第一篇：《橢圓及其標準方程》說課教案2

高中數學第二冊第八章第一節《橢圓及其標準方程》說課教案

今天我說課的題目是是《橢圓及其標準方程》，下面我對本課題進行分析。

一、教材分析：

《橢圓及其標準方程》是選自人教版高中數學第二冊第八章第一節。本節共分兩個課時。我說課的內容是第一課時。橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習。是后繼學習的基礎和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。二．教學目標分析

1、知識與技能目標：

理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

2、過程與方法目標：注重數形結合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養。

3、情感、態度和價值觀目標：

(1)探究方法激發學生的求知欲，培養濃厚的學習興趣。

(2)進行數學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

三、說教學的重難點

本著《橢圓及其標準方程》新課程標準，在吃透教材基礎上，我確定了以下教學重點和難點。

教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

教學難點 是：標準方程的推導。

為了講清教材的重難點，使學生能夠達到本課題設定的教學目標，我再從教法我學法上談談。

四、學情分析：

高中二年級學生正值身心發展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

基于上述分析，我采取的是教學方法是“問題誘導--啟發討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。

引導學生學習方式發生轉變，采用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

我具體來談談這一堂課的教學過程

2、教學分析：

橢圓及其標準方程是培養學生觀察、分析、發現、概括、推理和探索能力的極好素材。本節課通過創設情景、動手操作、總結歸納，應用提升等探究性活動，培養學生的數學創新精神和實踐能力，使學生掌握坐標法的規律，掌握數學學科研究的基本過程與方法。

五．教學過程

1、新課導入

：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導入，呈現方式具有新異性，激發學習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

2、講授新課：

學生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導橢圓的標準方程，培養運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創新，積極談論和參與體驗，培養嚴謹的邏輯思維，抽象概括的能力，滲透數學美學教育，掌握數形結合的重要數學思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學生積極探索，敢于探究，轉變學習方式。

3、鞏固應用

根據定義及其標準方程，設計兩道例題，引導學生聯系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

4、繼續探究：

（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發現關系；

（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；

（4）如何描述形狀變化？

引導學生探究欲望，開展研究性學習。

四、評價說明：

本節課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作、情緒情感方面對學習效果進行過程評價。對出現問題的學生，教師指出其可取之處并耐心引導，這樣有助于培養他們勇于面對挫折，持之以恒地科學探索精神；當學生做的精彩有創新，教師給予學生充分的鼓勵，從而進一步激發學生創造的潛能，提高他們的創新能力。

（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學生的階段性學習成果進行測試。評價結果以每次測試成績和學生平時的綜合表現為依據。同時要進行學生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

（三）教師自我反思評價：本課充分體現了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

五、說課總結：

這節課使用計算機網絡技術，展現知識的發生過程，是學生始終處于問題探索研究狀態之中，激情引趣。注重數學科學研究方法的掌握，是研究性教學的一次有益嘗試。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于學生的實踐能力和創新意識的培養。

第二篇：橢圓及其標準方程說課教案

《橢圓及其標準方程》說課教案

我說課的題目是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本.必修）《數學》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節《橢圓及其標準方程》。

一、概說：

1、教材分析：

橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習。是后繼學習的基礎和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

2、教學分析：

橢圓及其標準方程是培養學生觀察、分析、發現、概括、推理和探索能力的極好素材。本節課通過創設情景、動手操作、總結歸納，應用提升等探究性活動，培養學生的數學創新精神和實踐能力，使學生掌握坐標法的規律，掌握數學學科研究的基本過程與方法。

3、學生分析：

高中二年級學生正值身心發展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

基于上述分析，我采取的是教學方法是“問題誘導--啟發討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。

引導學生學習方式發生轉變，采用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

我設定的教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。教學難點是：標準方程的推導。

二、目標說明：

1、知識目標：掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程。

2、能力目標：通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力。通過橢圓的標準方程的推導提高學生運用坐標法解決幾何問題的能力。

3、思想目標：通過本次課的學習滲透數形結合和等價轉化的思想方法，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識。

