》的第一課時。在學習本課之前，我們已經學習了直接和圓的相關內容，使學生對于曲線和方程的概念有了一定的了解，同時，對于利用坐標法來研究幾何也有了一定的認識，對于數形結合思想也有了一定的了解，從根本上來講，本節課也屬于曲線方程的一個延伸，也是利用坐標法來研究幾何圖形的進一步加強，本節課的掌握情況的好壞，將直接影響后面雙曲線和拋物線的學習。對于學好圓錐曲線也有重要的意義。

橢圓這一節課體現出來的一些學習方法對于后面雙曲線和拋物線的學習有一個重要的引導作用，但是本節課也難度較大，對于缺乏數形結合能力，不愛作圖的學生來廛，學習起來是非常困難的，尤其是我所要教授的是一群普通高中的學生，更是難上加難的。

二，學習對象分析

１.學習對象

本節課重點講解內容是橢圓，經過上一節課的學習，學生有了一些求點的軌跡問題的知識基礎和能力，但是由于我們的學生作為普通高中的一名學生，在高中招走７００名學生后，才進入到我們學校的學生來講，他們的起點低，學習習慣不好，導致了我們的教學難度的加大，所以，從研究圓，跨越到橢圓，學生會存在一定學習上的障礙，教學過程中更要注意這方面的教學。對于學生的抽象思維，分析能力都是一個較大的考驗。

２.知識基礎

上課前，要對學生對于直線和圓的方程，以及曲線和方程部分知識點進行適當的回顧，將學生拉到利用坐標法來解決實際問題的過程中來。對于當初圓的標準方程的得出過程讓學生重新整理一下思路。

3.能力基礎

對于學生培養起利用坐標法研究幾何圖形，充分鍛煉學生的抽象能力和數形結合思想，使學生能夠學以致用，將來更好地應用到學習中去。對于我的學生來講，這些都是比較難做到的，在教學過程中，更應該有足夠的耐心。

三，學習目標

根據新課程標準的要求，以及我們學校學生的實際學習情況，將本節課的教學目標確定為知識與技能目標、過程與方法目標、情感態度與價值觀目標，具體如下：

1.知識與能力目標

（1）掌握橢圓的定義（理解橢圓、橢圓的焦點和橢圓的焦距的定義）及其標準方程，教會學生如何在整理過程中準確，快速得到我們所要整理代數式的答案。

（2）通過對于橢圓標準方程的整理過程，進一步加強學生的計算能力，增強學生利用坐標系分析解決問題的能力，體會數形結合思想的應用。

（3）能夠根據所給條件，準確快速寫出橢圓的標準方程（包括焦點坐標、焦距）

2.過程與方法目標

（1）利用布置給學生需要帶的強子，兩人合作作出橢圓，使學生帶有愉悅的心情，完成橢圓的繪制過程，提高了學生的動手能力和合作學習能力。

（2）通過兩名同學的繪制過程，讓學生體會到點的運動規律，培養學生將抽象轉變為具體，歸納知識等能力的提高。讓學生通過橢圓的繪制，給出橢圓的定義，完成教學的第一個難點內容。并通過些種方法，激發學生的學習興趣，幫助他們重新樹立信心，完成本節課的教學。

四、學習重點、難點

根據以上的教學分析，將本節課的重點、難點確定為：

1.學習重點

重點：掌握橢圓的定義及其標準方程。

通過對于教材的分析及本節課的內容，橢圓的的定義是本節課的重點，也是將來做題的時候經常用到的。必須在學生的做圖過程中，讓學生體會到一個個動點到兩個定點距離和等長數（繩長）這一過程，這樣才能夠加深學生對于橢圓定義的理解，更好的將它們應用的實際問題的解決過程中去。通過對于“定長”的分析，加深學生對于橢圓定義的理解

突破重點的關鍵：運用多媒體手段，制作橢圓形成過程的動太圖，通過圖形的形成過程，引導學生給出橢圓的定義。使學生對于橢圓的認識從感覺性認識上升到理性認識。

2．學習難點

難點：橢圓標準方程形式及推導過程

通過對于教材的分析及本節課的實際內容需要，橢圓的標準議程的推導過程（如何建系）是本小節的難點所在，在推導過程中應該注意：（1）如何建系，好的坐標系的建立，可以幫助我們先解決至少一半的難點。

（2）焦點位置的選擇，（兩種狀態）

突破難點的關鍵：掌握建立坐標系的方法及化簡根式的方法（快速而準確）恰當的展示建立坐標系的方法，合理分配根式的化簡步驟，引導學生一步步給出正確的整理過程，得出正確的橢圓的標準方程。在此過程中，老師必須要有足夠的耐心，給學生充足的時間，適時點撥，也可以讓學生進行分組討論，共同研究出解決問題的方法，這些都有利于我們化解難點、突破難點。

五． 學習目標

（1）師生共同用繩做出橢圓，使學生相信原來他們也可以做出如此優美的曲線，再通過課件展示橢圓的形成過程，使學生認識到科技的重要性，進行適當的科學教育。

（2）進一步加強師生互動，加深學生與老師的感情培養，更好的利用教學相長這一特點。

六．學習思路設計

能過對新課標的學習，在現行教學手段下，結合現代教育技能對于本節課進行教學設計，對于學習目標的確定，具體如下：

1.利用先進的科學技術手段，對學生灌輸正能量，轉化為動力，更好地投入到學習中去。

2.課件展示橢圓的形成過程，對于學生對于橢圓的理解是有很大的幫助的，也能夠更好地幫助學生理解橢圓。

3．教學方法的設計（1）教法

新課標要求以“學生發展為核心”，老師是學生的組織都、促進者、合作者，在教學過程中要注意以學生為主體，讓學生真正地動起來，體現出學生的主體作用，讓學生動手作圖，使學生能夠真正地參與到教學中來，激發學生的學習興趣。學生現階段對于一切新鮮事物都有好奇心，這樣做，使他們能夠以極大的熱情參與到我們的教學過程中來，才能更好地提高他們的學習成績，更好地完成我們的教學過程。

（2）學法

在學法方面，增強學生的自主性、互動性、探究性的學習，讓學生以一種自主探索、合作交流的方式參與到學習過程中來，會有事半功倍的效果的。只有這樣做，才能使他們對于所學的內容有了更深層次的認識，只有學生積極主動的參與到了學習過程中來，我們老師才能更好地完成我們的教學過程。

（３）本節課時：

一、創設情境，引入課題。

二、實驗探究，研究概念。

三、研究探討，推導程。

四、歸納概括，五、應用舉例，變式鞏固。

六、課堂小節，布置作業。

七．課堂準備 本課時，需要學生自己動手繪制橢圓，安排學生提前準備好一要細繩（不帶彈力）。

八，課時安排（1課時）

橢圓及其標準方程

九、學習設計

（一），創設情境，引入課題

1，創設情境

課件展示行星圍繞太陽旋轉的gif圖，引導學生觀察行運行軌跡，通過學生的講述，得到我們本節課的課題：橢圓及其標準方程。

設計意圖：根本圖片上絢麗的色彩，及星空的美麗，引發學生的求知遇。也許有一天，他們也會飛向太空，通過這樣的方式，使學生明確本節課的學習目標。

2，引入課題

課件展示利用平面去截取對頂圓錐所能到的截面的形狀，給出課題，適當回顧前面所學過的圓的知識及圓的標準方程。

設計意圖：再次激發出學生的學習興趣及求知欲。學生活動：對老師提出的問題，進行思考回答。

（二）實驗探究，形成概念

1.實驗探究

動手實驗：以學生為中心，安排兩名學生黑板演示橢圓的形成過程，（老師引導學生完成），展示完畢后，讓下面的同學，同桌之間相互合作，完成橢圓的制作過程。并在學生實驗過程中提出如下問題：（1）橢圓是一些什么樣的點所圍成的圖形？

（2）它們滿足什么規律（什么是不變的）？

2、形成概念

老師課件展示橢圓的形成過程，（通過不斷的變化引導學生喜歡上橢圓），引導學生給出橢圓的定義：平面內到兩個定點的距離的等于常數的點的軌跡叫橢圓。教師給出焦點，焦距的概念。再具體給學生分析定長與兩點間距離的關系，加深學生對于橢圓的定義的理解與掌握。