三、過程說明：

1、新課導入：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導入，呈現方式具有新異性，激發學習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

2、新課呈現：

學生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導橢圓的標準方程，培養運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創新，積極談論和參與體驗，培養嚴謹的邏輯思維，抽象概括的能力，滲透數學美學教育，掌握數形結合的重要數學思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學生積極探索，敢于探究，轉變學習方式。

3、鞏固應用

根據定義及其標準方程，設計三組九道練習題，引導學生聯系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

4、繼續探究：

（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發現關系；（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；（4）如何描述形狀變化？

引導學生探究欲望，開展研究性學習。

四、評價說明：

本節課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作、情緒情感方面對學習效果進行過程評價。對出現問題的學生，教師指出其可取之處并耐心引導，這樣有助于培養他們勇于面對挫折，持之以恒地科學探索精神；當學生做的精彩有創新，教師給予學生充分的鼓勵，從而進一步激發學生創造的潛能，提高他們的創新能力。

（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學生的階段性學習成果進行測試。評價結果以每次測試成績和學生平時的綜合表現為依據。同時要進行學生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

（三）教師自我反思評價：本課充分體現了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

五、說課總結：

這節課使用計算機網絡技術，展現知識的發生過程，是學生始終處于問題探索研究狀態之中，激情引趣。注重數學科學研究方法的掌握，是研究性教學的一次有益嘗試。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于學生的實踐能力和創新意識的培養

第三篇：《橢圓及其標準方程》說課教案專題

高中數學第二冊第八章第一節《橢圓及其標準方程》說課教案 我說課的題目是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本.必修）《數學》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節《橢圓及其標準方程》。

一、概說：

1、教材分析：

橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習。是后繼學習的基礎和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

2、教學分析：

橢圓及其標準方程是培養學生觀察、分析、發現、概括、推理和探索能力的極好素材。本節課通過創設情景、動手操作、總結歸納，應用提升等探究性活動，培養學生的數學創新精神和實踐能力，使學生掌握坐標法的規律，掌握數學學科研究的基本過程與方法。

3、學生分析：

高中二年級學生正值身心發展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

基于上述分析，我采取的是教學方法是“問題誘導--啟發討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。

引導學生學習方式發生轉變，采用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

我設定的教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

教學難點 是：標準方程的推導。

二、目標說明：

根據數學教學大綱要求確立“三位一體”的教學目標。

1、知識與技能目標：

理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

2、過程與方法目標：注重數形結合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養。

3、情感、態度和價值觀目標：

(1)探究方法激發學生的求知欲，培養濃厚的學習興趣。

(2)進行數學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

三、過程說明：

依據“一個為本，四個調整”的新的教學理念和上述教學目標 設計教學過程。“以學生發展為本，新型的師生關系、新型的教學目標、新型的教學方式、新型的呈現方式”體現如下：

（一）對教材的重組與拓展：根據教學目標，選擇教學內容，遵循拓展、開放、綜合的原則。教材中對橢圓定義盡管很嚴密，但不夠直觀，所以增加了影音文件：海爾波譜彗星的運行軌道圖，最后，讓學生交流用幾何畫板畫橢圓以及5個探究性問題，作為對教材的拓展。

（二）在教學過程 中的體現：

1、新課導入

：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導入，呈現方式具有新異性，激發學習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

2、新課呈現：

學生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導橢圓的標準方程，培養運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創新，積極談論和參與體驗，培養嚴謹的邏輯思維，抽象概括的能力，滲透數學美學教育，掌握數形結合的重要數學思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學生積極探索，敢于探究，轉變學習方式。

3、鞏固應用

根據定義及其標準方程，設計三組九道練習題，引導學生聯系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

4、繼續探究：

（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發現關系；

（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；（4）如何描述形狀變化？

引導學生探究欲望，開展研究性學習。

四、評價說明：

本節課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作、情緒情感方面對學習效果進行過程評價。對出現問題的學生，教師指出其可取之處并耐心引導，這樣有助于培養他們勇于面對挫折，持之以恒地科學探索精神；當學生做的精彩有創新，教師給予學生充分的鼓勵，從而進一步激發學生創造的潛能，提高他們的創新能力。