設計意圖：通過以上形式，引導學生進入本節課的學習情境，完成本節課的教學。

（三）研討探究、推導方程

1.研討探究

老師活動：通過剛才的課件展示，引導學生對于前面所學知識的回顧，并使學生嘗試推導橢圓的標準方程：

（1）如何建立平面直角坐標系？

（2）不同的建系方法，哪種形式看起來更為方便？

設計意圖：通過回顧前面所學的知識，使學生能更快的理解并掌握橢圓的方程的推導過程。２.推導方程 課件展示橢圓并提問。

師：如何將橢圓放置到平面直角坐標系中？ 生：經過討論給出應該以焦點所有直線做為X軸，以線段中點為坐標原點的建系方法。

師：對于學生的回答給予肯定，夸獎一下，使學生能夠樂呵呵地投入到接下來讓人頭疼的化簡過程中來。

課件展示橢圓方程整理過程中的部分重點步驟，起到一個引導作用，并及時糾正學生所出現的錯誤，使學生能夠順利準備的完成橢圓標準方程的整理過程。

（四）歸納概括

師：通過前面的學習，得到了橢圓的標準方程，那么我們能否轉變一下焦點所在的位置，換一種方法，得到焦點在Y軸上的橢圓的標準方程。讓學生分組討論，整理出另一種橢圓的標準方程。課件展示橢圓的兩種標準方程。

（五）應用舉例，變式鞏固

課件展示例題：

例１.根據下列條件，求橢圓的標準方程（１）兩個焦點坐標分另是（－３，０），（３，０）。橢圓上一點Ｐ與兩焦點的距離和等于８；

（２）兩個焦點的坐標分別是（０，－４），（０，４），并且橢圓經過點（3,?5）。

引導學生獨立完成這兩道例題，老師適當給予充分和肯定。幻燈展示解題的過程。

變式１.根據下列條件求橢圓的標準方程（１）a=5,b=4,焦點在x軸上；（２）焦點坐標為（－５.０），（５，０），橢圓上一點到兩焦點的距離之和是２６；（３）a=5,c=17,焦點在y軸上。

設計意圖：通過以上例題的講解與傳授，變式訓練的強化訓練，加深學生對于橢圓的標準方程的理解與掌握。更好的能夠理解橢圓，并應該相關知識解決實際應用問題。

例２.示下列方程表示的橢圓的焦點坐標；

x2y2??1；（１）（２）8x2?3y2?24。3624設計意圖：加深同學對于橢圓標準方程的理解與掌握，通過具體實例解決實際的應用問題，達到事半功倍的效果。

變式２：求下列方程表示的橢圓的焦點坐標；

x2y24x29y22222??1,(2)2x?4y?1,(3)25x?16y?144,(4)??1（１）28122525設計意圖：進一步加強橢圓標準方程的理解與掌握。

（六）課堂小結，布置作業 １，課堂小結

（１）橢圓是一種優美的曲線，通過本節學習認識到幾何圖形的美感。（２）掌握橢圓的定義及其標準方程。熟練掌握曲線方程的整理過程。設計意圖：進一步加深學生對于橢圓及其相關的內容的理解與掌握。２，布置作業

教材P43習題２－１Ａ第１題

設計意圖：加強學生對于橢圓的理解與掌握

第四篇：《2.2.1橢圓及其標準方程》教學設計

《2.2.1橢圓及其標準方程》說課稿

巨野縣第一中學

張福想

各位評委大家上午好！我說課的題目是《橢圓及其標準方程》，我準備從四個方面來介紹我的教學設計思路及理念：

(一)、說教材

（二）、說教法、學法

（三）、說教學過程

（四）、說課前反思

一、說教材

1、教材分析

本節課是《普通高中課程標準試驗教科書數學》選修2---1第二章第二節《橢圓及其標準方程》第一課時，本節繼續采用坐標法來探究橢圓的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，并用坐標法解決一些與橢圓有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合思想的魅力。本節是直線，圓的進一步加深，也是為學習后面雙曲線，拋物線知識而奠基，橢圓是圓在某一方向上的拉伸或壓縮，故在學習橢圓時學生并非感到很突然，而是一種似曾相識的感覺，讓學生在相似中找到不同，在不同中發現問題探索新知。根據學習的最近發展區理論，在熟悉中發現問題并解決問題是數學學習動力的主要來源。高二的學生探究問題的意識加強、好勝，抓住這個生理、心理特點，在教學中注意探究的應用，授人以魚，不如授人以漁，讓學生去發現問題并解決問題。