（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學生的階段性學習成果進行測試。評價結果以每次測試成績和學生平時的綜合表現為依據。同時要進行學生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

（三）教師自我反思評價：本課充分體現了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

五、說課總結：

這節課使用計算機網絡技術，展現知識的發生過程，是學生始終處于問題探索研究狀態之中，激情引趣。注重數學科學研究方法的掌握，是研究性教學的一次有益嘗試。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于學生的實踐能力和創新意識的培養。

第四篇：橢圓及其標準方程教案2(精)

橢圓及其標準方程教案2

教學目的

(1)使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程；

(2)通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

教學過程

一、橢圓概念的引入

第一組問題——復習提問：

1．什么叫做曲線的方程？

2．直線方程的一般形式是什么？簡述直線與二元一次方程的關系．

3．圓的一般方程是什么？主要特征是什么？

對上述問題學生的回答基本正確，如一般同學均能初步了解曲線方程的意義，理解直線與二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一對應關系，掌握圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是關于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x與y的系數都是1；(2)缺xy這樣的項；(3)D2＋E2－4F＞0．

[溫故而知新，以舊帶新，便于引導學生在已有的知識基礎上去探求新知識．]

第二組問題——引導學生聯想、歸納、分析、發現新問題：

1．如前所述，每一個二元一次方程都表示一條直線，那么每一個二元二次方程是否都表示圓，若不是，具備什么條件下它所表示的曲線就不是圓？

對此問題學生一般能回答：“當x2與y2系數不相等時或xy項的系數不為零[有的同學指出不滿足上述條件(3)時]，這樣的方程所表示的曲線都不是圓．”

2．圓的幾何特征是什么？

一般學生能回答：“圓上任意一點到圓心(定點)的距離等于半徑(定長)”．這時要進一步提問：“除上述特征外，你還能說出具有哪些特征的點的軌跡也是圓？”啟發學生回憶所學的例題、習題中有關的軌跡命題．學生翻閱課本后能回答：

“到兩定點距離平方和為常量的動點軌跡是圓．”

“到兩定點距離之比為一常量的動點軌跡也是圓．”

(對此，經提示，有學生補充這一常量應不等于1，否則為線段的垂直平分線．)

“到兩定點連線斜率乘積等于－1的動點軌跡也是圓．”(當然還應除去兩定點．)

[啟發學生對已有的知識進行歸納、提煉，以便為新概念的引入作好自然的鋪墊．]

第三組問題——深入思考與探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圓，那么它還可能表示什么樣的曲線呢？當系數A、B、C、D、E取各種不同數值時，相應的方程代表的曲線將有什么差別呢？能否找到一般性規律，得出這些曲線的大致形象？

這些問題并不一定要求學生回答，旨在引起學生積極思考，激發學生強烈的探索欲望．

2．如上，我們已經知道“到兩定點距離平方和為常量”或“到兩定點距離之比為常量”的點的軌跡，你是否可類似地提出一些軌跡命題作更廣泛的探索？

類比的能力大部分學生是具備的(盡管程度有差別)，經過教師啟發引導，學生們會提出下列軌跡命題，如：

“到兩定點距離之和等于常量的動點軌跡．”

“到兩定點距離平方差等于常量的動點軌跡．”

“到兩定點距離之差等于常量的動點軌跡．”

“到定點與定直線距離相等的動點軌跡．”

以上是學生受到已做習題的啟發而提出的．

還有學生通過類比提出：

“到兩定點距離的立方和(差)等于常量的動點軌跡”；“到定點與定直線距離的比為常量的動點軌跡”；“到定點與定直線的距離和(差)等于常量的動點軌跡”；等等．

對同學們這種大膽設想，勇于探索的精神教師予以大力肯定，表示贊賞，并指出同學們所提出的這些問題正是我們后一段學習中要逐步解決的問題，而同學們自己也可運用坐標法探求它們的方程，根據方程描點畫圖，也可設法用實驗方法描繪具有這些特征的幾何圖形．