2、教學目標 1)知識與技能目標（1）、理解橢圓的定義

（2）、掌握橢圓的標準方程，同時在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力 2)過程與方法目標

（1）、通過探究點的運動情況經歷橢圓概念的形成過程，學習在問題中發現數量關系，提煉數學概念的能力，由具體到抽象，從個別到一般的數學歸納的方法，逐步掌握數學

概念形成的本質，提高學生的抽象概括能力。（2）、學會動點軌跡問題的求解思路--------轉移關系法

（3）、對學生進行發現問題，解決問題的方法指導，培養學生的數學素養 3)情感態度價值觀目標

（1）、發揮學生的主體地位，讓學生在試驗中通過觀察，嘗試，思考，歸納，反思，改進最終形成概念增強學生的問題意識，（2）、重視學生的知識獲得過程，知其然更知其所以然，讓他們在經歷知識產生過程中找到學習數學的樂趣，激發學習數學的熱情。

3、教學重點難點

（1）、教學重點：橢圓的定義及其標準方程，標準方程的推導

(2)、教學難點：橢圓定義核心的發現，標準方程的化簡及建系不同的速寫方程（3）、難點的突破方法：通過試驗演示，突破定義理解難題。應用坐標旋轉讓學生發現其實是坐標軸的變換來突破難點。

二、說教法與學法

注意到本節課的特點及學生特點，采用學生自主學習，教師引導為主要教學方法。通過試驗探究提出問題、歸納猜想、驗證猜想、提煉結論、升華結論、應用提高的教學過程，讓學生參與到課堂中來，體驗知識的假設，驗證，應用的過程，真正的在學習上成為主人。

通過“創設問題------啟發討論------探索結果”以及“直觀觀察----歸納抽象------總結規律”的探索式教學法注重：引、思、探、練的結合。采用貼近學生最近發展區的問題串讓學生探索知識的產生和發展，讓學生在跳一跳中提高自己的能力，構建自己的知識網絡，激發學生的學習興趣和創新能力，幫助學生養成獨立思考積極探索的習慣。

三、說教學過程

本部分是教學的核心，我準備從這些方面來學習這節課

1、探索新知引入新課

2、在探索中學習新知

3、例題精講鞏固新知

4、課堂小結形成網絡

5、布置作業及時反饋

6、板書設計注重示范

1、探究新知引入新課

問題1：取一條定長的細繩，兩端固定同一點處拉緊繩子，動點的軌跡是？如果固定在不同點處呢？

（點擊課件演示）

學生觀察探討，提取印象得出軌跡為圓、橢圓。老師點擊按鈕“顯示軌跡”讓學生感覺成為真實，給他們成功的喜悅。通過幾何畫板的動畫演示使運動更具有直觀性來增強學生的感官認識，提高學生的直覺思維能力，使他們在橢圓的產生更具有神秘性以增加本節課的吸引力

問題2：圓上的點具有怎樣的關系呢，那么橢圓上的點具有怎樣的關系呢？讓學生觀察上面的數值變化或注意題目已知“定長的繩子”

找學生回答發現的結論“|MF1|+|MF2|=2a”再反問學生你怎么發現的，讓學生對所猜想的結論給出簡單的論證，使數學的直覺思維更縝密。在學生總結的基礎上給出橢圓的定義：平面內一動點到兩個頂點的距離之和是一個常數（大于兩定點之間的距離）的點的軌跡叫做橢圓。

讓學生找出條件，一個目的可以突破本節的難點，同時還可以增加學生學習的積極性和主動性，使他們經歷知識的發現，歸納的過程。

2、在探索中學習新知

問題3：在定義中為什么要求常數要大于兩定點之間的距離呢？可以相等或小于么？

學生在下面思考，得出結論老師提問。最后老師拉動點F2觀察點的軌跡來進行驗證學生的結論：當2a=|F1F2|,此時點的軌跡是以F1，F2為端點的線段。當2a<|F1F2|,此時點的軌跡不存在。并指出焦點，焦距的概念。

讓學生對自己總結的結論給出完美的總結，以期優化學生思維，培養學生的歸納能力及分析能力。

問題4：觀察橢圓的形狀，你認為如何建立坐標系可是橢圓的方程既簡單又美觀呢？

找學生回答問題，觀察學生的思維狀況，老師及時的進行糾正，以及在求軌跡時的解題步驟，1、建坐標系。

2、動點坐標。

3、找關系。

4、坐標表示關系。

5、化簡關系式。

6、寫出軌跡方程。

7、驗證方程。得到本節的方程

x2a2?y2b2?1(a?b?0)，然后展示求方程的整體思路，讓學生檢驗自己的錯因何在，來突破難點。

讓學生注意到橢圓的對稱性的特點，想到坐標系的建立要注意橢圓的這些特點，以培養學生的分析問題，處理問題的能力。同時讓學生在化簡等式是將本節的另一個難點進行了突破，使學生對橢圓的方程確認無誤。

問題5：方程中所涉及的a,b,c能否在圖形中找到相應的線段呢？

讓學生觀察圖形分析每一個量的含義，通過分析強化了學生幾何與代數之間的聯系，也使得學生的分析能力有所鍛煉和提高。

問題6：（課件演示）旋轉橢圓使焦點在豎直方向，坐標系如何建立？此時相應的橢圓方程你能否快速的寫出來呢？

讓學生先思考，然后老師找學生到白板上書寫，提示學生旋轉前后的那些量變化了，那些量沒有變化，以及坐標軸的變化情況，讓學生在頓悟中發現問題的答案：y2a2?x2b2?1(a?b?0)

通過課件讓學生在橢圓的旋轉過程中發現問題，總結結論得出方程的形式，來鍛煉學生的觀察力，與分析力以及抽象概括的能力。問題7：比較兩個標準方程，你發現那里相同，那里不同呢？

讓學生口述使用刮獎功能顯示答案，教師及時的點撥，讓學生找出二者的區別于聯系，讓他們在以后的學習中能有所幫助

通過類比讓學生發現相同與不同來培養學生的觀察能力以及總結歸納能力。

3、例題精講鞏固新知

例題1及練習讓學生到白板上自主完成，發揮學生的主動性、積極性，老師總結方程的設法及焦點不同時的方程區別。

例題1是對橢圓標準方程的字母含義。練習是對橢圓的概念及標準的應用。例題2找學生板演示范其他自主完成。

例題2是對a,b,c相應含義的利用。也可以利用表達式的幾何意義。例題3讓學生說出自己的解題思路，學生代表板演示范。

例題3意圖之一是讓學生復習求軌跡的一般方法，意圖二是告訴學生另外一種得到橢圓的方法---橢圓可以看成是圓在某一方向上的壓縮或拉伸。改變例題3的比值探索動點軌跡，發現新知

讓學生說出自己的看法，在班內進行討論，最后得到結論：橢圓可以看成是圓在某一方向上的壓縮或拉伸。

培養學生的觀察能力及分析能力。讓每個學生都有話說，點后有自己的看法。例題4學生下面自主解答，有時間選擇幾個有代表行的解答當堂在投影儀上進行投影，讓錯誤給大家提個醒：求出方程要注意驗證。沒有時間留作

例題4是一個需要注意條件的軌跡求解問題，本題意圖是培養學生考慮問題的全面性，準確性。同時也給出橢圓的另外一種得到方法。

例題4的變式，當乘積是正值是點M的軌跡又是什么呢？ 留作課下練習，讓探索在課下仍在繼續。

意圖是為后面知識做鋪墊，同時也是對本題的一個加深，當然本題還可以改成，是小于-1，等于-1，大于—1小于0，或是大于0小于1，或等于1或大于1.，這6中探索性的問題。

4、課堂小結形成網絡

5、布置作業及時反饋

6、板書設計注重示范

四、說課前反思

本節欲借助電子白板及幾何畫板的演示功能，使學生通過點的運動，觀察到橢圓的軌跡的特征。采用多媒體創設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創新.學生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認識，缺少理性的思考、探索和創新，這與缺乏必要的數學思想和方法密切相關.本節課將從實例出發，用多媒體結合本課題設計了一對動點有規律的運動作一些理性的探索和研究.在教材處理上，大膽創新，根據橢圓定義的特點，結合學生的認識能力和思維習慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎上再完善“常數”取值范圍.在標準方程的推導上，將直接給出教材中的“建系”方式，而是讓學生自主地“建系”，通過所得方程的比較，得到標準方程，從中去體會探索的樂趣和數學中的對稱美和簡潔美.在對教材中“令