[以上從方程與曲線兩方面，也就是從數與形兩條“線路”引導學生聯想、分析、探索，這樣，引出新曲線的概念已是水到渠成了．]

譬如說，同學們提出的“若動點到兩定點距離之和等于常量，則此動點軌跡是什么？請同學們不妨嘗試一下，看看能否設計一種 繪圖方法，畫出符合這種幾何條件的軌跡．

(課前要求學生準備圖釘若干，細線一根．)

學生紛紛動手，相互磋商，觀摩，不一會大部分同學已畫出；再讓一個學生在黑板上用準備好的工具演示，同學們都高興地叫起來，軌跡是橢圓！

教師問：“橢圓，在哪些地方見過？”

有的學生說：“立體幾何中圓的直觀圖．”

(立體幾何中采取的也是近似畫法，但教材中已提出橢圓名稱．)

有的學生說：“人造衛星運行軌道．”

(這是學生從物理課本中了解的．)

有的學生說：“餅干罐頭盒，灑水車，裝油車等．”

教師指出：確切地說，應是它們的橫截面的輪廓線．

[按學生認識規律與心理特征引導學生自己分析、探索、啟發學生認識新的概念，至于新概念在實際中的形象也放手讓學生自己對照、回顧，增強實踐感受，這樣更有利于學生學習能力的培養．]

在上述基礎上，引導學生概括橢圓定義．學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點距離之和等于常量．這時教師通過演示(將穿有粉筆的細線拉到黑板平面外)啟發學生思考．學生認識到需加上限制條件：“在平面內．”教師則追問：“否則會形成什么幾何圖形？”學生想象到是橢球形．教師邊演示邊提示學生注意：這里的常量有什么限制嗎？若這個常量等于兩定點距離？小于呢？學生認識到，這時都不可能形成橢圓，前者變成了線段，后者軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常量大于兩定點之間的距離．”

這樣，學生得出了完整的橢圓定義：平面內到兩定點的距離之和等于常數(大于兩定點距離)的點的軌跡叫做橢圓．

教師順便指出：我們規定其中兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距．

二、推導橢圓的標準方程

給出橢圓的定義后，教師即可提出：由橢圓定義，可以知道它的基本幾何特征，但對于這種新曲線還具有哪些性質，我們幾乎一無所知，因此需要利用坐標法先建立橢圓的方程．

[讓學生明確思維的目的，才能調動學生思維的積極性．]

如何建立曲線方程？首先應建立適當的坐標系．建立坐標系時，一般應符合簡單和諧化的原則．如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性．

[讓學生在思考議論中加強對這種優化原則的認識．]

這樣，大多數學生認識到下列選取方法是適宜的：

以兩定點F1．F2的連線為x軸；以線段F1F2的垂直平分線為y軸，設|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任一點，則有F1(－c，0)，F2(c，0)．

下面讓學生利用兩點間距離公式，根據橢圓定義即可寫出橢圓的方程

[正確選取坐標系是解析幾何解題的基本技巧之一，教學中應著重培養學生這方面的能力．]

教師指出：上面所得方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓本質屬性，但為了更進一步利用方程探討橢圓其他性質，需要盡量簡化方程形式，使數量關系更加明朗化．

(化簡方程可讓學生完成．)

多數學生利用初中簡化無理方程的一般方法進行，移項后兩邊平方逐步化去根號，與教材中化簡過程類似，教師在巡回觀察指導中，啟發幾個反映較快的學生仔細觀察兩個根號下代數式的特征，設法先化去其中一個根號．即將等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，兩邊分別除以方程兩邊，即得

與原方程聯立易得

注意a＞c，則可得

為使方程更為對稱和諧起見，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，則得方程

[坐標法即用代數方法研究幾何問題，因此熟練運用代數變形技巧是十分重要的，學生常因運算能力不強而功虧一簣．缺乏一定的運算能力在解析幾何中幾乎是寸步難行，因此教學中必須注意不失時機加強運算技能的訓練！]

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，教師可簡要作些提示：

若點(x′，y′)適合方程

則此點應在橢圓上，事實上由

由上述變形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，則可知

即點(x′，y′)到兩定點F1和F2距離之和為2a．

故點(x′，y′)必在橢圓上．

教師指出：由于我們恰當地選取了坐標系，充分運用了圖形的對稱特征，因此得到的方程簡單、對稱，具有和諧美，特別便于根據方程分析研究橢圓許多有趣的性質．這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程(焦點在x軸上)．

三、供課后思考的參考題

1．推導橢圓方程時，若使焦點在y軸上[即為F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此時方程形式嗎？它與焦點在x軸上的方程有何聯系？

(1)橢圓的對稱性；(2)橢圓的范圍及常數a、b具有什么幾何特征；(3)這一方程與圓x2＋y2＝a2作一比較，兩者有何聯系？由兩方程分別得出

回顧三角函數圖像y＝Asinx與y＝sinx的關系你能提出什么設想？

等式中發現橢圓的又一重要特征嗎？

教案說明

(1)這份教案是針對重點中學班級設計的，也在筆者所在學校不止一次實施過．教案設計的基本指導思想是著眼于提高學生學習數學的自覺性與基本學習能力，增強課堂教學的啟發性與培養性，因此教學安排與一般設想不同．目前教學中常受考試干擾，比較注重實用性與所謂“硬指標”．如本節課常常直接給出定義，盡快得出兩種標準方程，舉例示范，使學生課外能學會使用方程解答課本習題．而這份教案卻花一定氣力引導學生回顧、探索、分析，然后引出橢圓的概念，隨后只建立了焦點在x軸上的標準方程，并沒有要求學生會使用；另外關于由方程研究橢圓性質常常安排在后面的課內，這里卻又提前讓學生思考，似乎都是“軟指標”，在考試中也不一定用得上．不同的設想反映出不同的著眼點與數學教學目的的認識差別，把知識與方法作為結果給予學生，還是著重引導學生領悟獲得這些結果的思想與方法，是把學生作為接受教師傳授知識的客體，還是增強學生的內在活力，使學生成為自覺主動學習的主體．本教案如前所述，重點放在概念引入與方程建立的思維過程上，從圓錐曲線整體結構考慮，讓學生獲得比較完整的認識過程，初步建立起總體思維框架，至于結果的熟練與運用在以后的逐步強化訓練中是不難達到的．教學的實踐也證明，這樣是有利于學生基本數學素質的提高，在以后的雙曲線、拋物線的教學中可見其成效．

(2)這份教案設計的另一思想是探索在基礎知識教學過程中如何加強學生能力的培養．數學上每一個重要概念的引入與定義，每一個重要定理(法則、公式)的發現與推證，幾乎都歷經前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創造的漫長過程．這樣長期的探索過程中往往蘊含著數學中一些重要的思想方法，對思維有著重要的啟迪作用，教學中若不充分認識甚至放棄這些絕好的培養機會，將是教學上的重大失策．當然，作為教學不必要(也不可能)完全重復前人漫長的探索過程，但若細心體會、抓住方法的精神實質，精心組織設計，創造良好情景，就可使多數學生處于亢奮狀態，增強探索者的自信心理，學習前人的探究精神，逐步領會其中的主要思想方法．在教學中長期堅持這樣做，必可大大提高學生的思維素質與學習能力，使教學獲得良好的效果．

第五篇：橢圓及其標準方程 教案.doc

學習資 料

教學目標

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；

3．通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識．

教學建議 教材分析 1． 知識結構

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于 現兩種特殊情況，即：“當常數等于

．這樣規定是為了避免出

時無軌

時軌跡是一條線段；當常數小于

以上資料均從網絡收集而來

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跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．

③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．

④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

（3）兩種標準方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在 軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大．

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另外，形如 中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣．

為激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啟發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在以上資料均從網絡收集而來

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黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質

在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系

在講解橢圓的定義時，就要啟發學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當的坐標系了，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）．雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法．

（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。

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