”的處理并不生硬地過渡，而是通過課件讓學生觀察它們所在的三角形所體現出來的幾何關系，再做變換、歸納。

.橢圓的定義、標準方程及其求法，是圓錐曲線的基礎，從學生現有的知識水平及能力上來說，他們對橢圓定義2a>2c的條件容易忽略，再一個是橢圓標準方程的推導過程這兩點對他們來說是難點，教學時準備通過自主學習與教師引導相結合的方式突破本節難點。

以上是我對這節課的教學設想，謝謝大家

第五篇：橢圓的標準方程教學設計

篇一：橢圓的標準方程教學設計

《橢圓的標準方程》教學設計——桑宏德

《橢圓的標準方程》教學設計

篇二：橢圓及其標準方程教學設計

橢圓及其標準方程教學設計

青銅峽市高級中學 二○○六年十月

課題 橢圓及其標準方程

一學情分析

學生在必修ⅱ中學過圓錐曲線之一，圓。掌握了圓的定義及圓的標準方程的推導，學生可以用類比的方法來研究中一種圓錐曲線橢圓。

二、教學目標 知識技能：

〈1〉掌握隨圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程

〈2〉能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用定義法，待定系統法求隨圓的標準方程。

過程方法：

〈1〉通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力。

〈2〉通過對橢圓標準方程的推導，是學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標解決幾何問題的能力，情感態度和價值觀：通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識。

三、教學重點，難點分析

重點：橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式。難點：橢圓標準方程的建立和推導。關鍵：掌握建立坐標系統與根式化簡的方法。

橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容，一是橢圓定義，二是橢圓的標準方程，橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中，先要學習的內容，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，對雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用，先講橢圓也與圓的知識銜接自然，學好橢圓對學生學習圓錐曲線是非常重要的。

四、教法建議

〈1〉安排學生提前預習，動手切割圓錐形的事物，使學習了解圓錐曲線名稱的來歷及圓錐曲線的樣子。

〈2〉對橢圓定義的引入，要注重于借助直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，進而形成正確的概念。

〈3〉將課本提出的問題分解成若干小問題，通過學生、教師動手演示，來體現橢圓定義的實質。

〈4〉注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系。

〈5〉推導橢圓的標準方程時，教師要注重化解難點，實施的補充根式化簡方法。

〈6〉講解完焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程。然后，鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，進一步加深對橢圓的認識。

〈7〉在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識。

〈8〉要突出教師的指導作用，又要強調學生的主體作用，課堂上盡量讓全體學生參與討論。由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生團結協作的團隊精神。

五、課前準備

1、每人準備一根細繩、一卷膠帶。

2、圓錐曲線模型。

六、教學基本流程

七、教學過程設計

篇三：橢圓的定義與標準方程(公開課)教案 2.1.1橢圓的定義與標準方程

寧德二中 高二（1）班 馬茂鴻 2010.11.26

一、教材分析

圓錐曲線是高中數學中十分重要的內容，它的許多幾何性質在日常 生活、生產和科學技術中都有著廣泛的應用。本節是 的第一節課，主要學習橢圓的定義和標準方程。它是本章也是整個解析 幾何部分的重要基礎知識。

第一，在教材結構上，本節內容起到一個承上啟下的重要作用。前 面學生用坐標法研究了直線和圓，而對橢圓概念與方程的研究是坐標法 的深入，也適用于對雙曲線和拋物線的學習，更是解決圓錐曲線問題的 一種有效方法。

第二，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應起來，體現了 函數與方程、數與形結合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中 階段的數學學習。

第三，對橢圓定義與方程的探究過程，使學生經歷了觀察、猜測、實驗、推理、交流、反思等理性思維過程，培養了學生的思維方式，加 強了運算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為 后續知識的學習奠定了基礎。

二、學生情況分析

1.在學習本節內容以前，學生已經學習了直線和圓的方程，初步了 解了用坐標法求曲線的方程及其基本步驟，經歷了動手實驗、觀察分析、歸納概括、建立模型的基本過程，這為進一步學習橢圓及其標準方程奠 定了基礎。

2.在本節課的學習過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導化簡 對學生是一個考驗，可能會有一部分學生探究學習受阻，教師要適時加 以點撥指導。

三、教學目標

1.通過觀察、實驗、證明等方法的運用，讓學生更好的理解橢圓 的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會根據條件求橢圓的標準方程。1 2.通過對橢圓的認識及其方程的推導，培養學生的分析、探究、抽象、概括等邏輯思維能力，加強用坐標法解決圓錐曲線問題的能力。

3.鼓勵學生大膽猜想、論證，激發學生的學習熱情，使他們獲得 成功的體驗。

四、教學重點和難點

其推導方法。

2.難點：橢圓標準方程的推導。

1.重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及

五、教法與學法 1．教法

為了使學生更主動地參加到課堂教學中，體現以學生為主體的探 究性學習和因材施教的原則，故采用自主探究法。按照“創設情境—— 自主探究——建立模型——拓展應用”的模式來組織教學。2．學法

在教學過程中，要充分調動學生的積極性和主動性，為學生提供自 主學習的時間和空間。讓他們經歷橢圓圖形的形成過程、定義的歸納概 括過程、方程的推導化簡過程，主動地獲取知識。3．教學準備

(1)學生準備：一支鉛筆、兩個圖釘、一根細繩、一張硬紙板。(2)教師準備：用ppt及幾何畫板制作的課件。

借助多媒體生動、直觀的演示，六、教學過程設計

（一）創設情境，復習引入 由嫦娥二號繞月飛行的運動軌跡及現實生活中的多幅橢圓的圖片引使學生明確學習橢入。（嫦娥二號繞月飛行、行星運行、國家大劇院、鳥巢、亞運場館沙特

圓的重要性和必要館、油罐車等）

（二）動手實驗，歸納概念

問：自然界處處存在著橢圓,我們如何用自己的雙手畫出橢圓呢? 引導：先回憶如何畫圓

（學生利用手中的細線畫圓，教師再用幾何畫板畫圓）

畫圓容易那如果要畫橢圓該怎么畫呢？（先介紹課前數學實驗中的方法用幾何畫板作橢圓）

讓學生回憶起要畫

一個圓只要一定點和一定長就可以。現在若把一點變成兩點，到定點的距離等于定長變成到兩定點的距離之和等于定長。再把筆緊貼細線畫圖，得到的圖形是什么呢？

（學生利用手中細線配合同桌共同完成，得到橢圓。我將在黑板上

性。同時，激發他們探求實際問題的興趣，使他們主動、積極地參與到教學中來，為后面的學習做好準備。2 用同一方法作圖，并利用幾何畫板演示）

提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發生了變化，哪些量沒有

以活動為載體，變？”

讓學生根據自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子讓學生在“做”中的長度沒變，點在運動?！?/p>

學數學，通過畫橢

再問：“你們能根據剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？” 圓，經歷知識的形

（多媒體給出圓的定義）

成過程，積累感性

先讓學生獨立思考一分鐘，然后同桌交流，再進行全班交流，逐步

經驗。完善，概括出橢圓的定義。

橢圓的定義:平面上到兩個定點f1, f2的距離之和為固定值(大于 |f1f2|)的點的軌跡叫作橢圓.引導學生對定義中的關鍵詞進行分析理解

注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：

（1）必須在平面內;（2）兩個定點---兩點間距離確定;（3）繩長---軌跡上任意點到兩定點距離和確定

問：“為何‘固定值’要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如 何呢？”

（學生動手驗證并發表自己意見，我再用課件演示）

總結：當大于時 橢圓 當等于時 線段

當小于時 不存在

（三）啟發引導，推導方程

問：怎么推導橢圓的標準方程呢？

先回顧圓方程推導的步驟，給出求動點軌跡方程的一般步驟：

1、建立適當的坐標系，用有序實數對（x,y）表示曲線上任意一點m 的坐標;

2、寫出適合條件 p（m）;

3、用坐標表示條件p（m），列出方程;

4、化方程為最簡形式。

? 探討建立平面直角坐標系的方案

啟發學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當的直角坐標系。探討幾種建系方案。最后采用以下兩種方案

方案一：以兩定點的連線為x軸，其垂直平分線為y軸； 方案二：以兩定點的連線為y軸，其垂直平分線為x軸。